Программа элективного курса по математике "Параметры".

Карадуванская средняя общеобразовательная школа

Балтасинского муниципального района РТ.

Авторская программа элективного курса для 11 класса

«Уравнения и неравенства с параметрами».

                                                 Выполнила: Галимова Рауза Рафаэловна

                                                            учитель высшей квалификационной

            категории.

Пояснительная записка.

Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами. Не только сложность и оригинальность задач с параметрами как учебных привлекают к себе внимание. Оно связано в большей степени с тем, что необходимой частью таких задач является исследование характера и конечного результата процесса, описываемого математической моделью уравнения или неравенства в зависимости от значения параметров, причем не всегда от каждого параметра в отдельности, но и от их совокупности. Решение таких задач очень неформально, требует владения многими методами, а сами задачи чрезвычайно разнообразны. Очень важно и то, что в таких задачах в полной мере реализуется принцип научности образования, т. к. методы решения задач с параметрами находят широкое применение в современной математике, как в теоретических ее разделах, так и в математическом моделировании.

  В школе первые представления о параметре ученики получают при изучении прямой пропорциональности; линейной функции; линейного уравнения; уравнения первой степени; квадратного уравнения; исследования количества корней квадратного уравнения в зависимости от значений параметра. Параметр, будучи фиксированным, но неизвестным числом, имеет как бы двойственную природу. Во-первых, предполагаемая известность позволяет «общаться» с параметром как с числом, а во-вторых,- степень свободы общения ограничивается его неизвестностью. Задачи с параметрами играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры у школьников, но их решение вызывает значительные сложности. Это связано с тем, что каждое уравнение или неравенство с параметрами представляет собой целый класс обычных уравнений и неравенств, для каждого из которых должно быть получено решение. Важно знакомить учащихся с различными способами решения задачи, а не отдавать предпочтение какому-то одному способу. Ученик должен знать, что при выполнении работы он может выбрать любой способ решения, важно, чтобы задача была решена правильно. При подготовке к экзамену большое внимание следует уделять накоплению у учащихся опыта самостоятельного поиска решений, чтобы на экзамене каждый ученик был готов к полной самостоятельности в работе.  

Настоящая программа предназначена для  старшей школы в классах естественнонаучного и социально-экономического профилей и позволяет организовать систематическое изучение вопросов, связанных с параметрами.

В процессе изучения данного элективного курса старшеклассник познакомится с различными методами решения задач с параметрами. Элективный курс предусматривает не только овладение различными  умениями, навыками, приемами для решения задач, но и создает условия для формирования мировоззрения ученика, логической и эвристической составляющих мышления. Задачи с параметрами, как правило, относятся к наиболее трудным задачам, носят исследовательский характер. В школьных учебниках по математике таких задач недостаточно. Практика итоговых экзаменов в школе и приемных экзаменов в высшие учебные заведения показывает, что задачи с параметрами представляют для учащихся наибольшую сложность, как в логическом, так и в техническом плане, и поэтому умение их решать во многом предопределяет успешную сдачу экзамена в любое высшее учебное заведение. Старшеклассники, изучившие данный материал, смогут реализовать полученные знания и умения на итоговой аттестации в форме ЕГЭ.  

Ценность задач данного элективного курса – демонстрация их общности с точки зрения исследования  и анализа реальных процессов средствами математики. Значительное место в курсе уделено практической направленности материала, его приложений, мотивации процесса познания.

   Программа предусматривает чтение установочных лекций, проведение практических занятий. Все занятия должны носить проблемный характер и включать в себя самостоятельную работу. Успешность усвоения курса определяется преобладанием самостоятельной творческой работы ученика. Программа курса рассчитана на 34 часа. Предлагается большое количество  упражнений. Формой итогового контроля может стать зачетная  работа, контрольная работа или защита собственного проекта по теме.

Цели курса:

Ø усвоение курса,  углубление знаний учащихся, развитие математического и логического мышления, навыков исследовательской работы, умений воспринимать и интерпретировать разнообразную социальную, экономическую, политическую информацию. Развитие целостной математической составляющей картины мира через углубление и расширение знаний учащихся по данной теме.

Ø Обучение учащихся точной, экономной и информативной речи, умению отбирать наиболее подходящие языковые средства.

Ø Формирование у учащихся качеств мышления, характерных для математической деятельности и необходимых для продуктивной жизни в обществе.

Ø содействовать в воспитании сознательного отношения к усвоению курса; поддерживать детей в борьбе с трудностями, унынием; помочь учащимся с выбором профиля.

     Назначение курса:

Ø Дополнение базового образования; обучение культуре общения в ходе самопознания, самоконтроля; воспитание сознательного отношения к учению.

Задачи курса:

Ø Расширение и развитие математического образования в общеобразовательной школе; сближение элективного курса с курсами физики, геометрии, где многие процессы и закономерности приводят к решению задач с параметрами.

Ø Создание условий для формирования и развития практических умений учащихся решать задачи с параметрами, используя различные методы и приемы;

   В результате изучения курса учащиеся приобретут:

Ø Представление о роли математики в познании мира, математических методах исследования;

Ø Знание основных алгоритмов решения задач с параметрами, различных методов и приёмов решения задач;

Ø Умения:

-работать с различными источниками информации;

-анализировать результаты, делать умозаключения;

-решать различными методами задачи с параметрами;

-выбрать рациональный способ решения;

-графически представлять результаты;

Формы проведения занятий: Коллективная (фронтальная); групповая, индивидуальная (с самопроверкой, взаимопроверкой, последующим обсуждением).   

 Методы: Эвристическая беседа, вопросно-ответный метод, образец ответа, метод поиска решения задачи (анализ ).Организационные приёмы решения:  комментированное решение; коллективная работа(1 учащиеся у доски); для «сильных» групповая или парная работа; самостоятельная работа с последующей проверкой на доске или на экране; разбиение задач на отдельные задачи; устные ответы учащихся .

Ожидаемые результаты:

     В результате изучения курса у учащихся формируются навыки исследования, умение анализировать ситуацию, повышение интереса к предмету, ориентация на подготовку продолжения образования по избранному предмету.   

                                        Учебно – тематический план курса.

№	Наименование темы	Виды  деятельности	Методы проведения	Количество часов
				Всего	Теория	Практика
1.	Введение	Изучение теории.	Обьяснительно- иллюстративный	1	1	-
2.	Решение уравнений и неравенств различного типа.			26	8	18
2.1	Линейные уравнения с параметрами.	Изучение теории.	Практическая работа.	3	1	2
2.2.	Дробно-рациональные уравнения с параметрами.	Обьяснительно- иллюстративный	Лекция.	3	1	2
2.3.	Дробно линейные неравенства с параметрами.		Исследователь. работа	3	1	2
2.4.	Квадратные уравнения с параметрами.	Обьяснительно- иллюстративный	Групповая работа по теме.	3	1	2
2.5.	Квадратные неравенства с параметрами.	Обьяснительно- иллюстративный	Групповая работа по теме.	3	1	2
2.6.	Иррациональные уравнения.	Лекция.	Практикум	3	1	2
2.7.	Показательные  уравнения.	Лекция.	Практикум	4	1	3
2.8.	Логарифмические уравнения	Лекция.	Практикум	4	1	3
3.	Зачетная работа.		Индивидуаль. задание	2	-	2
4.	Контрольная работа.		Индивидуаль. задание	2	-	2
5.	Конструирование задач на изучаемую тему курса.	Поиск решений	Исследователь. работа	3	-	3

 Содержание курса.

1.     Введение

          Теоретические сведения о задачах с параметрами, классификация, основные методы и приемы решения.

Первое занятие предполагает актуализацию известных фактов. Здесь, помимо знакомства с основными теоретическими положениями, ведётся разговор о возможностях применения знаний из данной темы. Прогнозируется форма отчёта по изучению курса, намечаются темы будущих проектов.

          2. Решение уравнений и неравенств различного типа.

Систематизация различных типов уравнений и неравенств, различных методов решения. Решение задач. Алгоритмы решения уравнений и неравенств. Линейные уравнения и неравенства. Уравнения и неравенства, сводящиеся к линейным.     Уравнения и неравенства, приводимые к квадратным.

  Логарифмические и показательные уравнения и неравенства. Тригонометрические уравнения и неравенства. Дробно-рациональные уравнения и неравенства с параметрами.

          Теоретическая часть занятий предполагает лекции с элементами проблемного изложения. На всех практических занятиях должна присутствовать самостоятельная работа учащихся: индивидуально, в парах, в группах – в зависимости от уровня обучаемости школьников. Такая организация способствует реализации развивающих целей курса, так как развитие  способностей учащихся  возможно лишь при сознательном, активном участии в работе самих учащихся. При проведении каждого занятия следует предусмотреть этап самопроверки (самооценки) учащихся.

3.Зачетная работа.  

Зачетная работа включает задачи, рассмотренные на занятиях, самостоятельное решение предложенных задач с последующим разбором вариантов решения. Учащимся, ориентированным на выполнение заданий более высокого уровня сложности, предлагается выполнить другие задания. Например решение заданий из вариантов ЕГЭ.

              4. Контрольная работа.

Учащимся предлагается задачи из  рассмотренных  тем в двух вариантах.

5.     Конструирование задач на изучаемую тему курса. 

После  работы  с рекомендованной литературой самостоятельно изучить тему с последующей презентацией: « Нестандартные» задачи с параметрами. «Графическое решение задач с параметрами»  «Координатно-параметрический метод решения задач с параметрами».

 Тема 1.              Линейные уравнения с параметрами.

 Пример 1. Решить уравнение ах = 8.

Решение. Если  а ≠0 то х = . Если а = 0, то уравнение примет вид 0 • х = 8. Это уравнение решений не имеет.

Ответ: если  а ≠ 0, то х = ; если а = 0, то решений нет.

Пример 2. Решить уравнение (т - 2)х =  4 т.

Решение. Если m - 2 = 0, то есть m= 2, то уравнение примет вид 0 • х = 8. Это уравнение решений не имеет. Если т≠  2, то   

   Ответ: если  т≠  2, то          ; если т=2,то решений нет.

 Пример 3. Решить уравнение а²х - a² -  х + а + 2 = 0.  

Решение. Оставим в левой части уравнения выражения с пере­менной, константы перенесем в правую часть:

а ²х - х = а² – а- 2,       

(а² - 1)х = (а - 2)(а + 1),         

(а – 1)(а + 1) х = (а – 2)(а + 1).  Достаточно рассмотреть три случая:

1) а = 1, 2) a = -1, 3) а ≠

Если а =1, то уравнение перепишется в виде 0  = -2. Это уравнение решений не имеет. Если a = -1, то 0 • х = 0, и решением будет  любое  действительное число. Если

  а ≠ , то        

  Ответ  - если  а ≠ , то       , если       a = -1,  то х –любое, если

                                                              а = 1,   то решений нет.      

Пример 4.Определить  количество корней в зависимости от значений параметра т:

т²х +4т +4 = 4х + 3т².

 Решение. Преобразуем уравнение:

                       т²х - 4х = Зт² - 4т - 4, (т² - 4)х = Зт² -4т-4.

Разложим на множители выражения, стоящие в левой и пра­вой частях уравнения;

(т – 2)(т + 2) х = 3(т +   )(т - 2).

Проведя рассуждения, аналогичные рассуждениям при реше­нии примеров 1-3., получим ответ.

Ответ: если т ≠ ±2, то одно решение; если т = 2, то решений бесконечно много; если т = -2, то решений нет.

Пример 5. При каких целых значениях параметра а корень уравнения

 (а – 5)(х-1) + а = 3 лежит в промежутке [0; 5?

Решение. Очевидно, при а ≠   5 уравнение имеет корень  +1.  Найдем значения  а, при которых корень уравнения лежит в промежутке  [0; 5]. Для этого решим двойное неравенство  0≤ +1 ≤ 5:

0≤  +1 ≤ 5   а.Следовательно, а любое целое число из промежутка   .

  Ответ:  а.

Пример 6. При каких значениях параметра а корень уравнения 2ax - 3 = 4х + а не меньше корня уравнения 5х - а(х + 1) = 0?

 Решение. Приведем оба уравнения к виду  хр = q и решим их: 2ах -3 = 4х + а    2ах - 4х = 3 + а <=> х(2а - 4) = а + 3, 5х - a(x + 1) =0 <=> 5х - ах = а  

 х(5 - а) - а.

Первое уравнение имеет корень   при  а2,   второе уравнение имеет корень   при  а5.Из    условия  получаем  неравенство  . Преобразуем его:

 

Последнее неравенство приводится к виду  

 Решаем   это неравенство методам интервалов:

 Ответ: а

Упражнения для самостоятельной и домашней работы

Решите уравнение (1-12).

1. (а+1)х=а-1.                              7. (а-3)х=3-а.

2. (а-2)х=5-а.                               8. т²х-3=9х+т.

3. ах=а² -4а.                                 9.(а+6)(а-5)х=а²-36.

4. 2ах=а³-а.                                 10. а²х-а²-х=3а+2.

5.(а² +а)х =а²-4а.                        11. тх +2х +3 =1-х.

6. (а²-а)х=а²+а.                          12. т²х=т(х+2)-2.

 Тема 2.                Дробно-рациональные уравнения с параметрами.

                                  Алгоритм решения уравнения

Условие для поиска значений  параметра а	Характеристика множества корней
1.	(нет корней).
2.	один корень .
3.	x – любое из R

Простейшее уравнение первой степени с одним неизвестным имеет вид ax-b=0, где a, b, x. Оно приводится к виду ax=b, при этом возможны три случая:

1)    при  уравнение имеет единственное решение , которое будет: положительным (x>0), если a>0, b>0;  или  a<0, b<0;

      нулевым (x=0), если b=0,;

      отрицательным (x<0), если a>0,b<0;   или   a<0, b>0;

2) при a=0 и b=0:     ,   x

3) при a=0, :    , .

 Пример 1.Решить уравнение   

Решение:  приводим к виду  

При a=1, =0,  ;

при a=-1,  и  ;

при ;

Ответ: при , ;  при а=1,  x; при а = -1, .

Пример2.Найдите все значения , которые удовлетворяют неравенству  <   при любом  значении параметра , принадлежащем промежутку

Решение:

Неравенство приводится к виду , в котором левая часть, рассматриваемая как функция от , есть линейная функция  с коэффициентами, зависящими от .  В задаче требуется найти все значения , при каждом из которых эта функция отрицательна для всех  .

1)    Для отрицательности  линейной функции  на промежутке (1; 2) необходимо, чтобы она была отрицательна или равна нулю при каждом из двух значений  и , т.е. выполнялась система ;

.

3) Для выполнения требования задачи функция  не должна равняться нулю при обоих значениях  и  одновременно, т. е. не выполняется система    ;

.

4) Выполнения двух полученных условий уже достаточно для отрицательности  на данном промежутке. Таким образом, искомые значения  — это решения системы 

Ответ: .

Пример 3. Решить уравнение   

Решение:

Ответ: если ,то  если ,,то  .

Пример 4. Решить уравнение:   ^.

Решение:

,

 Ответ: если , то

если  , то .

Пример 5.  В магазин на 7 автомашинах различной грузоподъемности привезли 90 ящиков яблок. В некоторых машинах было по 15, а в других по т ящиков. Определить сколько машин привезли по 15, сколько по т ящиков.

Проверить решение при т=8, 10, 15, 20.

Решение: Если предположить, что х машин привезли по т ящиков, то решение задачи сведется к нахождению целого положительного решения уравнения

По условию задачи  , т < 90, причем х и т натуральные числа.

Если  Определим, при каких допустимых значениях параметра т х натуральное число меньше 7, т.е. .

Отсюда,     или . 

По смыслу задачи .  Значит .

  – натуральное число, если  15 нацело делится на т – 15.  Приравнивая т – 15 к делителям  15 (т.е. к 1, 3, 5, 15), найдем значение т, при которых х натуральное число:

        

        

        

        

При   при

При т=8, 15, 20 нет решения;  при т=10, х=3.  

Ответ: Если на 5 машинах привезли по 12, то на 2-х машинах  – по 15 ящиков. Если  же на 3-х машинах привезли по 10, то на 4-х машинах –  по 15 ящиков.

Упражнения:

1. Определить значение k, при которых корни уравнения  положительны.

 2. Решить уравнение  

Решить уравнения и определить знаки корней:

3.  .                                                      4. .

5. .                                     6. 3.x + 9 = a(a – x).

7. Найти все b, при каждом из которых решение уравнения                    меньше1.

8. Найти все m, при каждом из которых решение уравнения больше 3.

9. Найти все a, при каждом из которых решение уравнения                  меньше 2.

Решить уравнения:

10..                 11.                  12.  

13.                        14.                   15.

16.                           17.                             18.

19.                               20.                           21.

22.                      23.

24.

2.3. Линейные неравенства с параметрами.

Алгоритм решения неравенства

Условие для поиска значений  параметра а	Характеристика множества корней
1.	(нет решений).
2.	.
3.
4.	x – любое из R

Пример 1.Решить неравенство

         Решение: Преобразуем неравенство:

    

Если  , то неравенство пишется так:  ему удовлетворяет любое х. Если , то  Если , то

         Ответ: Если , то  если  , то х – любое число; если , то

         Пример 2. Решить неравенство

         Решение: Здесь

                           

1.     1) k(a) имеет смысл при любых ;

2) b(а) не имеет смысла при  т.е. при

3) система

     Таким образом, при   исходное неравенство не имеет решений.

2.     Система

     При таких значениях а имеем решение

3.     Система

     При таких значениях а имеем решение

         4.   Система  в данном случае не имеет решений, так как  при всех допустимых значениях а.

         Ответ: если  то решений нет; если  то  в иных случаях

Упражнения:

1.                        2.

3.                            4.

5.                          6. .

7.                    8.

9.                10.

11.   12.

13.                             14. 

15.                           16.

17. найдите все значения параметра а, при каждом из которых неравенство выполняется для всех х из промежутка

2.4.Квадратные уравнения  с параметром                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    Алгоритм решения уравнения

 (далее).

Условие для поиска значений  параметра а	Характеристика множества корней
1.	(нет корней).
2.	один корень .
3.	один корень .
4.	два корня:
5.	x – любое из R

Пример 1. При каких значениях параметра а уравнение  имеет единственное решение?

Решение: Прежде всего обратим внимание на распространенную ошибку: считать исходное уравнение квадратным. На самом деле это уравнение степени не выше второй. Пользуясь этим соображением, естественно начать решение, рассмотрев случай, когда . Итак, если , то очевидно данное уравнение имеет единственное решение. Если же , то имеем дело с квадратным уравнением. Его дискриминант   принимает значение, равное нулю, при                                                   Ответ: или

 Пример 2. Решить уравнение .  

Решение: Если , то

               Если ,  то уравнение квадратное, найдем дискриминант.

то уравнение имеет корни.

               При

а) , если ,

б) если .

   Ответ:  при

               при .

Пример 3.  При каких значениях параметра а уравнение   имеет: а) два положительных корня; б) два отрицательных корня; корни различных знаков?

Решение: ;

         если  , то

а) Согласно теореме Виета    

б)    решений нет;

в) если , то

             ;

Ответ: а)   б) таких b не существует ; в) .

 Пример 4.Найти все значения а, при которых уравнение       имеет только целые корни.

Решение. Пусть , тогда из уравнения следует, что  Поэтому  удовлетворяет условию задачи. Пусть , тогда уравнение равносильно уравнению . Если х₁ и х₂ – целые корни нового уравнения, то  и  – целые числа (теорема Виета), откуда следует, что их сумма, то есть 2а – целое число. Пусть , где  тогда , , причем  – целое число, то есть n может принимать значения из чисел  Проверка показывает, что только при  и  все корни исходного уравнения являются целыми числами. 

Ответ:  

Пример 5.  Найдите наибольшее значение  а,   при котором уравнение 

x³ + 5x² + ax + b = 0   с целыми коэффициентами имеет три различных корня, один из которых равен  – 2.

Решение:  1).Подставим  х = – 2  в левую часть уравнения.   –8 + 20 – 2а + b = 0  Þ   b = 2a – 12.

2)  Так как х = – 2  является корнем, то в левой части уравнения можно вынести общий множитель   x + 2.   Производим тождественные преобразования, выделяя общий множитель  (x + 2),

x³ + 5x² + ax + b  =  x³ + 2x² + 3x² + ax + (2a – 12) = x²(x + 2) + 3x(x + 2) – 6x + ax

+ (2a – 12) =   x²(x + 2) + 3x(x + 2) + (a – 6)(x + 2)  –  2(a – 6) + (2a – 12) =

=  (x² + 3x + (a – 6))(x + 2).

3) По условию имеется еще два корня уравнения. Значит, дискриминант первого сомножителя положителен.   

D = (–3)³ – 4(a – 6) = 33 – 4a > 0    Þ    a < 8,25.

4)  Подставим  а = 8  в исходное уравнение

x³ + 5x² + ax + b  =  x³ + 5x² + 8x + 4  = (x² + 3x + 2)( х + 2) = (х + 1)(х + 2)²

Тогда уравнение имеет только два различных корня. Подставим  а = 7  в исходное уравнение

x³ + 5x² + ax + b = x³ + 5x² + 7x + 2 = (x² + 3x + 1)(х + 2)

У первого сомножителя корни различны, так как дискриминант

D = (–3)² – 4 =  5 > 0 . Эти корни – иррациональные, так как иррационален . Значит, у уравнения есть три различных корня.

  Ответ: 7.

Упражнения:

1.     Решить уравнение

2.     Решить уравнение 

3.     При каких значениях параметра а уравнение  имеет: а) два положительных корня;                                                                                 б) два отрицательных корня; корни различных знаков?

4.     При каких значениях параметра р ровно один из корней уравнения   равен нулю?

5.     При каком значении параметра р корни уравнения  равны по модулю, но противоположны по знаку?

6.     При каком значении параметра а оба корня уравнения  равны нулю?

7.     При каких значениях параметра а уравнение  имеет единственное решение, удовлетворяющее условию ?                        

8.     Решить уравнения при всех значениях параметра:                              а)                                                                                       б)                                                                                              в)                                          

          г) 

9.     Решить уравнение 

10.  При каких значениях параметра а уравнение  имеет более двух корней? 

2.5.          Квадратные неравенства  с параметром

               Алгоритм решения неравенства

 (здесь ).

Условие для поиска значений  параметра а	Характеристика множества корней
1.	(нет корней).
2.	.
3.	.
4.	.
5.
6.	x – любое из R

Пример 1.  При каких а неравенство выполняется при всех х?

Решение: т.к. коэффициент  при  положителен, то неравенство верно при всех х, если        Ответ:

Пример 2. При каких т неравенство выполняется только для одного действительного х ?

Решение: 1) , не одно значение х , то  не удовлетворяет условию.

2) , рассмотрим квадратичную функцию  

Если  , то ветви параболы направлены вниз и потому неравенство не может иметь единственное решение.

Если  , то ветви параболы направлены вверх, то – это возможно, когда ;

.

Ответ:    или  

Пример 3. Найдите все значения , которые удовлетворяют неравенству  <   при любом  значении параметра , принадлежащем промежутку

Решение:

2)      Неравенство приводится к виду , в котором левая часть, рассматриваемая как функция от , есть линейная функция  с коэффициентами, зависящими от .  В задаче требуется найти все значения , при каждом из которых эта функция отрицательна для всех  .

3)      Для отрицательности  линейной функции  на промежутке (1; 2) необходимо, чтобы она была отрицательна или равна нулю при каждом из двух значений  и , т.е. выполнялась система ;

.

3) Для выполнения требования задачи функция  не должна равняться нулю при обоих значениях  и  одновременно, т. е. не выполняется система    ;

.

4) Выполнения двух полученных условий уже достаточно для отрицательности  на данном промежутке. Таким образом, искомые значения  — это решения системы 

Ответ: .

  Упражнения:

1.      При каких а множество решений неравенства  будет интервал длины 5.

2.      При каких а неравенство  выполняется при всех значениях х.

3.      Найдите все значения а, для которых неравенство  выполняется при всех значениях х.

4.       При каких а неравенство выполняется при всех х.

5.      При каких а неравенство  выполняется при всех х.

6.     Найти все значения а, при которых все решения неравенства  являются решениями неравенства .

7.     Найти все значения х, при которых неравенство  выполняется для всех а, удовлетворяющих условию .

8.     Даны два многочлена: , . При каких значениях а один из данных многочленов имеет корень ,а другой нет?

9.     Найти наибольшее значение квадратного трехчлена на отрезке .

10.  Для каких значений параметра а наименьшее значение функции  на отрезке  ровно 4?

2.6. Иррациональные уравнения  с параметром.

 Пример 1.Решить уравнение   

         Решение: т.к.  то  , то.

Тогда , т.к.  при любом х, то любой корень уравнения удовлетворяет условию .

         Получили: 

    .

1. , то    –  нет решений;

2. , то   ;

3. При каких ?

      или   

                      

Ответ: при ;    при    – нет решений.

Пример 2.Решить уравнение    .

Решение:

1 способ.

 1.   , то

      

          Получили:

 то  т.к. , то

         или

  

2. Возведем обе части уравнения в квадрат:

., т.е.

                        

т.к.  и , то  возможно при и ,

т.к.  , ;  при 

         2 способ.

    1.;                

    или

Если , то   При  

    2.  ,   ,   ,

добавим и отнимем х:   ,

,

,

      или   

                                                                                                   Т.к.

Ответ:    ;  ;

               .

Пример 3.  Найдите все значения параметра а , при которых уравнение    имеет только одно решение.

Решение:

Уравнение  равносильно

 ;   .

Это уравнение имеет один корень, если

1)

   

         .

  При .

  а)  Пусть  , тогда

     ,   т.е.   – подходит.

  б)  Пусть , тогда

     .  Это просто доказать. Таким образом,   также подходит.

2)    Только один из корней удовлетворяет условию равносильности

Пусть

Если , т.е. единственный корень, такой что

Графически это выглядит так.  

Учтем, что , т.е. .

   Ответ:    при   уравнение 

    имеет только один корень.

Пример 4.  Найдите все значения параметра а , при которых уравнение    имеет только два решения.

Решение: Уравнение  равносильно

;

Чтобы было два корня, нужно  ; . Но при  , и существует только один корень.

Ответ: при  уравнение    имеет только два решения.

Пример 5.  При каких значениях параметра а , где , абсолютная величина разности  будет наименьшей для ?

Решение:  Так как , то, тогда

Домножать  на  можно, так как , иначе  , но это ложно.

Выясним, при каком значении х .

;   ,   т.е. ;  , но .

а) Пусть ; тогда .

     Рассмотрим , она равна .

б) Пусть , тогда .

Рассмотрим , она равна .

Очевидно, что , поэтому при  абсолютная величина разности будет наименьшей для

Ответ: при  абсолютная величина разности , где   будет наименьшей для . 

Упражнения:

1.     Найдите все значения параметра а, при которых уравнение   имеет только одно решение.

2.     Найдите все значения параметра а, при которых уравнение  имеет только два решения.

3.     Найдите все значения параметра а, при которых уравнение имеет единственное решение.

4.     Найдите все значения параметра а, при которых уравнение имеет только два решения.

5.     Найдите все значения параметра а, при которых уравнение имеет единственное решение.

6.     Сколько корней имеет уравнение  в зависимости от значений параметра а ?

7.     При каких значениях параметра а , где , абсолютная величина разности  будет наименьшей для ?

8.     При каких значениях параметра а  чётная функция?

9.     Найдите все значения параметра а, при которых область определения функции содержит в точности 4 однозначных натуральных числа.

10. Найдите все значения параметра а, при которых область определения функции содержит в точности 3 однозначных натуральных числа.

                2.7.        Показательные уравнения  с параметром.

             Пример 1.    Решить уравнение  

Решение: По определению показательной функции

         Если  то х – любое.

         Если

         Если

Если  прологарифмируем данное равенство по основанию а:

если то  .

если    то    нет решений.

         Ответ: при ;

                      при 

                      при 

                      при

                      при  нет решений.

Пример 2. Найдите все значения параметра а , при которых  уравнение имеет единственный корень.

         Решение:  Так решать технически сложно, будем решать иначе, зная, что  всегда.

а) Если   то корень всегда есть, и только один положительный , что и нужно. И так как  то

б) Если  то оба корня меньше нуля, и это не подходит (), так как для

в) Если  то  .

Ответ: при  уравнение имеет единственный корень.

Пример 3. Дана функция где ,. При каком а функция является четной.

Решение: Т.к. область определения функции  все действительные числа, то чтобы она была четной достаточно чтобы  при всех х.

         Получили:

        

        

          или

        

Ответ:  

Пример 4. Найдите все значения параметра р, при каждом из которых уравнение  (1,5р – 7)  32 ^{0,4 х+ 0,2} + (29р -154 )  0,125    +11р -41 =0 имеет ровно 10р – р² -24 различных корней. 

Решение.

1) По свойствам степеней   32 ^{0,4 х+ 0,2}  = (2⁵) ^{0,4 х+ 0,2} =2^2х+1=2 4^х,

0,125  =(2^-3)   =2^х. Поэтому данное уравнение имеет вид (3р-14) 4^х + (29р-      -  154) 2^х +11р - 41=0

2) Пусть  t = 2^х  > 0. Тогда  ( 3р – 14 ) t² + (29р -154 ) t + 11р – 41 =0.  ( ) Получили квадратное  уравнение относительно t . Значит, число п  различных корней исходного уравнения  не больше 2.

Если п =2, то по условию 10р – р² -24 =2,   р²  -10р +26 =0,  что невозможно, т.к. Д = -4 <0.

3) Если п = 1, то 10р – р² -24 =1,  р²  -10р +25 =0, р=5. Тогда уравнение  ( ) примет вид  t² - 9 t +14 =0, t₁ =2, t₂ =7. Так как    t = 2^х  , то х₁=1,  х₂ = log₂ 7. Поэтому  исходное уравнение имеет 2 корня, что противоречит п =1.

4) Если п =0, то  10р – р² -24=0,   р²  -10р +24 =0,  р₁=4, р₂= 6. Пусть  р = 4. Тогда

( ) примет вид  -2 t² -38 t +3 =0.Ветви параболы направлены вниз, ось Оу она пересекает выше точки (0;0). Поэтому уравнение ( ) имеет ровно один положительный корень  t₀  и исходное уравнение имеет ровно один корень

х = log₂ t_0.  Значит, п=1 , что противоречит  п=о.

5) Если   п=о, а  р=6, то уравнение   ( ) примет вид  4 t² +20 t +25 =0,  t=-2,5. Так как  t = 2^х  > 0, то исходное уравнение не имеет корней. Значит, п = 0, т.е. р =6 удовлетворяет условию задачи.

Ответ: 6.

Упражнения:

1.     При каких а уравнение  имеет единственное решение?

2.     При каких а уравнение  имеет ровно один корень?

3.     При каких а уравнение  имеет ровно один корень?

4.     Найти значения параметра р, при которых уравнение  имеет хотя бы одно решение.

5.     При каких а уравнение имеет решение?

6.     При каких значениях параметра а уравнение не имеет решений?

7.     Решить уравнение .

8.     При каких а уравнение имеет решение?

9.     При каких а уравнение имеет решение?

10. При всех значениях параметра а решить уравнение .

                    2.8.Логарифмические уравнения  с параметром.

Пример 1.При каких а  выражения  и   принимают одинаковые значения.?

Решение:    ,    ,

                     или 

                                                                          

                                                – верно,         .

Ответ: ,.

Пример 2.  Для каждого а решить уравнение .

Решение:

   

.

Ответ: при

            при  нет решений.

Пример 3. При каких  а уравнение  имеет ровно один корень?

Решение:

                     или 

                                      

два корня, не удовлетворяет условию.

При  то  не имеет смысла, , то .

Ответ:

                           Упражнения:

1.     Для каждого а решить уравнение .

2.     Для каждого а решить уравнение .

3.     Для каждого а решить уравнение .

4.     Решить уравнение .

5.     Найти все а при которых уравнение  имеет ровно один корень.

6.     При каких а уравнение  имеет хотя бы одно решение.

7.     При каких а уравнение  имеет хотя бы одно решение.

8.     При каких значениях параметра а уравнение имеет единственное решение?

9.     Решить уравнение

10. Найдите все значения параметра а, при которых область определения функции  не содержит отрезка длины 2

                                               Контрольная работа.

Вариант 1.

1.     Решите уравнение:

   а) а(ах – 1 )  + 3 = 3ах;

  б)

2. Решите неравенство  ах-а²-2х + 3а2.

3. Решить уравнение:   

4. При каких а неравенство выполняется при всех х.

Вариант 2.

 1.Решите уравнение:

   а). т (х-3) + 2 = т (тх -1);

  б)

2. Решите неравенство  а(ах-1)  3( 2ах -3х +1).

3.Решить уравнение:

4. При каких а уравнение  имеет ровно один корень?

  Литература, использованная при подготовке программы:  

1.Гуськова Л.Н. «Задачи с параметрами» Казань 1992 г.

2. П.И.Торштейн, В.Б.Полонский. «Задачи с параметрами». «Илекса»Москва-1999.

3.А.Х.Шахмейстер. «Задачи с параметрами в ЕГЭ». Москва 2006г.

4.В.П.Моденов. «Задачи с параметрами». «Экзамен». Москва. 2007 г.

5. Л. Солуковцева. «Линейные и дробно-линейные уравнения и неравенства с параметрами. Москва.2007г.

 Литература , рекомендованная для учащихся:

1. Черкасов О., Якушев А. "Математика. Интенсивный курс подготовки к
экзамену". Москва 2003 г.

2.         Рурукин А.Н. "Математика Интенсив". Москва 2004 г.

3.         Гусев В.А., Мордкович А.Г. «Математика. Справочные материалы".
Москва 1988 г.

4.         Амелькин В. В. и  Рабцевич В. Л. "Задачи с параметрами". Издательство
"Асар". Минск 1996 г.