Муниципальное
общеобразовательное учреждение І-ІІІ ступеней
школа №2 отдела образования
администрации города Кировское
“ Приемы решений задач на
проценты ”.
Выполнила:
Чумакова Г.В.
учитель
высшей квалификационной
категории.
г. Кировское
2018 г
Задачи про проценты вокруг нас
Давайте оглядимся
по сторонам: значения в процентах указаны на упаковках с любыми продуктами.
Значок процента «%» смотрит на нас с рекламных плакатов скидок и распродаж. В
новостях проценты сразу бросаются в глаза, когда речь идет о повышении цен на
товары или коммунальные услуги. Разве вы сможете расшифровать все эти послания,
если не научитесь решать задачи с процентами? Но вы, конечно, научитесь – мы в
вас верим.
А вот такая
ситуация: вы купили что-нибудь через интернет и получили извещение от
ближайшего почтового отделения. Или сами собираетесь послать подарок другу в
другой город. Вам обязательно надо уметь разбираться с процентами, чтобы
узнать, сколько денег почта захочет получить за свои услуги по пересылке.
А самый близкий
школьникам пример связан с ГИА. Каждый год после экзаменов публикуют
официальную статистику. В которой немало задействованы и проценты. И эти
проценты имеют прямое отношение к будущим выпускникам. Например, процент ребят,
сдавших экзамен по математике на «хорошо» и «отлично» косвенно говорит о том,
сколько абитуриентов с высокими баллами могли подать документы в вузы на
технические специальности. А еще на программирование, прикладную математику и т.п.
Чем их больше, тем выше конкурс. Если сравнивать их результаты со своими
оценками, можно прикинуть собственные шансы на поступление.
Простые задачи на проценты.
Задача 1
В январе завод выполнил 105%
месячного плана выпуска продукции, а в феврале дал продукции на 4% больше, чем
в январе. На сколько процентов завод перевыполнил двухмесячный план товара?
Решение:
Пусть
х – месячный план выпускаемой
продукции.
х – 100%
105% – фактически выполненный план в
январе.
План в январе был перевыполнен на:
105% ∙ х = 1,05 х
100%
План в
феврале был перевыполнен на:
4% =
0,04х
1,05 х ∙ 0,04 х = 0,42 х
0,42 х = 4,2% – перевыполнен план в
феврале.
105% + 4,2% = 109,2%
Т.к. месячный план выпуска продукции
составляет 100% , то
109,2% - 100% = 9,2% --
перевыполнение двух месячного плана.
Ответ: 9,2 % перевыполнение
двух месячного плана.
Задача 2
При выполнении контрольной работы по
математике 12% учеников не выполнили ни одного задания, 32% допустили ошибки, а
остальные 14 человек решили задания верно. Сколько всего учеников в классе?
Решение:
Пусть
х – всего учеников в классе.
12% + 32% = 44%(уч.) – не выполнили
ни одного задания и допустили ошибки,
100% – 44% = 56% (уч.) – выполнили
верно,
100%– х
56% – 14
х = 14 : 56 ∙ 100 = 25( человек)
Ответ: в классе 25 человек.
Задача 3
На заводе были изготовлены легковые
и грузовые машины, причем 35% всех изготовленных машин – легковые. Определите
число изготовляемых машин, если грузовых изготовлено на 240 больше, чем
легковых?
Решение:
Пусть
Всего машин —100%,
100% –35% = 65% (грузовые машины),
65% – 35% = 30%
240 – 30%
х = 100%
х = 240 ∙ 100 = 800
(машин).
30
Ответ: всего изготовлено 800
машин.
Задача 4
В библиотеке имеются книги на
английском, французском и немецком языках. Английские книги составляют 36%
всех книг на иностранных языках, французские – 75% английских, а остальные 185
книг – немецкие. Сколько книг на иностранных языках в библиотеке?
Решение:
Пусть
х – всего книг.
36% ∙ 75% : 100 = 27% –
французских книг.
36% + 27% = 63% – английских и
французских книг.
100% – 63% = 37% –немецких книг.
37% –185 книг.
100% = х
х = (85 : 37) ∙ 100 = 500 книг
Ответ: всего 500 книг.
Задача 5
Цены на компьютерную технику в
среднем понижались за год дважды на 10% . На сколько процентов снизились цены
на компьютерную технику за год?
Решение:
Пусть
х – стоимость компьютерной техники.
х – 100%
1 снижение
100% – 10% = 90%
90% = 0,9%
0,9% – 100%
у — цена на технику после 1 понижения
у = 0,9 ∙ 90 : 100 = 0,81
0,81 = 81%
100% – 81% = 19%
Ответ: на 19% снизились цены
за год.
Задача 6
Владелиц бензозаправки повысил цены
на бензин на 10%. Заметив, что количество клиентов резко сократилось, он
понизил цены на 10%. На сколько процентов в результате этих двух изменений
понизились или повысились цены на бензин?
Решение:
Пусть
х—цена товара,
110% — после повышения.
110 х = 100%
у — цена после повышения.
у =110 х ∙ 90 : 100 = 99%
100% - 99% = 1%
Ответ: цена понизилась на 1%.
Задачи на смеси сплавы и
растворы.
Задача 1
Один раствор содержит 20%( по объёму)
соляной кислоты, а второй–70% кислоты. Сколько литров первого и второго
раствора нужно взять, чтобы получить 100
л 50%—ного раствора соляной кислоты?
Решение:
пусть
1) 20% раствора – х
70% – у
Тогда х +у = 100
Так как первый раствор 20%, то в 100
л содержится 0,2 х
2) Второй – 0,7 у
3) В полученной смеси содержится:
100 ∙ 0,5 = 50
х + у = 100
0,2 х + 0,7 у = 50
4) х = 100 – у
0,2 ∙ ( 100—у ) + 0,7 у = 50
20 - 0,2 у +0,7 у = 50
0,5 у =50 – 20
0,5 у = 30
у = 60
х = 100- 60 = 40
Ответ: 60
литров и 40 литров.
Задача 2
Имеется кусок сплава меди с оловом
массой 15 кг, с содержащей 40% меди. Сколько чистого олова надо прибавить к
этому куску, чтобы получившийся новый сплав содержал 30% меди?
Решение:
Пусть 15
кг – 100%,
40%- медь.
40% - х.
отсюда,
х = (15 ∙ 40%) /100% = 6
кг (медь).
15 - 6 = 9 (олово).
100% - 30% = 70%
6 кг – 30%
у кг – 100%
у =( 6 ∙ 100%) /30% = 20
кг – кусок №2
20 - 6 = 14
кг
14 – 9 = 5
кг
Ответ: нужно добавить 5
килограмм.
Задача 3
Сколько надо добавить воды к 100
грамм сухого молока с содержанием
7% воды, чтобы получить молоко с
содержанием 60% воды?
Решение:
Пусть
100 г =100%, тогда
100% - 7% = 93% (молока).
100 – 60 = 40%
93 – 40%
х – 100%
х = (93 ∙ 100) / 40 = 232,5 ( масса
всего продукта).
232,5 – 93 = 139,5
г (масса воды).
Ответ: нужно добавить 139,5
г воды.
Задача 4
К 360
г раствора, содержащего 10% соли, добавили 440
г раствора, содержащего 50% соли. Сколько процентов соли содержится в
получившемся растворе?
Решение:
Всего грамм в растворе:
360 г + 440
г =800 г
Всего грамм соли в растворе:
360 г + 440 г = 36
г + 220 г =256 г
10%
50%
х—количество соли в % в растворе:
х = 256 * 100% : 800% = 32%
Ответ: 32% соли содержится в
получившемся растворе.
Задача 5
Кусок сплава меди и цинка массой 72
кг содержит 45% меди. Какую массу меди нужно добавить к этому куску, чтобы
полученный новый спав содержал 60% меди?
Решение:
|
|
Масса меди, кг
|
Масса цинка, кг
|
Масса сплава, кг
|
Концентрация меди
|
|
1-ый сплав
|
39,6
|
72 ∙ 0,45 = 32,4
|
72
|
40% = 0,45
|
|
2-ый сплав
|
39,6 + х
|
у
|
72 + х
|
6+0% = 0,6
|
1)72 ∙ 0,45 = 32,4 (кг) – масса
цинка в сплаве.
2)72 – 32,4 = 39,6 (кг) – масса меди
в сплаве.
Пусть
х кг – меди надо прибавить к сплаву,
чтобы получился новый сплав.
у кг – масса цинка в новом сплаве,
(39,6 + х) кг масса новом сплаве,
(72 +х) кг – масса нового сплава.
По условию, концентрация меди в новом
сплаве равна 60% = 0,6.
Составим первое уравнение системы:
у / (72 + х) = 0,6
Составим второе уравнение системы:
39,6 + х + у = 72 + х
Составим и решим систему уравнений:
у/ (72 + х) = 0,6
39,6 + х+ у = 72 + х
у = 0,6 (72 + х)
у = 39,6 + х – х – 72
у = 43,2 + 0,6 х
у = - 32,4
43,2 + 0,6 х = 32,4
0,6 х = 10,8
х = 18
18 кг меди надо прибавить.
Ответ: 18
кг.
Задача 6
В сплав магния и алюминия, содержащей
22 кг алюминия, добавили 15 кг магния, после чего содержание магния в сплаве
повысилось на 33%. Сколько весил сплав первоначально?
Решение:
Пусть
х – масса магния первоначально,
(х + 22) – масса сплава
первоначально.
15 кг – 33%,
(х + 15) – добавили 15
кг.
Составим пропорцию:
х + 22 – 100%
х + 22 + 15 – 100% + 33%
(х + 22) / (х + 22+ 15) = 100% / 33%
133(х + 2) = 100 ∙ (х + 37)
133х + 266 = 100х + 3700
133х – 100х = 3700 – 266
33х = 2434
Х = 2434/ 33х = 74
74 + 22= 96 (кг)
Ответ: 96
кг весил сплав первоначально.
Задача 7
Имеется кусок сплава меди с оловом
общей массой 24 кг, содержащей 45% меди. Сколько чистого олова надо прибавить к
этому куску сплава, чтобы полученный новый сплав содержал 40% меди?
Решение:
Пусть
Общая масса 24
кг.
Меди 45%, тогда
100% - 45% = 55% - олова.
Сколько олова надо добавить, чтобы
было 40% меди?
Составим пропорцию:
24 кг – 100%
х кг – 55%
х = (24 ∙ 55)/ 100 = 13,2 (кг)
24 – 13,2 = 10,8 (кг) – масса меди.
Пусть
х – масса добавленного олова,
Составим пропорцию:
24 + х – 100%
10,8 – 40%
24 + х = (10,8 ∙ 100) / 40
24 +х = 27
х = 27 – 24
х = 3
3 кг чистого олова.
Ответ: 3
кг чистого олова надо прибавить к куску сплава.
Задача 8
Два куска латуни имеют массу 30
кг. Первый кусок содержит 5 кг Читой меди, а второй кусок - 4
кг. Сколько процентов меди содержит первый кусок латуни, если второй содержит
на 15% больше первого?
Решение:
Пусть
х кг – масса одного куска,
(30 – х) кг – масса второго куска.
(5 ∙ 100) / х – процентное
содержание меди в первом куске,
(4 ∙ 100) / (30 –х) – процентное
содержание во втором куске,
причем
во втором куске меди на 15% больше.
Составим и решим уравнение:
(400/30 – х) – (500/х) = 15
х1= 20,
х2= - 50
х = -50 – не удовлетворяет условию
задачи.
25% меди содержит первый кусок
латуни.
Ответ: 25%
Задача 9
К 360
г раствора, содержащего 10% соли, добавили 440
г раствора, содержащего 50% соли. Сколько процентов соли содержится в
получившемся растворе?
Решение:
Всего грамм в растворе:
360 г + 440
г =800 г
Всего грамм соли в растворе:
360 г +440 г = 36
г + 220 г =256 г
10%
50%
х — количество соли в % в растворе:
х = 256 ∙ 100% : 800% = 32%
Ответ: 32% соли содержится в
получившемся растворе.
Экономические задачи.
Задача 1
Цену товара снизили сперва на 20 %,
а затем новую цену снизили еще на 15 % и, наконец, после перерасчета
произвели снижение еще на 10 %. На сколько процентов всего снизили
первоначальную цену товара?
Решение:
х—цена товара
1) х –20% = 1 х – 0.2 = 0.8 Х
(снижение цены на 20%)
2)0,8 х – 100%; 15% от 0,8 составим
уравнение:
0,8 х * 15% = 0,12 х
0,8 х – 0,12 Х = 0,68х(снижение цены
на 15%)
3)0,68 х – 100%;
0,68 х * 10% = 0,068 х
0,68 х – 0,068х = 0,612 х (снижение
еще на 10%)
4)1 х – первоначальная цена товара:
1 х– 0,612 х = 0,388 х
0,388 х = 38,8%
Ответ: первоначальная цена
товара была снижена на 38,8%
Задача 2
Цену товара повысили сперва на 25 %,
затем новую цену повысили еще на 10 % и, наконец, после перерасчета произвели
повышение еще на 12 %. На сколько процентов повысили первоначальную цену
товара?
Решение:
х—цена товара
1)1 х + 25% = 1 Х + 0.25 = 1,25 х
(повышение цены на 25%)
2)1,25 х – 100%; 10% от 1,25 х
составим уравнение:
1,25 х∙ 10% = 0,125 х
1,25 х + 0,125 Х = 1,375 х(повышение
цены на 10%)
3)1,375 х – 100% ; 12% от 1,375 х
составим уравнение
1,375 х ∙ 12% = 0,165 х
1,375 х + 0,165 х = 1,54 х (повышение
еще на 12%)
4)1 х – первоначальная цена товара:
1,54 х - 1х = 0,54 х
0,54 х = 54%
Ответ: первоначальная цена
товара была повышена на 54%
Задача 3
По долгосрочному вкладу банк
выплачивает 10% годовых. По истечении каждого года начисленная сумма
присоединяется к вкладу. На этот вид вклада был открыт счет в 20000 рублей,
который не пополнялся и с которого не снимали деньги в течении 3 лет. Какой
доход был получен по истечении. Этого срока?
Решение:
10% от 20000:
20000 ∙ 10 / 100 = 20000 руб.
20000 + 2000 = 22000 руб.— за 1 год.
22000 ∙ 10 / 100 = 2200 руб.
22000 + 2200 = 24200 руб.— за 2 год.
24200 ∙ 10 / 100 = 2420 руб.
24200 + 2420 = 26620 руб.— за 3 год.
Доход: 26620 – 20000 = 6620 руб.
Ответ: доход 6620 рублей.
Задача 4
По вкладу «доходный» банк выплачивает
14% годовых. По истечении каждого года начисленная сумма присоединяется к
вкладу. На этот вид вклада был открыт счет в 50000 рублей, который не
пополнялся и с которого не снимали деньги в течение 2 лет. Какой доход был
получен по истечению этого срока?
Решение:
14% = 0,14
50000 ∙ 0,14 = 7000(руб.)
60000 + 7000 = 57000(руб.) — по
истечению первого года.
57000 ∙ 0,14 = 1980(руб.)
57000 + 7980 = 64980(руб.) – по
истечению второго года.
64980 – 50000 = 14980(руб.) – доход.
Ответ: доход 14980 рублей.
Задача 5
Сберегательный банк в конце года
начисляет 3% к сумме, находившейся на счеты. На сколько рублей увеличился
первоначальный вклад в 1000 рублей через 2 года.
Решение:
3% от 1000
1000 ∙ 3 : 100 = 30(руб.)
1000 + 30 = 1030(руб.) – за 1 год
130 ∙ 3 : 100 = 30,9(руб.)
1030 + 30,9 = 1060,9(руб.) – за 2 год
1060,9 – 1000 = 60,9(руб.) – доход.
Ответ: доход 60, 9 рублей.
Задача 6
Изделие, цена которого 500 рублей,
сначала подорожало на 10%, а затем еще на 20%. Какова окончательная цена
изделия?
Решение:
500 ∙ 10 / 100 = 50 руб.
500+ 50 =550 руб. – первое
подорожание.
550 ∙ 20 / 100 = 110 руб.
550 + 110 = 660 руб. – второе
подорожание.
Ответ: 660 рублей
окончательная цена изделия.
Задача 7
Цену на некоторый товар сначала
снизили на 30%, а затем повысили на 20%. На сколько процентов изменилась
первоначальная цена товара?
Решение:
Пусть
х – первоначальная цена товара,
(х ∙ 30 /100) = 0,3 х – сумма
равная 30%,
х – 0,3 х = 0,7 х – цена товара после
снижения на 30%,
0,7х ∙ 20 /100 = 0,7х ∙ 0,2 – сумма равная 20%,
0,7х +(0,7х ∙ 0,2) = 0,7х+0,14х = 0,84х -
цена товара после увеличения на 20%
Найдем, на сколько процентов
изменилась первоначальная цена товара:
х – 0,84х = 0,16х
пусть х = 100%, тогда
х = 0,16 ∙ 100 = 16%
Ответ: на 16% изменилась
первоначальная цена товара.
Задача 8
В первый день со склада было отпущено
20% имевшихся яблок. Во второй день – 180% от того количества яблок, которое
было отпущено в первый день. В третий день – оставшиеся 88
кг яблок. Сколько килограммов яблок было на складе первоначально?
Решение:
Пусть
х – всего яблок,
(х ∙ 20 /100) = 0,2 х – сумма
равная 20%(отпущено в первый день),
0,2х ∙ 180 : 100 = 0,36х – сумма
равная 36%(отпущено во второй день),
0,2х +0,36х = 0,56х – сумма равная
56% (отпущено в первый и второй день)
100% - 56% = 44% – осталось яблок на
складе после первого и второго
снижения.
44% =88 кг
88: 44 = 2
1% = 2
кг
100 ∙ 2 = 200
кг
Ответ: 200 килограммов яблок было на складе
первоначально.
Список используемой
литературы
1. Н.П. Антонов, М.Я. Выгородский,
В.В. Никитин, А.И. Санкин
« Задачи по математике»
2. А. Р. Артеменко « Задачи на
концентрацию и процентное содержание»
3. О. Бекоева, Студенецкая « Проценты
с дополнениями».
,
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.