Презентация по внеклассному мероприятию на тему "Золотое сечение"

• 1 слайд

  ПРЕЗЕНТАЦИЯ
  по геометрии
  на тему:
  “Золотое сечение”
  

• 2 слайд

   “Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них - это теорема Пифагора, а другое - деление отрезка в среднем и крайнем отношении … Первое можно сравнить с мерой золота ; второе же больше напоминает драгоценный камень.”
  Иоганн Кеплер
  

• 3 слайд

  Теорему Пифагора знает каждый, а вот что такое “золотое сечение” – далеко не все. Расскажем вам об этом “драгоценном камне”.
  Итак – “золотое сечение” – это такое деление целого на две неравные части, при котором
  целое так относится к большей части, как большая к меньшей.
  Рассмотрим деление отрезка на части в отношении равном “золотому сечению”.
  Пусть точка М делит отрезок АВ в золотом отношении.
  Такое обозначение принято в честь древнегреческого скульптора Фидия, жившего в V веке до н.э.
  Итак “золотое сечение” – это иррациональное число, оно приблизительно равно 1,618.
  

• 4 слайд

  В дошедшей до нас античной литературе деление отрезка в крайнем и среднем отношении (ἄκρος καὶ μέσος λόγος) впервые встречается в «Началах» Евклида (ок. 300 лет до н. э.), где оно применяется для построения правильного пятиугольника.
  Лука Пачоли, современник и друг Леонардо да Винчи, называл это отношение «божественной пропорцией». Термин «золотое сечение» (нем. goldener schnitt)
  был введён в обиход Мартином Омом в 1835 году.
  Золотое сечение имеет множество замечательных свойств, но, кроме того, ему приписывают и многие вымышленные свойства
  

• 5 слайд

  Золотое деление не есть проявление асимметрии, чего-то противоположного симметрии. Согласно современным представлениям золотое деление – это асимметричная симметрия. В науку о симметрии вошли такие понятия, как статическая и динамическая симметрия. Статическая симметрия характеризует покой, равновесие, а динамическая – движение, рост. Так, в природе статическая симметрия представлена строением кристаллов,
  а в искусстве характеризует покой,
  равновесие и неподвижность.
  Динамическая симметрия
  выражает активность,
  характеризует движение, развитие,
  ритм, она – свидетельство жизни.
  

• 6 слайд

• 7 слайд

  Математические свойства
  

• 8 слайд

  Отрезав квадрат от прямоугольника, построенного по принципу золотого сечения, мы получаем новый, уменьшенный прямоугольник с тем же отношением сторон a/b=(a+b)/a
   — иррациональное алгебраическое число, положительное решение квадратного уравнения , откуда, в частности, следуют соотношения:
  
  
  — представляется через тригонометрические функции:
  
  Золотое сечение в пятиконечной звезде
  Построение золотого сечения
  1.
  
  
  
  
  
  2.
  

• 9 слайд

  -представляется в виде бесконечной цепочки квадратных корней:
  
  
  -представляется в виде бесконечной цепной дроби
  
  
  
  
  -подходящими дробями которой служат отношения последовательных чисел Фибоначчи .
  Таким образом,
  
  Мера иррациональности равна 2.
  
  В правильной пятиконечной звезде каждый отрезок делится пересекающим его отрезком в золотом сечении (на приведённом рисунке отношения красного отрезка к зелёному, зелёного к синему и синего к пурпурному равны . Кроме того, отношение красного отрезка к расстоянию между соседними вершинами звезды (которое равно зелёному отрезку), также равно ).
  3.
  
  
  4.
  
  
  
  
  5.
  
  
  
  6.
  
  7.
  
  
  
  
  

• 10 слайд

  Геометрическое
  построение
  

• 11 слайд

  Золотое сечение отрезка АВ можно построить следующим образом: в точке В восстанавливают перпендикуляр к АВ , откладывают на нём отрезок ВС, равный половине АВ , на отрезке АС откладывают отрезок СD, равный BC, и наконец,
  на отрезке AB откладывают отрезок AE, равный Тогда
  
  Другой способ построить отрезок, равный по длине числу золотого сечения, — нарисовать сначала квадрат ABCD со стороной 1. После этого сторону AD разделить точкой E пополам, так что AE=1/2. От точки B до точки E провести гипотенузу треугольника АВЕ. Согласно теореме Пифагора ВE= . Затем провести дугу с центром в точке Е от точки В до момента её пересечения с продолжением стороны АD (точкой пересечения дуги и продолжения стороны АD пусть будет точка Н). Как радиусы круга BE=ЕН. Так как АН=АЕ+ЕН, результатом будет отрезок АН длиной.
  

• 12 слайд

  Отношение диагонали правильного пятиугольника к стороне равно золотому сечению.
  При делении пополам угла между диагональю и меньшей стороной прямоугольника с отношением сторон 1:2 получаем число 1/φ = tg(arctg(2)/2).
  Значения дроби после запятой для , и в любой системе счисления будут равны , и
  

• 13 слайд

  «Золотое сечение» и гармония в искусстве
  

• 14 слайд

  Под «правилом золотого сечения» в архитектуре и искусстве обычно понимаются композиции, содержащие пропорции, близкие к золотому сечению.
  Некоторые из утверждений в доказательство гипотезы знания древними правила золотого сечения:
  

• 15 слайд

  Золотое сечение в искусстве :
  

• 16 слайд

  Пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого сечения при их создании.
  

• 17 слайд

  Согласно Ле Корбюзье, в рельефе из храма фараона Сети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Рамзеса, пропорции фигур соответствуют золотому сечению. В фасаде древнегреческого храма Парфенона также присутствуют золотые пропорции. В циркуле из древнеримского города Помпеи (музей в Неаполе) также заложены пропорции золотого деления, и т. д.
  При обсуждении оптимальных соотношений сторон прямоугольников (размеры листов бумаги A0 и кратные, размеры фотопластинок (6:9, 9:12) или кадров фотоплёнки (часто 2:3), размеры кино- и телевизионных экранов — например, 4:3 или 16:9) были испытаны самые разные варианты. Оказалось, что большинство людей не воспринимает золотое сечение как оптимальное и считает его пропорции «слишком вытянутыми»
  

• 18 слайд

  Следует отметить, что сама пропорция является, скорее, эталонным значением, матрицей, отклонения от которой у биологических видов, возможно, вызваны приспособлением к окружающей среде в процессе жизни. Примером таких «отклонений» может служить морская камбала.
  

• 19 слайд

  «Золотое сечение» в медицине и биологии
  

• 20 слайд

  Живые системы также обладают свойствами, характерными для «золотого сечения». Например: пропорции тел, спиральные структуры или параметры биоритмов
  

• 21 слайд

• 22 слайд

• 23 слайд

• 24 слайд

  В биологических исследованиях 70-90 гг. показано, что, начиная с вирусов и растений и кончая организмом человека, всюду выявляется золотая пропорция, характеризующая соразмерность и гармоничность их строения. Золотое сечение признано универсальным законом живых систем. Можно отметить два вида проявлений золотого сечения в живой природе: иррациональные отношения по Пифагору - 1.62 и целочисленные, дискретные - по Фибоначчи.
  
  
  
  
  Было установлено, что числовой ряд чисел Фибоначчи характеризует структурную организацию многих живых систем. Например, винтовое листорасположение на ветке составляет дробь (число оборотов на стебле/число листьев
  в цикле, напр. 2/5; 3/8; 5/13), соответствующую рядам Фибоначчи. Хорошо известна "золотая" пропорция пятилепестковых цветков яблони,
  груши и многих других растений. Носители генетического кода - молекулы ДНК и РНК - имеют структуру двойной спирали; ее размеры почти полностью соответствуют числам ряда Фибоначчи.
  

• 25 слайд

  Еще Гете подчеркивал тенденцию природы к спиральности. Паук плетет паутину спиралеобразно. Спиралью закручивается ураган. Испуганное стадо северных оленей разбегается по спирали. Молекула ДНК закручена двойной спиралью. Гете называл спираль "кривой жизни". Винтообразное и спиралевидное расположение листьев на ветках деревьев подметили давно. Спираль увидели в расположении семян подсолнечника, в шишках сосны, ананасах, кактусах и т.д.
  Совместная работа ботаников и математиков пролила свет
  на эти удивительные явления природы. Выяснилось, что в расположении листьев на ветке, семян подсолнечника, шишек сосны проявляет себя ряд Фибоначчи, а стало быть, проявляет
  себя закон золотого сечения. Цветки и семена подсолнуха, ромашки, чешуйки в плодах ананаса, хвойных шишках "упакованы" по логарифмическим ("золотым") спиралям, завивающимся навстречу друг другу, причем числа "правых "и "левых" спиралей всегда относятся друг к другу, как соседние числа Фибоначчи.
  

• 26 слайд

  Логарифмическая спираль
  в природе
  

• 27 слайд

  Логарифми́ческая спира́ль или изогональная спираль — особый вид спирали, часто встречающийся в природе.
  Логарифмическая спираль была впервые описана Декартом и позже интенсивно исследована Бернулли, который называл её Spira mirabilis — «удивительная спираль». Декарт искал кривую, обладающую свойством, подобным свойству окружности, так чтобы касательная в каждой точке образовывала с радиус-вектором в каждой точке один и тот же угол. Он показал, что это условие равносильно тому, что полярные углы для точек кривой пропорциональны логарифмам радиус-векторов.
  

• 28 слайд

  Логарифмическая спираль в природе часто встречается в природе например, раковины морских животных могут расти лишь в одном направлении. Чтобы не слишком вытягиваться им приходиться скручиваться, причём каждый следующий виток подобен предыдущему. А такой рост может совершаться лишь по логарифмической спирали, можно сказать что эта спираль является математическим символом соотношения форм роста. Поэтому раковины многих моллюсков, улиток, а так же рога таких млекопитающих как архары (горные козлы), закручены по логарифмической спирали. Семечки подсолнуха расположены также по дуге.
  
  

• 29 слайд

  Один из наиболее распространенных пауков ЭПЕЙРА, сплетая паутину, закручивает нити вокруг центра по логарифмической спирали.
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  По логарифмической спирали закручены многие галактики в частности и Солнечная Система.
  Циклоны также закручены по спирали.
  

• 30 слайд

  С логарифмической спиралью связан интересный факт:
  Якоб Бернулли хотел, чтобы на его могиле была выгравирована логарифмическая спираль, но вместо этого по ошибке на его надгробие поместили архимедову спираль. Тем не менее, надпись на латыни, выгравированная согласно завещанию вокруг спирали, «EADEM MUTATA RESURGO» («изменённая, я вновь воскресаю»), свидетельствует о том, что имеется ввиду именно логарифмическая спираль, которая обладает замечательным свойством восстанавливать свою форму после различных преобразований.
  
  
  

• 31 слайд

  Числа Фибоначчи
  

• 32 слайд

  Чи́сла Фибона́ччи — элементы последовательности
  0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, … в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел. Названы в честь средневекового математика Леонардо Пизанского.
  Леона́рдо Пиза́нский — первый крупный математик средневековой Европы. Наиболее известен под прозвищем Фибона́ччи. Леонардо Пизанский никогда не называл себя Фибоначчи; этот псевдоним был дан ему позднее.
  
  
  
  
  

• 33 слайд

  Последовательность Фибоначчи
  была хорошо известна в древней Индии,
  где она применялась в метрических науках (просодии, другими словами — стихосложении), намного раньше, чем она стала известна в Европе.
  На Западе эта последовательность стала известна после труда Фибоначчи «Liber Abaci» (1202). Он рассматривает развитие идеализированной (биологически нереальной) популяции кроликов, предполагая что:
  В «нулевом» месяце, имеется
  пара кроликов (0 новых пар).
  В первом месяце, первая пара производит на свет другую пару
  (1 новая пара).
  Во втором месяце, обе пары кроликов порождают другие пары и первая пара погибает (1 новая пара).
  В третьем месяце, вторая пара и две новые пары порождают в общем три новые пары, а старая вторая пара погибает (2 новые пары).
  Закономерным является тот факт, что каждая пара кроликов порождает ещё две пары на протяжении жизни, а затем погибает.
  

• 34 слайд

  Не одно столетие ученые применяют уникальные математические свойства золотого сечения. Это отношение обнаруживается во всех живых организмах, растениях на всех уровнях их развития. Универсальность его проявления в строении органов, систем, их функциональных параметрах позволяет предполагать, что оно играет роль кирпичика в фундаменте всего живого на Земле. Последние исследования в области астрономии, физики показывают, что это сечение имеет отношение ко всему Мирозданию.
  

• 35 слайд

  Спасибо за внимание!