Презентация по математике по теме "Геометрия Лобачевского"

Геометрия Лобачевского

Сегодня мы с вами постараемся понять, что это за геометрия Лобачевского о котором все слышали, но мало кто понял. Для начала уточним:

1.      На плоскости пересекающимися называются прямые, имеющие одну общую точку.

2.      Параллельными прямыми на плоскости называются, те что общих точек не имеют.

А начнем мы немного с истории. Речь пойдет о Евклиде, так как практически вся геометрия, которую мы изучаем в школе заложена именно им. А именно рассмотрим 5 простых утверждений сформулированные Евклидом, на которых построена вся геометрия:

1.      От любой точки до всякой другой можно провести прямую;

2.      Из любого центра всяким радиусом возможно описать окружность;

3.       Ограниченная прямая может непрерывно продолжаться по прямой;

4.      Все прямые углы равны.

5.      Если [на плоскости] при пересечении двух прямых третьей сумма внутренних односторонних углов меньше 180°, то эти прямые при достаточном продолжении пересекаются, и притом с той стороны, с которой эта сумма меньше 180°.

В принципе вполне понятные логичные утверждения. 5 аксиом из которых потом уже выводятся теоремы. Правда пятый постулат чрезвычайно сильно отличается от других постулатов Евклида, более простых и очевидных. Поэтому в течение двух тысячелетий не прекращались попытки исключить его из списка аксиом и вывести как теорему. Все эти попытки окончились неудачей. «Вероятно, невозможно в науке найти более захватывающую и драматичную историю, чем история пятого постулата Евклида». Несмотря на отрицательный результат, эти поиски не были напрасны, так как в конечном счёте привели к полному пересмотру научных представлений о геометрии Вселенной. Его более эквивалентная формулировка звучит так:

- В плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной.

Это уже более привычное и понятное, но все равно что-то в этом пункте не то. Как-то выбивается он из общей картины. Вот и математики 18-19 века думали так же. И первым осмелившимся подставиться под грозный взгляд суровых математиков был главный герой нашего рассказа Николай Лобачевский. Он просто взял и заменил пятый постулат Евклида на такой:

- Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести как минимум две прямые,  не пересекающие данную.

Математики всего мира дружно протестовали, а он продолжал выводить теории из его новой системы аксиом. Проблема была в том, что сам Лобачевский все это затеял для того, чтобы найти какие-либо противоречия  и тем самым показать, что Евклид не зря добавил свой пятый постулат. А противоречий то не было… И получался всякий бред из серии, что сумма углов треугольника может быть меньше 180 градусов, а через точку можно на самом деле провести бесконечно много прямых, параллельных данной. Но главное, что все это друг другу не противоречило. То есть не выводилось каких-нибудь двух теорем утверждающих противоположные вещи. И в конце концов было доказано, что такая система аксиом вообще непротиворечива, и тут математики поверили. И начали предлагать разные модели, отражающие данную аксиоматику. Например, в модели Пуанкаре плоскостью считается вся внутренность круга, прямыми считаются дуги окружностей, перпендикулярных окружности данного круга, его граница называется абсалютом.

На модели можно увидеть, что через точку О не лежащую на прямой а проведены две прямые b и b₁ не имеющие с а общих точек, то есть параллельные ей. А между ними можно провести еще бесконечное число таких прямых-окружностей, которые не будут пересекаться с прямой а. Все полностью соответствует последней аксиоме Лобачевского.

Это фигура образованная вращением гиперболы вокруг одной оси симметрии. Рассмотрим верхнюю чашу (на нижней будет все так же) , всю эту поверхность будем называть плоскостью. Если представить пучок разных плоскостей, проходящих через начало координат, некоторые из них пересекают нашу плоскость , образуя в пересечении какую-то кривую, которые и считаются прямыми в нашей модели. Сразу видно, например, что если взять на поверхности  гиперболоида какую-то точку, то через нее можно провести бесконечно много плоскостей, проходящих через начало координат и не пересекающих нашу кривую. Из-за такой модели геометрию Лобачевского, зачастую называют гиперболической.

И еще одно различие, если в Евклидовой геометрии : две прямые параллельные третьей параллельны, то в геометрии Лобачевского это не так. Так как параллельными прямыми на плоскости называются, те прямые, которые  не имеют общих точек. И через точку можно провести бесконечное число прямых параллельных данной, это не значит, что все они будут параллельны между собой. Наоборот, они проходят через одну точку, а значит они пересекаются, так как имеют общую точку.

Заключение

Любая теория современной науки считается единственно верной, пока не создана следующая. Это своеобразная аксиома развития науки. Заслуга Лобачевского состоит в том, что он не только высказал идею, но действительно построил и всесторонне развил новую геометрию, логически столь же совершенную и богатую выводами, как евклидова, несмотря на её несоответствие обычным наглядным представлениям. Лобачевский рассматривал свою геометрию как возможную теорию пространственных отношений. Создание геометрии Лобачевского оказало огромное влияние на все науки. Ее результаты используются внутри математики – в теории чисел, в математическом анализе. В частности сам Лобачевский с помощью своей геометрии вычислили около 200 интегралов. Но наиболее широкое применение она нашла в современной физике – общей и специальной теории относительности, в квантовой механике и других областях. Одним из важнейших результатов открытия геометрии Лобачевского было развитие новых неевклидовых геометрий, в первую очередь, геометрии Римана, называемой так же эллиптической геометрией. Непреходящее значение открытия геометрии Лобачевского для науки состоит в том, что оно разрушило приобретенные веками традиционные взгляды на окружающий мир, вывело ученых из узких рамок созданных ими стереотипов мышления. Они стали более восприимчивы к новым неожиданным научным открытиям.

Все! Перечеркнуты “Начала”.

Довольно мысль на них скучала,

Хоть прав почти во всем Евклид,

Но быть не вечно постоянству:

И плоскость свернута в пространство,

И мир

Иной имеет вид...

МБОУ «Ленино-Кокушкинская СОШ» Пестречинского муниципального района РТ

2018-2019 уч.год

Краткое описание документа:

Презентация к докладу по теме "Геометрия Лобачевского"

Геометрия Лобачевского

Сегодня мы с вами постараемся понять, что это за геометрия Лобачевского о котором все слышали, но мало кто понял. Для начала уточним:

• На плоскости пересекающимися называются прямые, имеющие одну общую точку.
• Параллельными прямыми на плоскости называются, те что общих точек не имеют.

А начнем мы немного с истории. Речь пойдет о Евклиде, так как практически вся геометрия, которую мы изучаем в школе заложена именно им. А именно рассмотрим 5 простых утверждений сформулированные Евклидом, на которых построена вся геометрия:

• От любой точки до всякой другой можно провести прямую;
• Из любого центра всяким радиусом возможно описать окружность;
• Ограниченная прямая может непрерывно продолжаться по прямой;
• Все прямые углы равны.
• Если [на плоскости] при пересечении двух прямых третьей сумма внутренних односторонних углов меньше 180°, то эти прямые при достаточном продолжении пересекаются, и притом с той стороны, с которой эта сумма меньше 180°.

:....