"Приемы использования открытых задач на уроках математики"

 «Приемы использования открытых задач на уроках математики»

Нароушвили А.Д.,

учитель математики

Теоретическая основа разработки.

   Российское образование находится в режиме модернизации, в процессе которой принимаются новые документы федерального уровня. Обновлены задачи, стоящие перед учителем, сформулированы новые виды результатов.

   ФГОС нацеливает нас на «…обеспечение роста творческого потенциала учеников, их готовности к применению универсальных учебных действий в жизненных ситуациях…»

   Концепция развития математического образования в Российской Федерации определяет следующие задачи развития:

-       модернизация содержания учебных программ математического образования на всех уровнях;

-       повышение качества работы преподавателей математики, создание и реализация ими собственных подходов и авторских программ;

-       обеспечение обучающимся, имеющим высокую мотивацию и проявляющим способности, условий для развития;

-       популяризация математических знаний и образования.

   Принятые документы не предлагают детальную методику формирования и оценки УУД школьника. Возникла необходимость самому учителю разработать инструментарий, который позволял бы достигать четко прописанные результаты, в том числе и метапредметные.

   Цель данной разработки: показать приемы использования задач открытого типа для усиления развивающего эффекта урока (в частности, в раскрытии творческого потенциала ученика) и достижения метапредметных результатов обучения

   Теоретическая база строится на следующих понятиях и идеях:

-       интеллектуального и творческого потенциала человека (С. С. Бакулевкая);

-       основ ТРИЗ (Г. С. Альтшуллер);

-       основ НФТМ-ТРИЗ (М. М. Зиновкина);

-       открытой задачи (А. А. Гин);

-       систем творческих заданий
(П. М. Горев, В. В. Утёмов);

-       обучения поиску новых идей и самостоятельного составления заданий (М. Ю. Шуба);

-       методики креатив-боев (А. А. Кавтрев).

   Закрытые и открытые задачи.

   Большинство задач из школьного учебника по математике – это задачи закрытого типа. Условие задачи содержит все необходимые данные в явном виде. Метод решения известен и представляет собой цепочку формальных операций.  Правильный ответ задачи определен однозначно.

   В открытой задаче условие «размытое», содержит неопределенности. Методы решения разнообразны. Допускается любое количество возможных ответов.

   Для решения жизненных проблем очень важно уметь решать задачи открытого типа. Подобные задачи позволяют развивать творческий потенциал ученика, подготовить его к применению знаний в различных ситуациях, а, значит, в полной мере реализовать требования новых образовательных стандартов.

   Сравнительный анализ УМК по математике разных авторов показывает, что открытые и (или) частично открытые задачи в учебниках встречаются редко. Это задачи в «узком» смысле открытости. Например, вычислите углы равнобедренного треугольника, один угол которого равен 53° (Геометрия. УМК Л. С. Атанасяна).

Приемы использования открытых задач.

   Мотивационная часть урока.

   Представляет собой специально отобранную систему оригинальных объектов-сюрпризов, интересных фактов, способных вызвать удивление учащегося. Этот блок обеспечивает мотивацию учащегося к занятиям и развивает его любознательность.  Для компенсации информационных перегрузок и с целью пробуждения поисковой активности наилучшим способом включения учеников в интеллектуальную работу является акт удивления.

   Приёмы:

- удивление ученика от возникшей проблемы (противоречие, которого не должно быть),

- «математические фокусы»,

- удивление от сообщенного факта,

- «нематематическое» начало урока.

- в начале урока показано применение материала, который еще только предстоит изучить.

   Примеры:

Тема, класс	Описание приема
«Признаки делимости» 5, 6 класс (в зависимости от УМК)	Учитель показывает на доске одновременно несколько многозначных чисел и, не производя никаких вычислений, гоговорит, что конкретное число делится на 2, другое делится на 5, на 9 и т. д. Ученикам разрешается проверить правоту учителя, используя калькуляторы. Учитель задает вопрос: «Как он (учитель) об этом узнал, в чем суть фокуса?» Чаще всего ученики отвечают, что числа были к уроку специально подобраны, вычисления были сделаны до урока. Далее предлагается эксперимент: ученик на доске  пишет любое многозначное число, про которое учитель говорит, что оно точно делится (не делится) на 2, 3, 5, 9. Ученики проверяют на калькуляторе. Эксперимент повторяется несколько раз, ученики убеждаются в эффекте «фокуса» и готовы ему научиться.
«Действия с дробями» 5, 6 класс	Учитель начинает урок с отрывка из рассказа А. Аверченко «Бельмесов»: В конце учебного года учитель Бельмесов устроил экзамен своим ученикам. Далее зачитывается отрывок из произведения, который можно зачитывать по частям, давая возможность ученикам предположить, каким будет продолжение диалога. Можно использовать приемы театрализации, видеозапись (игровой ролик) и т. п. …Садись, брат Иван! Кулебякин, Илья! Ну… ты нам скажешь, что такое дробь. — Дробью называется часть какого-нибудь числа. — Да? Ты так думаешь? Ну, а если я набью ружье дробью, это будет часть какого числа? — То дробь не такая, — улыбнулся бледными губами Кулебякин. — То другая. — Откуда же ты знаешь, о какой дроби я тебя спросил. Может быть, я тебя спросил о ружейной дроби. Вот если бы ты был, Кулебякин, умнее, ты бы спросил: о какой дроби я хочу знать — о простой или арифметической…  И на мой утвердительный ответ, что о последней — ты должен был ответить: «арифметической дробью называется — и так далее»… Ну, теперь скажи ты нам, какие бывают дроби. — Простые бывают дроби, — вздохнул обескураженный Кулебякин, — а также десятичные. — А еще? Какая еще бывает дробь, а? Ну, скажи-ка! — Больше нет, — развел руками Кулебякин, будто искренно сожалея, что не может удовлетворить еще какой-нибудь дробью ненасытного экзаменатора. — Да? Больше нет? А вот если человек танцует и ногами дробь выделывает это как же? По-твоему, не дробь? Видишь ли что, мой милый… Ты, может быть, и знаешь математику, но русского языка — нашего великого, разнообразного и могучего русского языка — ты не знаешь. И это нам всем печально. Ступай, брат Кулебякин, и подумай, брат Кулебякин…
«Простые и составные числа» 5, 6 класс (в зависимости от УМК)	Среди чисел есть особый класс. Вот несколько первых чисел из этого класса: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17.... Самое большое из известных на сегодня  чисел этого класса было найдено в августе 2008 года и состоит из 12 978 189 цифр. Для математиков эти числа очень важны, но как они распределяются по числовому ряду до сих пор до конца не ясно. В 1859 году немецкий математик Б. Риман предложил свой способ их поиска, найдя метод, по которому можно определить максимальное количество таких чисел, не превышающих определенное заданное число. Математики подвергли проверке этот метод уже на полутора триллионах подобных чисел, но никто не может доказать, что и дальше проверка будет успешной.  Гипотеза Римана широко используется при расчете систем безопасности передачи данных, поэтому ее доказательство имеет большой практический смысл.  Тому, кто докажет  гипотезу Римана институт Клэя обещает выплатить 1 млн долларов.  Что это за числа? Посмотрите на записанные числа и предположите, как они связаны, по какому признаку они попадают в общий числовой класс?  (гипотезы учеников)
«Среднее арифметическое нескольких чисел» 5, 6 класс (в зависимости от УМК)	Оборудование: электронные весы (бытовые) и горох. Учитель демонстрирует опыт: «Я хочу узнать массу одной горошины. Как я могу это сделать? (взвесить на весах). У меня есть современные электронные весы, которые показывают вес даже очень легких предметов, но они не реагируют на одну горошину (удивление от противоречия: современные весы не могут показать массу предмета). Как же узнать массу горошины?»…(гипотезы учеников)
«Кратчайшее расстояние между точками на сфере»	Учитель начинает урок с истории: Из Ашхабада в Сан – Франциско отправляется самолет (учитель показывает на карте расположение городов). Стюардесса объявляет: «Наш самолет летит по кратчайшему пути». Среди пассажиров был известный полярный путешественник Морозов – Стужин. Услышав её слова, он попросил разбудить его, когда самолет будет над Северным Ледовитым океаном. Все кругом засмеялись: Ашхабад, Сан – Франциско и вдруг – Ледовитый океан! Как вы думаете, почему полярник решил, что самолет пролетит над Северным Ледовитым океаном,  шутил полярник или говорил серьезно? (гипотезы учеников)
«Объем шара» 11 класс	Учитель держит в руке апельсин с заведомо толстой кожурой. Диалог из серии возможных  вопросов: - Откуда у меня апельсин? - Откуда апельсины в магазине? (Где выращивают апельсины?) - По какому признаку покупатель выбирает апельсины при покупке? (по размеру, оттенку цвета, запаху, визуально оценивает толщину кожуры,…) - Покупая апельсин, какую часть его стоимости мы платим за кожуру? - Оказывается, объем кожуры апельсина примерно равен объему сочной части плода, то есть практически половину денег мы плати за кожуру. - Как вы думаете у апельсина, который я держу в руках, кожура толстая? (да) - Покупая апельсин с толстой кожурой, Вы приобретаете в основном кожуру и платите, соответственно, большую часть стоимости тоже за нее. После этого можно почистить апельсин, сжать (смять) кожуру и визуально увидеть примерное равенство объемов плода и кожуры.

   Приведенные примеры организации начала (мотивационной части) урока позволяют формировать все виды УУД школьника:

   Регулятивные: целеполагание, прогнозирование, планирование, саморегуляция, оценка.

   Познавательные: осознанное и произвольное построение речевого высказывания, построение логической цепи рассуждений, участие в постановке и формулировании проблемы, моделирование.

   Коммуникативные:  умение выражать свои мысли в соответствии с условиями коммуникации, планирование учебного сотрудничества с учителем и одноклассниками.

   Личностные: установление учащимися связи между целью учебной деятельности и ее мотивом.

   Содержательная часть урока.

   Соединяет программный материал учебного  предмета с  системой заданий, направленных на развитие дивергентного, логического мышления, творческих способностей учащихся, способности к острому, живому восприятию, абстрактному и сложному мышлению, речевой, математической и технической грамотности.

   Приёмы:

- задачи на использование контрпримера,

- отсутствие вопроса к  данным,

- использование в формулировке задачи лишних данных,

- задачи, для решения которых необходимо самостоятельно «добыть» числовые данные,

- смена размерности пространства для решения задачи,

- самостоятельное изобретение учениками «новых» способов решений, которых нет в учебнике.

   Примеры  (степень самостоятельности и степень открытости задач можно менять в зависимости от  готовности класса к исследовательской деятельности).

Тема, класс	Описание приема
Тема «Наибольший общий делитель» 5, 6 класс (в зависимости от УМК)	В учебниках задания сформулированы на прямое применение (отработку) алгоритма нахождения НОД чисел: «Вычислите НОД чисел…».  Предлагаю использовать задания в следующих формулировках: - для каких двух (нескольких) чисел  число 7 является наибольшим делителем? - приведите примеры двух (нескольких) чисел, для которых число 7 не может быть наибольшим общим делителем. При изучении данной темы ученики, как правило, знакомятся  с единственным способом нахождения НОД чисел. Можно ли найти НОД другим способом? Предлагаю рассмотреть геометрическую интерпретацию алгоритма Евклида для нахождения НОД двух чисел (при изучении способа возможно продумать цепочку экспериментов с обыкновенным тетрадным листом). Найти НОД (а, в)    (Длины сторон прямоугольника из тетрадного листа измеряются количеством клеточек). В прямоугольнике с длинами сторон a и b (a > b) закрашивается квадрат максимального размера (со стороной b). Эта операция повторяется для не закрашенной части сколько возможно. Если такие квадраты замощают весь прямоугольник, то  число  b  и   есть  НОД. Если остаётся прямоугольник (со сторонами b и r1), в нём закрашивается наибольшее возможное число квадратов максимального размера (со стороной r1). Если квадраты со стороной r1 замощают весь прямоугольник, то r1 и есть НОД. Если остаётся прямоугольник (со сторонами r1 и r2), в нём закрашивается наибольшее возможное число квадратов максимального размера (со стороной r2). И так далее до тех пор, пока весь исходный прямоугольник не покроется квадратами. (Рано или поздно это произойдёт, поскольку стороны квадратов уменьшаются и в любом случае можно заполнить оставшийся прямоугольник квадратами со стороной единица). Длина стороны минимального квадрата и есть НОД исходных чисел.
«Признаки делимости» 5, 6 класс	Предлагаю к содержанию данной темы, определенному стандартом, добавить изучение признака делимости на 4 следующим образом: - Какой год называется високосным? - Определите, является ли 2076 год (или любой другой) високосным? - Как (по какому признаку) можно устно определить, делится ли данное число на 4? Учитель при необходимости только направляет рассуждения учеников, которые самостоятельно формулируют признак делимости на 4. (Известно, что число 100 делится на 4, значит, любое количество сотен делится на 4.  Чтобы выяснить,  делится ли число на 4, достаточно проверить делимость на 4 только его «хвостика», состоящего из последних двух цифр.) В теме «Признаки делимости»  можно рассмотреть задания, подобные заданию № 19 базового уровня ЕГЭ по математике: 1)    Найдите шестизначное натуральное число, которое записывается только цифрами 0 и 2 и делится на 24. 2)    Вычеркните в числе 181615121 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 12.
«Теорема Пифагора» 8 класс	Пример изобретательской задачи: 1)    Один рыбак купил себе новую удочку длиной 5 метров. Домой ему приходится добираться автобусом. Автобус очень большой, но в нем запрещено перевозить предметы длиной более 4-х метров. Удочка не разбирается и не гнется. Как можно упаковать удочку, чтобы провезти ее в автобусе? (разные варианты ответов учеников, контрольный ответ: использовать прямоугольную коробку со сторонами 3 х 4 метра, в которой удочку расположить по диагонали). 2)    Как сложить квадратный лист бумаги, чтобы получился прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4, 5? За какое наименьшее количество сгибов это можно сделать? (изобретение способа с последующим доказательством)
«Площади фигур» 8 класс	Как вычислить площадь фигуры, ограниченной произвольной кривой линией? С учениками  можно рассмотреть с помощью серии связанных опытов идею нахождения площади произвольной фигуры, используя…весы. Ключевая идея подхода: отношение масс фигур равно отношению их площадей. Подробное описание на http://festival.1september.ru/articles/570021/
«Аксиомы стереометрии» 10 класс	- Какой табурет устойчивее на не очень ровном полу – с тремя или четырьмя ножками? (наиболее вероятный ответ – с четырьмя) - Почему же, когда пол неровный, приходится что-то подкладывать под ножку именно «четырехногого» табурета, что бы он не шатался? (варианты ответов) Объяснение получаем с помощью аксиом геометрии (возможен самостоятельный эксперимент с моделями). Через точку на плоскости проходит бесконечно много прямых. Однако, если мы зафиксируем ещё одну точку, то через обе точки проходит уже единственная прямая. Действительно, через любые две точки пространства (в частности, плоскости) всегда можно провести прямую, и притом только одну. А что же определяют три точки в пространстве? Если три точки не лежат на одной прямой, то через них проходит плоскость, и притом единственная.  Именно поэтому табурет, имеющий три ножки, всегда устойчив на неровном полу. А вот табурет (или стол), имеющий четыре точки опоры, чаще всего будет неустойчив. Длины трёх его ног, стоящих на полу, и уровень пола в этих точках уже однозначно определяют плоскость. При этом конец четвёртой ножки может не попасть на уровень пола под ней. Поэтому приходится что – то подкладывать, компенсируя длину четвертой ноги.
«Конус» 11 класс	При изучении стереометрии можно показывать ученикам, как планиметрические задачи решить более легко, если выйти в трехмерное пространство. Рассмотрим три произвольные окружности и проведём попарные касательные к каждой паре окружностей, получаем три точки, являющиеся пересечением касательных, проведённых к двум окружностям. Поставьте вопрос, сформулируйте гипотезу и проведите доказательство.

   Приведенные примеры заданий и организации учебной деятельности на уроке позволяет  формировать все виды УУД школьника:

   Регулятивные: саморегуляция, коррекция, контроль.

   Познавательные: поиск и выделение необходимой информации, структурирование знаний, рефлексия способов и условий действия, самостоятельное создание алгоритмов деятельности при решении проблем творческого и поискового характера, анализ, синтез, подведение под понятие, моделирование.

   Коммуникативные:  постановка вопросов (инициативное сотрудничество в поиске и сборе информации);  выявление, идентификация проблемы, поиск и оценка альтернативных способов разрешения конфликта, принятие решения и его реализация.

   Личностные:  оценивание усваиваемого содержания, исходя из социальных и личностных ценностей, обеспечивающее личностный моральный выбор.

   Использованы материалы с сайтов:

http://www.trizland.ru/

http://www.fipi.ru/

http://www.etudes.ru/

http://festival.1september.ru/