Презентация по математике на тему: "Тригонометрические уравнения"

• 1 слайд

  Тригонометрические уравнения. Основные методы решений
  
  

• 2 слайд

  Простейшие тригонометрические уравнения.
  Тригонометрические уравнения. Уравнение, содержащее неизвестное под знаком тригонометрической функции, называется тригонометрическим. 
  

• 3 слайд

  Методы решения тригонометрических уравнений. 
  Решение тригонометрического уравнения состоит из двух этапов:  преобразование уравнения для получения его простейшего вида  и  решение полученного простейшего тригонометрического уравнения. Существует семь основных методов решения  тригонометрических уравнений.
  
  
  
  

• 4 слайд

  1. Алгебраический метод.  Этот метод нам хорошо известен из алгебры
     ( метод замены переменной и подстановки ).
  
  

• 5 слайд

  2. Разложение на множители.  Этот метод рассмотрим на примерах.
   Решить уравнение:  sin x + cos x = 1 .
   
      Р е ш е н и е .   Перенесём все члены уравнения влево:
     sin x + cos x – 1 = 0 ,
   
    преобразуем и разложим на множители выражение    в   левой части уравнения:
  
  

• 6 слайд

  3.
  Приведение к однородному уравнению. Уравнение называется однородным относительно sin и cos, если все его члены одной и той же степени относительно sin и cos одного и того же угла. Чтобы решить однородное уравнение, надо:
  П р и м е р . Решить уравнение: 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2.
  Р е ш е н и е . 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x ,
  sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0 ,
  tan 2 x + 4 tan x + 3 = 0 , отсюда y 2 + 4y +3 = 0 ,
  корни этого уравнения: y1 = -1, y2 = -3, отсюда
  1) tan x = –1, 2) tan x = –3,
  
  
   а)  перенести все его члены в левую часть;
     б)  вынести все общие множители за скобки;
     в)  приравнять все множители и скобки нулю;
     г)  скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на 
          cos ( или sin ) в старшей степени; 
     д)  решить полученное алгебраическое уравнение относительно tan . 
  

• 7 слайд

  4. Переход к половинному углу. Рассмотрим этот метод на примере:
  П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin x – 5 cos x = 7.
  Р е ш е н и е . 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) – 5 cos ² ( x / 2 ) + 5 sin ² ( x / 2 ) =
   = 7 sin ² ( x / 2 ) + 7 cos ² ( x / 2 ) ,
   2 sin ² ( x / 2 ) – 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) + 12 cos ² ( x / 2 ) = 0 ,
   tan ² ( x / 2 ) – 3 tan ( x / 2 ) + 6 = 0 ,
  

• 8 слайд

  5. Введение вспомогательного угла. Рассмотрим уравнение вида:
   
  
  a sin x + b cos x = c ,
   где  a, b, c – коэффициенты;  x – неизвестное.
  
  Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса, а именно: модуль ( абсолютное значение ) каждого из них не больше 1, а сумма их квадратов равна 1. Тогда можно обозначить их соответственно как cos и sin ( здесь - так называемый вспомогательный угол ), и наше уравнение принимает вид:
  

• 9 слайд

  6. Преобразование произведения в сумму. Здесь используются соответствующие формулы.
   П р и м е р .  Решить уравнение:  2 sin 2x · sin 6x = cos 4x.
   
      Р е ш е н и е .  Преобразуем левую часть в сумму:
   
                                          cos 4x – cos 8x = cos 4x ,
   
                                                   cos 8x = 0 ,
   
                                                   8x = p / 2 + pk ,
   
                                                   x = p / 16 + pk / 8 .
   
  
  

• 10 слайд

  7. Универсальная подстановка. Рассмотрим этот метод на примере.
  П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin x – 4 cos x = 3 .