Презентация по теме "Параллельность прямых и плоскостей"

• 1 слайд

  
  
  «Параллельность прямых и плоскостей в пространстве».
  

• 2 слайд

  пересекаются
  параллельны
  а
  а
  а
  b
  b
  b
  скрещиваются
  Лежат в одной плоскости
  Не лежат в одной плоскости
  Взаимное расположение прямых в пространстве.
  

• 3 слайд

  Параллельными
  называются прямые,
  лежащие в одной
  плоскости и не
  имеющие точек
  пересечения.
  

• 4 слайд

  Теорема о параллельных прямых.
  Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.
  К
  a
  b
  

• 5 слайд

  …они лежат на параллельных прямых
  Отрезки в пространстве называются параллельными, если …
  Лучи в пространстве называются параллельными, если …
  Параллельные отрезки,
  параллельные лучи
  в пространстве.
  

• 6 слайд

  Лемма о параллельных прямых
  Если одна из параллельных прямых пересекает плоскость, то и вторая прямая также пересекает эту плоскость?
  
  a
  b
  

• 7 слайд

  Доказательство:
  а
  с
  в1
  в
  β
  α
  
  В
  1 случай. а, в, с α рассмотрен в планиметрии
  2 случай. а, в  α; а, с  β
  1. Возьмем т.В, В  в
  Через т.В и с проведем плоскость 
    α = в1
  2. Если в1  β = Х,  Х  а, в1  α,
  но Х  с, т.к. в1   , а т.к. а с  в1  β
  3. в1  α, в1  а  в1  а  в1 = в (А параллельных прямых)
  4.  в с
  Теорема доказана.
  •
  Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны
  

• 8 слайд

  Теорема о параллельных прямых.
  К
  a
  b
  Дано: К  a
  Доказать:
   ! b: К  b, b  a
  Доказательство:
  1.Проведем через прямую a и точку К плоскость α.
  2.Проведем через т. К α прямую b, b a.(А планиметрии)
  Единственность (от противного)
  1.Пусть  b1: К  b1 , b1 a .Через прямые a и b1 можно провести плоскость α1.
  2. a , К  α1;  α1 и α (Т о точке и прямой в пространстве).
  3.  b = b1 (А параллельных прямых). Теорема доказана.
  

• 9 слайд

  Задание 1 Вставьте пропущенные слова
  
  Единственную плоскость можно задать через три точки, при этом они на одной прямой.
  2) Если точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит плоскости.
  3) Две различные плоскости могут иметь только одну общую
  4) Прямые являются в пространстве, если они не пересекаются и в одной плоскости.
  5) Если прямая a лежит в плоскости α, прямая b не лежит в плоскости α, но пересекает ее в точке
  В
  α, то прямые а и b
  не лежат
  две
  прямую
  параллельными
  лежат
  скрещивающиеся
  

• 10 слайд

  Задание 2 Определите: верно, ли утверждение?
  Нет
  Нет
  Да
  Да
  Нет
  

• 11 слайд

  Задание 2 Определите: верно, ли утверждение?
  Нет
  Нет
  Нет
  Да
  

• 12 слайд

  
  А
  В
  С
  С1
  
  А1
  α
  Задание 3
  Дано: ВС=АС,
  СС1 АА1,
  АА1=22 см
  Найти: СС1
  Решение:
  АА1СС1,
  АС = ВС
   С1– середина А1В
  (по т.Фалеса) 
  С С1- средняя линия ∆АА1В 
  С С1= 0,5АА1 = 11 см
  Ответ: 11см.
  

• 13 слайд

  a
  с
  Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.
  
  b
  К
  

• 14 слайд

  Если прямая, не лежащая в данной плоскости,
  параллельна какой-нибудь прямой,
  лежащей в этой плоскости , то
  она параллельна и самой плоскости.
  Дано:
  Доказать:
  

• 15 слайд

  1.Через прямые a и b проведем плоскость α
  Пусть , ,
  α
  2. α  β = b
  Если a  β = Х, то Х  b, это невозможно, т.к. α  b
   a  β
   a  β
  Теорема доказана.
  

• 16 слайд

  Дано: а  α
  а  β; β ∩ α = в
  Доказать: а  в
  
  Доказательство:
  а, в  β
  Пусть в ∩ а, тогда а ∩ α,
  что противоречит условию.
  Значит в  а
  
  
  Задание 2
  
  
  
  
  α
  β
  а
  в
  

• 17 слайд

  A
  В
  С
  Плоскость проходит через сторону АС  АВС. Точки D и E - середины отрезков АВ и BC соответственно. Докажите, что DE  α
  D
  E
  Доказательство:
  1. Точки D и E - середины отрезков АВ и BC соответственно 
  2. DE – средняя линия (по определению) 
  DE АС (по свойству)
   DE  α ( по признаку параллельности прямой и плоскости)
  

• 18 слайд

  Расположение плоскостей в пространстве.
  α  β
  α и β совпадают
  α  β
  

• 19 слайд

  Признак параллельности двух плоскостей.
  Если две пересекающиеся прямые одной
  плоскости соответственно параллельны двум
  пересекающимся прямым другой плоскости, то эти
  плоскости параллельны.
  Дано: а b = M, a , b .
  a₁ b₁, a₁ , b₁ . a  a₁, b  b₁.
  Доказать:  
  
  
  а
  а₁
  b
  b₁
  M
  c
  Доказательство:
  Тогда а  , а  ,    = с, значит а  с.
  2. b  , b  ,    = с, значит b  с.
  3. Имеем, что через точку М проходят две прямые а и b, параллельные прямой с, чего быть на может.
  Значит    .
  1. Пусть    = с.
  

• 20 слайд

  Теорема
  Через точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной, причём единственную.
  β
  а1
  •
  А
  α
  плоскость α,
  в1
  в
  а
  Доказать:
  Доказательство.
  Дано:
  точка А вне плоскости α.
  существует плоскость β║α, проходящая через точку А
  1. В плоскости α проведём прямые а∩в.
  Через точку А проведём
  а1║а
  и в1║в.
  По признаку параллельности плоскостей прямые а1 и в1 задают плоскость β║α.
  Существование плоскости β доказано.
  

• 21 слайд

  β
  •
  А
  α
  Докажем единственность плоскости β методом от противного.
  •
  С
  •
  В
  в
  с
  β1
  
  Допустим, что существует плоскость β1, которая проходит через т. А и β1  α.
  Отметим в плоскости β1 т. С β.
  Отметим произвольную т. В  α.
  Через точки А, В и С проведем γ.
  γ ∩ α = в,
  γ ∩ β1 = с.
  γ ∩ β = а,
  а
  а и с не пересекают плоскость α,
  значит они не пересекают прямую в,
   а  в и с  в
  Получили, что через т. А проходят две прямые, параллельные прямой в, чего быть не может.
   наше предположение ложное.
  Единственность β доказана.
  

• 22 слайд

  а
  b
  Если две параллельные плоскости
  пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.
  Свойство параллельных плоскостей.
  Дано:
  α  β, α   = a
  β   = b
  Доказать: a  b
  Доказательство:
  1. a  , b  
  2. Пусть a  b,
  тогда a  b = М
  3. M  α, M  β
   α  β = с (А2)
  Получили противоречие с условием.
  Значит a  b ч. т.д.
  

• 23 слайд

  Отрезки параллельных прямых,
  заключенные между параллельными
  плоскостями, равны.
  Свойство параллельных плоскостей.
  А
  В
  С
  D
  Доказать: АВ = СD
  Дано:
  α  β, АВ СD
  АВ  α = А, АВ  β = В,
  СD  α = С, СD  β = D
  Доказательство:
  1. Через АВ СD проведем 
  2. α β, α   = a, β   = b
  3.  АС В D,
  4. АВ СD (как отрезки парал. прямых)
  5.  АВСД – параллелограмм (по опр.)
   АВ = СD ( по свойству параллелограмма)
  

• 24 слайд

  1. если плоскости не пересекаются, то они параллельны.
  2. плоскости параллельны, если прямая лежащая в
  одной плоскости, параллельна другой плоскости?
  3. если две прямые, лежащие в одной плоскости, параллельны двум прямым другой плоскости,
  то эти плоскости параллельны?
  4. если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных плоскостей, то она
  перпендикулярна и другой плоскости.
  5. прямые, по которым две параллельные плоскости пересечены третьей плоскостью, параллельны.
  6. Если прямая пересекает одну из двух плоскостей, то
  она пересекает и другую.
  7. Две плоскости, параллельные третьей, параллельны.
  8. Отрезки прямых, заключенные между
  параллельными плоскостями, равны.
  Определите: верно, ли утверждение?
  ДА
  НЕТ
  ДА
  НЕТ
  ДА
  НЕТ
  НЕТ
  ДА
  

• 25 слайд

  Через данную точку А провести плоскость, параллельную данной плоскости α, не проходящей через точку.
  α
  β
  А
  Решение.
  1. В плоскости α возьмем т. В.
  2. Проведем прямые ВС и ВD.
  В
  •
  С1
  D1
  D
  С
  3. Построим вспомогательную плоскость через точку А и прямую ВD, в ней проведем прямую АD1 ВD.
  4. Аналогично построим вспомогательную плоскость через точку А и прямую ВС, в ней проведем прямую АС1 ВС.
  •
  5. Через прямые АD1 и АС1 проведем плоскость β
  

• 26 слайд

  Задача 2. Доказать, что через каждую из двух скрещивающихся прямых можно провести плоскость так, чтобы эти плоскости были параллельны.
  а
  в
  Пусть а скрещивается с в.
  Доказательство:
  На прямой в возьмем т. А,
  А
  через прямую а и т. А проведем плоскость,
  в этой плоскости через т. А проведем прямую в1 , в1  в.
  Через в1  в проведем плоскость α.
  .
  в1
  Аналогично строим плоскость β.
  По признаку параллельности плоскостей α  β.
  .
  

• 27 слайд

  
  Спасибо за внимание!