Презентация по математике на тему "Тригонометрические уравнения"

• 1 слайд

  Тригонометрические формулы
  sin²α+cos²α=1
  tgα=sinα/cosα
  ctgα=cosα/sinα
  tgα*ctgα=1
  1+tg²α=1/cos²α
  1+ctg²α=1/sin²α
  
  
  
  sin(-α)=-sinα
  tg(-α)=-tgα
  cos(-α)=cosα
  arcsin(-α)=-arcsinα
  arccos(-α)=π-arccosα
  arctg(-α)=-arctgα
  arcctg(-α)=π-arcctgα
  
  
  

• 2 слайд

  cos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβ
  sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ
  sin2α=2sinα∗cosα
  cos2α=cos²α-sin²α
  

• 3 слайд

  Формулы приведения
  

• 4 слайд

  B1.Преобразования тригонометрических выражений
  cosα=?
  sinα=4/5, α∈(0;π/2)
  cos²α+sin²α=1 cosα=√(1-sin²α) cosα=√(1-(4/5)²=0,6
  α∈1й четверти cosα>0
  Ответ:0,6.
  
  
  
  
  

• 5 слайд

  B4.Решение уравнений с помощью замены переменной
  cosy=?
  x+y=2,5π,
  9sinx-3cosy=-0,6
  x=2,5π-y,
  9sin(2,5π-y)-3cosy=-0,6
  9sin(π/2-y)-3cosy=-0,6;
  9cosy-3cosy=-0,6;
  cosy=-0,1
  Ответ: -0,1.
  
  
  

• 6 слайд

  Простейшие уравнения
  1. sin x =a
  x=∅,|a|>1,
  x=(-1)ⁿarcsina+πn,n∈Z,|a|≤1
  2. cos x =a
  x=∅,|a|>1,
  x=±arccosa+2πn,n∈Z,|a|≤1
  3. tg x =a
  x=arctga+πn,n∈Z
  4. ctg x =a
  x=arcctga+πn,n∈Z
  
  
  

• 7 слайд

  5. arcsin a =x
  x∈[-π/2;π/2],
  sin x =a
  6. arccos a =x
  x∈[0;π],
  cos x =a
  
  
  7. arctg a =x
  x∈(-π/2;π/2),
  tg x =a
  8. arcctg a =x
  x∈(0;π),
  ctg x =a
  
  

• 8 слайд

  A9.Простейшие тригонометрические уравнения
  
  cosx-(√2)/2=0;
  cosx= (√2)/2;
  x=±π/4+2πk,k∈Z
  Ответ:=±π/4+2πk,k∈Z.
  

• 9 слайд

  Способы решения уравнений
  1.Разложение на множители.
  sin2x=cosx;
  2sinx*cosx=cosx;
  cosx(2sinx-1)=0;
  cosx=0,
  2sinx-1=0
  x=π/2+πk,k∈Z,
  x=(-1)ⁿπ/6+πn,n∈Z
  

• 10 слайд

  2.Сведение к квадратному или ур-ям более высоких степеней.
  2sin²x-cosx-1=0;
  2(1-cos²x)-cosx-1=0;
  2-2cos²x-cosx-1=0;
  2cos²x+cosx-1=0…
  3.Применение универсальной тригонометрической подстановки.
  sinx=2tg(x/2):(1+tg²(x/2)) ;
  cosx=(1-tg²(x/2)):(1+tg²(x/2)); tg(x/2)=t…
  tgx=2tg(x/2):(1-tg²(x/2));
  

• 11 слайд

  sin²x=tg²x/(1+tg²x);
  cos²x=1/(1+tg²x)
  4.Преобразование суммы в произведение и наоборот.
  sinα±sinβ=2sin((α±β)/2)∗cos((α∓β)/2);
  cosα+cosβ=2cos((α+β)/2)∗cos((α-β)/2);
  cosα-cosβ=-2sin((α+β)/2)∗sin((α-β)/2);
  sinα∗cosβ=(sin(α+β)+sin(α-β))/2;
  sinα∗sinβ=(cos(α-β)-cos(α+β))/2;
  cosα∗cosβ=(cos(α+β)+cos(α-β))/2
  5.Применение формул понижения степени.
  sin²x=(1-cos2x)/2;
  cos²x=(1+cos2x)/2;
  tg²x=(1-cos2x)/(1+cos2x)
  

• 12 слайд

  6.Однородные уравнения 1й степени
  a∗sinx+b∗cosx=0, a≠0, b≠0
  Способ решения: деление на cosx≠0.
  
  Однородные уравнения 2й степени
  a∗sin²x+b∗sinx∗cosx+c∗cos²x=0
  Способ решения: деление на cos²x≠0.
  
  a∗sin²x+b∗sinx∗cosx+c∗cos²x+d=0
  Способ решения: d=d∗1=d(sin²x+cos²x)
  сведение ко второму виду.
  

• 13 слайд

  7.Линейные уравнения.
  a*sinx+b*cosx=c, a≠0, b≠0, c≠0
  1й способ
  a*2*sin(x/2)*cos(x/2)+b(cos²(x/2)-sin²(x/2))= c(sin²(x/2)+cos²(x/2)) делим на cos²(x/2)≠0
  решаем кв. ур-е относительно tg(x/2)
  2й способ
  делим обе части ур-я на √(a²+b²)
  sinx∗a/√(a²+b²)+cosx∗b/√(a²+b²)=c/√(a²+b²);
  a/√(a²+b²)=cosφ, b/√(a²+b²)=sinφ;
  cosφ*sinx+sinφ*cosx=c/√(a²+b²);
  sin(x+φ)=c/√(a²+b²);
  x+φ=(-1)ⁿarcsin(c/√(a²+b²))+πn,n∈Z
  
  
  

• 14 слайд

  
  
  C2.Решение сложных уравнений в несколько приемов