Презентация поалгебре на тему "тригонометрические уравнения(арккосинус, арксинус, арктангенс,арккотангенс)

• 1 слайд

  Решение тригонометрических уравнений.(арккосинус, арксинус. арктангенс и арккотангенс)
  
  Учитель математики
  Винникова Татьяна Валентиновна
  Г. Белая Калитва, МБОУ СОШ № 2
  

• 2 слайд

  Арккосинус.
  1. О.Если а є [-1;1], то
  arccos a = t {cos t = a; 0≤t≤Π.
  2.Свойства:
  arcсos a + arccos(- a) =Π=>
  то arccos (- a) = Π - arccos a;
  где а є [0;1],
  arccos a= - arccos a
  
  
  
  1. arccos ⅟₂ = ⅓Π, т.к. ⅟₂ є [-1;1]
  cos ⅓Π = ⅟₂
  2. arccos (- √3/2)=
  =Π-arccos ( √3/2)=Π-⅙Π=⅚Π
  ⅚Πє[0;Π];
  - √3/2 є [-1;1]
  
  -a
  a
  3. cos (arccos a)=а, ає[-1;1];
  arсcos (cos t )= t, tє[0;Π].
  4.Решить уравнение
  соs x = a, aє[-1;1]
  x₁= arccos a + 2Πn, nєZ;
  x₂=- arccos a +2Πn, nєZ.
  3. сos( arcсos √2/2)= √2/2
  arсcos (cos ⅓Π) = ⅓Π ,
  4. arccos(- a) arccos a
  
  
  
  -arccos a
  

• 3 слайд

  Общий вид решений уравнения
  1. Если а є [0;1], то уравнение
  сos x=a имеет вид:
  x=±arccos a +2Πn, nє Z.
  
  1.cos x= ⅟₂ , т.к. ⅟₂ є [-1; 1] то
  x=±arccos ⅟₂ +2Πn, nє Z,
  x = ±⅓Π + 2Πn, nє Z.
  
  
  2. Если в є [0;1], то
  уравнение:
  сos x=-в имеет вид:
  x=±(Π-arccos в)+2Πк,
  кє Z.
  3. Если |с|>1,то cos x=c
  -уравнение решений не имеет .
  
  2. cos x= -⅟√₂, т.к.
  -⅟√₂є[-1;1] , то x=±(Π−arccos ⅟√₂ )+2Πк, кє Z;
  x = ±¾Π + 2Πк, кє Z.
  3.cos x=3, т. к. | 3 |>1, то решений нет.
  

• 4 слайд

  Частные случаи
  1. cos x= 1 2. cos x=0 3. cos x=-1
  X= 2Πn, nєZ. x=⅟₂Π+Πk, kєZ. x=Π+2Πm, mєZ.
  
  

• 5 слайд

  Арксинус.
  1.О. Если ає[-1;1], то
  arcsin a=t <=> sint=a,
  tє[-⅟₂Π;⅟₂Π].
  1. arcsin ⅟₂=t ,т.к. sint=⅟₂, ⅟₂є[-1;1], то t=⅙Π, ⅙Πє[-⅟₂Π;⅟₂Π]
  2.Свойства: ає[-1;1],
  arcsin(- a)=- arcsin a
  3. sin(arcsin a)=a,aє[-1;1] ;
  arcsin(sin t)=t, tє[-⅟₂Π;⅟₂Π]
  
  2. arcsin(-⅟₂) =- arcsin⅟₂=
  -⅙Π; arcsin(-⅟√₂)=-¼Π.
  3.sin(arcsin ⅟√₂)=⅟√₂
  ⅟√₂є[-1;1];
  arcsin(sin⅓Π)=⅓Π,
  ⅓Πє[-⅟₂Π;⅟₂Π].
  

• 6 слайд

  Общий вид решений уравнения
  1.Решить уравнение:
  sin x = a, ає[0;1]
  x₁=arcsin a+2Πn, nєZ
  x₂=Π-arcsin a+2Πn, nєZ.
  x= (-1)ᵐarcsin a+Πm, mєZ .
  
  
  
  2.Если sinx=-b,│b│є[0;1]
  то x= (-1)ᵐ⁺ˡarcsin b+Πm, mєZ
  
  3.Если sinx=c, │c│›1, то уравнение решений не имеет.
  Π-arcsin a arcsin a
  
  
  
  sin x=⅟√₂,⅟√₂є[0;1];
  x= (-1)ᵐarcsin ⅟√₂+Πm,mєZ
  x= (-1)ᵐ¼Π+Πm, mєZ
  
  2.sin x= -⅟₂, -⅟₂є[-1;0];
  x= (-1)ᵐ⁺ˡarcsin ⅟₂+Πm, mєZ;
  x= (-1)ᵐ⁺ˡ⅙Π+Πm, mєZ.
  3.sinx=2, │2│›1;
  решений нет.
  
  a
  

• 7 слайд

  Частные случаи.
  1.sin x=1 2.sinx=0 3.sinx=-1
  X=⅟₂Π+2Πn,nєZ x=Πn,nєZ x=-⅟₂Π+2Πn,nєZ
  

• 8 слайд

  Арктангенс.
  1. О. Если х є (-⅟₂Π⅟₂;Π); то
  arctg a = x {tg x = a
  2.Свойства.
  arctg(-a) = -arctg a
  
  
  
  tg(arctg a)=a
  arctg(tgx)=x ; х є (-⅟₂Π⅟₂;Π)
  3. tg x = a; a≥0 =>
  x=arctg a + Πn; nєZ.
  4.tgx=-b; b>0 =>
  x=-arctg b +Πn ,nєZ.
  1.arctg 1=x, тогда tg x=1;
  xє (-⅟₂Π⅟₂;Π) =>
  x = ¼Π є (-⅟₂Π⅟₂;Π), arctg1=¼Π
  2.arctg(-⅟√₃)=x, тогда
  tg x = -⅟√₃; x= -⅙ Π, т.к.
  tg (-⅙ Π )= -⅟√₃;
  -⅙ Πє (-⅟₂Π⅟₂;Π)
  arctg(-⅟√₃)= -⅙ Π
  tg(arctg1)= 1
  arctg(tg¼Π)=¼Π є (-⅟₂Π⅟₂;Π)
  3.tgx=1 ; x=¼Π+Πn , nєZ.
  
  4. tgx=-3; x=- arctg 3+Πn, nєZ.
  

• 9 слайд

  Арккотангенс.
  1.О.Если хє (0;Π)
  arcctg a = x => {ctgx = a
  2.Свойства.
  arcctg (-a)= Π- arcctg a
  ctg(arcctg a)=a
  arcctg(ctgx)=x , xє (0;Π).
  3.Решить уравнения:
  а)сtg x=a, a≥0
  x=arcctg a +Πn, nєZ.
  в).ctg x =-b, b>0
  x=Π- arсctg b+Πn, nєZ.
  
  
  
  
  1.arcctg 1 = x, тогда ctg x = 1,
  х є(0;Π)=>x = ¼Π,
  ctg¼Π=1, ¼Π є (0;Π), arcctg1=¼Π
  
  
  arcctg(-1)=Π-arcctg1=¾Π
  ctg(arcctg1)=1
  arcctg(ctg ⅟₃Π)=⅟₃Πє (0;Π)