Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Рабочие программы / Рабочая программа элективного курса по математике 11 класс " Решение задач повышенной трудности по математике"

Рабочая программа элективного курса по математике 11 класс " Решение задач повышенной трудности по математике"


  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа д.Нуркеево

муниципального района Туймазинский район

Республики Башкортостан




Утверждаю:

Согласовано:

Рассмотрено на

Директор школы

Заместитель

заседании ШМО

МБОУ СОШ д. Нуркеево

директора по УВР


Гордеева О. А.

Фарихьянова А. Р.

Протокол № 1 от

___________

____________

25 августа 2015 г.

Приказ № 257 од от

2 сентября 2015 г.


2 сентября 2015 г.





















РАБОЧАЯ ПРОГРАММА

ЭЛЕКТИВНОГО КУРСА ПО МАТЕМАТИКЕ

«РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПОВЫШЕННОЙ ТРУДНОСТИ»

11 КЛАСС

БАЗОВЫЙ УРОВЕНЬ

НА 2015-2016 УЧЕБНЫЙ ГОД







Разработчик программы:

Фарихьянова А. Р.

учитель математики

высшей

квалификационной категории








д. Нуркеево

2015

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

В соответствии с концепцией модернизации школьного образования элективные курсы являются обязательным компонентом школьного обучения.

Необходимость такого курса вызвана несколькими причинами:

  • результаты ЕГЭ приводят к выводу о том, что выпускники испытывают серьезные затруднения при решении уравнений с параметрами.

  • необходимостью формирования логического мышления и математической культуры у школьников;

  • тесной взаимосвязью таких задач с физическими процессами и геометрическими закономерностями.

Данный элективный курс знакомит учащихся с функционально-графическими методами решения алгебраических задач с параметрами и модулем. К сожалению, в школьной программе этим заданиям мало уделяется времени и практикум призван восполнить данный пробел. Одновременно, элективный курс призван, не только дополнять и углублять, знания учащихся, но и развивать их интерес к предмету, любознательность, логическое мышление.

Решение уравнений, неравенств и систем с параметрами и модулем открывает перед учащимися значительное число эвристических приемов общего характера, ценных для математического развития личности, применяемых в исследованиях и на любом другом математическом материале.

Элективный курс рассчитан на 34 часа учебных занятий в 11 классе согласно учебного плана школы на 2015-2016 учебный год.

ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ЭЛЕКТИВНОГО КУРСА:

  • изучение методов решения задач избранного класса и формирование умений, направленных на реализацию этих методов;

  • сформировать у учащихся представление о задачах с параметрами и модулем, как задачах исследовательского характера, показать их многообразие;

  • научить применять аналитический метод и решение задач с параметрами и модулем;

  • научить приемам выполнения изображения на плоскости и их использованию в решении задач с параметрами и модулем;

  • научить осуществлять выбор рационального метода решения задач и обосновывать сделанный выбор;

  • пробуждение и развитие устойчивого интереса к математике, повышение математической культуры учащихся;

  • привитие навыков употребления функционально-графического метода при решении задач;

  • способствовать подготовке учащихся к сдаче ЕГЭ по математике.

ВИДЫ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ:

  • лекция;

  • беседа;

  • практикум;

  • консультация;

  • работа на компьютере.



ФОРМА ОБУЧЕНИЯ:

  • коллективная

  • групповая.


КОНТРОЛИРУЮЩИЙ МАТЕРИАЛ:

  • тесты.



Требования к знаниям и умениям: в результате изучения курса учащиеся должны уметь

  • решать линейные и квадратные уравнения с параметром;

  • строить графики элементарных функций, и их комбинации, усложненные модулями;

  • решать иррациональные, логарифмические, тригонометрические, показательные уравнения с параметром как аналитически, так и графически;

  • применять аппарат алгебры и математического анализа для решения прикладных задач;

  • иметь четкое представление о возможностях функционально-графического подхода к решению различных задач.

ОЖИДАЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ: в результате изучения курса учащиеся должны:

  • уметь решать линейные, квадратные уравнения и неравенства, система двух линейных уравнений с двумя переменными, несложные иррациональные уравнения с одним параметром при всех значениях параметра;

  • использовать в решении задач с параметром свойства квадратичной и линейной функции;

  • устанавливать свойства функции у = хр, у = hello_html_m309693c6.gif и изображать их графики при различных значениях р и п;

  • изображать графики функции у = f(x-a) + b, y = af(bx) по известному графику функции у = f(x);

  • изображать графики функции hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m591e21f0.gif

и уравнений

hello_html_m3e718cb0.gif по известному графику функции у = f(x);

  • использовать графики функции и уравнений при изображении множеств точек плоскости, заданных неравенствами, системами неравенств;

  • овладеть методами решения задач с параметрами и модулем с использованием графических интерпретаций;

  • осуществлять выбор метода решения задачи и обосновывать его;

  • владеть техникой использования каждого метода.

ФОРМЫ КОНТРОЛЯ: домашние контрольные работы, рефераты и исследовательские работы.

СОДЕРЖАНИЕ ЭЛЕКТИВНОГО КУРСА

11 класс (34 часа)

1. Понятие модуля. Решение уравнений по определению модуля (2 часа). Что такое модуль числа? Модули и расстояния. Освобождение от модулей в уравнениях. Методы решения уравнений содержащих несколько модулей. Параллельное раскрытие модулей. Метод интервалов в задачах с модулями. Модули и квадраты.

2. Построение графиков, содержащих знак модуля (2 часа). Графики элементарных функций, содержащие знак модуля, как у аргумента, так и у функции; двойные модули; графики уравнений и соответствий, содержащие знак модуля. Знакомство и работа с компьютерными программами для построения графиков.

3. Решение уравнений с переходом к системе или совокупности уравнений (3 часа). Рациональные уравнения, однородные уравнения, симметрические уравнения, возвратные уравнения. Иррациональные уравнения: простейшие, уравнения с несколькими радикалами, полные квадраты под знаком радикала, замена переменной, посторонние корни, применение свойств функций. Показательные и логарифмические уравнения, тригонометрические уравнения, сводящиеся к квадратным.

Основная цель – систематизировать умения в решении рациональных и иррациональных уравнений; сформировать умения решать уравнения указанных видов с параметрами и модулем.

Изучение темы начинается с повторения курса основной школы – решения линейных, квадратных, дробных, иррациональных уравнений. Решению дробных уравнений предшествует введение понятий равносильности. Его появление требует обработки: основное внимание следует уделить процессу осмысления учащимися выполнение преобразований в ходе решения уравнений, приводящих к равносильным уравнениям.

4. Рациональные неравенства с модулем. Обобщенный метод интервалов (2 часа). Решение неравенств методом интервалов. Неравенства с одним модулем. Освобождение от модуля в неравенствах. Способы решения рациональных неравенств: разложение на множители, выделение полного квадрата, приведение к общему знаменателю и алгебраическое сложение дробей и т.д.

5. Простейшие задачи с параметрами (1 час). Понятие параметра. Две основных формы постановки задачи с параметром. Графическая интерпретация задачи с параметром. Методы решения простейших задач с параметрами.

6. Задачи с параметром, сводящиеся к использованию квадратного трехчлена (2 часа). Условия существования корней квадратного трехчлена. Знаки корней. Расположение корней квадратного трехчлена относительно точки, отрезка. Графическая интерпретация.

Основная цель – сформировать представление о методах решения задач с параметрами с использованием графических интерпретаций; научить анализировать исходные данные и на основе анализа осуществлять выбор метода решения.

7. Использование графических иллюстраций в задачах с параметрами (2 часа). Решение задач с помощью построения графиков левой и правой части уравнения или неравенства и «считывания» нужной информации с рисунка. Область определения. Множество значений. Четность. Монотонность. Периодичность. Симметрия графика относительно начала координат или оси ординат в зависимости от четности функции.

8. Приемы составления задач с параметрами, используя графики различных соответствий и уравнений. (1 час). Демонстрация приёма составления задач с параметром методом «от картинки к задаче».

9. Использование ограниченности функций, входящих в левую и правую части уравнений и неравенств (2 часа). Применение метода оценки левой и правой частей, входящих в уравнение или неравенство. «Полезные неравенства»: сумма двух взаимно обратных чисел, неравенство для суммы синуса и косинуса одного аргумента, неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим положительных чисел.

10. Метод приведения к уравнению относительно неизвестной х с параметром а (2 часа). Основные приемы решения уравнений: тождественные преобразования, замена переменной. Равносильность уравнений. Исключение «посторонних» корней. Приемы решения рациональных, иррациональных, показательных и логарифмических уравнений.
11. Графический способ решения уравнений и неравенств (2 часа). Работа по построению графиков с помощью компьютерных программ Advanced Grapher, школьный графопостроитель – 1С, Математика + от AV.

Основная цель – систематизировать знания учащихся о функциях у = хрhello_html_m289d78ff.gifR, рhello_html_3750bfcb.gif0), у = hello_html_m309693c6.gif (п hello_html_m289d78ff.gifN, пhello_html_m78774d40.gif2); научить выполнять построение графиков с использованием параллельного переноса , растяжения и сжатия, симметрии.

При изучении делается акцент на обоснование каждого из преобразований графиков. Далее отрабатываются правила построения.

Особое внимание уделяется обработке навыков: построения области, заданных неравенствами, системами неравенств; выполнение необходимых преобразований ( в том числе выражений, содержащих несколько модулей), Направленных на приведение уравнений или неравенств к виду, удобному для изображения линий или областей, заданных уравнениями или неравенствами соответственно.

12. Сочетание графического и алгебраического методов решения уравнений (2 часа). Основные приемы решения систем уравнений и неравенств: подстановка, алгебраическое сложение, введение новых переменных. Системы неравенств с одной и двумя переменными. Сравнение графического и алгебраического способов решения уравнений и неравенств. Уравнения, неравенства и системы с параметрами, их решение и исследование.
13. Использование производной при решении задач с параметрами. Задачи на максимум и минимум (2 часа). Производная сложной функции. Производная и касательная. Вторая производная. Исследование функций с помощью производной. Применение производной при решении задач с параметрами. Задачи на максимум и минимум.
14. Комбинированные задачи с модулем и параметрами. Обобщенный метод областей (4 часа). Перенос метода интервалов с прямой на плоскость. Обобщенный метод областей. Нахождение площади фигур, ограниченных неравенством. Применение метода областей к решению уравнений и неравенств с параметрами и модулем, и их комбинации.

15. Нетрадиционные задачи. Задачи группы "С" из ЕГЭ (5 часа). Использование экстремальных свойств рассматриваемых функций. Нестандартные по формулировке задачи, связанные с уравнениями или неравенствами. Задачи с параметром. От общего к частному и обратно. Задачи с: логическим содержанием. Практикум по решению задач, относящихся к группе «С», входящих в контрольно измерительные материалы ЕГЭ прошлых лет. Разбор методов и способов решения заданий.

Возможные критерии оценок.

Критерии при выставлении оценок могут быть следующие.

Оценка «отлично» - учащийся демонстрирует сознательное и ответственное отношение, сопровождающееся ярко выраженным интересом к учению; учащийся освоил теоретический материал курса, получил навыки в его применении при решении конкретных задач; в работе над индивидуальными домашними заданиями уча­щийся продемонстрировал умение работать самостоятельно.


Оценка «хорошо» - учащийся освоил идеи и методы данного курса в такой степени, что может справиться со стандартными за­даниями; выполняет домашние задания прилежно (без проявления явных творческих способностей); наблюдаются определенные по­ложительные результаты, свидетельствующие об интеллектуаль­ном росте и о возрастании общих умений учащегося.


Оценка «удовлетворительно» - учащийся освоил наиболее простые идеи и методы курса, что позволило ему достаточно ус­пешно выполнять простые задания.



УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ.


  1. Шахмейстер А.Х. Задачи с параметрамив ЕГЭ.

Санкт- Петербург, Москва. 2006.

  1. Шахмейстер А.Х. Урвнения и неравенства с параметрами.

Санкт- Петербург, Москва. 2006.

  1. Амелькин В.В., Рабцевич В.Л. Задачи с параметрами: Справочное пособие по математике. – Минск.: Асар, 1996.

  2. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса: Учеб. пособие для школ и классов с угулб. изуч. матем. – М.: Просвещение, 1995.

  3. Гуськова Л.Н. Уравнения с параметрами. Методическое пособие. Казань 2006.

  4. Звавич Л.И., Шляпочник Л.Я. Задачи письменного экзамена по математике за курс средней школы: условия решения. –М.: Школа-Пресс, 1994.

  5. Звавич Л.И., Аверьянов Д.И., Пигарев Б.П., Трушанина Т.Н. Задания для проведения письменного экзамена по математике в 9 классе: Пособие для учителя. –М.: Просвещение, 1996.

  6. Иванов А.П. Тесты и контрольные работы для систематизации знаний по математике: Учебное пособие для абитуриентов. Ч. 1 и 2. – Пермь: Изд-во Перм. Ун-та, 2000.

  7. Литвиенко В.Н., Мордкович А.Г. Практикум по элементарной математике. Алгебра. Тригонометрия. – М.: ABF, 1995.

  8. Лысенко Ф.Ф. ЕГЭ. Тесты. 2010.

  9. Федеральный институт педагогических измерений. ЕГЭ математика. Новая версия. 2010.

  10. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике. Решение задач: Учебное пособие для 10 класса средней школы. – М.: Просвещение, 1999.

  11. Шарыгин И.Ф., Голубев В.И. Решение задач: Учебное пособие для 11 класса общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 1995.

  12. Фельдман Я.С., Жаржевский А.Я. Математика. Решение задач с модулями: Пособие для абитуриентов и старшеклассников. – СПб.: Оракул, 1997.





Календарно-тематическое планирование



§

Тема

Кол-во часов

Дата по плану

Дата фактически

Приложение

1 модуль – 5 часов

1

Понятие модуля. Решение уравнений по определению модуля.

1

2.09



2

Понятие модуля. Решение уравнений по определению модуля.

1

9.09



3

Построение графиков, содержащих знак модуля

1

16.09



4

Построение графиков, содержащих знак модуля

1

23.09



5

Решение уравнений с переходом к системе или совокупности уравнений.

1

30.09



2 модуль – 4 часов

6

Решение уравнений с переходом к системе или совокупности уравнений.

1

14.10



7

Решение уравнений с переходом к системе или совокупности уравнений.

1

21.10



8

Рациональные неравенства с модулем. Обобщенный метод интервалов.

1

28.10



9

Рациональные неравенства с модулем. Обобщенный метод интервалов.

1

11.11



3 модуль – 6 часов

10

Простейшие задачи с параметрами.

1

25.11



11

Задачи с параметром, сводящиеся к использованию квадратного трехчлена.

1

2.12



12

Задачи с параметром, сводящиеся к использованию квадратного трехчлена.

1

9.12



13

Использование графических иллюстраций в задачах с параметрами.

1

16.12



14

Использование графических иллюстраций в задачах с параметрами.

1

23.12



15

Приемы составления задач с параметрами, используя графики различных соответствий и уравнений.

1

30.12



4 модуль - 6 часов

16

Использование ограниченности функций, входящих в левую и правую части уравнений и неравенств.

1

13.01



17

Использование ограниченности функций, входящих в левую и правую части уравнений и неравенств.

1

20.01



18

Метод приведения к уравнению относительно неизвестной х с параметром а.

1

27.01



19

Метод приведения к уравнению относительно неизвестной х с параметром а.

1

3.02



20

Графический способ решения уравнений и неравенств.

1

10.02



21

Графический способ решения уравнений и неравенств.

1

17.02



5 модуль – 6 часов

22

Сочетание графического и алгебраического методов решения уравнений.

1

2.03



23

Сочетание графического и алгебраического методов решения уравнений.

1

9.03



24

Использование производной при решении задач с параметрами. Задачи на максимум и минимум.

1

16.03



25

Использование производной при решении задач с параметрами. Задачи на максимум и минимум.

1

23.03



26

Комбинированные задачи с модулем и параметрами. Обобщенный метод областей

1

30.03



27

Комбинированные задачи с модулем и параметрами. Обобщенный метод областей

1

6.04



6 модуль – 6 часов

28

29

Комбинированные задачи с модулем и параметрами. Обобщенный метод областей

1

20.04



30

Нетрадиционные задачи.

Задачи группы "С" из ЕГЭ.

1

27.04



31

Нетрадиционные задачи.

Задачи группы "С" из ЕГЭ.

1

4.05



32

Нетрадиционные задачи.

Задачи группы "С" из ЕГЭ.

1

11.05



33, 34

Нетрадиционные задачи.

Задачи группы "С" из ЕГЭ.

2

18.05

25.05




Приложение

ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

Задание 1. Решите при всех значениях параметра а уравнение

ах = 2х + 5.

Решение.

Необходимо решить линейное уравнение с параметром. Сначала перенесем все неизвестные слагаемые в левую часть уравнения и приведем подобные слагаемые. Получим (а – 2) х = 5.

Чтобы найти значение х, в данном случае надо разделить уравнение на (а – 2). При всех ли значениях параметра а мы можем уравнение разделить на (а – 2)? Нет.

При а = 2 выражение а – 2 обращается в нуль, поэтому значение параметров а = 2 является «особым» - контрольным значением параметра. Рассмотрим это значение отдельно.

При а = 2 (2 – 2)х = 5; 0х = 5 – уравнение решений не имеет.

Теперь а hello_html_3750bfcb.gif 2, и, чтобы выразить х, делим обе части уравнения на

(а – 2).

При а hello_html_3750bfcb.gif 2 получим х = hello_html_m648b65bb.gif.

Ответ: при а = 2 решения нет; при а hello_html_3750bfcb.gif 2 х = hello_html_m648b65bb.gif.

Задание 2. Решите при всех значениях параметра а неравенство

ах hello_html_m7ceebba.gif 2х + 5.

Решение.

Необходимо решить линейное неравенство с параметром. Перенесем все неизвестные слагаемые в левую часть неравенства и приведем подобные слагаемые. Получим (а – 2)х hello_html_m7ceebba.gif 5.

Чтобы найти значение х, надо разделить обе части неравенства на

(а – 2). При всех ли значениях параметра а мы можем неравенство разделить на (а – 2)?

При а = 2 выражение а – 2 обращается в нуль.

Рассмотрим это значение отдельно.

При а = 2 (2 – 2)х hello_html_m7ceebba.gif 5; 0х hello_html_m7ceebba.gif 5. Это неравенство верно при любых значениях х, поэтому решением исходного неравенства при а = 2 является промежуток (-hello_html_68d8a9e4.gif.

Теперь а hello_html_3750bfcb.gif2. Для того чтобы выразить х, надо разделить неравенство на (а – 2).

Существенным отличием решения линейного неравенства с параметром от решения линейного уравнения с параметром является то, что знак неравенства при делении обеих частей неравенства на выражение с неизвестным может измениться на противоположный или не изменится.

Поэтому при делении неравенства на выражение с параметром надо учитывать знак этого выражения.

Если а – 2 < 0, то знак неравенства придется изменить; если а – 2 > 0, то знак неравенства не меняется.

При а < 2 х hello_html_18823fb9.gif (знак неравенства изменился)

При а > 2 х hello_html_7caf4e7c.gif (знак неравенства не изменился).

Ответ: при а = 2 х hello_html_m289d78ff.gif (hello_html_m31897c0a.gif); при а < 2 х hello_html_18823fb9.gif; при а > 2 х hello_html_7caf4e7c.gif.

Найдите все значения a, при каждом из которых решения неравенства

УРАВНЕНИЕ С МОДУЛЕМ

Уравнения и неравенства с модулем можно решать графически. Для этого выражения, содержащие параметр, переносят в одну часть уравнение (неравенства) и строят графики функции левой и правых частей уравнения (неравенства)

Задание 3. Найдите все значения а, при каждом из которых решения неравенства hello_html_mfc07cf1.gif

образуют отрезок длины 1.

Решение.

Перенесем единицу:

hello_html_m7d063ee7.gif.

Построим схематично графики функции hello_html_2b0363c7.gif и hello_html_m7c00c17b.gif.

hello_html_m6d14408b.png

На рисунке видно, что неравенство имеет решение только при hello_html_m489a44d8.gif или hello_html_5a8cba0a.gif.

1) hello_html_43c51996.gifhello_html_17b63bda.gifhello_html_6f13e00.gif

Решения образуют отрезок длины 1, если hello_html_5d88bc7d.gif- (а + 4) = 1, откуда

а = hello_html_m51b0c31f.gif

2) hello_html_762c55dc.gifhello_html_60cb9296.gifhello_html_m775117cb.gif

Решения образуют отрезок длины 1, если а + 2 hello_html_m8df18f9.gif, откуда hello_html_60e02640.gif

Ответ: hello_html_m17e7a895.gifа = hello_html_m51b0c31f.gif

КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

Число корней квадратного уравнения определяют по знаку дискриминанта:

Если D > 0, то уравнение имеет два различных корня;

Если D = 0, то уравнение имеет один корень (или два совпавших);

Если D < 0, то уравнение не имеет корня.

Задание 4. При каких значениях параметра а уравнение

2 – 4ах + 1 = 0: 1) имеет два различных корня; 2) имеет два корня; 3) не имеет корней?

Решение.

Найдем дискриминант исходного уравнения.

D = 16 а2 – 4 • 4 • 1 = 16 а2 – 16.

1) Так как уравнение имеет два различных корня, то

D = 16 а2 – 16 > 0, а2 > 1. Получим

а hello_html_1cc70a0d.gif

2) Так как уравнение имеет два корня, не обязательно различных, то

D = 16 а2 – 16hello_html_352419eb.gif, а2 hello_html_m78774d40.gif 1 и аhello_html_m55a3aca5.gif

3) Так как уравнение не имеет корней, то

D = 16 а2 – 16 < 0, а2 < 1 и аhello_html_m289d78ff.gif(-1;1).

Ответ: при а hello_html_m7e686714.gif уравнение имеет два различных корня; при аhello_html_m4e93c71e.gif уравнение имеет два корня; при аhello_html_m289d78ff.gif(-1;1) уравнение не имеет корней.

ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Рассмотрим решение иррационального уравнения с параметром.

Задание 5. Укажите наименьшее целое значение параметра а, при котором уравнение hello_html_72fd51f9.gif имеет единственное решение.

hello_html_72fd51f9.gifhello_html_728c4335.gif

Уравнение имеет единственное решение, если:

  1. D = 0 и х1 = х2 hello_html_m78774d40.gif 3.

  2. D > 0 и один из корней меньше 3, а другой больше 3, то есть, как говорят, 3 разделяет корни.

1. hello_html_22443308.gif

При а = - hello_html_m22ed3915.gifх1 = х2 = hello_html_m712165d7.gif.

2. Рассмотрим функцию f(x) = x2-7x + 9 – 2a. Изобразим схематично график функции f(x) (параболу) с указанными свойствами (3 разделяет корни).

hello_html_2395d0df.png

Имеем следующее условие: f(3)< 0.

Решим неравенство: f(3)< 0, так как f(3) = -3 – 2а < 0, то а > - 1,5.

Итак, условиям задачи удовлетворяют следующие значения а: hello_html_7c7d1ff9.gif, а > - 1,5. Наименьшее целое из них равно -1.

Ответ: - 1.

Задачи с параметром


1. Задача.
При каких значениях параметра a уравнение

(a - 1)x2 + 2x + a - 1 = 0

имеет ровно один корень? 

1. Решение.
При 
a = 1 уравнение имеет вид 2x = 0 и, очевидно, имеет единственный корень x = 0. Если a  1, то данное уравнение является квадратным и имеет единственный корень при тех значениях параметра, при которых дискриминант квадратного трехчлена равен нулю. Приравнивая дискриминант к нулю, получаем уравнение относительно параметра a

4a2 - 8a = 0,

откуда a = 0 или a = 2. 

1. Ответ: уравнение имеет единственный корень при a  {0; 1; 2}. 



2. Задача.
Найти все значения параметра 
a, при которых имеет два различных корня уравнение

x2+4ax+8a+3 = 0.


2. Решение.
Уравнение 
x2+4ax+8a+3 = 0 имеет два различных корня тогда и только тогда, когда D = 16a2-4(8a+3) > 0. Получаем (после сокращения на общий множитель 4) 4a2-8a-3 > 0, откуда

a < 1 –  

7

hello_html_m1c3b1efe.gif

 2

   или    a > 1 +  

7

hello_html_m1c3b1efe.gif

 2



2. Ответ:

a  (-; 1 –  

7

hello_html_m1c3b1efe.gif

 2

 (1 +  

7

hello_html_m1c3b1efe.gif

 2

).

3. Задача.
Известно, что

hello_html_4e5d2c17.png
f2(x) = 6x-x2-6.


а) Постройте график функции f1(x) при a = 1.
б) При каком значении 
a графики функций f1(x) и f2(x) имеют единственную общую точку? 

3. Решение.
3.а. Преобразуем f1(x) следующим образом

hello_html_15ce8fff.pnghello_html_664f3731.png

График этой функции при a = 1 изображен на рисунке справа. 
3.б. Сразу отметим, что графики функций y = kx+b и y = ax2+bx+c (a  0) пересекаются в единственной точке тогда и только тогда, когда квадратное уравнение kx+b = ax2+bx+cимеет единственный корень. Используя представление f1 из 3.а, приравняем дискриминант уравнения a = 6x-x2-6 к нулю. Из уравнения 36-24-4a = 0 получаем a = 3. Проделав то же самое с уравнением 2x-a = 6x-x2-6 найдем a = 2. Нетрудно убедиться, что эти значения параметра удовлетворяют условиям задачи. Ответ: a = 2 или a = 3. 


4. Задача.
Найти все значения 
a, при которых множество решений неравенства x2-2ax-3a  0 содержит отрезок [3;6]. 

4. Решение.
Первая координата вершины параболы 
f(x) = x2-2ax-3a равна x0 = a. Из свойств квадратичной функции условие f(x)  0 на отрезке [3;6] равносильно совокупности трех систем




 

a  3,

f(3) = 9-9a  0,

   



 

3 < a < 6,

D = 4a2+12a  0,

   



 

a  6,

f(6) = 36-15a  0.


Решением первой системы является множество (-∞,1]. Вторая и третья система решений не имеют. 

4. Ответ: a  (-,1]



5. Задача (9 кл.)
При каком наименьшем натуральном значении 
a уравнение

x2+2ax-3a+7 = 2x


имеет ровно два решения? 

5. Решение.
Перепишем это уравнение в виде 
x2 + (2a-2)x - 3a+7 = 0. Это квадратное уравнение, оно имеет ровно два решения, если его дискриминант строго больше нуля. Вычисляя дискриминант, получаем, что условием наличия ровно двух корней является выполнение неравенства a2+a-6 > 0. Решая неравенство, находим a < -3 или a > 2. Первое из неравенств, очевидно, решений в натуральных числах не имеет, а наименьшим натуральным решением второго является число 3. 

5. Ответ: 3. 


6. Задача (10 кл.)
Найти все значения 
a, при которых график функции

f(x) =

x2+ax+2

hello_html_m1c3b1efe.gif

a-1


проходит через точку с координатами (-1;1). 

6. Решение.
Из условия f(-1) = 1 имеем уравнение

1 =

1+-a+2

hello_html_m1c3b1efe.gif

a-1

,

или, после очевидных преобразований, a-2 = 2-a. Последнее уравнение равносильно неравенству a 2. 

6. Ответ: a  [2;). 


7. Задача (10 кл.)
При каких значениях 
a сумма квадратов корней уравнения

x2-2ax+a2-a = 0

больше чем 12? 

7. Решение.
Дискриминант уравнения 
x2-2ax+a2-a = 0 равен 4a. Поэтому действительные корни этого уравнения существуют, если a  0. Применяя к данному уравнению теорему Виета получаем x1+x2 = 2a и x1·x2 =a2-a. Отсюда x12+x22 = (x1+x2)2-2x1·x2 = 2a2+2a. Решениями неравенства 2a2+2a > 12, удовлетворяющими условию a  0, являются числа a > 2. 

7. Ответ: a > 2. 



























Контрольные материалы.


Самостоятельная работа 1.



Решить и исследовать уравнения с параметром:



I. hello_html_1b1c4fe3.gif;



II. hello_html_6c8e362d.gif;



III. hello_html_57d6d654.gif;


IV. hello_html_7e673256.gif;



Самостоятельная работа 2.



Решить и исследовать уравнения с параметром:




I. hello_html_m55d769a1.gif ;



II. hello_html_m61c92787.gif;


III. hello_html_m5b603b32.gif;


IV. hello_html_2779c83e.gif;


Тренировочная работа




  1. Исследуйте уравнение hello_html_267605a9.gif на знаки корней в зависимости от значений параметра hello_html_e1c33a8.gif.

  2. При каком значении параметра hello_html_17aa43f7.gif сумма квадратов корней уравнения hello_html_5aa83b22.gifбудет наименьшей?

  3. Выяснить, при каких значениях параметра hello_html_m734afb91.gif оба корня уравнения hello_html_m718cbf19.gifhello_html_7969584e.gif меньше единицы?

  4. Выяснить, при каких значениях параметра hello_html_17aa43f7.gif оба корня уравнения hello_html_304a27a3.gif больше hello_html_m3a9adbac.gif.






Самостоятельная работа 3.



Решить и исследовать уравнения с параметром.



I. hello_html_m4a78309d.gif


II. hello_html_m595fe407.gif


III. hello_html_7f787164.gif


IV. hello_html_m2f572c93.gif








Зачётная работа.


  1. Исследовать и решить уравнения с параметром


hello_html_m72bc6036.gif

  1. Исследовать и решить систему с параметром


hello_html_1042f0a4.gifhello_html_m5901caa3.gif


  1. при каких значениях параметра hello_html_m5faf1d98.gif уравнение hello_html_m1068a1fb.gif имеет корни hello_html_m6c6e30dd.gif и hello_html_3c99680e.gif такие, что hello_html_m1831a030.gif, hello_html_m781dff4c.gif ?


  1. Исследовать и решить неравенство с параметром


hello_html_m84d750c.gif.























Итоговая контрольная работа (2ч)


( I уровень)


1.Исследовать и решить уравнение с параметрами.

hello_html_m5d8e748c.gif

hello_html_1042f0a4.gif2.Исследовать и решить систему уравнений с параметром.

hello_html_m2e666cb0.gif

3. Найдите все значения параметра hello_html_e1c33a8.gif , при которых уравнение hello_html_m1c183149.gif имеет только два решения.


  1. Уравнение hello_html_m703da436.gif имеет решения. Найдите эти решения и укажите, при каких hello_html_e1c33a8.gif это возможно


II уровень

1.Исследовать и решить уравнение с параметрами.

hello_html_m41fc07f9.gif


  1. Исследовать и решить систему уравнений с параметром.

hello_html_a7db55e.gifhello_html_mf194681.gif


  1. При каких значениях параметра hello_html_m734afb91.gif уравнение hello_html_76fa663.gif имеет только два корня.


  1. При каких значениях параметра hello_html_m734afb91.gif уравнение hello_html_m2b220706.gif имеет решение.



Автор
Дата добавления 29.11.2015
Раздел Математика
Подраздел Рабочие программы
Просмотров188
Номер материала ДВ-207748
Получить свидетельство о публикации

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх