Презентация по математике на тему "Симметрия в алгебре"

• 1 слайд

  Подготовил студент 2 курса БТМиАТ
  Чаплыгин Дмитрий
  Симметрия в алгебре
  

• 2 слайд

  Симметрия является той идей, посредством которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство.
  Г.Вейль
  

• 3 слайд

  Симметрия-
  это свойство геометрической фигуры Ф, характеризующее некоторую правильность формы Ф, неизменность её при действии движений и отображений.
  
  

• 4 слайд

  Симметричные выражения
  
  аb-a-b; ;
  
  Простейшие симметрические выражения относительно корней квадратного уравнения встречаются в теореме Виета.
  

• 5 слайд

  Симметрия четных функций
  
  Здесь наглядно представлена осевая симметрия, и осью симметрии является ось ОУ.
  
  

• 6 слайд

  Симметрия нечетных функций
  Графики нечетных функций симметричны относительно начала координат т.О(0;0)- центральная симметрия
  

• 7 слайд

  Симметрия обратных функций
  Графики обратных функций симметричны относительно прямой у=х.
  Это осевая симметрия
  

• 8 слайд

  Поворотная симметрия
  Примерами поворотной симметрии могут служить графики неявных функций.
  Цветок Жасмина
  

• 9 слайд

  Винтовая симметрия
  Более сложный вид симметрии- винтовой можно наблюдать, например, на графике спирали Архимеда.
  
  

• 10 слайд

  Симметричность графиков с модулем
  

• 11 слайд

  Симметричные уравнения
  1.Уравнения называются симметрическими уравнениями 3-й степени, если они имеют вид ах3 + bx2 + bх + a = 0.
  Свойства возвратных уравнений:
  а) у любого возвратного уравнения нечетной степени всегда есть корень, равный -1.
  б) у возвратного уравнения корней, равных нулю, нет.
  в) при делении многочлена нечетной степени на (х + 1) частное является снова возвратным многочленом и это доказывается по индукции.
  
  

• 12 слайд

  Пример: х3 + 2x2 + 2х + 1 = 0
  
  Решение: У исходного уравнения обязательно есть корень х = -1, поэтому разделим х3 + 2x2 + 2х + 1 на (х+1):
  х3 + 2x2 + 2х + 1 = (х + 1)(x2 + х + 1) = 0.
  Квадратное уравнение x2 + х + 1 = 0 не имеет корней.
  Ответ: -1.
  
  

• 13 слайд

  Симметричные уравнения
  2. Уравнения называются симметрическими уравнениями 4-й степени, если они имеют вид
  ах4 + bx3 + сх2 + bх + a = 0.
  Алгоритм решения :
  а) Разделить обе части исходного уравнения на х2.
  б) С помощью группировки привести уравнение к виду:
  а(x2 + 1/x2) + b(x + 1/x) + c = 0.
  в) Ввести новую неизвестную: t = (x + 1/x).
  г) Решить в новых переменных полученное квадратное уравнение:
  аt2 + bt + c – 2a = 0.
  д) Сделать обратную подстановку.
  
  

• 14 слайд

  Пример. 6х4 – 5х3 – 38x2 – 5х + 6 = 0.
  
  Решение: 6х2 – 5х – 38 – 5/х + 6/х2 = 0,
  6(х2 + 1/х2) – 5(х + 1/х) – 38 = 0.
  Вводим t: подстановка (x + 1/x) = t. Замена:
  (x2 + 1/x2) = t2 – 2, имеем:
  6t2 – 5t – 50 = 0, t = -5/2 или t = 10/3.
  Вернемся к переменной х. После обратной замены решим два полученных уравнения:
  x + 1/x = -5/2; х2 + 5/2 х +1 = 0;
  х = -2 или х = -1/2.
  2) x + 1/x = 10/3; х2 – 10/3 х + 1 = 0;
  х = 3 или х = 1/3.
  Ответ: -2; -1/2; 1/3; 3.
  
  

• 15 слайд

  Способы решения некоторых видов уравнений высших степеней
  
  Уравнения, которые имеют вид (х + а)n + (х + b)n = c, решаются подстановкой t = x + (a + b)/2
  (метод симметризации).
  
  Пример: (х + 3)4 + (х + 1)4 = 272.
  Решение:  Делаем подстановку:t = x + (3 + 1)/2 = х + 2, после упрощения: х = t – 2.
  (t – 2 + 3)4 + (t – 2 + 1)4 = 272, (t + 1)4 + (t – 1)4 = 272.
  Убрав скобки с помощью формул, получим:
  t4 + 4t3 + 6t2 + 4t + 1 + t4 – 4t3 + 6t2 – 4t + 1 = 272.
  2t4 + 12t2 – 270 = 0, t4 + 6t2 – 135 = 0, t2 = 9 или t2 = -15.
  Второе уравнение корней не дает,
  а вот из первого имеем t = ±3.
  После обратной замены получим, что х = -5 или х = 1.
  Ответ: -5; 1.
  
  

• 16 слайд

  Симметрические системы уравнений
  Если оба уравнения системы являются симметрическими многочленами от х и у , то систему уравнений называют симметрической системой уравнений.
  
  
  При их решении полезной бывает такая замена неизвестных: x+y=u, xy=v
  
  
  

• 17 слайд

  Пример:
  
  Решение: Сделаем замену неизвестных : x+y=u, xy=v
  
  
  Сложив эти уравнения получим уравнение
  с корнями .Соответственно ,
  а) и б)
  
  Система а) имеет решения
  Система б) решений не имеет.
  Ответ: (3;5), (5;3).
  
  

• 18 слайд

  В заключении
  Приведенные выше примеры лишь малая часть того, где можно наблюдать симметрию в алгебре. В любом из её разделов можно обнаружить элемент симметрии. Здесь можно вспомнить треугольник Паскаля, матрицы, симметричные относительно главной диагонали, законы распределения случайной величины. Симметрия вносит красоту и гармоничность в решение задач. Такое явление как симметрия действительно окружает нас повсюду.
  

• 19 слайд

• 20 слайд

  а) у любого возвратного уравнения нечетной степени всегда есть корень, равный -1.
  Если сгруппировать в левой части слагаемые следующим образом:
  а(х3 + 1) + bx(х + 1) = 0,
  то есть возможность вынести общий множитель (х+1)(ах2+(b–а)x+а)=0,
  поэтому, х + 1 = 0 или ах2 + (b – а)x + а = 0, первое уравнение и доказывает интересующее нас утверждение.