Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Рабочие программы / Программа элективного курса по математике "Параметры".

Программа элективного курса по математике "Параметры".



Внимание! Сегодня последний день приёма заявок на
Международный конкурс "Мириады открытий"
(конкурс сразу по 24 предметам за один оргвзнос)


  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:


Карадуванская средняя общеобразовательная школа

Балтасинского муниципального района РТ.









Авторская программа элективного курса для 11 класса

«Уравнения и неравенства с параметрами».









Выполнила: Галимова Рауза Рафаэловна

учитель высшей квалификационной

категории.
























Пояснительная записка.

Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами. Не только сложность и оригинальность задач с параметрами как учебных привлекают к себе внимание. Оно связано в большей степени с тем, что необходимой частью таких задач является исследование характера и конечного результата процесса, описываемого математической моделью уравнения или неравенства в зависимости от значения параметров, причем не всегда от каждого параметра в отдельности, но и от их совокупности. Решение таких задач очень неформально, требует владения многими методами, а сами задачи чрезвычайно разнообразны. Очень важно и то, что в таких задачах в полной мере реализуется принцип научности образования, т. к. методы решения задач с параметрами находят широкое применение в современной математике, как в теоретических ее разделах, так и в математическом моделировании.

В школе первые представления о параметре ученики получают при изучении прямой пропорциональности; линейной функции; линейного уравнения; уравнения первой степени; квадратного уравнения; исследования количества корней квадратного уравнения в зависимости от значений параметра. Параметр, будучи фиксированным, но неизвестным числом, имеет как бы двойственную природу. Во-первых, предполагаемая известность позволяет «общаться» с параметром как с числом, а во-вторых,- степень свободы общения ограничивается его неизвестностью. Задачи с параметрами играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры у школьников, но их решение вызывает значительные сложности. Это связано с тем, что каждое уравнение или неравенство с параметрами представляет собой целый класс обычных уравнений и неравенств, для каждого из которых должно быть получено решение. Важно знакомить учащихся с различными способами решения задачи, а не отдавать предпочтение какому-то одному способу. Ученик должен знать, что при выполнении работы он может выбрать любой способ решения, важно, чтобы задача была решена правильно. При подготовке к экзамену большое внимание следует уделять накоплению у учащихся опыта самостоятельного поиска решений, чтобы на экзамене каждый ученик был готов к полной самостоятельности в работе.

Настоящая программа предназначена для старшей школы в классах естественнонаучного и социально-экономического профилей и позволяет организовать систематическое изучение вопросов, связанных с параметрами.

В процессе изучения данного элективного курса старшеклассник познакомится с различными методами решения задач с параметрами. Элективный курс предусматривает не только овладение различными умениями, навыками, приемами для решения задач, но и создает условия для формирования мировоззрения ученика, логической и эвристической составляющих мышления. Задачи с параметрами, как правило, относятся к наиболее трудным задачам, носят исследовательский характер. В школьных учебниках по математике таких задач недостаточно. Практика итоговых экзаменов в школе и приемных экзаменов в высшие учебные заведения показывает, что задачи с параметрами представляют для учащихся наибольшую сложность, как в логическом, так и в техническом плане, и поэтому умение их решать во многом предопределяет успешную сдачу экзамена в любое высшее учебное заведение. Старшеклассники, изучившие данный материал, смогут реализовать полученные знания и умения на итоговой аттестации в форме ЕГЭ.

Ценность задач данного элективного курса – демонстрация их общности с точки зрения исследования и анализа реальных процессов средствами математики. Значительное место в курсе уделено практической направленности материала, его приложений, мотивации процесса познания.

Программа предусматривает чтение установочных лекций, проведение практических занятий. Все занятия должны носить проблемный характер и включать в себя самостоятельную работу. Успешность усвоения курса определяется преобладанием самостоятельной творческой работы ученика. Программа курса рассчитана на 34 часа. Предлагается большое количество упражнений. Формой итогового контроля может стать зачетная работа, контрольная работа или защита собственного проекта по теме.

Цели курса:

  • усвоение курса, углубление знаний учащихся, развитие математического и логического мышления, навыков исследовательской работы, умений воспринимать и интерпретировать разнообразную социальную, экономическую, политическую информацию. Развитие целостной математической составляющей картины мира через углубление и расширение знаний учащихся по данной теме.

  • Обучение учащихся точной, экономной и информативной речи, умению отбирать наиболее подходящие языковые средства.

  • Формирование у учащихся качеств мышления, характерных для математической деятельности и необходимых для продуктивной жизни в обществе.

  • содействовать в воспитании сознательного отношения к усвоению курса; поддерживать детей в борьбе с трудностями, унынием; помочь учащимся с выбором профиля.

Назначение курса:

  • Дополнение базового образования; обучение культуре общения в ходе самопознания, самоконтроля; воспитание сознательного отношения к учению.

Задачи курса:

  • Расширение и развитие математического образования в общеобразовательной школе; сближение элективного курса с курсами физики, геометрии, где многие процессы и закономерности приводят к решению задач с параметрами.

  • Создание условий для формирования и развития практических умений учащихся решать задачи с параметрами, используя различные методы и приемы;

В результате изучения курса учащиеся приобретут:

  • Представление о роли математики в познании мира, математических методах исследования;

  • Знание основных алгоритмов решения задач с параметрами, различных методов и приёмов решения задач;

  • Умения:

-работать с различными источниками информации;

-анализировать результаты, делать умозаключения;

-решать различными методами задачи с параметрами;

-выбрать рациональный способ решения;

-графически представлять результаты;

Формы проведения занятий: Коллективная (фронтальная); групповая, индивидуальная (с самопроверкой, взаимопроверкой, последующим обсуждением).

Методы: Эвристическая беседа, вопросно-ответный метод, образец ответа, метод поиска решения задачи (анализ ).Организационные приёмы решения: комментированное решение; коллективная работа(1 учащиеся у доски); для «сильных» групповая или парная работа; самостоятельная работа с последующей проверкой на доске или на экране; разбиение задач на отдельные задачи; устные ответы учащихся .

Ожидаемые результаты:

В результате изучения курса у учащихся формируются навыки исследования, умение анализировать ситуацию, повышение интереса к предмету, ориентация на подготовку продолжения образования по избранному предмету.

Учебно – тематический план курса.




Наименование темы


Виды деятельности


Методы проведения

Количество часов

Всего

Теория

Практика

1.

Введение

Изучение теории.


Обьяснительно-

иллюстративный

1

1

-

2.

Решение уравнений и неравенств различного типа.



26

8

18

2.1

Линейные уравнения с параметрами.

Изучение теории.


Практическая работа.

3

1

2

2.2.

Дробно-рациональные уравнения с параметрами.

Обьяснительно-

иллюстративный

Лекция.

3

1

2

2.3.

Дробно линейные неравенства с параметрами.


Исследователь.

работа

3

1

2

2.4.

Квадратные уравнения с параметрами.

Обьяснительно-

иллюстративный

Групповая работа по теме.

3

1

2

2.5.

Квадратные неравенства с параметрами.

Обьяснительно-

иллюстративный

Групповая работа по теме.

3

1

2

2.6.

Иррациональные уравнения.

Лекция.

Практикум

3

1

2

2.7.

Показательные уравнения.

Лекция.

Практикум

4

1

3

2.8.

Логарифмические уравнения

Лекция.

Практикум

4

1

3

3.

Зачетная работа.


Индивидуаль.

задание

2

-

2

4.

Контрольная работа.


Индивидуаль.

задание

2

-

2

5.

Конструирование задач на изучаемую тему курса.

Поиск решений

Исследователь.

работа

3

-

3

Содержание курса.

  1. Введение

Теоретические сведения о задачах с параметрами, классификация, основные методы и приемы решения.

Первое занятие предполагает актуализацию известных фактов. Здесь, помимо знакомства с основными теоретическими положениями, ведётся разговор о возможностях применения знаний из данной темы. Прогнозируется форма отчёта по изучению курса, намечаются темы будущих проектов.

2. Решение уравнений и неравенств различного типа.

Систематизация различных типов уравнений и неравенств, различных методов решения. Решение задач. Алгоритмы решения уравнений и неравенств. Линейные уравнения и неравенства. Уравнения и неравенства, сводящиеся к линейным. Уравнения и неравенства, приводимые к квадратным.

Логарифмические и показательные уравнения и неравенства. Тригонометрические уравнения и неравенства. Дробно-рациональные уравнения и неравенства с параметрами.

Теоретическая часть занятий предполагает лекции с элементами проблемного изложения. На всех практических занятиях должна присутствовать самостоятельная работа учащихся: индивидуально, в парах, в группах – в зависимости от уровня обучаемости школьников. Такая организация способствует реализации развивающих целей курса, так как развитие способностей учащихся возможно лишь при сознательном, активном участии в работе самих учащихся. При проведении каждого занятия следует предусмотреть этап самопроверки (самооценки) учащихся.

3.Зачетная работа.

Зачетная работа включает задачи, рассмотренные на занятиях, самостоятельное решение предложенных задач с последующим разбором вариантов решения. Учащимся, ориентированным на выполнение заданий более высокого уровня сложности, предлагается выполнить другие задания. Например решение заданий из вариантов ЕГЭ.

4. Контрольная работа.

Учащимся предлагается задачи из рассмотренных тем в двух вариантах.

  1. Конструирование задач на изучаемую тему курса.

После работы с рекомендованной литературой самостоятельно изучить тему с последующей презентацией: « Нестандартные» задачи с параметрами. «Графическое решение задач с параметрами» «Координатно-параметрический метод решения задач с параметрами».

Тема 1. Линейные уравнения с параметрами.

Пример 1. Решить уравнение ах = 8.

Решение. Если а ≠0 то х = hello_html_346d3966.gif. Если а = 0, то уравнение примет вид 0 • х = 8. Это уравнение решений не имеет.

Ответ: если а 0, то х = hello_html_346d3966.gif; если а = 0, то решений нет.

Пример 2. Решить уравнение - 2)х = 4 т.

Решение. Если m - 2 = 0, то есть m= 2, то уравнение примет вид 0 • х = 8. Это уравнение решений не имеет. Если т 2, то hello_html_2b611d33.gif

Ответ: если т 2, то hello_html_2b611d33.gif ; если т=2,то решений нет.

Пример 3. Решить уравнение а2х - a2 - х + а + 2 = 0.

Решение. Оставим в левой части уравнения выражения с пере­менной, константы перенесем в правую часть:

а 2х - х = а2 – а- 2,

2 - 1)х = (а - 2)(а + 1),

(а – 1)(а + 1) х = (а – 2)(а + 1). Достаточно рассмотреть три случая:


1) а = 1, 2) a = -1, 3) а hello_html_m6573e5f8.gif

Если а =1, то уравнение перепишется в виде 0 hello_html_m1b98ca08.gif = -2. Это уравнение решений не имеет. Если a = -1, то 0 • х = 0, и решением будет любое действительное число. Если

а hello_html_m6573e5f8.gif, то hello_html_m444aa4f.gif

Ответ - если а hello_html_m6573e5f8.gif, то hello_html_m444aa4f.gif , если a = -1, то х –любое, если

а = 1, то решений нет.

Пример 4.Определить количество корней в зависимости от значений параметра т:

т2х +4т +4 = 4х + 3т2.

Решение. Преобразуем уравнение:

т2х - = Зт2 - 4т - 4, 2 - 4)х = Зт2 -4т-4.

Разложим на множители выражения, стоящие в левой и пра­вой частях уравнения;

2)(т + 2) х = 3(т + hello_html_a7084f8.gif)(т - 2).

Проведя рассуждения, аналогичные рассуждениям при реше­нии примеров 1-3., получим ответ.

Ответ: если т ±2, то одно решение; если т = 2, то решений бесконечно много; если т = -2, то решений нет.

Пример 5. При каких целых значениях параметра а корень уравнения

(а – 5)(х-1) + а = 3 лежит в промежутке [0; 5hello_html_57b48064.gif?

Решение. Очевидно, при а 5 уравнение имеет корень hello_html_279c69a.gif +1. Найдем значения а, при которых корень уравнения лежит в промежутке [0; 5]. Для этого решим двойное неравенство 0≤ hello_html_6b32f828.gif+1 ≤ 5:

0≤ hello_html_6b32f828.gif +1 ≤ 5 hello_html_39bcdcee.gifhello_html_mff4770b.gifhello_html_39bcdcee.gifhello_html_m3a40178.gifhello_html_39bcdcee.gif аhello_html_m289d78ff.gifhello_html_41ad1323.gif.Следовательно, а любое целое число из промежутка hello_html_41ad1323.gif.


Ответ: аhello_html_m289d78ff.gifhello_html_41ad1323.gif.

Пример 6. При каких значениях параметра а корень уравнения 2ax - 3 = + а не меньше корня уравнения 5х - а(х + 1) = 0?

Решение. Приведем оба уравнения к виду хр = q и решим их: 2ах -3 = 4х + а hello_html_39bcdcee.gif 2ах - = 3 + а <=> х(2а - 4) = а + 3, 5х - a(x + 1) =0 <=> 5х - ах = а hello_html_39bcdcee.gif

х(5 - а) - а.

Первое уравнение имеет корень hello_html_3ba6f8c8.gif при аhello_html_3750bfcb.gif2, второе уравнение имеет корень hello_html_35642f42.gif при аhello_html_3750bfcb.gif5.Из условия получаем неравенство hello_html_m3d470ed8.gif . Преобразуем его:

hello_html_2bc12b65.gif

Последнее неравенство приводится к виду hello_html_7503d36f.gif


Решаем это неравенство методам интервалов:


hello_html_44c6a07e.png

Ответ: аhello_html_m289d78ff.gifhello_html_m53d4ecad.gifhello_html_567bb313.gif


Упражнения для самостоятельной и домашней работы

Решите уравнение (1-12).

1. (а+1)х=а-1. 7. (а-3)х=3-а.

2. (а-2)х=5-а. 8. т2х-3=9х+т.

3. ах=а2 -4а. 9.(а+6)(а-5)х=а2-36.

4. 2ах=а3-а. 10. а2х-а2-х=3а+2.

5.(а2 +а)х =а2-4а. 11. тх +2х +3 =1-х.

6. (а2-а)х=а2+а. 12. т2х=т(х+2)-2.

Тема 2. Дробно-рациональные уравнения с параметрами.

Алгоритм решения уравнения hello_html_51adb1c5.gif

Условие для поиска

значений параметра а

Характеристика

множества корней

1.hello_html_76613352.gif



hello_html_m22a1b8d4.gif(нет корней).

2. hello_html_2bdf550c.gif

один корень hello_html_f774924.gif.

3. hello_html_m65081638.gif

x – любое из R

Простейшее уравнение первой степени с одним неизвестным имеет вид ax-b=0, где a, b, xhello_html_12394510.gif. Оно приводится к виду ax=b, при этом возможны три случая:

  1. при hello_html_27ca5b09.gif уравнение имеет единственное решение hello_html_m521d272.gif, которое будет: положительным (x>0), если hello_html_m53d4ecad.gifa>0, b>0; или a<0, b<0;

нулевым (x=0), если b=0,hello_html_27ca5b09.gif;

отрицательным (x<0), если a>0,b<0; или a<0, b>0;

2) при a=0 и b=0: hello_html_m37a7c3f1.gif, xhello_html_12394510.gif

3) при a=0, hello_html_b9561fa.gif: hello_html_6226e42c.gif, hello_html_3b80fddd.gifhello_html_m22a1b8d4.gif.

Пример 1.Решить уравнение hello_html_30d2ad17.gif

Решение: hello_html_5ec7b8ca.gif приводим к виду hello_html_5693fff1.gif

При a=1, hello_html_m11db0e09.gif=0, hello_html_m3742561f.gif ;

при a=-1, hello_html_m65a6cfea.gif и hello_html_3b80fddd.gifhello_html_m22a1b8d4.gif ;

при hello_html_4c3c9e01.gif;hello_html_m70561e8b.gif

Ответ: при hello_html_4c3c9e01.gif, hello_html_m70561e8b.gif; при а=1, xhello_html_12394510.gif; при а = -1, hello_html_3b80fddd.gifhello_html_m22a1b8d4.gif.

Пример2.Найдите все значения hello_html_m2a2503ee.gif, которые удовлетворяют неравенству hello_html_670a6d39.gif<hello_html_5998e36d.gif при любом значении параметра hello_html_38534871.gif, принадлежащем промежутку hello_html_43d0612.gif

Решение:

Неравенство приводится к виду hello_html_21abc2df.gif, в котором левая часть, рассматриваемая как функция от hello_html_38534871.gif, есть линейная функция hello_html_m330e973a.gif с коэффициентами, зависящими от hello_html_m2a2503ee.gif. В задаче требуется найти все значения hello_html_m2a2503ee.gif, при каждом из которых эта функция отрицательна для всех hello_html_5ef83856.gif.

  1. Для отрицательности линейной функции hello_html_45e0a642.gif на промежутке (1; 2) необходимо, чтобы она была отрицательна или равна нулю при каждом из двух значений hello_html_627bef6d.gif и hello_html_m4f67905e.gif, т.е. выполнялась система hello_html_m2b8ea873.gif;

hello_html_3f776859.gif.

3) Для выполнения требования задачи функция hello_html_45e0a642.gif не должна равняться нулю при обоих значениях hello_html_627bef6d.gif и hello_html_m4f67905e.gif одновременно, т. е. не выполняется система hello_html_2c83b832.gif;

hello_html_1e717792.gif.

4) Выполнения двух полученных условий уже достаточно для отрицательности hello_html_4ab290b3.gif на данном промежутке. Таким образом, искомые значения hello_html_m2a2503ee.gif — это решения системы hello_html_m4f9a973.gif

Ответ: hello_html_m398a804e.gif.


Пример 3. Решить уравнение hello_html_m7e562aae.gif

Решение: hello_html_160fa42c.gif

hello_html_6712ad96.gif

Ответ: если hello_html_619ff5ed.gif,то hello_html_m78de01d4.gif если hello_html_39b883c7.gif,hello_html_m77902c56.gif,то hello_html_3b80fddd.gifhello_html_m22a1b8d4.gif .


Пример 4. Решить уравнение: hello_html_19d7d51e.gif .

Решение:

hello_html_m52b0826.gif, hello_html_m64d07140.gif

hello_html_m35655d88.gif

hello_html_250a2e34.gif

hello_html_m646096d1.gif

Ответ: если hello_html_m21f51199.gif, то hello_html_m3a84c789.gif

если hello_html_m5bf97521.gif , то hello_html_3b80fddd.gifhello_html_m22a1b8d4.gif.

Пример 5. В магазин на 7 автомашинах различной грузоподъемности привезли 90 ящиков яблок. В некоторых машинах было по 15, а в других по т ящиков. Определить сколько машин привезли по 15, сколько по т ящиков.

Проверить решение при т=8, 10, 15, 20.

Решение: Если предположить, что х машин привезли по т ящиков, то решение задачи сведется к нахождению целого положительного решения уравнения hello_html_27c6aa49.gif

По условию задачи hello_html_m24e9335f.gif, т < 90, причем х и т натуральные числа.

Если hello_html_385bbc83.gif Определим, при каких допустимых значениях параметра т х натуральное число меньше 7, т.е. hello_html_m628e9812.gif.

Отсюда, hello_html_20df1dfa.gif или hello_html_mb4e0ab3.gif.

По смыслу задачи hello_html_m384c89e3.gif. Значит hello_html_m597de1ea.gif.

hello_html_113da3f7.gifнатуральное число, если 15 нацело делится на т – 15. Приравнивая т – 15 к делителям 15 (т.е. к 1, 3, 5, 15), найдем значение т, при которых х натуральное число:

hello_html_m7f89ad3.gif

hello_html_3187c827.gif

hello_html_5797962d.gif

hello_html_m4096ebf4.gif

При hello_html_md34d37.gif при hello_html_3219e59c.gif

При т=8, 15, 20 нет решения; при т=10, х=3.

Ответ: Если на 5 машинах привезли по 12, то на 2-х машинах – по 15 ящиков. Если же на 3-х машинах привезли по 10, то на 4-х машинах – по 15 ящиков.

Упражнения:

1. Определить значение k, при которых корни уравнения hello_html_m68daa583.gif положительны.

2. Решить уравнение hello_html_3d7246b8.gif

Решить уравнения и определить знаки корней:

3. hello_html_329727c5.gif . 4. hello_html_158b1d15.gif.

5. hello_html_8adfd55.gif. 6. 3.x + 9 = a(ax).

7. Найти все b, при каждом из которых решение уравнения hello_html_7fd40260.gif меньше1.

8. Найти все m, при каждом из которых решение уравнения hello_html_m6193a191.gifбольше 3.

9. Найти все a, при каждом из которых решение уравнения hello_html_7144c621.gif меньше 2.

Решить уравнения:

10.hello_html_m5115d647.gif. 11.hello_html_6313ce07.gif 12.hello_html_1f5f56f9.gif

13.hello_html_mcceded9.gif 14.hello_html_6bde6910.gif 15.hello_html_m39014c84.gif

16.hello_html_1ca9c235.gif 17.hello_html_272ff09e.gif 18.hello_html_m3ffff7a9.gif

19.hello_html_2dc82dc2.gif 20.hello_html_m5789c2f0.gif 21.hello_html_m2034576.gif

22.hello_html_3fb82690.gif 23.hello_html_m5c5c3440.gif

24.hello_html_m135ba685.gif


2.3. Линейные неравенства с параметрами.

Алгоритм решения неравенства hello_html_m2dcd6c29.gif

Условие для поиска

значений параметра а

Характеристика

множества корней

1.hello_html_m40f572da.gif



hello_html_m22a1b8d4.gif(нет решений).

2. hello_html_m1598f8af.gif

hello_html_m4651d75.gif.

3. hello_html_m36cbc4da.gif

hello_html_46114e26.gif

4. hello_html_9d2a59a.gif

x – любое из R


Пример 1.Решить неравенство hello_html_m7ccb015a.gif

Решение: Преобразуем неравенство:

hello_html_13c13e15.gifhello_html_3e1eeaed.gifhello_html_6e62186d.gif

Если hello_html_71bc5681.gif, то неравенство пишется так: hello_html_m183187e2.gif ему удовлетворяет любое х. Если hello_html_m39392247.gif, то hello_html_1238fb15.gif Если hello_html_m48255708.gif, то hello_html_1061bd45.gif

Ответ: Если hello_html_m48255708.gif, то hello_html_m3f3e785d.gif если hello_html_71bc5681.gif, то х – любое число; если hello_html_m39392247.gif, то hello_html_3e7040ec.gif

Пример 2. Решить неравенство hello_html_m4db21369.gif

Решение: Здесь

hello_html_b600bf4.gif

  1. 1) k(a) имеет смысл при любых hello_html_m5854ebed.gif;

2) b(а) не имеет смысла при hello_html_m45ee746e.gif т.е. при hello_html_e0ae9f7.gif

3) система hello_html_a13dcc4.gif

Таким образом, при hello_html_11980dba.gif исходное неравенство не имеет решений.

  1. Система

hello_html_7693be32.gif

При таких значениях а имеем решение hello_html_m52529da8.gif

  1. Система

hello_html_7446cb65.gif

При таких значениях а имеем решение hello_html_54e8362a.gif

4. Система hello_html_m791c1770.gif в данном случае не имеет решений, так как hello_html_m2af13023.gif при всех допустимых значениях а.

Ответ: если hello_html_m1cfc99ba.gif то решений нет; если hello_html_18f0cc3a.gif то hello_html_m72c0484c.gif в иных случаях hello_html_m52529da8.gif


Упражнения:

1. hello_html_meb88455.gif2. hello_html_m333f34de.gif

3. hello_html_30991c5b.gif4. hello_html_m2238a358.gif

5. hello_html_m37e58c4c.gif6. hello_html_m41b8f831.gif.

7. hello_html_m7a7ef21c.gif 8. hello_html_m632fd3ba.gif

9. hello_html_358f82cd.gif 10. hello_html_618e0a23.gif

11. hello_html_c9872e1.gif 12. hello_html_18696330.gif

13. hello_html_m6b75decc.gif 14. hello_html_m502bca00.gif

15. hello_html_mf094a76.gif 16. hello_html_7c9914ea.gif

17. найдите все значения параметра а, при каждом из которых неравенство hello_html_70486752.gifвыполняется для всех х из промежутка hello_html_m28dde311.gif

2.4.Квадратные уравнения с параметром Алгоритм решения уравнения

hello_html_m785f2e8e.gif(далееhello_html_31dfac1b.gif).

Условие для поиска

значений параметра а

Характеристика

множества корней

1.hello_html_m64293050.gif



hello_html_m22a1b8d4.gif(нет корней).

2. hello_html_52536ec5.gif

один корень hello_html_m713e983f.gif.

3. hello_html_m713ecaf9.gif

один корень hello_html_4b3ab40f.gif.

4. hello_html_m14521af.gif

два корня:

hello_html_m20f0b4b.gif

5. hello_html_m4b36cf.gif

x – любое из R

Пример 1. При каких значениях параметра а уравнение hello_html_618f2440.gif имеет единственное решение?

Решение: Прежде всего обратим внимание на распространенную ошибку: считать исходное уравнение квадратным. На самом деле это уравнение степени не выше второй. Пользуясь этим соображением, естественно начать решение, рассмотрев случай, когда hello_html_2375da23.gif. Итак, если hello_html_2375da23.gif, то очевидно данное уравнение имеет единственное решение. Если же hello_html_190a0512.gif, то имеем дело с квадратным уравнением. Его дискриминант hello_html_m312e7023.gif принимает значение, равное нулю, при hello_html_21e326c9.gifОтвет: hello_html_2375da23.gifили hello_html_21e326c9.gif

Пример 2. Решить уравнение hello_html_747c9c6f.gif.

Решение: Если hello_html_cc0e5fa.gif, то hello_html_m34320479.gif

Если hello_html_42c0be2c.gif, то уравнение квадратное, найдем дискриминант.

hello_html_m54398f00.gif

то уравнение имеет корни.

При hello_html_42c0be2c.gif

а) hello_html_m6e232ff8.gif, если hello_html_6bfa5fd6.gif,

hello_html_2602c217.gif

б) если hello_html_465fd5fd.gif.

Ответ: при hello_html_m2c08e366.gif

при hello_html_m43d8f6a9.gif.

Пример 3. При каких значениях параметра а уравнение hello_html_368dba20.gif имеет: а) два положительных корня; б) два отрицательных корня; корни различных знаков?

Решение: hello_html_368dba20.gif;

если hello_html_m40a239cb.gif, то hello_html_m1f886511.gif

а) Согласно теореме Виета hello_html_196f9ac8.gifhello_html_m732324f8.gif

б) hello_html_m1a7504a4.gif решений нет;

в) если hello_html_m630d8e22.gif, то hello_html_m56a2e473.gif

hello_html_m40a239cb.gif; hello_html_m4094642b.gif

Ответ: а) hello_html_m732324f8.gif б) таких b не существует ; в) hello_html_m630d8e22.gif.

Пример 4.Найти все значения а, при которых уравнение hello_html_5cfa2750.gif имеет только целые корни.

Решение. Пусть hello_html_2375da23.gif, тогда из уравнения следует, что hello_html_76d74b8a.gif Поэтому hello_html_2375da23.gif удовлетворяет условию задачи. Пусть hello_html_190a0512.gif, тогда уравнение равносильно уравнению hello_html_7689e027.gif. Если х1 и х2 – целые корни нового уравнения, то hello_html_1ce3341d.gif и hello_html_37797fa5.gif – целые числа (теорема Виета), откуда следует, что их сумма, то есть – целое число. Пусть hello_html_m7da41898.gif, где hello_html_243d8183.gif тогда hello_html_66826d69.gif, hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m1dee48c.gif, причем hello_html_74883804.gif – целое число, то есть n может принимать значения из чисел hello_html_m7c5d5fc9.gif Проверка показывает, что только при hello_html_m70f275fc.gif и hello_html_130e2268.gif все корни исходного уравнения являются целыми числами. 

Ответ:  hello_html_m7b76ef89.gif

Пример 5. Найдите наибольшее значение а, при котором уравнение

x3 + 5x2 + ax + b = 0 с целыми коэффициентами имеет три различных корня, один из которых равен – 2.

Решение: 1).Подставим х = – 2 в левую часть уравнения. –8 + 20 – 2а + b = 0 b = 2a – 12.

2) Так как х = – 2 является корнем, то в левой части уравнения можно вынести общий множитель + 2. Производим тождественные преобразования, выделяя общий множитель (x + 2),


x3 + 5x2 + ax + b = x3 + 2x2 + 3x2 + ax + (2a – 12) = x2(x + 2) + 3x(x + 2) – 6x + ax


+ (2a – 12) = x2(x + 2) + 3x(x + 2) + (a – 6)(x + 2) – 2(a – 6) + (2a – 12) =


= (x2 + 3x + (a – 6))(x + 2).


3) По условию имеется еще два корня уравнения. Значит, дискриминант первого сомножителя положителен.

D = (–3)3 – 4(a – 6) = 33 – 4a > 0 a < 8,25.


4) Подставим а = 8 в исходное уравнение

x3 + 5x2 + ax + b = x3 + 5x2 + 8x + 4 = (x2 + 3x + 2)( х + 2) = (х + 1)(х + 2)2

Тогда уравнение имеет только два различных корня. Подставим а = 7 в исходное уравнение

x3 + 5x2 + ax + b = x3 + 5x2 + 7x + 2 = (x2 + 3x + 1)(х + 2)

У первого сомножителя корни различны, так как дискриминант

D = (–3)2 – 4 = 5 > 0 . Эти корни – иррациональные, так как иррационален hello_html_110ad2b7.gif. Значит, у уравнения есть три различных корня.

Ответ: 7.




Упражнения:

  1. Решить уравнение hello_html_m12bdde7e.gif

  2. Решить уравнениеhello_html_4f94e477.gif

  3. При каких значениях параметра а уравнение hello_html_2baf1dc6.gif имеет: а) два положительных корня; б) два отрицательных корня; корни различных знаков?

  4. При каких значениях параметра р ровно один из корней уравнения  hello_html_m65f77a82.gif равен нулю?

  5. При каком значении параметра р корни уравнения hello_html_6b6111d0.gif равны по модулю, но противоположны по знаку?

  6. При каком значении параметра а оба корня уравнения hello_html_6f6bf0c4.gif равны нулю?

  7. При каких значениях параметра а уравнение hello_html_m2bc24514.gif имеет единственное решение, удовлетворяющее условиюhello_html_m63bb2895.gif ?

  8. Решить уравнения при всех значениях параметра: а)hello_html_7fe951ab.gif б)hello_html_m10cb9716.gif в)hello_html_f458bf0.gif

г)hello_html_m27c2eb11.gif

  1. Решить уравнениеhello_html_193f4991.gif

  2. При каких значениях параметра а уравнение hello_html_50fe0a96.gif имеет более двух корней?

    1. Квадратные неравенства с параметром

Алгоритм решения неравенства

hello_html_m5d09c06b.gif(здесь hello_html_31dfac1b.gif).

Условие для поиска

значений параметра а

Характеристика

множества корней

1.hello_html_m73c0795f.gif



hello_html_m22a1b8d4.gif(нет корней).

2. hello_html_m551a5af3.gif

hello_html_501b6a91.gif.

3. hello_html_m2138904f.gif

hello_html_131fe383.gif.

4. hello_html_m72783f6e.gif

hello_html_62b38b4f.gif.

5. hello_html_m44660b0f.gif

hello_html_ce2e8e2.gifhello_html_61d26e71.gif

6. hello_html_4e2fd797.gif

x – любое из R


Пример 1. При каких а неравенство hello_html_m3f0e3ca.gifвыполняется при всех х?

Решение: т.к. коэффициент при hello_html_2199c9b8.gif положителен, то неравенство верно при всех х, если hello_html_m10d2d0c7.gifhello_html_m7dd8e23d.gifОтвет:hello_html_m6abcb27f.gif

Пример 2. При каких т неравенство hello_html_25f1be8c.gifвыполняется только для одного действительного х ?

Решение: 1) hello_html_4d50b4f9.gif, не одно значение х , то hello_html_70c9fd25.gif не удовлетворяет условию.

2) hello_html_4ab62214.gif, рассмотрим квадратичную функцию hello_html_m6a2784a3.gif

hello_html_ma531990.png

Если hello_html_m5ca248cb.gif , то ветви параболы направлены вниз и потому неравенство не может иметь единственное решение.

hello_html_381f0f4a.png

Если hello_html_m455c35d5.gif , то ветви параболы направлены вверх, то – это возможно, когда hello_html_4a782bdb.gif;

hello_html_mda2393a.gif

hello_html_m6fb6de6f.gif

hello_html_3232b90a.gif.

Ответ: hello_html_371d7b17.gif или hello_html_3eab703f.gif

Пример 3. Найдите все значения hello_html_m2a2503ee.gif, которые удовлетворяют неравенству hello_html_670a6d39.gif<hello_html_5998e36d.gif при любом значении параметра hello_html_38534871.gif, принадлежащем промежутку hello_html_43d0612.gif


Решение:

  1. Неравенство приводится к виду hello_html_21abc2df.gif, в котором левая часть, рассматриваемая как функция от hello_html_38534871.gif, есть линейная функция hello_html_m330e973a.gif с коэффициентами, зависящими от hello_html_m2a2503ee.gif. В задаче требуется найти все значения hello_html_m2a2503ee.gif, при каждом из которых эта функция отрицательна для всех hello_html_5ef83856.gif.

  2. Для отрицательности линейной функции hello_html_45e0a642.gif на промежутке (1; 2) необходимо, чтобы она была отрицательна или равна нулю при каждом из двух значений hello_html_627bef6d.gif и hello_html_m4f67905e.gif, т.е. выполнялась система hello_html_m2b8ea873.gif;

hello_html_3f776859.gif.

3) Для выполнения требования задачи функция hello_html_45e0a642.gif не должна равняться нулю при обоих значениях hello_html_627bef6d.gif и hello_html_m4f67905e.gif одновременно, т. е. не выполняется система hello_html_2c83b832.gif;

hello_html_1e717792.gif.

4) Выполнения двух полученных условий уже достаточно для отрицательности hello_html_4ab290b3.gif на данном промежутке. Таким образом, искомые значения hello_html_m2a2503ee.gif — это решения системы hello_html_m4f9a973.gif

Ответ: hello_html_m398a804e.gif.



Упражнения:

  1. При каких а множество решений неравенства hello_html_7fa009d9.gif будет интервал длины 5.

  2. При каких а неравенство hello_html_7b3c55b1.gif выполняется при всех значениях х.

  3. Найдите все значения а, для которых неравенство hello_html_m7310c1be.gif выполняется при всех значениях х.

  4. При каких а неравенство hello_html_m14bf8422.gifвыполняется при всех х.

  5. При каких а неравенство hello_html_m354ce7a0.gif выполняется при всех х.

  6. Найти все значения а, при которых все решения неравенства hello_html_m328bfc4a.gif являются решениями неравенства hello_html_m57c65fa5.gif.

  7. Найти все значения х, при которых неравенство hello_html_m24454d18.gif выполняется для всех а, удовлетворяющих условию hello_html_1adf2d95.gif.

  8. Даны два многочлена: hello_html_m17870b5e.gif, hello_html_3d00bc4f.gif. При каких значениях а один из данных многочленов имеет корень ,а другой нет?

  9. Найти наибольшее значение квадратного трехчлена hello_html_491cc4a6.gifна отрезке hello_html_b4c4456.gif.

  10. Для каких значений параметра а наименьшее значение функции hello_html_2258d77a.gif на отрезке hello_html_68f38c23.gif ровно 4?

2.6. Иррациональные уравнения с параметром.

Пример 1.Решить уравнение hello_html_5151b8c8.gif

Решение: т.к. hello_html_6d913021.gif то hello_html_63a425ad.gifhello_html_3230b44e.gif, тоhello_html_m218cf82.gif.

Тогда hello_html_4ee29f39.gif, т.к. hello_html_c001220.gif при любом х, то любой корень уравнения удовлетворяет условию hello_html_m39763749.gif.

Получили: hello_html_2694e0fe.gif

hello_html_m619fedb4.gifhello_html_379daf0.gif.

1. hello_html_71bc5681.gif, то hello_html_71e2478b.gif – нет решений;

2. hello_html_m52ff37e2.gif, то hello_html_2ca69955.gif;

3. При каких hello_html_3a280d1c.gif?

hello_html_11d27810.gif

hello_html_m484fdf91.gifили hello_html_601d2c04.gif

hello_html_m749f970.gifhello_html_m5c5b3cf0.gif

Ответ: при hello_html_m13bf089.gif; при hello_html_1b652d16.gif – нет решений.

Пример 2.Решить уравнение hello_html_230b96c9.gif.

Решение:

1 способ.

1. hello_html_6d913021.gifhello_html_3230b44e.gif, то

hello_html_m5fac9bde.gif hello_html_5c9c02cc.gif

Получили:

hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_17ac056e.gifто hello_html_1dc65c6c.gif т.к. hello_html_230a8cc5.gif, то hello_html_2375da23.gif

или hello_html_24ac0335.gif

hello_html_mb129ca.gif

2. Возведем обе части уравнения в квадрат:

hello_html_me599f1e.gif., т.е. hello_html_224c965c.gif

hello_html_34e4b714.gif hello_html_3fb3f132.gifhello_html_m2fd57e79.gif

hello_html_407be6f2.gif

hello_html_36cae754.gif

т.к. hello_html_5fa6ce9c.gif и hello_html_m531fc4d5.gif, то hello_html_33530e9a.gif возможно при hello_html_7a0d18b1.gifи hello_html_296b42c7.gif, hello_html_m70817a25.gif

hello_html_152cd4a8.gif

hello_html_1289849d.gif

т.к. hello_html_5fa6ce9c.gif , hello_html_m3380f438.gif; при hello_html_m59facb0e.gif

2 способ.

1.hello_html_230b96c9.gif; hello_html_22f8c2f2.gifhello_html_m3a611c7a.gifhello_html_6223fe5c.gifhello_html_m53d4ecad.gifhello_html_59c4102b.gif

hello_html_17ac056e.gifhello_html_m75ea3607.gifhello_html_m4bcf3298.gifили hello_html_554dc33a.gif

Если hello_html_2375da23.gif, то hello_html_7559624a.gif При hello_html_12d9fccb.gifhello_html_64c38a28.gif

2. hello_html_me599f1e.gif, hello_html_70671e81.gif, hello_html_6d37b54c.gif,

добавим и отнимем х: hello_html_m3551fb3e.gif,

hello_html_c1d38e1.gif,

hello_html_m1e52fecd.gif,

hello_html_2812ab3.gifили hello_html_930a771.gif

hello_html_m288becaa.gif Т.к. hello_html_m6eb249dc.gifhello_html_m11a844e3.gif

Ответ: hello_html_39fc28e4.gif; hello_html_m6f3e9ec2.gif;

hello_html_m43805115.gif.

Пример 3. Найдите все значения параметра а , при которых уравнение hello_html_399173e3.gif имеет только одно решение.

Решение:

Уравнение hello_html_399173e3.gif равносильно

hello_html_6315d352.gif; hello_html_515ccc10.gif.

Это уравнение имеет один корень, если

1) hello_html_m62f0b9a8.gif

hello_html_m6b1becf7.gif

hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_36bff6b3.gifhello_html_m5efbe42.gif.

При hello_html_6b3639ce.gifhello_html_m320525f5.gif.

а) Пусть hello_html_3038aa65.gif, тогда

hello_html_745eb77e.gif, т.е. hello_html_21884f90.gif – подходит.

б) Пусть hello_html_m8739630.gif, тогда

hello_html_m2d5ba99d.gif. Это просто доказать. Таким образом, hello_html_21884f90.gif также подходит.

  1. Только один из корней удовлетворяет условию равносильности hello_html_m7ddd4366.gif

Пусть hello_html_d1c31e4.gif

Еhello_html_442aa885.pngсли hello_html_m706c6118.gif, т.е. единственный корень, такой что hello_html_m7ddd4366.gif


Графически это выглядит так.


hello_html_55d4585d.gif

hello_html_2ca8187a.gif

Учтем, чтоhello_html_m2ff820e9.gif,т.е. hello_html_m4b4e385.gif.

Ответ: при hello_html_m5eebdc2a.gif уравнение

hello_html_399173e3.gifимеет только один корень.


Пример 4. Найдите все значения параметра а , при которых уравнение hello_html_m7db55f1d.gif имеет только два решения.

Решение: Уравнение hello_html_m7db55f1d.gif равносильно

hello_html_337d3196.gif;

hello_html_m551e594a.gif

Чтобы было два корня, нужно hello_html_58849554.gif ; hello_html_230a8cc5.gif. Но при hello_html_2375da23.gifhello_html_m53844eae.gif, и существует только один корень.

Ответ: при hello_html_230a8cc5.gif уравнение hello_html_m7db55f1d.gif имеет только два решения.


Пример 5. При каких значениях параметра а , где hello_html_m22ba6109.gif, абсолютная величина разности hello_html_4c619696.gif будет наименьшей для hello_html_m751dff65.gif?

Решение: Так как hello_html_m751dff65.gif, тоhello_html_48f7f10c.gif, тогда

hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m56b15da7.gif

Домножать на hello_html_5c2e5ef.gif можно, так как hello_html_70ad9703.gif, иначе hello_html_m720a8fe0.gif , но это ложно.

Выясним, при каком значении х hello_html_5d885264.gif.

hello_html_m54d85e7a.gif; hello_html_1c8218b8.gif, т.е. hello_html_28af2180.gif; hello_html_m7ac929ae.gif, но hello_html_m751dff65.gif.

а) Пусть hello_html_m6e158416.gif; тогда hello_html_6ef6b4e0.gif.

Рассмотрим hello_html_4c619696.gif, она равна hello_html_m567882d8.gif.

б) Пусть hello_html_m24555884.gif, тогда hello_html_m131f98fd.gif.

Рассмотрим hello_html_4c619696.gif, она равна hello_html_m11a6f302.gif.

Очевидно, что hello_html_4aea11ad.gif, поэтому при hello_html_6d51144e.gif абсолютная величина разности hello_html_m69c98694.gifбудет наименьшей для hello_html_m751dff65.gif

Ответ: при hello_html_6d51144e.gif абсолютная величина разности hello_html_4c619696.gif, где hello_html_m22ba6109.gif будет наименьшей для hello_html_m5d0f4926.gif.


Упражнения:

  1. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение hello_html_40b7b384.gif имеет только одно решение.

  2. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение hello_html_m249e6c5e.gif имеет только два решения.

  3. Найдите все значения параметра а, при которых уравнениеhello_html_m298d801a.gif имеет единственное решение.

  4. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение hello_html_7a8687d1.gifимеет только два решения.

  5. Найдите все значения параметра а, при которых уравнениеhello_html_m1446f9ae.gif имеет единственное решение.

  6. Сколько корней имеет уравнение hello_html_m73605cfb.gif в зависимости от значений параметра а ?

  7. При каких значениях параметра а , где hello_html_5518ace7.gif, абсолютная величина разности hello_html_m48c372d8.gif будет наименьшей для hello_html_m751dff65.gif?

  8. При каких значениях параметра а hello_html_2bbb83f5.gif чётная функция?

  9. Найдите все значения параметра а, при которых область определения функции hello_html_50d17a21.gifсодержит в точности 4 однозначных натуральных числа.

  10. Найдите все значения параметра а, при которых область определения функции hello_html_mf6a3082.gifсодержит в точности 3 однозначных натуральных числа.


2.7. Показательные уравнения с параметром.

Пример 1. Решить уравнение hello_html_m18fc7c17.gif

Решение: По определению показательной функции hello_html_m383dd089.gif

Если hello_html_350b152b.gif то х – любое.

Если hello_html_34ba278a.gif

Если hello_html_m79b5026a.gif

Если hello_html_4fb141ad.gifпрологарифмируем данное равенство по основанию а:

hello_html_d814c6b.gif

если hello_html_m521ecf12.gifто hello_html_7e57db9f.gif.

если hello_html_7d3c58c7.gifhello_html_m2d6ff8ee.gif то hello_html_m6848d512.gif нет решений.

Ответ: при hello_html_m38ab4fed.gif;

при hello_html_m6dab7d53.gif

при hello_html_m352766b.gif

при hello_html_m1d19948e.gif

при hello_html_78f47013.gif нет решений.

Пример 2. Найдите все значения параметра а , при которых уравнение hello_html_m64926e28.gifимеет единственный корень.

Решение: hello_html_m43dd6ce2.gif Так решать технически сложно, будем решать иначе, зная, что hello_html_m55149103.gif всегда.

а) Если hello_html_m12f932ac.gif то корень всегда есть, и только один положительный hello_html_m4352f0ac.gif, что и нужно. И так как hello_html_5bf95a1.gif то hello_html_m3f4ef46a.gif

б) Если hello_html_4d22b617.gif то оба корня меньше нуля, и это не подходит (hello_html_m55149103.gif), так как hello_html_m6e11ceab.gifдля hello_html_6215a01d.gif

в) Если hello_html_m4d3ae167.gif то hello_html_m468f3181.gifhello_html_m22a1b8d4.gif .

Ответ: при hello_html_5bf95a1.gif уравнение hello_html_m64926e28.gifимеет единственный корень.

Пример 3. Дана функция hello_html_7ce22a1e.gifгде hello_html_m9479b29.gif,. При каком а функция hello_html_m2e8ad4e5.gifявляется четной.

Решение: Т.к. область определения функции hello_html_m2e8ad4e5.gif все действительные числа, то чтобы она была четной достаточно чтобы hello_html_m3c2af4e0.gif при всех х.

Получили: hello_html_m6222a33e.gif

hello_html_654666b1.gif

hello_html_1a18137b.gif

hello_html_4a7ae6b9.gif или hello_html_m3b87437c.gif

hello_html_6d61efd6.gif

Ответ: hello_html_m4e079f77.gif

Пример 4. Найдите все значения параметра р, при каждом из которых уравнение (1,5р – 7) 32 0,4 х+ 0,2 + (29р -154 ) 0,125 hello_html_m14d49918.gif +11р -41 =0 имеет ровно 10р – р2 -24 различных корней.

Решение.

1) По свойствам степеней 32 0,4 х+ 0,2 = (25) 0,4 х+ 0,2 =22х+1=2 hello_html_41b1474e.gif4х,

0,125hello_html_m14d49918.gif =(2-3) hello_html_m14d49918.gif =2х. Поэтому данное уравнение имеет вид (3р-14) 4х + (29р- - 154) 2х +11р - 41=0

2) Пусть t = 2х > 0. Тогда ( 3р – 14 ) t2 + (29р -154 ) t + 11р – 41 =0. ( hello_html_mb270eae.gif) Получили квадратное уравнение относительно t . Значит, число п различных корней исходного уравнения не больше 2.

Если п =2, то по условию 10р р2 -24 =2, р2 -10р +26 =0, что невозможно, т.к. Д = -4 <0.

3) Если п = 1, то 10р р2 -24 =1, р2 -10р +25 =0, р=5. Тогда уравнение ( hello_html_mb270eae.gif) примет вид t2 - 9 t +14 =0, t1 =2, t2 =7. Так как t = 2х , то х1=1, х2 = log2 7. Поэтому исходное уравнение имеет 2 корня, что противоречит п =1.

4) Если п =0, то 10р р2 -24=0, р2 -10р +24 =0, р1=4, р2= 6. Пусть р = 4. Тогда

( hello_html_mb270eae.gif) примет вид -2 t2 -38 t +3 =0.Ветви параболы направлены вниз, ось Оу она пересекает выше точки (0;0). Поэтому уравнение ( hello_html_mb270eae.gif) имеет ровно один положительный корень t0 и исходное уравнение имеет ровно один корень

х = log2 t0. Значит, п=1 , что противоречит п=о.

5) Если п=о, а р=6, то уравнение ( hello_html_mb270eae.gif) примет вид 4 t2 +20 t +25 =0, t=-2,5. Так как t = 2х > 0, то исходное уравнение не имеет корней. Значит, п = 0, т.е. р =6 удовлетворяет условию задачи.

Ответ: 6.


Упражнения:

  1. При каких а уравнение hello_html_3b391d07.gif имеет единственное решение?

  2. При каких а уравнение hello_html_403b6eaf.gif имеет ровно один корень?

  3. При каких а уравнение hello_html_73497d89.gif имеет ровно один корень?

  4. Найти значения параметра р, при которых уравнение hello_html_m4a20d99.gif имеет хотя бы одно решение.

  5. При каких а уравнение hello_html_5598395.gifимеет решение?

  6. При каких значениях параметра а уравнение hello_html_54d3cc69.gifне имеет решений?

  7. Решить уравнение hello_html_m31243022.gif.

  8. При каких а уравнение hello_html_m752ee90b.gifимеет решение?

  9. При каких а уравнение hello_html_11bca74f.gifимеет решение?

  10. При всех значениях параметра а решить уравнение hello_html_f51b5f5.gif.

2.8.Логарифмические уравнения с параметром.

Пример 1.При каких а выражения hello_html_m1782aab2.gif и hello_html_4b16380c.gif принимают одинаковые значения.?

Решение: hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m5df5c423.gif, hello_html_m510e22e9.gif,

hello_html_m5126636e.gif или hello_html_m45dab4eb.gif

hello_html_m71962dc3.gifhello_html_m1e12a687.gif

hello_html_787861bf.gif – верно, hello_html_4163631c.gif.

Ответ: hello_html_m71962dc3.gif,hello_html_58ddbfe0.gif.

Пример 2. Для каждого а решить уравнение hello_html_23d25acd.gif.

Решение:

hello_html_m38f19546.gifhello_html_m604f0c5d.gif

hello_html_m2062e5b9.gif.

Ответ: при hello_html_m767d1443.gif

при hello_html_m1a50a40d.gif нет решений.

Пример 3. При каких а уравнение hello_html_m42e3af81.gif имеет ровно один корень?

Решение:

hello_html_m53b025e0.gif или hello_html_m3baf9186.gif

hello_html_7aec4cc3.gifhello_html_7dab9741.gif

hello_html_7f38cd8.gifдва корня, не удовлетворяет условию.

При hello_html_m8085b92.gif то hello_html_77b12cd2.gif не имеет смысла, hello_html_1853073e.gif, то hello_html_mcea9eba.gif.

Ответ:hello_html_m3dbb571e.gif

Упражнения:

  1. Для каждого а решить уравнение hello_html_4f7b97bb.gif.

  2. Для каждого а решить уравнение hello_html_16e2aa18.gif.

  3. Для каждого а решить уравнение hello_html_70525710.gif.

  4. Решить уравнение hello_html_m1e401063.gif.

  5. Найти все а при которых уравнение hello_html_1675e071.gif имеет ровно один корень.

  6. При каких а уравнение hello_html_md57d731.gif имеет хотя бы одно решение.

  7. При каких а уравнение hello_html_279092b.gif имеет хотя бы одно решение.

  8. При каких значениях параметра а уравнение hello_html_11f2d623.gifимеет единственное решение?

  9. Решить уравнение hello_html_m331d9169.gif

  10. Найдите все значения параметра а, при которых область определения функции hello_html_4d014949.gif не содержит отрезка длины 2


Контрольная работа.

Вариант 1.

  1. Решите уравнение:

а) а(ах – 1 ) + 3 = 3ах;

б) hello_html_4b3a5625.gif

2. Решите неравенство ах-а2-2х + 3аhello_html_m78774d40.gif2.

3. Решить уравнение: hello_html_m5789c2f0.gif

4. При каких а неравенство hello_html_m14bf8422.gifвыполняется при всех х.


Вариант 2.

1.Решите уравнение:

а). т (х-3) + 2 = т (тх -1);

б) hello_html_2b0ace4c.gif

2. Решите неравенство а(ах-1) hello_html_3b008c03.gif 3( 2ах -3х +1).

3.Решить уравнение: hello_html_m2034576.gif

4. При каких а уравнение hello_html_403b6eaf.gif имеет ровно один корень?


Литература, использованная при подготовке программы:

1.Гуськова Л.Н. «Задачи с параметрами» Казань 1992 г.

2. П.И.Торштейн, В.Б.Полонский. «Задачи с параметрами». «Илекса»Москва-1999.

3.А.Х.Шахмейстер. «Задачи с параметрами в ЕГЭ». Москва 2006г.

4.В.П.Моденов. «Задачи с параметрами». «Экзамен». Москва. 2007 г.

5. Л. Солуковцева. «Линейные и дробно-линейные уравнения и неравенства с параметрами. Москва.2007г.

Литература , рекомендованная для учащихся:

  1. Черкасов О., Якушев А. "Математика. Интенсивный курс подготовки к
    экзамену". Москва 2003 г.

  1. Рурукин А.Н. "Математика Интенсив". Москва 2004 г.

  1. Гусев В.А., Мордкович А.Г. «Математика. Справочные материалы".
    Москва 1988 г.

  2. Амелькин В. В. и Рабцевич В. Л. "Задачи с параметрами". Издательство
    "Асар". Минск 1996 г.


31




57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)


Автор
Дата добавления 15.12.2015
Раздел Математика
Подраздел Рабочие программы
Просмотров192
Номер материала ДВ-261936
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх