2.
ИСТОРИЯ ИССЛЕДОВАНИЯ СВЯЗИ МУЗЫКИ С МАТЕМАТИКОЙ
Математика –
царица наук, тесным образом перекликается с музыкой. Несомненно, математика
пронизывает музыку. Музыка и ее первый звук родились одновременно с творением
мира, как утверждали древние мудрецы.
В своих
трудах учёные неоднократно делали попытки представить музыку, как некую
математическую модель.
Одним из первых,
кто попытался выразить красоту музыки с помощью чисел, был Пифагор. Он
создал свою школу мудрости, положив в ее основу два предмета - музыку и
математику. Музыка, как одно из видов искусств, воспринималась наряду с
арифметикой, геометрией и астрономией как научная дисциплина, а не как
практическое занятие искусством. Пифагор считал, что гармония чисел сродни гармонии
звуков и что оба этих занятия упорядочивают хаотичность мышления и дополняют
друг друга. Он был не только философом, но и математиком, и теоретиком музыки.
Родился Пифагор около 570 года до нашей эры на острове Самосее. Пифагор основал
науку о гармонии сфер, утвердив ее, как точную науку. Целые дни юный Пифагор
проводил у ног старца Гермодаманта, слушая мелодии кифары, песни Гомера.
Страсть к музыке и поэзии великого Гомера Пифагор сохранил на всю жизнь. И,
будучи великим мудрецом, окруженным толпой учеников, Пифагор начинал день с
пения песен Гомера. Одним из четырех предметов в школе Пифагора была музыка, и
Пифагора по праву считают творцом акустики и основоположником теории музыки.
По легенде
именно Пифагор открыл законы музыкальной гармонии и свойства гармонических
отношений между звуками. Легенда гласит, что учитель однажды прогуливался и
услышал звуки молотов из кузницы, которые ковали железо; прислушавшись к ним,
он понял, что их стук создает гармонию.
Позже,
опытным путем Пифагор установил, что различие звуков зависит только от массы
молотка, а не от других характеристик. Потом философ сделал из струн устройство
с различным количеством гирек; струны крепились к гвоздю, который был вбит в
стену его дома. Ударяя по струнам, он вывел понятие октавы, и то, что её
соотношение равно 2:1, открыл квинту и кварту.
Затем Пифагор
сделал устройство с параллельными струнами, которые натягивались колками. С
помощью этого инструмента он установил, что определенные созвучия и законы есть
во многих инструментах: флейтах, цимбалах, лирах и других устройствах, с
помощью которых можно производить ритм и мелодию. Есть легенда, которая
повествует о том, что однажды гуляя, Пифагор увидел неистовую пьяную толпу,
которая вела себя неподобающим образом, а впереди толпы шел флейтист. Философ
приказал этому музыканту, сопровождавшему толпу, играть в спондеическом размере
– тот заиграл, и вмиг все протрезвели и успокоились. Так с помощью музыки можно
управлять людьми.
Арифметика – учение о количестве, выражаемое числом; музыка –
учение, которое рассматривает числа по отношению в звуке; благодаря счастливому
союзу, музыка получила прочный математический фундамент гамм и универсальный
язык нот. Согласно преданию, сам Пифагор обнаружил, что приятные слуху созвучия
– консонансы, т. е. созвучия, получаются лишь в том случае, когда длины струн
относятся как целые числа первой четверки, т. е. как 1:2, 2: 3, 3:4. Именно это
открытие впервые указывало на существование числовых закономерностей в природе.
Закон целочисленных отношений в консонансах был открыт Пифагором.
Два закона легли в основу пифагорейской теории музыки:
З а к
о н 1. Две звучащие струны дают
консонанс лишь тогда, когда их длины относятся как целые числа, составляющие
треугольное число.
10 = 1 + 2 +
3 + 4, т. е. как 1:2, 2:3, 3:4.
З а к о н 2. Четверка
чисел 1, 2, 3, 4 – тетраэдр – лежит в основе построения различных музыкальных ладов.
Лады состоят из основных ступеней. В основу гаммы пифагорейцы положили интервал
октава – восемь. Далее октаву разделили на благозвучные части, и Пифагор
обнаружил приятные слуху созвучия: квинта – пятая ступень, кварта –
четвертая, октава – восьмая. Основа всей музыки – тетрахора.
По преданию, в античном мире четыре струны настраивались по
тетраэдру. Музыкальная гамма до сих пор применяется при настройке музыкальных
инструментов. Пифагорейцы не только нашли строгие математические построения
музыкальных ладов, но заложили основу учения о каждом ладе. Пифагорейцев
интересовал музыкальный строй. И они блестяще справились с задачей построения
музыкальных ладов.
До – соль –
ре – ля – ми – си – фа – полученные звуки собирались в октаву.
Чтобы научить правильному восприятию, чтобы выработать привычку к
соразмерности, Пифагор сделал музыку основой восприятия. Читал из Гомера,
перебирал струны, и с помощью музыки сдерживал и исцелял болезни, обращал и
приводил душевные страсти в спокойное состояние. Судя по описаниям, это была
особая музыка, она не соответствовала привычным представлениям о мелодии. Она
строилась на гармоничном сочетании тонов, которые не связывались в определенную
тему, но только создавали чистый звуковой фон, способствующий сосредоточению и
уверенному течению мысли. Подобную музыку сейчас обозначают термином new age –
нью эйдж. И соединяет она шум моря, голоса птиц, звучание старинных и просто
странных инструментов.
Пифагор делил струну на три, четыре, пять равных частей. При этом
он получал разные по высоте звуки. Эти звуки он расположил по высоте. А
расстояние между нижним и верхним назвали октава, т. е. восемь. Внутри октавы
выстроились по порядку 8 звуков – ступенек. Этот ряд звуков – звукоряд –
получил название Пифагоров звукоряд. Шло время и в системе Пифагора обнаружили
неожиданные изъяны. И музыкант-ученый Веркхмейстер решил немного подправить
звукоряд. Чуть повысил одни звуки, понизил другие, получив тем самым
темперированный строй. Величайший немецкий композитор Иоганн Себастьян Бах
сочинил величественный цикл прелюдий и фуг (48). С тех пор, как в музыке начали
применять инструменты с закрепленной (струной) высотой каждого звука, т. е.
клавишные инструменты (орган, клавесин, клавикорд), где каждой клавише
соответствует звук раз навсегда установленной постоянной высоты.
Известно, что пифагорейцы пользовались специальными мелодиями
против ярости и гнева. Они проводили занятия математикой под музыку, так как
заметили, что она благотворно влияет на интеллект.
В прошлом были неоднократные попытки рассматривать музыку, как
один из объектов изучения математики. Таким образом, многие учёные в древности
считали, что гармония чисел является сродни гармонии звуков и дополняет друг
друга, музыку и математику.
3.
СВЯЗЬ МЕЖДУ МУЗЫКОЙ И ЦИФРАМИ
На первых же уроках сольфеджио – так называются уроки музыкальной
грамоты мы сразу же столкнулись с математикой.
Как и в математике, в музыке встречаются цифры: звукоряд – 7 нот,
нотный стан – 5 линеек. Интервалы: прима – 1, секунда – 2, терция – 3, кварта –
4, квинта – 5, секста – 6, септима – 7, октава – 8. Обозначения аппликатуры и
размер произведения записывается тоже при помощи цифр.
При записи мелодии, звуки имеют свою длину (длительность). Здесь и
происходит сопоставление целого числа и целой длительности, дробного числа и
длительности коротких нот, записываемых при помощи дроби.
Сопоставление целого числа и целой длительности (наглядно
показываем, как целое делят на части, например, круг).
|
Математика
|
Музыка
( длительность нот)
|
|
Целое
число (круг)
|
Целая
нота
|
|
Делим
пополам (половина круга)
|
Половина
целой ноты - половинная
|
|
Делим
круг на четыре части (получаем одну четвертую)
|
Делим
целую ноту на 4 части – (четвертная)
|
|
На
восемь (одна восьмая)
|
На
восемь (восьмая, восьмушка)
|
|
На
шестнадцать (одна шестнадцатая)
|
На
шестнадцать (шестнадцатая)
|
Ноты записываются с помощью знаков, а их протяженность
определяется длительностями, математическим счетом.
Математические истоки музыки очень хорошо ощущаются в танце. В
танце мы можем менять скорость – двигаться быстро и медленно, двигаться
вперёд-назад, вправо-влево, по кругу, прыгать вверх-вниз. Если быть
изобретательным, каждый танец можно использовать для изучения пространства –
двигаться по прямоугольной, квадратной, овальной траектории, двигаться по
прямой и по кривой линии. (Мечтаю научиться танцевать вальс, танго, румбу).
Равномерный ритм музыкального произведения позволяет нам
совершенствоваться в освоении счёта. Слово «ритм» изначально принадлежало
музыке, хотя сегодня неудивительно, что оно может быть известно человеку
совершенно из других источников. Математика также заимствовала данное слово.
Исследуя математические закономерности и числовые последовательности, часто
можно обнаружить ритмичность. Посмотрите вокруг: ритмично звучат шаги, ритмичен
ход часов, ритмично биение пульса человека, ритмично наше дыхание и т.д. Но
стоит нам услышать слово «ритм», как наши мысли невольно обращаются к музыке. И
это понятно: ведь ритм – один из важнейших элементов музыки. На уроке
сольфеджио мы обычно при изучении произведения «прохлопываем» ритм.
Оказывается, и среди чисел можно обнаружить ритмы. Возьмем натуральный ряд
чисел: 0,|1,2,3|4,5,6|7,8,9|и т.д. Увеличивая каждое число на «1», будем
обращать внимание на все числа, кратные 3. Мы пришли к красивому, равномерному
ритму, звучащему как музыкальный размер 3/4 (размер вальса).
В музыке, как и в математике, есть понятие параллельности.
Параллельные тональности, а ещё линии нотного стана всегда параллельны, то есть
никогда не пересекаются.
В древности музыканты записывали музыку по-разному: при помощи
букв, графическими знаками. Они передавали общее направление интонации, но они
не могли выразить длительность звучания, изменение по высоте вверх или вниз.
Ведь музыканту надо знать, насколько одна выше или ниже другой. Измерить высоту
нам как раз помогают параллельные линейки.
Параллели можно найти не только в нотной записи, но и в самом
звучании музыки. Например, одну и ту же мелодию можно исполнить одновременно
двумя голосами, т.е. в унисон (например, мужским и женским голосом). Женский
будет звучать в верхнем регистре, а мужской голос - в нижнем, а звучать они
будут параллельно. Параллельно могут звучать голос и фортепианное сопровождение
со сдвигом на октаву.
В
математике существуют противоположности:
|
Музыка
|
Математика
|
|
Мажор - минор
|
Плюс-минус
|
|
Быстро - медленно
|
Больше – меньше
|
|
Тихо - громко
|
Сложение –
вычитание
|
|
Низкий звук - высокий звук
|
Умножение –
деление
|
|
Бемоль (понижение) – диез
(повышение)
|
Четное число –
нечетное число
|
В музыке так же существуют пары противоположностей, основной из
которых является «Быстро - медленно». Эта пара играет очень важную роль в
исполнении музыкальных произведений: ведь, например, существуют песни быстрые и
медленные. Если изменить темп исполнения, то песня потеряет характер и смысл.
Таким образом, искажая темп, можно исказить и все произведение.
Есть в музыке еще одна противоположность – низкое и высокое. Это
в большей степени относится к музыкальным инструментам. Высоким звучанием
отличаются, например, флейта – пикколо, скрипка; низким – контрафагот, туба,
контрабас. Противоположностей в музыке очень много: громкий – тихий, длинный –
короткий, многоголосие - соло, вокальное исполнение – инструментальное и т.д.
Рассмотрим нотную запись Й. Гайдн «Аллегро». (Выбрала это
произведение, потому что оно мне понравилось больше всех пьес, которые я уже
научилась играть).
В этой нотной
записи:
- Целые ноты не используются.
- Половинки не используются.
- Четверти используются, начиная с середины произведения.
- В основном состоит из восьмых нот.
- Шестнадцатая нота составляет половину от восьмой, т.е. ¼ от
четвертой. Используется в начале произведения и в конце.
«Аллегро» -
мелодия мажорная, т.е. быстрая с редким замедлением, веселая, в ней много
высоких нот.
Не зная математических понятий, не умея различать дроби, не умея
сравнивать их, мне было бы невозможно сыграть эту красивую мелодию.
Анализируя эту мелодию, я заметила в очередной раз, что можно
найти общие моменты между математикой и музыкой.
4.
ИССЛЕДОВАНИЕ ДАТ РОЖДЕНИЙ
Следуя теории Пифагора, числа обладают абсолютной властью над
всеми событиями, над всеми живыми существами, а значит, числа правят музыкой. В
своих работах он утверждал, что музыка подчиняется высшему закону (математике)
и в следствии этого восстанавливает в организме человека гармонию.
Нумерология – паранаука о числах. Нумерология имеет еще одно
распространенная название – магия чисел. В нумерологии все слова, имена,
числа можно свести к единичным разрядам (однозначным человеком), которые
соответствует оккультным характеристикам, влияющим на жизнь человека. Это
значит, что каждому числу, согласно нумерологии, соответствует определенные
свойства, образы и понятия. Нумерологию используют для определенного характера
человека, его природных способностей для выявления сильных и слабых сторон его
личности, а также для определения характера человека, его природных
способностей, для выявления сильных и слабых сторон его личностей, а также для
определения подходящих профессии, места проживания и многих других факторов
Даты рождений – это ряд чисел. Попробую установить связь между
числами и музыкой.
Мною были исследованы даты рождений учащихся 5Б класса, в котором
я обучаюсь. Как известно дата – набор цифр. Я предложила даты на ноты. У
каждого человека получилось по одному аккорду:
У каждого человека получилось по одной мелодии
У меня получились мелодии, звучащие гармонично и вовсе безобразно
и резко. В музыке гармоническое звучание тонов называется консонансом. А
безобразное, резкое звучание называется диссонансом.
Консонанс –
это гармония, слияние тонов при их совместном звучании.
Диссонанс –
это звучание тонов, не сливающихся друг с другом.
Каждой ноте присваивается номер ступени. До – 0, ре – 1. ми – 2,
фа – 3, соль – 4, ля – 5, си – 6. до – 7, ре – 8, ми – 9.
После того, как я переложила даты рождения на мелодии, попробую
установить связь между звучанием даты рождения и способностями человека.
Таким образом, мелодии моих одноклассников и друзей , по звучанию
разделились на две группы.
Методом опроса я выяснила, чем каждый ученик увлекается.
У меня получилось 2 группы.
§ 1 группа: Консонансы – ученики занимаются искусством.
§ 2 группа: Диссонансы – ученики занимаются математикой, биологией
или боксом и т. д.
Приятные на слух мелодии получились у тех моих друзей, которые
увлекаются искусством.
5.
ВЫВОД
Таким образом, математика и музыка – два полюса человеческой
культуры, два школьных предмета, две системы мышления, тесно связанные между
собой. Я поняла, что занимаясь музыкой, у меня развиваются и тренируются математические
способности.
Проведя данное исследование, для себя я сделала следующий вывод,
что музыка помогает изучать математику. Думаю, что ребятам, которые занимаются
музыкой легче справляться с математикой в школе.
За последние 2 года учеников в нашей музыкальной школе значительно
увеличилось. Математика и музыка - как родные сёстры, они просто созданы
помогать друг другу. Родители помнят об этом и направляют своих детей получать
музыкальное образование. Ведь музыка помогает в изучении математики.
6.
ИСПОЛЬЗУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
1.«Математика
плюс музыка .» Юрий Петелин
2.Деплан И. Я.
Мир чисел. М.: «Просвещение», 2005
3. Жмудь Л. Я.
Пифагор и его школа М.: Наука, 1990, 192с.
4. В.П. Ковалев
“Математика в музыке”. Выступление на семинаре в Московском физико-техническом
институте в секции математических основ жизнеустройства, 2007
5. Холопов Ю. Н.
Консонанс и диссонанс // Музыкальный энциклопедический словарь. М.: Советская
энциклопедия, 1990.
7. Шарапкина Е. П.
«Гармония математики и музыки»/Университетские чтения 2006г.
8. Энциклопедия
для детей. Т. 7. Искусство. Ч. 1. – Э68-е изд., испр./Глав. Ред. М.Д. Аксенова.
– М..6 Аванта +, 2006 – 688 с.: ил.
9.
Энциклопедический словарь юного музыканта Э68/сост. В.В. Медушевский, О.О.
Очаковская. – М.: Педагогика, 2007. – 352с., ил.
10.
Энциклопедический словарь юного математика. М.; «Педагогика» 1985г
Интернет
ресурсы:
1.
http://www.stonot.ru/
2. http://www.krugosvet.ru/
3.
http://www.wikipedia.org/
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.