Признаки делимости на ЕГЭ.Исследовательская работа

Региональный  конкурс достижений талантливой молодежи

«Национальное достояние  России»

       Направление: Математика

      Название работы:

«Признаки делимости на ЕГЭ»

                   Автор работы:

Кочесокова Далия, ученица 6А класса

                                       МКОУ СОШ№5 г.п.Чегем

                              Научный руководитель:

                               Дугулубгова Фатимат Султановна,

                                          учитель математики  высшей категории           

                                           МКОУ СОШ№5 г.п.Чегем

2022год

Содержание

Введение …………………………………………………………………………3

1. Признаки делимости на уроках математики в средней школе….………..4

2. Признаки делимости, изучаемые и  не изучаемые в школе……...……….5

2.1. Использование признаков делимости на уроках математики………….6

2.2.Олимпиадные задачи на использование признаков делимости…………7

2.3. Задачи из КИМов ЕГЭ базовой математики………………………............8

Заключение……………………………………………………………………….11Список литературы………………………………………………………………12

Приложение 1 ……………………………………………………………………13

Введение

    Высшая арифметика – раздел математики, изучающий свойства числа. Здесь в широком смысле рассматриваются  алгебраические числа, которые связаны с арифметикой целых чисел, и их обобщения.

   К свойствам чисел относятся  такие вопросы,  как делимость чисел,  разложение числа на простые множители, составление чисел, удовлетворяющих заданным условиям.

Актуальность:  зная признаки делимости  можно научиться не теряя много времени, решать задачи на нахождение чисел удовлетворяющих заданным условиям.

Объект исследования: натуральные числа.

Предмет исследования: задачи на логику и из банка ЕГЭ, решаемые  с помощью признаков делимости

Цель: описание методов и способов решения задач по теории чисел, научиться составлять числа из цифр  удовлетворяющих заданным условиям.

В соответствии с целью исследования необходимо решить следующие задачи:

- повторить признаки делимости;

- изучить признаки делимости составных чисел, рассмотреть методы и  способы решения задач на использование свойств чисел.

Методы исследования: сбор информации, обработка данных, сравнение, анализ.

Гипотеза: Умение определять свойства чисел упрощает  работу любого математика.

1.                 Признаки делимости  на уроках математики в средней школе.

Основной объект - натуральные числа. Главное их свойство, которое рассматривается с числами - это делимость. Первый круг задач - разложение чисел на множители. Основными «кирпичиками» в таком разложении являются простые числа.

Замечательная теорема, называемая основной теоремой арифметики, гласит: всякое натуральное число раскладывается на простые множители, причем единственным способом (с точностью до порядка их расположения). Разложив два числа на простые множители, несложно определить, делится одно из них на другое или нет.

Чем особенно ценно знание признаков делимости? Ведь найти непосредственное применение ее результатам трудно. Тем не менее, задачи с числами привлекают как молодых людей, так и ученых в течение многих столетий. В чем же здесь дело? Прежде всего, эти задачи очень интересны и красивы. Во все времена человека поражало, что на простые вопросы о числах так трудно найти ответ. Поиски этих ответов часто приводили к открытиям, значение которых далеко превосходит рамки школьных  программ.

Меня тоже заинтересовала эта тема,  и  я попыталась рассмотреть в своей работе некоторые задачи.

2. Признаки делимости, изучаемые и  не изучаемые в школе

Признак делимости – это алгоритм, используя который можно сравнительно быстро определить, является ли рассматриваемое число кратным заранее заданному (т.е. делится ли на него без остатка).

Признак делимости на 2. Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра является четной, т.е. также делится на два.

Признак делимости на 3. Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма всех его цифр, также, делится на три.

Признак делимости на 4. Число делится на 4 тогда и только тогда, когда две последние цифры нули или  делятся на четыре.

Признак делимости на 5. Число делится на 5 тогда и только тогда, когда его последняя цифра – это 0 или 5.

Признак делимости на 6. Число делится на 6 тогда и только тогда, когда он одновременно кратно и двум, и трем.

Признак делимости на 7. Число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7. Например:  399 делится на 7, так как 39 - 2

Признак делимости на 8. Число делится на 8 тогда и только тогда, когда три последние  цифры  числа нули или в делятся  на восемь.

Признак делимости на 9. Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма всех его цифр, также, делится на девять.

Признак делимости на 10. Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на ноль.                                                                           Признак делимости на 11.  Число делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма цифр на четных местах равна сумме цифр на нечетных местах.           Признак делимости на 13. Число делится на 13 тогда и только тогда, когда результат вычитания последней цифры умноженной на 9 из этого числа без последней цифры делится на 13. Например:  858 делится на 13, так как 85 - 9

2.1. Использование признаков делимости  на уроках математики в средней школе.

   Для начала рассмотрим несколько задач из нашего учебника математики .

       При изучении признаков делимости на уроках математики мы столкнулись с задачами: поставить вместо * цифры , чтобы получившееся число делилось на заданное, сколько можно составить чисел – трехзначных, четырехзначных из заданных цифр и т.д.

Например:

1.                 В записи числа  *723,  5*36, 111* вместо звездочки поставьте такие цифры, чтобы полученное число делилось на 9.

Решение: по признаку делимости на 9 нужно  подставить

*723  - 6

5*36 - 4

111* - 6

2.                 Сколько трехзначных чисел можно составить из нечетных чисел?

Решение:

Выпишем все нечетные цифры 1,3,5,7,9

*** - число трехзначное, значит, на первое место можно подставить все 5 цифр, на второе тоже - все5 и на третье тоже 5.

Находим произведение 5 × 5 × 5= 125

Ответ:125 чисел

 2.2.  Олимпиадные  задачи.

Задача 1. Докажите, что число 13026970 делится на 55.

Решение: Для решения этой задачи нет необходимости выполнять деление столбиком, достаточно разложить 55 на простые множители 55=5×11 и проверить делимость на 11 и 5.  Число делится на 5, т.к. последняя цифра 0, число делится на 11, т.к. 1+0+6+7=14

                                             3+2+9+0=14

Значит, и число делится на их произведение.

Для решения олимпиадных задач еще нужно знать теорему о делимости произведения натуральных чисел.

Теорема: Если в произведении хотя бы один из сомножителей делится на некоторое число, то и произведение делится на это число.

Задача 2. Докажите, что произведение  475×1230×800 делится на 6.

Решение: 

- Чтобы произведение делилось на 6, оно должно делиться и на 2 и на 3,

- среди чисел есть четное число, значит, произведение делится на 2,

- сумма цифр числа 1230 есть 1+2+3+0=6, 6:3, значит, число делится на 3,

- условия делимости на 2 и на 3 выполняются, значит, число делиться на 6.

Задача 3. Докажите, что число 4356 можно представить в виде квадрата трех множителей.

Решение: Разложим число на простые множители.

Получаем   4356=2×2×3×3×11×11 ,  а это значит, что

4356= 2²×3²×11²=(2×3×11)²    ч.т.д.

2.3. Задачи из КИМов ЕГЭ базовой математики.

Для решения заданий типа 19 достаточно знать признаки делимости и разложение числа на простые множители.  А простыми называются числа, которые делятся на себя и на 1.

Например: 3 простое число, 3:3 и 3:1

А раскладывать лучше постепенно. Например: 60=2×2×3×5

Начнем с самых простых задач ЕГЭ.

Задача 1.19. Вычеркните в числе 181615121 три цифры так, чтобы полученное число делилось на 12. В ответе укажите какое-нибудь такое число.

Решение: Раскладываем делитель числа 12 на простые множители 12=4×3=2×2×3.  Следовательно, число после вычеркивания должно делиться на 4 и на 3  или на 3, на 2 и еще раз на 2.

На 2 делятся четные числа, поэтому 1 в конце вычеркиваем сразу.

Нам нужно, чтобы оно делилось на 4. По признаку делимости на 4 последними могут быть цифры 1 и 2, т.е. 12:4=3

По признаку делимости на 3

1+8+1+6+5+1+2=25. Т.к.  последние две цифры трогать нельзя  25=3×6+7  вычеркиваем две цифры, сумма которых равна 7, т.е. 6 и любую из единиц, кроме последней.

   Итак, возможные ответы:  811512  или 181512. В ответ выбираем один из них.

Задача 2.19. Найдите шестизначное натуральное число, кратное 12, произведение цифр которого равно 40.  В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Решение: 40=2×2×2×5, т.к. множителей недостаточно для пятизначного числа, то в произведение можно всегда добавить единицу.

Чтобы число делилось на 12, он должно делиться на 3 и на 4.

Проверяем делимость на 3:  1+2+2+2+5=12, значит, число может состоять из этих цифр.

А для выполнения признака делимости на 4 число должно оканчиваться  на 12 или на 52, а в начале любые перестановки из остальных цифр.

52212                   12252

25212                    21252

22512                   22152

В ответ можно записать один из них.

Задача 3.19.   Приведите пример трехзначного натурального числа,  которое при делении на 4 и на 15 дает равные ненулевые остатки,  и первая справа, цифра которого является средним арифметическим двух других цифр.

Решение: по условию число должно делиться на 4, на 5, на 3. Т.к. 15=3×5.

И еще число делится на 4 и на 15, если делится на их произведение     4×15=60. Возьмем трехзначные числа 120 и 180, делящиеся на 60. Эти числа не удовлетворяют условие, т.к. среднее арифметическое первых двух чисел не натуральное число, а десятичная дробь. Берем 240, оно делится и на 4, и на 5, и на 3.

А всем данным условиям  отвечает число 243.
Крайняя справа цифра - 3 - равна среднему арифметическому чисел 2 и 4, и 243 = 4*60 + 3 = 15*16 + 3 - остатки от деления этого числа на 4 и 15 равны.

Еще удовлетворяют числа 423 или 603.

В ответ можно записать один из них.

Задача 4.19.  Найдите четырехзначное число, кратное 4, сумма цифр которого равна их произведению. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Решение:  т.к. сумма цифр равна произведению, большие цифры мы не можем взять.  По признаку делимости на 4 возьмем двузначное число кратное 4 и состоящее из маленьких цифр -  это 12 и  24. Поставим одно их них на последнее место.  Остальные две цифры находим способом подбора:

4112 или 1412 или 1124. Во всех случаях сумма цифр  равна произведению цифр. В ответ можно записать один из них.

И еще рассмотрим одну задачу из 20, которую можно решить только разложением на множители.

Задача 5.20.  В конце четверти Петя выписал подряд все свои отметки по одному из предметов, их оказалось 5, и поставил между некоторыми из них знаки умножения. Произведение получившихся чисел оказалось равным 690. Какая отметка выходит у Пети в четверти по этому предмету, если учитель ставит только отметки «2», «3», «4» или «5» и итоговая отметка в четверти является средним арифметическим всех текущих отметок, округлённая по правилам округления? (Например, 3,2 округляется до 3; 4,5 — до 5; а 2,8 — до 3.)

Решение: Разложим число 690 на множители так, чтобы получившиеся множители состояли только из чисел 2, 3, 4, 5, и общее количество цифр в произведении было равно пяти: 690 = 2 · 5 · 23 · 3. Следовательно, учитель поставил Пете отметки 2, 5, 2, 3 и 3. Среднее арифметическое этих оценок: (2+5+2+3+3):5=3

Ответ: 3

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

     Зная свойства чисел и методы исследований признаков делимости натуральных чисел, можно научиться решать олимпиадные задачи по теме, задания ЕГЭ.  Я  попробовала решить такие  задачи вместе с учащимися старших классов на их  дополнительных занятиях.

Изучив тему,  мы провели опрос учащихся 7-11 классов нашей школы  в виде небольшой анкеты (Приложение 1).

Результаты опроса показали, что учащиеся знают разложение числа на простые множители, знают признаки делимости,  а как использовать их при решении задач, знают лишь учащиеся 10-11классов.

 Надеюсь, что моя работа найдет практическое применение на уроках математики и при подготовке  к экзаменам.

Считаю, что цели и задачи исследовательской работы полностью реализованы и выбранная тема является актуальной, так как знания, которые я получила в процессе выполнения работы, помогут мне в дальнейшем.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Савин А.П. «Энциклопедический словарь юного математика», - Изд.: Москва «Педагогика», 1999год.

2. Виленкин Н.Я. « За страницами учебника математики», - Изд.: Москва «Просвещение», 1996 год.

3. Математическая шкатулка: Пособие для учащихся 5-8 кл. сред. шк. 5-е изд. - М.: Просвещение, 1988.

4.И.В.Ященко, Типовые экзаменационные варианты по математике, ЕГЭ 2022 базовый уровень, изд. «Экзамен», Москва, 2022

 Приложение 1

Анкета

Вопросы:

1.Знаете ли вы признаки делимости?                                                     Да Нет

2. Знаете ли вы как разложить число на простые множители?        Да Нет

3. Умеете ли вы решать логические задачи  используя свойства  чисел?                                                                                                                

                                                                                                                   Да Нет

Результаты опроса:

Класс	Количество опрошенных	1 вопрос	2 вопрос	3 вопрос
	Ответили - Да
7	12	8	6	1
8	10	7	4	1
9	5	4	4	1
10	5	5	4	3
11	5	5	5	2
Итого:	37	29	23	8