Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Рабочие программы / Рабочая программа элективного курса по математике 10 класс
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Рабочая программа элективного курса по математике 10 класс

библиотека
материалов



Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа д.Нуркеево

муниципального района Туймазинский район

Республики Башкортостан




Утверждаю:

Согласовано:

Рассмотрено на

И. о. директора школы

Заместитель

заседании ШМО

МБОУ СОШ д. Нуркеево

директора по УВР

(творческой группы):

Гордеева О. А.


Протокол № 1 от

___________

____________

28 августа 2013 г.

Приказ № 181од от

2 сентября 2013 г.


2 сентября 2013 г.




















РАБОЧАЯ ПРОГРАММА

ЭЛЕКТИВНОГО КУРСА ПО МАТЕМАТИКЕ

«РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ»

10 КЛАСС

БАЗОВЫЙ УРОВЕНЬ

НА 2013-2014 УЧЕБНЫЙ ГОД




Разработчик программы:

Фарихьянова А. Р.

учитель математики

I квалификационной категории











д. Нуркеево

2013


Пояснительная записка

Значение математической подготовки в становлении современного человека определяет следующие общие цели школьного математического образования:

- овладение конкретными математическими знаниями, необходимыми для применения в практической деятельности, для изучения смежных дисциплин, для продолжения образования;

- интеллектуальное развитие учащихся, формирование качеств мышления, характерных для математической деятельности и необходимых человеку для полноценной жизни в обществе;

- формирование представлений об идеях и методах математики, о математике как форме описания и методе познания действительности;

- формирование представлений о значимости математики как части общечеловеческой культуры в развитии цивилизации и в современном обществе

Реализация этих целей на старшей ступени школы дифференцируется в зависимости от направленности интересов ученика. Это позволяет переориентировать систему обучения математике, сделав ее современной и отвечающей новым психолого-педагогическим воззрениям.

Классы: 10

Тип элективного курса: предметный курс , имеющий временное согласование с данным учебным предметом

Количество часов в неделю: 1 час

Образовательная область: математика

Цель курса: углубление и расширение знаний по математике, развитие логического мышления и познавательного интереса

Основные задачи:

- подготовить учащихся к итоговой аттестации в форме ЕГЭ;

- научить решать нестандартные задачи;

- научить различным приемам, помогающим успешно справиться с заданиями ЕГЭ;

- расширить представления учащихся о математике как науке.

Принцип построения программы: от простого к сложному. Применяется технология модульного обучения. На первом этапе идет изучение нового материала, на втором – рассмотрение теоретических вопросов и задач, которые вызвали наибольшие затруднения - «урок общения», на третьем – закрепление, на четвертом – контроль. Особенностью является то, что больше времени учащиеся работают в группах, где обязательно есть более сильный ученик. По мере необходимости состав групп может меняться в соответствии с интересами и запросами учащихся. Желательно занятия проводить парами. Если нет такой возможности, то материал (теоретический и практический) каждого занятия можно разделить на две части.

Особенности: большую роль в обучении должны сыграть современные информационные технологии и информационные системы. Учащимся будут предложены разные формы познавательной и исследовательской деятельности, итогом которых станет образовательный продукт: доклад, реферат, проект, публикация.

Планируемые результаты:

- овладение математическими знаниями и умениями, необходимыми для изучения естественнонаучных дисциплин, продолжения образования и освоения избранной специальности на современном уровне;

- развитие логического мышления, алгоритмической культуры, математического мышления и интуиции, необходимых для продолжения образования и для самостоятельной деятельности в области математики и ее приложениях в будущей профессиональной деятельности;

- овладение навыками компетентности личности в сфере самостоятельной познавательной деятельности, в социально- трудовой и бытовой сфере;

- формирование навыков самообразования, критического мышления, самоорганизации и самоконтроля, работы в команде, умения находить, формулировать и решать проблемы.

Система оценки достижений учащихся: административной проверки материала курса не предполагается. Соответствующие задания могут включаться в административные проверочные работы, выноситься на экзамены, но только в качестве дополнительных заданий. В технологии проведения занятий присутствует элемент перекрестной и самопроверки, который предоставляет учащимся возможность самим проверить, как ими усвоен изученный материал. По окончании каждой темы, ученик заполняет индивидуальный лист контроля. Формой итогового контроля может стать защита реферата, проекта, создание публикации, а также – хорошие результаты на ежегодных районных олимпиадах.

СОДЕРЖАНИЕ КУРСА


№ модуля

Тема и содержание

Количество

часов

Форма контроля

1

Рациональные уравнения и неравенства

Разложение на множители.

Подстановки при решении рациональных уравнений. Деление многочлена на многочлен. Рациональные корни многочлена. Искусственные приемы при решении рациональных уравнений (выделение полного квадрата, однородные уравнения, использование монотонности функции, сравнение множеств значений). Рациональные уравнения с модулем. Рациональные неравенства высших степеней. Дробно-рациональные неравенства. Неравенства с модулем.

12

Математический бой

2

Иррациональные уравнения и неравенства

Введение новой переменной при решении иррациональных уравнений. Иррациональные уравнения, содержащие кубические радикалы. Искусственные приемы при решении иррациональных уравнений. Иррациональные неравенства.

Параметры. Общие методы решения уравнений с параметрами.

Иррациональные уравнения и неравенства с параметрами

11

Самостоятельное решение конкурсных задач

3

Тригонометрические уравнения и неравенства

Общий прием. Уравнения, решаемые понижением степени. Универсальная подстановка. Однородные уравнения и приводимые к ним. Способ подстановки. Введение вспомогательного угла. Искусственные приемы при решении тригонометрических уравнений. Тригонометрические неравенства. Тригонометрические уравнения с параметрами и модулями

10

Самостоятельное решение конкурсных задач

4

Итоговое занятие

1




Учебно-методическое обеспечение.

1. Алексеев И. Г. Математика. Подготовка к ЕГЭ: Учебно–методическое пособие. – Саратов: Лицей, 2004, 112 с.

2.Бродский И. Л. Решение экзаменационных заданий повышенной сложности по алгебре и началам анализа за курс средней школы: Пособие для учащихся. – М.: АРКТИ, 2001, 72 с. (Методическая библиотека).

3. Виленкин Н. Я. И др. Алгебра: Учебное пособие для 10-11 классов средних школ с математической специализацией.- 2-е изд., М.: «Просвещение», 1999, 302 стр.

4. Дорофеев Г. В., Муравин Г. К., Седова Е. А. Сборник заданий для подготовки и проведения письменного экзамена по математике (курс А) и алгебре и началам анализа (курс Б) за курс средней школы. 11 класс: Экспериментальное пособие. – 4-е изд., испр. – М.: Дрофа, 2001, 160 с.: ил.

5. Зорин В. В. Пособие по математике для поступающих в вузы. – 2-е изд., М.: «Высшая школа», 1969, 264 с.

6. Перегудов А. Б. и др. Математика. Материалы для подготовки к вступительному компьютерному экзамену в СГТУ: Учебное пособие. Саратов: саратовский гос. Техн. Ун-т, 2004, 88 с.

7. Письменный Д. Т. Готовимся к письменному экзамену по математике. – 5-е изд., испр. и доп.- М.6 Рольф, 1999. – 288 с. с ил.- (Домашний репетитор)

8. Сборник задач по математике для поступающих во втузы: Учебное пособие/ В.К. Егерев и др.; Под ред. М.И. Сканави. – 6-е изд., стер. – М.6 Высш. шк., 1993, 528 с.: ил.

9. Студенецкая В. Н., Гребнева З. С. Решение задач и выполнение заданий с комментариями и ответами для подготовки к единому государственному экзамену. Часть 1.- Волгоград: Учитель, 2003, 105 с.

10. Сухоруков В. И. и др. Математика для поступающих в БГПИ/ сборник конкурсных задач. – Балашов: Издательство БГПИ, 1995, 112 с.

11. Единый Государственный Экзамен по математике (информационный сборник для учителей математики и учащихся общеобразовательных школ). Издательство СарИПКиПРО,2004, 56 с.

12. Тесты. Математика 11класс. Варианты и ответы централизованного тестирования. – М.: Центр тестирования МО РФ, 2003.

13. Пособие по математике: Для поступающих в Саратовский государственный социально – экономический университет / Сост. Бабин Ю. Я. И др. – Саратов: СГСЭУ, 2001, 124 с.

14. Рурукин А. Н. Пособие для интенсивной подготовки к выпускному, вступительному экзаменам и ЕГЭ по математике. – М.: ВАКО, 2004, 248с.- (Интенсив).

15. Колягин М. Ю. Алгебра и начала анализа. 10 класс.: Учебник для общеобразовательных учреждений. - М.: Мнемозина, 2001, 364 с.
































Календарно-тематическое планирование



§

Тема

Кол-во часов

Дата по плану

Дата фактически

Приложение

1 модуль – 5 часов


Рациональные уравнения и неравенства

12




1

Разложение на множители.

1


7.09



2

Подстановки при решении рациональных уравнений.

1

14.09



3

Деление многочлена на многочлен.

1

21.09



4

Рациональные корни многочлена.

1

28.09



5

Искусственные приемы при решении рациональных уравнений (выделение полного квадрата).

1

5.10



2 модуль – 5 часов

6

Искусственные приемы при решении рациональных уравнений ( однородные уравнения).

1

19.10



7

Искусственные приемы при решении рациональных уравнений (использование монотонности функции, сравнение множеств значений).

1

26.10



8

Рациональные уравнения с модулем.

1

2.11



9

Рациональные неравенства высших степеней.

1

9.11



10

Дробно-рациональные неравенства.

1

16.11



3 модуль – 5 часов

11

Неравенства с модулем.

1

30.11



12

Неравенства с модулем.

1

7.12






Иррациональные уравнения и неравенства

11




13

Введение новой переменной при решении иррациональных уравнений

1

14.12



14

Введение новой переменной при решении иррациональных уравнений

1

21.12



15

Иррациональные уравнения, содержащие кубические радикалы.

1

28.12



4 модуль - 6 часов

16

Искусственные приемы при решении иррациональных уравнений.

1




17

Искусственные приемы при решении иррациональных уравнений.

1




18

Искусственные приемы при решении иррациональных уравнений.

1




19

Иррациональные неравенства.

1




20

Иррациональные неравенства.

1




21

Параметры. Общие методы решения уравнений с параметрами.

1




5 модуль – 5 часов

22

Параметры. Общие методы решения уравнений с параметрами.

1




23

Иррациональные уравнения и неравенства с параметрами

1





Тригонометрические уравнения и неравенства


10




24

Общий прием.

1




25

Уравнения, решаемые понижением степени.

1




6 модуль – 7 часов

26

Универсальная подстановка.

1




27

Однородные уравнения и приводимые к ним.

1




28

Способ подстановки.

1




29

Введение вспомогательного угла.

1




30

Искусственные приемы при решении тригонометрических уравнений.

1




31

32

Тригонометрические неравенства.

1




33 34

Тригонометрические уравнения с параметрами и модулями

1


















Методические рекомендации

(Урок 1-2)

Цель: систематизировать и обобщить знания, полученные в основной школе. Продолжить формирование навыков использования методов подстановки и подбора при решении рациональных уравнений.

Теоретическая часть. Определение: под рациональным уравнением принято понимать уравнение, которое может быть записано в виде hello_html_1102ef6d.gif

где hello_html_m29b5b67c.gif – заданные числа, а х – неизвестное.

Основные методы решения рациональных уравнений

  1. Простейшие: решаются путем обычных упрощений – приведение к общему знаменателю, приведение подобных членов и т. д. Квадратные уравнения ах² + bх + c = 0 решаются по готовой формуле корней квадратного уравнения или по теореме Виета, которые известны из курса основной школы.

  2. Группировка: путем группировки слагаемых, применения формул сокращенного умножения привести (если удастся) уравнение к виду, когда слева записано произведение нескольких сомножителей, а справа – ноль. Затем приравниваем к нулю каждый из сомножителей. Этот метод чаще называют - разложение на множители.

  3. Подстановка: ищем в уравнении некоторое повторяющееся выражение, которое обозначим новой переменной, тем самым упрощая вид уравнения. В некоторых случаях очевидно что удобно обозначить. В более сложных случаях подстановка видна лишь после преобразований. В ряде случаев удобную подстановку желательно знать « заранее».

1) Уравнение (х + а)hello_html_m4f60c339.png + (х + b)hello_html_m4f60c339.png = c сводится к биквадратному, если сделать

подстановку hello_html_m30edcf17.gifНеобходимо дать формулу

hello_html_3cc2c318.gif

2) Симметрическое уравнение hello_html_4421d3f9.gif (коэффициенты членов, равноотстоящих от концов, равны) решается с помощью подстановки hello_html_98bb626.gif

если n – четное; если n – нечетное, то уравнение имеет корень х = -1.

3) Уравнение вида (х + а)(х + b)(х + c)(х + d) = f сводится к квадратному, если

а + b = c + d и т. д.

4. Подбор: при решении уравнений высших степеней рациональные корни уравнения hello_html_1102ef6d.gif ищем в виде hello_html_m23b2f9a0.gif где p -hello_html_m53d4ecad.gifделитель hello_html_422cb331.gif, q делитель hello_html_21d5a54f.gif, причем p и q взаимно просты, p – целое число, q - натуральное.

Практическая часть. Так как решение квадратных уравнений не вызывает особых трудностей и им уделяется достаточно времени на уроках, то эти уравнения можно не рассматривать. Рассматривается по одному примеру каждого типа, например:

Пример 1. Решите уравнение hello_html_28ab6cac.gif

Решение. Разложим на множители знаменатель дроби, стоящей в правой части уравнения, и приведем дроби к общему знаменателю, (х+1)(х+2)≠0, hello_html_med2f72c.gif

После преобразований получим: hello_html_m60540bf.gif

Проверкой убеждаемся, что найденное число является корнем уравнения.

Ответ: 1.

Пример 2. hello_html_m132169ec.gif

Решение. Способ 1. Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые hello_html_m76eb26e.gif

Проверкой убеждаемся, что найденные числа являются корнями уравнения.

Ответ: a, b, c.

Способ 2. Корни уравнения можно было легко найти, пользуясь теоремой Виета для кубического уравнения: если х³+px²+qx+r =0, то hello_html_6a32342e.gif В нашем случае hello_html_m53293301.gif


Пример 3. х³ - 8 + х – 2 = 0,

Пример 4. hello_html_m3c597410.gif

Решение. Сделаем подстановку hello_html_1b336cc1.gif Тогда получаем:

hello_html_m70a22cdd.gif

Решая биквадратное уравнение получим корни hello_html_m736f7163.gif Следовательно,

hello_html_1c674612.gifПроверкой убеждаемся, что найденные числа

являются корнями уравнения.

Ответ: hello_html_m59215fbd.gif

Пример 5. hello_html_1b7ae42b.gif Подстановка hello_html_35c3c56c.gif

Пример 6. (х² + 2х)² - (х + 1)² = 55. Подстановка х²+2х =t.

Пример 7.hello_html_m4f60c339.png + 3х³ - 16 х² + 3х + 2 = 0.

Решение. Симметрическое уравнение. Разделим обе части уравнения на х²≠0, получим hello_html_78acc28f.gif т. е. hello_html_m15e935c.gifОбозначим hello_html_98bb626.gifтогда

hello_html_1ad4e0c7.gifПолучаем hello_html_m42f59e8b.gif Следовательно, имеем

hello_html_m56d76f87.gifи hello_html_me931972.gif,

Оhello_html_4c65e969.gifб hello_html_m5039d325.gif

Ответ: hello_html_63c51e7a.gif 2 и hello_html_70334494.gif

Пример 8. (х – 4)(х – 5)(х – 6)(х – 7) = 1680.

Решение. Перепишем уравнение в виде (х-4)(х-7)·(х-5)(х-6)=1680, т. е.

(х²-11х+28)(х²-11х+30)=1680.

Обозначим х²-11х+28=t, тогда t(t+2)=1680, t²+2t-1680=0, hello_html_m24e3f6cc.gif Поэтому

х²-11х+28= - 42 и х²-11х+28 = 40,

х²-11х+70 =0, х²-11х-12 =0,

D<0. hello_html_m1e18d3da.gif

Ответ: 12 и -1.

Пример 9. hello_html_53c9eb46.gif

Решение. Здесь hello_html_601a9b7a.gif Поэтому рациональные корни уравнения следует искать среди чисел hello_html_62ba6fe8.gif(делители 4 есть ±1, ±2, ±4, делители -1 есть ±1). Если х=±1, то 4+8+1-3-1≠0; если hello_html_m3dec6f1.gif то hello_html_350bd0b9.gif т. е. hello_html_38ec1c6.gif корень уравнения. Делим hello_html_m2c0a625e.gif на hello_html_m3a31ecb3.gifhello_html_m53d4ecad.gif- hello_html_m1d3df576.gifhello_html_324429e8.gif

- hello_html_138bbd16.gifhello_html_m53d4ecad.gif

- hello_html_2cbee1b5.gif

- hello_html_m5df27082.gif

0

данное уравнение можно представить в виде (х+1/2)(4х³+6х²-2х-2)=0. Отсюда hello_html_m153d2dcd.gif (решение, найденное подбором) и 4х³+6х²-2х-2=0, т. е. 2х³+3х²-х-1=0. Аналогично находим корень этого уравнения: hello_html_m153d2dcd.gif, выполнив деление многочлена 2х³+3х²-х-1 на двучлен х+1/2. В результате деления получим (х+1/2)(2х²+2х-2)=0. Отсюда hello_html_m786d2d15.gif

Ответ: hello_html_212f5a79.gif

Пример 10. 2 х³ + х² - 9 = 0.

Пример 11. 4х³- 11х + 3 = 0,

Задания для самостоятельного решения.№5, 6, 7 стр. 97, №2, 4, 5 стр. 98, №1 – 7 (выборочно) стр. 100, №1, 2, 4, 5 стр. 102 – 103 hello_html_m37159d93.gif

Замечание: учащиеся выполняют задания под руководством учителя. Для выполнения заданий учащиеся разбиваются на группы. Оставшиеся задания они могут сделать дома. Каждый ученик сам определяет себе количество заданий для самостоятельного решения.

Предполагается, что учащиеся уже умеют выполнять деление многочлена на многочлен и находить целые корни многочлена.


(Урок 3-4)

Цель: сформировать навык нестандартного подхода к решению рациональных уравнений.

Теоретическая часть. При решении уравнений не всегда можно применить стандартный подход, поэтому надо придумать «свой метод», догадаться что-то прибавить и отнять, выделить полный квадрат, на что-то разделить или умножить, использовать свойства функции и т. д

  1. Выделение полного квадрата: при решении используются формулы сокращенного умножения – квадрат суммы или квадрат разности (а ± b)² = а² ± 2аb + b².

  2. Однородные уравнения, т. е. уравнения вида аy²ⁿ + byⁿzⁿ + cz²ⁿ = 0, где а, b, c, n – заданные числа отличные от нуля; y=y(х), z=z(х) – некоторые функции от х. Делим обе части уравнения на z²ⁿ≠0. Получаем hello_html_877c52f.gif Обозначивhello_html_2e501b1a.gif получаем квадратное уравнение относительно t.

  3. Использование монотонности функции. Теорема о корне: если задано уравнение f(х)=0 и f(х) – монотонна (возрастает или убывает на области определения), тогда уравнение имеет не более одного корня. Примерами таких функций являются: hello_html_46ff7260.gif=х²ⁿ ־¹ - возрастающая, hello_html_46ff7260.gif=х²ⁿ при х≥0 hello_html_46ff7260.gif- убывает, при х≤0 hello_html_46ff7260.gif– возрастает, hello_html_m30597a7c.gif при k>0 hello_html_46ff7260.gif - убывает, при k<0 hello_html_46ff7260.gif – возрастает.

Свойства монотонности:

1). Если функции f и g монотонно возрастают, то f ± g также монотонно возрастает.

2). Если функция f монотонно возрастает, то функция -f монотонно убывает.

3). Если функция f монотонно возрастает, то функция hello_html_1892228.gif монотонно убывает.

  1. Сравнение множеств значений (метод оценки). Этот метод чаще используется при решении уравнений смешанного типа. Суть его заключается в оценке значений левой и правой части уравнения. Если f(х)=g(х), причем f(х)≥А и g(х)≤А, то f(х)=А и g(х)=А, т. е. решением уравнения являются абсциссы общих точек касания. Если f(х)=g(х), а f(х)≥А и g(х)<А, то уравнение решений не имеет.

Практическая часть. Рассматривается по одному примеру каждого типа, например:

Пример 1. hello_html_m162a182a.gif

Решение. Выделим полный квадрат , прибавив и вычтя в левой части уравнения hello_html_6258fe1.gifhello_html_m2a1a2149.gifт.е.

hello_html_m65dce545.gif

Пусть hello_html_4b68de62.gifтогда hello_html_24715f34.gif

Возвращаясь к старой переменной, получаем

hello_html_m45b9e81a.gifhello_html_m286fc2ad.gif

Ответ: hello_html_m764f6618.gif

Пример 2. hello_html_1d543b6f.gif

Решение. Разделим числитель и знаменатель дробей на hello_html_m57a0e4ca.gif

hello_html_3dc5798.gifобозначим hello_html_m74ad23d4.gif

Получаем hello_html_m2306d1b4.gif т.е. hello_html_m4e8e638b.gif т.е.

hello_html_72f29193.gifт.е. hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_7ffda834.gifhello_html_73b67029.gif Следовательно,

hello_html_392d7eeb.gifhello_html_2a50a450.gif

Ответ: hello_html_6426ad89.gif

Пример 3. hello_html_m183ecce4.gif

Решение. Это так называемое «однородное уравнение», т.е. уравнение вида hello_html_5a283d7a.gif где a, b, c, α – заданные числа отличные от нуля; у=у(х), z=z(x) – некоторые функции от х. Делим обе части уравнения на hello_html_7df637c3.gif Получаем

hello_html_616259a5.gifОбозначим hello_html_m56ee79e3.gif получаем квадратное уравнение относительно t.

Разделим обе части данного уравнения на hello_html_m48cd661.gif

hello_html_m47d6c8c4.gif

Пусть hello_html_m2aa71ad9.gif тогда hello_html_77d166f.gif т.е. hello_html_m905e39b.gif Следовательно,

hello_html_619a3d54.gifhello_html_3d20a8c.gif

Ответ: hello_html_m631dd494.gif

Пример 4. hello_html_m50b4eaf3.gif

Решение. Левая часть уравнения представляет собой сумму монотонно возрастающих элементарных функций, поэтому по свойству монотонности hello_html_50ae9a2d.gif монотонно возрастает на всей области определения. По теореме о корне уравнение имеет не более одного корня. Этот корень легко найти hello_html_m44117d03.gif

Ответ: hello_html_74208e40.gif

Пример 5. hello_html_5cd3df4c.gif

Пример 6. hello_html_m6c0aa422.gif

Решение. hello_html_m25f02341.gif

hello_html_3201d177.gif

hello_html_4399fd04.gifмы видим, что левая часть уравнения принимает неотрицательные значения, а правая – неположительные, поэтому достаточно решить уравнение hello_html_40177c42.gifх = 1 и проверить равенство х³-1=0. При х =1 , 1³-1=0, 0=0 – верно, значит 1 – корень уравнения.

Пример 7. хhello_html_49912199.png – 8х + 63 = 0.

Задания для самостоятельного решения.

1-5 стр. 105 hello_html_153f24ed.gif, №6.001- 6. 030 hello_html_6401c403.gif, задания В4 централизованного тестирования математика-1 2003 года hello_html_216f0686.gif.

Можно предложить учащимся подготовить реферат о других способах решения рациональных уравнений, так как при решении уравнения hello_html_292043df.gif (уже изученными способами) у учащихся могут возникнуть трудности.


(Урок 5-6).

Цель: обобщить и систематизировать знания учащихся о модуле, продолжить формирование навыка решения уравнений, содержащих переменную под знаком модуля.

Теоретическая часть. При решении уравнений с модулем используется определение модуля и метод интервалов.

Определение: модулем числа а называется расстояние от точки 0 числовой прямой до точки, изображающей число а. Модуль неотрицательного числа равен самому числу, а модуль отрицательного числа равен противоположному ему числу

|а|=а, если а≥0 и |а|=- а, если а<0.

1. Доказать, что если |х – а|=|х – b|, где аа ; b], т.е.

hello_html_c8421db.gif.

2. Рассматриваются простейшие уравнения:

  1. | 3х + 2 | = 1. Решение. 1) Пусть 3х + 2 ≥ 0. Тогда 3х + 2 = 1, 3х = - 1, hello_html_md2b5309.gif 2) Пусть 3х + 2 < 0. Тогда 3х + 2 = - 1, 3х = - 3, х = - 1.

Ответ. hello_html_m25f7ca99.gif - 1.

  1. | х + 3 | = х + 3,

  2. | х – 2 | = 2 – х,

  3. | х – 1 | = | х – 2 |,

  4. | х + 3 | = | х + 5 |,

  5. | х + 6 | = | х + 10 |.

Рассматриваются свойства модуля: 1) |а · b|= |а| · |b| при любых а и b;

2) |аⁿ| = |а|ⁿ при любом а и любом натуральном n;

3) hello_html_m4963b329.gif при любом а и любом b ≠ 0;

4) | аⁿ| = аⁿ при любом а, если n – четное натуральное число;

5) |аⁿ| = - аⁿ, если а≤0 и n – нечетное натуральное число.

5. Алгоритм решения уравнений, содержащих переменную под знаком модуля: 1) приравниваем к нулю выражения, стоящие под знаком модуля;

2) отмечаем на числовой оси полученные значения;

3) определяем знак каждого выражения в полученных интервалах и

записываем уравнения с учетом этих знаков;

4) решаем каждое уравнение и выбираем ответ с учетом наложенных условий.

6. Графический способ:

1) преобразуем уравнение так, чтобы левая и правая части содержали по одному выражению с модулем;

2) построим графики левой и правой части;

3) найдем точки пересечения графиков;

4) абсциссы точек пересечения графиков подставим в уравнение, если получим верное равенство, то эти значения переменной являются решением уравнения. Если графики не пересекаются, то уравнение не имеет решений.

Примечание: при решении уравнений с модулем может быть непрерывное множество корней, соответствующее определенному промежутку числовой оси. Стоит отметить, что графический способ во многих случаях является основным методом решения уравнений с модулем. Учащимся необходимо напомнить правило построение графиков с помощью преобразований.

Практическая часть. Приводятся примеры решения уравнений аналитическим и графическим способом.

Пример 1. Решите уравнение |х| + |х - 1| = 1.

Решение. 1) х = 0, х – 1 = 0,

х = 1.


2)

hello_html_db4c624.png


3) хhello_html_m1dca96b.png(-∞, 0 ), -х – (х – 1) = 1,

х hello_html_m1dca96b.png[0, 1) , х - (х – 1) = 1,

х hello_html_m1dca96b.png[1, ∞), х + (х – 1) = 1.

4) Решаем первое уравнение – х – х + 1 = 1,

- 2х + 1 = 1,

- 2х = 0,

х = 0. 0 не является корнем уравнения, так как не принадлежит интервалу (-∞; 0).

Решаем второе уравнение х – х + 1 = 1,

0х = 0,

х – любое число из интервала [0; 1).

Решаем третье уравнение х + х – 1 = 1,

2х = 2,

х = 1.

1 hello_html_m289d78ff.gif[1, ∞), поэтому 1 – корень уравнения.

Ответ. [0, 1]

Пример 2. Решите уравнение графическим способом |2х - 4| - |6 – 2х| + 2 = 0.

Решение. 1) Запишем данное уравнение в виде 2 |х - 2| - 2 |3 – х | + 2 = 0, Разделим обе части уравнения на 2 и запишем в виде |х - 2| + 1 = |х - 3|,

2) Построим графики левой и правой части: yhello_html_m34745add.gif = |х - 2| + 1 и yhello_html_m4bcd60e4.gif = |х - 3|,

вершина графика yhello_html_m34745add.gif в точке (2;1), а графика yhello_html_m4bcd60e4.gif в точке (3;0)

hello_html_2f5031b7.png

3) Из рисунка видно, что yhello_html_m34745add.gif = yhello_html_m4bcd60e4.gif при х ≤ 2 (графики сливаются).

4) Проверка: пусть х = 2, тогда |4 – 4| - |6 - 4| + 2 = 0, 0 = 0 – верно,

пусть х = 0, тогда |4 - 0| - |6 - 0| + 2 = 0, 0 = 0 – верно.

(достаточно проверить несколько значений).

Ответ: (-∞;2).

Можно предложить учащимся решить это уравнение аналитически.

Также следует отметить, что для №6.145 – 6.151 из сборника hello_html_644003f0.gif характерно также непрерывное множество корней.

Пример 3. |7х - 12| - |7х - 1| = 1,

Пример 4. №6.153, 6.155 hello_html_644003f0.gif,

Пример 5. |х² - 14| =|х² - 4|.

Задания для самостоятельного решения:

6.145-6.151, №6.154, №6.156 hello_html_644003f0.gif, №1-9 стр. 107 hello_html_m37159d93.gif


(Урок 8-9).

Цель: обобщить и систематизировать знания, умения и навыки решения неравенств;

сформировать навык решения рациональных неравенств высших степеней, дробно-рациональных неравенств и неравенств, содержащих переменную под знаком модуля;

Теоретическая часть. Определение: выражения вида f(х)>g(х); f(х)

f(х)≥g(х); f(х)≤g(х) называются неравенствами с одной переменной.

Два неравенства называются равносильными, если множества их решений совпадают.

Повторяются правила преобразования неравенств в равносильные. Основная идея решения неравенства заключается в замене неравенства более простым, но равносильным заданному неравенству.

1.Квадратные неравенства, т. е. неравенства вида ах² + bх + c > 0 (< 0), а≠ 0.

Будем считать, что а>0. Если это не так, то умножив обе части неравенства на -1 и изменив знак неравенства на противоположный, получим желаемое.

Чтобы решить неравенство можно:

  1. квадратный трехчлен разложить на множители, т. е. неравенство записать в виде а(х - хhello_html_m34745add.gif)(х - хhello_html_m4bcd60e4.gif) > 0 (< 0);

  2. корни многочлена нанести на числовую ось;

  3. построить «змейку», проходящую через корни, крайний правый промежуток положителен.

hello_html_61b9100f.png

Если квадратный трехчлен не имеет корней, то при а>0 и D<0 квадратный трехчлен при любом х положителен.

2.Рациональные неравенства высших степеней (>2) ,т.е. неравенства вида hello_html_m6235a9a1.gif (< 0), n > 2.

Чтобы решить неравенство можно:

1) с помощью методов решения рациональных уравнений разложить многочлен на множители, т. е. неравенство записать в виде

hello_html_6df56010.gif.

2) сократим на заведомо положительные выражения или отрицательные (в последнем случае знак неравенства менять на противоположный).

3) по правилу «змейки» найдем решение (крайний правый промежуток положителен, а затем знаки чередуются).

3. Дробно-рациональные неравенства. Для решения неравенства применяется метод интервалов (метод промежутков), который состоит в следующем:

а) на числовую ось наносят точки х, х2, …, хn, разбивающие ее на промежутки, в которых выражение hello_html_6a60ee89.gif определено и сохраняет знак (плюс или минус). Такими точками могут быть корни уравнений f(х)=0 и g(х)=0. Соответствующие этим корням точки отмечают на числовой оси: закрашенными кружками – точки, удовлетворяющие заданному неравенству, а светлыми кружками – не удовлетворяющие ему;

б) определяют и отмечают на числовой оси знак выражения hello_html_6a60ee89.gif для значений х, принадлежащих каждому из полученных промежутков. Если функции f(х) или g(х) являются многочленами и не содержат множителей вида (х – а)²ⁿ, где nhello_html_m289d78ff.gifN, то достаточно определить знак функции hello_html_6a60ee89.gif в любом таком промежутке, а в остальных промежутках знаки плюс и минус будут чередоваться.

Если же в числителе и знаменателе дроби hello_html_6a60ee89.gif имеется множитель вида

(х-а)²ⁿ, где nhello_html_m1dca96b.pngN, то, полагая х≠а, делят обе части заданного неравенства на множитель(х-а)²ⁿ, положительный при всех значениях х≠а, и непосредственной проверкой выясняют, удовлетворяет ли значение х = а заданному неравенству.

  1. Неравенства с модулем. При решении неравенств с неизвестным под знаком модуля пользуемся определением модуля, а также необходимо помнить, что решением неравенства |х|<а, а>0 является множество (-а; а), а при решении неравенства |х|>а, а>0 является объединение множеств

(-∞; -а) hello_html_4969d799.gif (а; ∞).

Практическая часть.

Пример 1. хhello_html_6c876371.png- 6х³+ 11х² - 6х < 0.

Решение. Разложим на множители многочлен хhello_html_6c876371.png- 6х³+ 11х² - 6х ,используя способ подбора (деления многочлена на многочлен), получим:

х(х – 1)(х – 2)(х – 3) < 0.

hello_html_5cd014eb.png

Ответ: (0;1) hello_html_4969d799.gif (2;3).

Пример 2. (х – 1)hello_html_414171c8.png(х + 2)(2х – 10 - х²) < 0.

Решение. Перепишем неравенство следующим образом:

(х – 1)(х – 1)hello_html_m4f60c339.png(х + 2)(- х² + 2х – 10) < 0.

Разделим почленно на (х – 1)hello_html_m4f60c339.png> 0 при х ≠ 1; обе части неравенства умножим на -1.

Получим (х – 1)( х + 2)( х² - 2х + 10) > 0. Сокращаем на х² - 2х + 10 > 0 (так как а = 1, а > 0, D < 0). Получаем (х – 1)( х + 2) > 0.

Ответ: (- ∞; -2) hello_html_4969d799.gif (1;∞).

Замечание: Предложенный метод более понятен учащимся, его удобно использовать для отработки и закрепления навыков решения неравенств, однако для оформления письменных работ используется метод интервалов.

Пример 3. х²(2х – 9)( х – 1)³ / (2х – 6) hello_html_297a2b59.gif≤0.

Решение. Полагая х≠0 и х≠3, разделим обе части неравенства на положительную дробь hello_html_m39fc886f.gif и сразу заметим, что х=0 удовлетворяет заданному неравенству, а х=3 не удовлетворяет. Кроме того, множители с нечетными показателями степени заменим соответствующими множителями первой степени (ясно, что при этом знак выражения в левой части неравенства не изменится). В результате получим более простое неравенство, равносильное заданному для всех х≠0 и х≠3:

(2х – 9)(х – 1) ≤ 0, решением которого является отрезок [1;4,5].


hello_html_m5f3b8be8.png

Учитывая, что значение х=0 является решением заданного неравенства, но не принадлежит промежутку [1;4,5], а х=3 не является решением заданного неравенства, но принадлежит этому промежутку, запишем ответ: [1;3) hello_html_4969d799.gif (3;4,5] , 0. Ответ: [1;3)hello_html_4969d799.gif(3;4,5] , 0.

Пример 4. | х – 3 | + | х + 2| - х > 5.

Решение. На числовой оси отметим значения, при которых

х – 3 = 0 и х + 2 = 0,

х = 3 х = -2.

Рассмотрим неравенство на каждом из полученных промежутков.

а) Если х < - 2, то неравенство принимает вид –х + 3 – х – 2 – х > 5, т. е.

-3х > 4, hello_html_m241431df.gif

Из соотношений х < - 2 и hello_html_m783bd762.gifследует, что х < - 2 является решением неравенства.

б) Если -2 ≤ х < 3, то неравенство принимает вид –х + 3 + х + 2 –х >5, т. е. –х > 0, х < 0.

Из соотношений -2 ≤ х < 3 и х < 0 следует, что -2 ≤ х < 0 является решением данного неравенства.

в) Если х ≥ 3, то х – 3 + х + 2 –х > 5, т. е. х >6 – решение неравенства.

Найденные решения данного неравенства на различных промежутках удобно изобразить на числовых осях. hello_html_4494eb5.png

Ответ: ( -∞ ; 0) hello_html_4969d799.gif (6 ; ∞).

Задания для самостоятельного решения. №1-№5 стр. 155-156, №1-№5 стр. 157-158, №1-№1-№5 стр.159, №1-№5 стр.161 hello_html_153f24ed.gif. Задания В7 тестирования математика 1, А10 математика 2hello_html_216f0686.gif.

(Урок 9-10).

Цель: закрепление и совершенствование навыков решения рациональных уравнений и неравенств; развитие умения анализировать, обобщать, классифицировать.

Теоретическая часть: Учащимся предлагается сформулировать интересующие их вопросы, затем ученики по цепочке отвечают на них (используя конспект). Те вопросы, на которые ученики затрудняются ответить, рассматриваются еще раз и закрепляются практическими заданиями. Затем учащимся предлагается обменяться своими решениями и оказать помощь тем, кто данные задачи не смог выполнить, объясняя каждый этап решения.

Практическая часть: Рассматриваются те задания, которые никто не решил, а также № 1-11, №14-18 стр.108-109, №1-4 стр. 155-156, №1-4 стр. 157, №1-5 стр. 159, №1-4 стр.161 hello_html_153f24ed.gif - выборочно, задания В7 и А10 тестирования hello_html_2c754308.gif Задания для самостоятельного решения:

Учитель сообщает, что на следующем занятии пройдет соревнование в форме математического боя. Для этого учащиеся делятся на две группы (желательно под руководством учителя, чтобы команды были равны по силам). Задача каждой команды - придумать как можно больше способов решения.

  1. Решите уравнения:

  1. hello_html_m151b17f7.gif,

  2. hello_html_49912199.png + х³ + 64х + 8 = 0,

  3. hello_html_m3bd60792.gif,

  4. hello_html_23957b97.gif

  5. х² + | х-3 | + | х-1 | = 1.

  1. Решите неравенства:

    1. hello_html_m548f03e1.gif

    2. | 2х² - 9х + 15 | ≥ 20,

    3. (х – 3)(х – 1)²(3х – 6 - х²) < 0,

    4. | х + 1| + | х - 1| < 0,

    5. hello_html_m4c018d97.gif

Замечание: количество заданий можно уменьшить или дать проще, в зависимости от уровня подготовки и количества учащихся




(Урок 11-12).

Цель: контроль степени усвоения знаний, умений и навыков решения рациональных уравнений и неравенств; формирование навыков самоконтроля и контроля; развитие познавательной активности и культуры речи, умения доказывать свою точку зрения.

Ход занятия.

Учитель сообщает условия игры. Выбираются капитаны. Каждая команда должна решить, кто из игроков какое задание будет защищать во время игры. Капитаны во время игры заполняют лист учета баллов каждого игрока и команды.

Правила игры: Вступительное слово ведущего: Здравствуйте! Мы рады приветствовать всех зрителей, участников команд и наисправедливейшее жюри!

Математический бой чем-то напоминает турнир рыцарей, в котором игра идет по честным правилам, а такие качества как честность и благородство присуще сильной половине человечества. С другой стороны, математический бой – это игра, где нужны интуиция и верная тактика, а в этом, как известно, сильна прекрасная половина человечества. В нашей игре не должно быть обид и разочарований. Итак, в нашей сегодняшней игре принимают участие две команды – (название).

Правила оценивания выступлений команд: докладчик (Д) и оппонент (О)

  1. -Если Д решает задачу верно и О соглашается, то команда Д получает 10 б., а команда О получает 0 б.

- Если Д решает задачу верно, а О предложил свой верный способ решения, то и

команда Д, и команда О получают по 10 б.

- Если Д решает задачу верно, а О не соглашается и предлагает свой неверный

способ, то команда Д получает 10 б., а команда О получает -10 б.

  1. Если Д решает задачу неверно, и О соглашается, что решение неверно, но не

предлагает своего решения, то Д получает -10 б., а О получает 0 б.

- Если Д решает задачу неверно, а О предлагает свой верный способ, то Д получает

-10 б., а О получает 10 б.

- Если Д решает задачу неверно, а О предлагает свой тоже неверный способ, то Д

получает -10 б. и О тоже -10 б.

  1. Если Д признает, что не решил задачу, а О предлагает верное решение, то Д получает 0 б., а О получает 10 б.

- Если Д признает, что не решил задачу, а О предлагает неверное решение, то Д

получает 0 б. и О получает -10 б.

- Если Д признает, что не решил задачу, О тоже сообщает об этом, то обе

команды получают по 0 б.

Чтобы определить право первого «вызова», капитанам предлагают решить простейшую задачу на сообразительность, кто первый решит, тот и получает право первого «вызова».

Задача. Три разных натуральных числа сначала сложили, а затем их же перемножили. Сумма и произведение оказались равными. Какие это числа?

Ответ: 1, 2, 3.

Капитан, получивший право первого «вызова» советуется с командой и они называют номер задачи, решение которой желали бы услышать. Команда соперников сообщает принят ли вызов. Команды вызывают друг друга по очереди. Если вызванная команда хочет ответить, то она выставляет докладчика, а другая команда выставляет оппонента для проверки решения. Если вызванная команда отказалась отвечать, то вызвавшая команда должна сама рассказать решение задачи. При этом если у оппонента нет решения, то вызов считается некорректным. После каждого выступления жюри оценивает выступления докладчика и оппонента, а капитаны ставят баллы в индивидуальный лист учащегося (см. приложение 2).

Замечание: к доске можно выходить с готовым решением, каждый докладчик может выступать один раз.

По окончании игры подводится итог и определяется рейтинг каждого ученика по тому участию, которое он принял во время игры и подготовке к ней. Учитель в свою очередь отмечает интересные подходы к решению задач и также может добавить лишний балл ученику за интересные находки.


(Урок 13-14).

Цель: сформировать навык решения иррациональных уравнений методом замены переменной. Познакомить учащихся с методом решения иррациональных уравнений, содержащих кубические радикалы.

Теоретическая часть. 1. Определение: уравнения, содержащие переменную под знаком корня, называются иррациональными.

2. Уравнения, имеющие одно и то же множество корней, называются равносильными.

В процессе решения заданное уравнение заменяют более простым равносильным ему уравнением с помощью преобразований, известных нам из курса 7 класса.

3. Если каждый корень данного уравнения является корнем другого уравнения, то второе уравнение является следствием первого.

Корни второго уравнения, не удовлетворяющие первому уравнению, называются посторонними корнями первого уравнения и не считаются решением этого уравнения.

К появлению посторонних корней могут, например, привести (но не обязательно приводят) такие преобразования: возведение в квадрат (или другую четную степень) обеих частей уравнения, умножение обеих частей уравнения на алгебраическое выражение, содержащее переменную, и т. п.

4. Чтобы выяснить, имеются ли среди корней уравнения-следствия посторонние корни исходного уравнения, необходимо проверить каждый из найденных корней подстановкой его в исходное уравнение.

Можно поступить иначе: на каждом этапе решения уравнения определять промежутки, в которых могут находиться корни уравнения. Все корни, не принадлежащие этим промежуткам, являются посторонними и должны быть отброшены. Однако остальные корни все равно необходимо проверить подстановкой в исходное уравнение.

5. Если уравнение имеет вид f(х)h(х) = g(х)h(х), то деление обеих его частей на h(х),как правило, не допустимо, поскольку может привести к потере корней; в этом случае могут быть потеряны корни уравнения h(х) = 0, если они существуют.

Уравнение не считается решенным как в случае, когда ответ содержит посторонние корни, так и в случае, когда в процессе решения был потерян хотя бы один корень.

6. Решение иррационального уравнения следует искать в ОДЗ неизвестного. Для этого следует напомнить, что корень четной степени из числа в той же степени равен модулю этого числа. Корень четной степени определен только для неотрицательных чисел, причем этот корень равен неотрицательному числу, а из равенства hello_html_m3e57918c.gif следует х = а²ⁿ.

7. Основные методы решения иррациональных уравнений:

1). Уединение радикала и возведение в степень. Смысл таких преобразований в сведении данного иррационального уравнения к равносильному ему рациональному уравнению («рационализация уравнений»). Этому методу много внимания уделяется в любом школьном курсе, поэтому останавливаться на нем не следует.

2). Введение новой переменной (подстановка). Сущность метода описана ранее. Подробнее поясним на примерах.

3). Уравнения, содержащие кубические радикалы. Основным методом решения таких уравнений является последовательное возведение в куб обеих частей уравнения, используя формулы (а + b)³ = а³ + b³ + 3а b(а + b)

(а - b)³ = а³ - b³ - 3а b(а - b).

Практическая часть. Пример 1.hello_html_m1192dea8.gif.

Решение. Обозначим х² + 3х – 6 = t (можно х² + 3х = t или hello_html_47aa090d.gif,

t ≥ 0).

Тогда получаем t – 12 + 4hello_html_125c330c.gif = 0,т. е. 4hello_html_125c330c.gif= 12 – t , учитывая, что t ≥ 0 и 12 – t ≥ 0 возведем обе части уравнения в квадрат: 16t = 144 – 24t + t², т. е.

t² - 40t + 144 = 0, t = 36, t2 = 4.

Значение t = 36 не удовлетворяет условию 12 – t ≥ 0. Итак, х² + 3х – 6 = 4,

х² + 3х – 10 = 0, откуда находим корни -5 и 2. Проверкой убеждаемся, что найденные числа удовлетворяют данному уравнению. Ответ: -5 и 2.

Пример 2. hello_html_1754b8f3.gif

Решение. Обозначим hello_html_m41bf7291.gif отсюда х+7≥0, hello_html_m643e4f1c.gif и получаем

hello_html_m44db63f2.gifт.е.

hello_html_5b3cf8d6.gif

но t+1>0 (так как t≥0), поэтому hello_html_m64bbac44.gifили hello_html_35bfc384.gif

hello_html_37bd80cf.gifhello_html_7fb8406f.gif(4)

Возводим в квадрат: hello_html_m241d235a.gif т.е. 5t=15 или t=3, найденное значение удовлетворяет неравенствам (4). Стало быть,

hello_html_m5a214d11.gifПроверкой убеждаемся, что это корень уравнения.

Ответ: 2.

Пример 3. hello_html_5a50c4b7.gif подстановка hello_html_1c75dde2.gif (или hello_html_359309ae.gif).

Пример 4. hello_html_6a0933f4.gif подстановка hello_html_md4a7e43.gif

Пример 5. hello_html_m7d39d62a.gif подстановка х²+х=t.

Пример 6. hello_html_55d73f66.gifподстановка hello_html_46921c2e.gif

Пример 7. hello_html_2054e5b8.gif

Решение. Возведем в куб обе части уравнения

hello_html_358ec509.gifт.е.

hello_html_25cc118c.gifучитывая, что выражение в скобках равно 1 (см. условие), получаем

hello_html_42ec6a92.gifт.е.

hello_html_m1ae8aa29.gifВозводим в куб:

(х+45)(х-16)=8000, т.е.

hello_html_m3908847.gifhello_html_m2a5b307d.gifhello_html_m513edf98.gif

Проверкой убеждаемся, что это корни уравнения.

Ответ: 80 и -109.

Пример 8. hello_html_604a1982.gif

Решение. Приведем его без дополнительных объяснений.

hello_html_293a2470.gifт.е.

hello_html_m65d46b04.gifт.е.

hello_html_m5c41cf0a.gif

hello_html_m4a14a7d5.gifhello_html_m88639da.gifhello_html_326fe5b5.gif

Проверкой убеждаемся, что это корни уравнения. Ответ: -5, -6, hello_html_1646c724.gif.

Пример 9. hello_html_5107e891.gifhello_html_m53d4ecad.gif

Решение. После возведения в куб обеих частей уравнения, получим

hello_html_m20fd0d55.gif

или, учитывая исходное уравнение,

hello_html_m5b08b8b5.gif

Возводя в куб, получаем

х(х+8)(х+3)=36, т.е.

х³+11х²+24х-36=0,

х³-х²+12х²-12х+36х-36=0,

х²(х-1)+12х(х-1)+36(х-1)=0,

(х-1)(х²+12х+36)=0.

Отсюда находим, что hello_html_63c04df4.gifhello_html_m4649b409.gif. Проверкой убеждаемся, что х=-6 – посторонний корень.

Ответ: 1.

Пример 10. hello_html_mf92f247.gif

Решение. Возведя обе части уравнения в квадрат, получим

hello_html_m30a89142.gif

hello_html_32830ff8.gif

Еще одно возведение в квадрат привело бы к уничтожению иррациональности, однако здесь нет необходимости в этом преобразовании. Замечаем, что полученное уравнение-следствие может иметь решение только при условии х+1≤0. вместе с тем одним из условий существования решения исходного уравнения является требование х+1≥0. оба условия совместны в единственном случае, если х+1=0, откуда х=-1. Это значение х, как легко проверить, удовлетворяет исходному уравнению. Так как уравнение-следствие других корней не имеет, то других корней не имеет и исходное уравнение. Ответ: -1.

Пример 11. hello_html_187758ce.gif

Решение. Так как х=5 не является корнем уравнения, то обе части уравнения можно разделить на hello_html_m2169ff65.gifпричем потери корней не произойдет. Получаем уравнение, равносильное исходному:

hello_html_60fe3.gif

Полагая hello_html_151a4cd0.gif приходим к квадратному уравнению z²-5z+4=0, откуда

hello_html_4965cc7c.gifhello_html_2bfac5d7.gifДля отыскания х имеем два уравнения:

hello_html_6c75616.gifи hello_html_m54dc94bb.gif Возводя в куб обе части каждого из них, поучаем

hello_html_34fabb84.gifоткуда х=0, и hello_html_45b4684c.gif откуда hello_html_765e6b46.gif Проверкой убеждаемся, что это корни. Ответ: 0 и hello_html_mc392652.gif

Пример 12.hello_html_8f1dbeb.gif

Решение. Запишем уравнение в следующем виде:

hello_html_2b41e353.gif

Положим hello_html_4ac613a.gif; отметим, что hello_html_3b05f7d0.gif.

Производя указанную замену, получим уравнение hello_html_m6bb68e1.gif откуда hello_html_m5afacaf8.gif. Это значение удовлетворяет условию hello_html_3b05f7d0.gif и поэтому уравнение hello_html_m1b7a2d1f.gif или hello_html_2f72bd20.gifравносильно заданному.

Корни hello_html_m418c855c.gif этого уравнения являются корнями исходного уравнения.

Ответ: hello_html_m3d4efe4.gif и 1.

Пример 13. hello_html_6bb979d.gif

Решение. Положим hello_html_m598eff0.gifи заметим, что hello_html_59224bba.gif

Тогда hello_html_7c40ee76.gifhello_html_m53d4ecad.gif

Исходное уравнение примет вид hello_html_415e670c.gif (Учащиеся решают самостоятельно.)

Решая последнее уравнение, имеем: hello_html_117314e4.gif

Так как hello_html_m598eff0.gif, то hello_html_760623cc.gif

Ответ: hello_html_m6df5cfef.gif

Примеры для самостоятельного решения: №1-№7 стр. 112, №1-№5 стр. 114 hello_html_153f24ed.gif, №6.031-№6.066 hello_html_6401c403.gif.


(Урок 15-16).

Цель: сформировать навык приведения нестандартных уравнений к виду, способ решения которого уже известен. Выработать умение систематизировать и обобщать известные факты и применять их на практике.

Теоретическая часть. При решении уравнений не всегда виден тот путь, который приведет нас к рациональному способу. Поэтому, прежде всего, необходимо учащимся еще раз напомнить, что:

- при решении уравнений можно обе его части умножить или разделить на одно и тоже число, отличное от нуля;

- можно увидеть после некоторых преобразований уже «знакомое» уравнение, например, однородное;

- наряду с данным уравнением рассмотреть еще одно;

- заменить данное уравнение более простым, введя не одну, а две переменные;

- выделить полный квадрат и т. п.

Практическая часть. Пример 1. hello_html_m809d458.gif

Решение. Разделим обе части уравнения на х≠0:


hello_html_m3bbf75a6.gif

Пусть hello_html_m54739fa5.gif тогда

hello_html_m5a274221.gifт.е. hello_html_m118804b8.gif т.е. hello_html_m5404af7b.gif

hello_html_m2821143d.gifhello_html_2fcdd812.gifhello_html_8a8194d.gif

Так как hello_html_5fba37bb.gif, то hello_html_401bbec5.gifне является корнем уравнения.

Ответ: 5.

Пример 2. hello_html_m7a909676.gif

Решение. Введем две переменные: hello_html_58ce8cf3.gif (1)

hello_html_9d56e10.gif(2)

Тогда hello_html_360ae8a6.gif Последнее уравнение получаем из (1) и (2).

hello_html_m162b3946.gif

Итак, имеем hello_html_m24cac066.gif (3)

Теперь, если первое уравнение системы поставим во второе, получим hello_html_m6324f009.gif или hello_html_446ba529.gifЭто уравнение можно решить, сделав подстановку hello_html_4935daf8.gif

Решим систему (3) другим путем, используя формулу hello_html_6eeba5f5.gif

Из hello_html_7340af48.gif следует hello_html_6e5e81f3.gifт.е. hello_html_m51d8c7c.gif

С учетом, что hello_html_69c1bd65.gif получаем

hello_html_527cb51d.gifт.е.

hello_html_m7329f5de.gifт.е.

hello_html_ddf4675.gifт.е.

hello_html_m61e2e467.gifhello_html_403bc12c.gifhello_html_65dbeec2.gif

Итак, получаем две системы

hello_html_m15951795.gifи hello_html_63a9e479.gif Отсюда hello_html_m1fb59c99.gif и hello_html_m3d985b5c.gif (вторая система не имеет решения).

Возвращаясь к (1) и(2), получаем

hello_html_3f85c925.gifи hello_html_5926288e.gif

Отсюда находим, что hello_html_m41d86a61.gifhello_html_1f15f916.gif

Ответ: 40, -40.

Пример 3. hello_html_fbf2ad9.gif

Решение. Отметим сразу, что (х-2)(х-3)≥0. (4)

Считая, что х≥3, перепишем уравнение в другом виде:

hello_html_7196274b.gif

это однородное уравнение. Разделим обе части уравнения на hello_html_732c3842.gif Получаем

hello_html_304f1ff1.gifПусть hello_html_m308903be.gif тогда

hello_html_m40365e41.gifт.е. hello_html_m40365e41.gifhello_html_c139792.gif или hello_html_4c685cd7.gifhello_html_7ba30e0f.gif Значит,

hello_html_7fcd609c.gifи hello_html_m2ee8c205.gif следовательно,

hello_html_57c872b2.gifи hello_html_a54f7d5.gif

Оба корня удовлетворяют соотношению (4). Можно показать, что при х≤2 данное уравнение корней не имеет.

Ответ: hello_html_2aae6ce7.gif

Пример 4. hello_html_m2cfc39b6.gif

Решение. Положим hello_html_6dc1f9fa.gif Тогда из равенств

hello_html_65c32483.gif

hello_html_m9f292fa.gif

путем перемножения получаем hello_html_3d8e7203.gif т.е. t=7.

А теперь сложим равенства

hello_html_65c32483.gif

hello_html_1cd6151d.gif

Получаем hello_html_m4e67b9bd.gifт.е. hello_html_m680150fb.gif

Отсюда hello_html_m2d446e0e.gif

Ответ: hello_html_72d42e31.gif

Пример 5. hello_html_m1d0fb4a9.gif

Решение. Это уравнение можно переписать так:

hello_html_m33cebedd.gifт.е.

hello_html_m2c52225a.gif

Это возможно лишь при условии, что

hello_html_275ec62c.gifт.е. hello_html_5ef0c843.gif и система противоречива.

Ответ: уравнение корней не имеет.

Пример 6. hello_html_m6ddf3df8.gif

Пример 7. hello_html_m6b365d7f.gif

Пример 8. hello_html_73f8ad70.gif

Пример 9. hello_html_m203d5a9c.gifОтвет: -1.

Пример 10. hello_html_m34982a17.gif Ответ: уравнение корней не имеет.

Задачи для самостоятельного решения: №1-№20 стр. 117-118 hello_html_153f24ed.gif.


(Урок 17-18).

Цель: познакомить учащихся с общей схемой решения иррациональных неравенств; сформировать навык применения равносильности при решении иррациональных неравенств.

Теоретическая часть. При решении иррациональных неравенств необходимо помнить, что корни нечетной степени рассматриваются при всех действительных значениях подкоренных выражений, а корни четной степени – только арифметические,

т. е. из hello_html_65861a94.gif следует hello_html_6b82bcd5.gif

С помощью методов решения иррациональных уравнений иррациональное неравенство свести к простейшему виду hello_html_m33860fb2.gif

Дальше рассуждаем примерно так.

  1. f(х) ≥0, решаем это неравенство.

  2. Изучаем правую часть исходного неравенства:

а) если g(х)<0, то решение примера заканчивается выписыванием ответа, полученного в пункте 1 (левая часть заведомо больше правой).

б) если g(х)>0, то обе части исходного неравенства возводим в степень 2n. Получаем f(х) > (g(х))²ⁿ, решаем это неравенство.

3. С учетом решения в пункте 1, выписываем ответ.

Замечание: При решении неравенства hello_html_66b9df8b.gif рассуждаем аналогично. Для удобства полученные решения изображаем на числовых осях.


К решению неравенств можно подходить иначе, используя равносильность:

  1. Иррациональное неравенство hello_html_66b9df8b.gif равносильно системе неравенств

hello_html_12afcbde.gif


2. Иррациональное неравенство hello_html_745870a3.gif равносильно совокупности двух систем неравенств: hello_html_5c6d1b9c.gif

hello_html_m53d4ecad.gif

Практическая часть. Рассматриваем по одному примеру каждого типа, решение которых рассматривается двумя способами. Учащиеся сами должны определиться, какой из предложенных способом для них проще, и далее они могут решать неравенства любым из предложенных способов.

Пример 1. hello_html_m69efaf13.gif

Решение: 1 способ.

1. Решаем неравенство х² - 4х≥0, получаем х(х4)≥0, х≤0 и х≥4.

  1. а) если х-3<0, т. е. х<3, то получаем ответ 1: (-∞;0];

б) если х-3≥0, т. е. х ≥3, то получаем: х²-4х>(х-3)², т. е. 2х>9, т. е. ответ 2: (4,5;∞);

hello_html_m7e72252.png

Объединяя ответы 1 и 2, получаем окончательный (-∞;0] hello_html_4969d799.gif(4,5;∞).

2 способ.hello_html_7202d4d3.gifhello_html_4fa2e5a0.gifhello_html_85b90e.gif


Ответ: (-∞;0] hello_html_4969d799.gif(4,5;∞).


Пример 2. hello_html_mf02f0c1.gif

Решение. 1 способ.

1. Решаем неравенство х+6≥0. Отсюда х≥-6.

2. а) Если х-5<0, т. е. х<5, то исходное неравенство решений не имеет (левая часть

неравенства неотрицательна, а правая отрицательна).

б) Если х-5>0, т. е. х>5, то получим hello_html_m60ca0aae.gif

hello_html_496f7c13.gifт. е.hello_html_1e853707.gif

С учетом решения в пункте 1 получаем hello_html_m4ef8ad8c.gif

Ответ: hello_html_4b45affd.gif

2 способ. hello_html_3c04a4a4.gif

hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m4d6d62d7.gif

Ответ: hello_html_4b45affd.gif

Пример 3. hello_html_13e91797.gif

Пример 4. hello_html_m3489140.gif

Пример 5. hello_html_m307f2f1d.gif

Пример 6. hello_html_34cfe7ae.gif

Пример 7. hello_html_7685082f.gif

Пример 8. hello_html_6c980d79.gif

Пример 9. hello_html_5f19680a.gif

Пример 10. hello_html_69b5765f.gif

Примеры для самостоятельного решения:

1-№5 стр.163-164 hello_html_153f24ed.gif, №9.188, 9.192, 9.208, 9.211, 9.230, 9.257, 9.258, 9.259, 9.260 hello_html_6401c403.gif.


(Урок 19-20).

Цель: познакомить с общими подходами к решению уравнений с параметрами и рассмотреть примеры их решения; сформировать навык решения иррациональных уравнений и неравенств, содержащих параметры.

Теоретическая часть.

1)Общие сведения о параметрах. Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами. Наиболее трудной и важной частью решения таких задач является исследование процесса в зависимости от параметров.

Задачи с параметрами часто встречаются на вступительных экзаменах по математике и столь же часто оказываются не по силам абитуриентам. Это, вообще говоря, не удивительно, поскольку у большинства учащихся нет должной свободы в общении с параметрами. Задачи с параметрами отличаются особенным разнообразием и нестандартностью. Не случайно без них, как правило, не обходятся олимпиады всех уровней, вступительные экзамены в наиболее престижные вузы. «Появление таких заданий на экзаменах далеко не случайно, так как с их помощью проверяется техника владения формулами элементарной математики, методами решения уравнений и неравенств, умение выстраивать логическую цепочку рассуждений (без чего решение задачи с параметрами невозможно) и, в конечном итоге, уровень логического мышления учащихся.

Несмотря на то, что программа по математике средней общеобразовательной школы не упоминает в явном виде о задачах с параметрами, было бы ошибкой утверждать, что этот вопрос никоим образом не освещается в рамках школьного курса математики.

Достаточно вспомнить школьные уравнения х² = а, ах² +bх+с = 0, sinx=a, cosx=a, tgx=a, ctgx=a, в которых а, b, с есть не что иное, как параметры. Считаем, что задачам с параметрами следовало бы уделять больше внимания. Они представляют чисто математический интерес, способствуют интеллектуальному развитию учащихся, служат хорошим материалом для отработки навыков.

Задачи с параметрами вызывают у многих если не панический страх, то, по крайней мере, чувство неудобства. Большинство учащихся либо вовсе не справляются с такими задачами, либо приводят громоздкие выкладки, лишенные к тому же логической стройности. Причиной этого является отсутствие системы заданий по данной теме в школьных учебниках.

В самом начале знакомства с параметром у учеников возникает некий психологический барьер, который обусловлен противоречивыми характеристиками параметра. С одной стороны, параметр в уравнении следует считать величиной постоянной, а с другой - конкретное значение параметра неизвестно. С одной стороны, параметр является величиной постоянной, а с другой – может принимать различные значения. Получается, что параметр – это неизвестная известная, переменная постоянная величина. Этот «каламбур» очень точно отражает существо тех сложностей, которые нужно преодолеть ученикам.

Целесообразно изучение уравнений с параметрами начинать с решения простых уравнений без ветвлений. Например:

1) hello_html_31755f0e.gifответ: при hello_html_m14aecbb6.gif

2) hello_html_2d0352d1.gif ответ: при hello_html_550ed774.gif

3) х : 2 = а, ответ: при hello_html_m64093bf0.gif

4) | х | = | а |, ответ: при hello_html_m703fad5d.gif

5) х³ = а, ответ: при hello_html_m6feb43ab.gif

Подобные упражнения помогают учащимся привыкнуть к параметру, к необычной форме ответов при решении уравнений.

В качестве второго шага на пути изучения уравнений с параметрами можно выделить решение простейших уравнений с небольшим числом легко угадываемых ветвлений. Примеры таких уравнений приведены ниже.

1) ах = 10.

Ответ: при hello_html_m7a627d00.gif при а = 0 корней нет.

Чтобы из-за скобок и значков запись ответа не показалась устрашающей, ее можно записать так: «при а≠0 hello_html_m774c76ba.gif при а = 0 корней нет». Это, пожалуй, тот случай, когда методико–математическая уловка может иметь значительный психологический вес.

2) 0 · х = а.

Ответ: при а≠0, корней нет, при а = 0 х – любое число.

3) hello_html_m329e5a21.gif

Ответ: приhello_html_1484969c.gifпри а<0 корней нет.

  1. | х | < а.

Ответ: при а<0 корней нет, при а>0 х = ±а.

5) hello_html_214908ad.gif

Решение: Если а² - 4 ≠ 0, то есть а ≠ 2, то hello_html_m62a7ca5.gif

Если а = -2, то 0 · х = -4, то есть уравнение не имеет корней.

Если а = 2, то 0 · х =0, то есть х – любое.

Ответ: при а ≠ 2 х=hello_html_5aa78c76.gif при а = -2 корней нет, при а = 2 х – любое действительное число.» hello_html_m3c20f41.gif стр. 73-76.

Задания, включенные в экзаменационный сборник, представляют собой наиболее распространенные виды задач с параметрами. Мы рассмотрим примеры рациональных уравнений и неравенств с параметрами, вошедшие в экзаменационный сборник и централизованное тестирование 2003 года.

2) Определение: уравнение hello_html_m510683a2.gif называется иррациональным с одним неизвестным х, если одна или две части содержат выражения, иррациональные относительно х. Например, уравнения hello_html_m5910abae.gifhello_html_m39bf9af0.gifhello_html_7fe018e3.gif иррациональные относительно х. здесь а и b – параметры. При отыскании действительных корней уравнения, необходимо помнить, что hello_html_17ca865a.gif при hello_html_577d1f13.gif и n –четном, т. е. n=2k (k –натуральное), рассматриваются только арифметические значения hello_html_m1df8f190.gif

Решение таких уравнений сводится к постепенному переходу от иррационального уравнения к рациональному путем возведения в степень обеих частей уравнения. Но известно, что в таком случае возможно появление посторонних корней. Следовательно, решение должно сопровождаться тщательной проверкой, или необходимо следить за равносильностью уравнений и неравенств, получаемых в результате преобразований.

3) Графический метод. В графическом методе параметр а и аргумент х совершенно равноправны, и только для оформления ответа приходится «распределять роли» между ними. Рассмотрим уравнения вида hello_html_2900580f.gif или неравенства вида hello_html_md7755ee.gif Пусть ставится задача о нахождении решения такого уравнения или неравенства (при всех допустимых значениях параметра) или задача об исследовании свойств множества решений такого уравнения (неравенства). Для решения этой задачи в координатной плоскости х0y строим графики функций hello_html_74d5b0db.gif и hello_html_21df1eef.gif задающие на плоскости (в зависимости от параметра а) семейства кривых. Затем, анализируя эти семейства кривых, получаем нужную информацию о решениях задачи.

Для реализации указанного метода можно дать общую рекомендацию: по возможности «собрать» параметр в одной части (левой или правой0, то есть привести данное уравнение (неравенство) к виду hello_html_5057c945.gif (соответственно, hello_html_m71723beb.gif). Делается это для того, чтобы при изменении параметра «двигался» только график функции

hello_html_m765b953.gif, а график hello_html_4e927356.gif оставался неподвижным. Если это не удается сделать непосредственно, можно попытаться сделать замену переменой.

Практическая часть. Пример 1. Решите уравнение | х – а | = 3х – 1.

Решение. Это уравнение с параметром а. По определению модуля 3х – 1 ≥ 0, т. е.

hello_html_m20944405.gifРассмотрим два случая:

а) Если х – а ≥ 0, то уравнение примет вид х – а = 3х – 1, 2х = 1 – а, hello_html_m6b78aa0a.gif так как hello_html_e32ac4a.gif то hello_html_m72ddb03f.gif поэтому hello_html_m5a10d1a9.gif

б) Если х – а < 0, то уравнение примет вид – х + а = 3х – 1, 4х = а + 1, hello_html_m3ddcd163.gif так как hello_html_e32ac4a.gif то hello_html_m680b83cd.gif поэтому hello_html_m3e3da06e.gif Итак: hello_html_m186759c6.gif и hello_html_m2d78d45.gif

При hello_html_m3b1be0a5.gif имеем hello_html_10287d.gif

Ответ: если hello_html_3762f9ef.gif то hello_html_m186759c6.gif, если hello_html_m10fc732.gif то hello_html_m785b1f36.gif

Пример 2. hello_html_m2daabe7.gif.

Решение. Считая, что знаменатель не равен нулю, выразим х через а, т. е. решим уравнение относительно х: а = 18а – 12х, 12х = 17а, hello_html_m73540cd3.gif.

Теперь вернемся к исходному уравнению. Подстановка hello_html_m73540cd3.gif в это уравнение обращает его в верное равенство, кроме случаев, когда 3а – 2х = 0, т. е. 3аhello_html_m610f4dba.gif≠ 0, hello_html_m1b3867c2.gif, а≠ 0.Таким образом, при а = 0 уравнение не имеет корней, а при а ≠ 0 уравнение имеет корни hello_html_m73540cd3.gif.

Ответ: корней нет при а = 0 и hello_html_m73540cd3.gif при а ≠ 0.

Замечание: Однотипными можно считать №6.207 – 6.210 из экзаменационного сборника hello_html_644003f0.gif «Решите уравнение». Это требование можно понимать как «Решите уравнение для всех значений параметра а». В задачах №6.211 - №6.218 сгруппированы задачи типа «Найдите все значения а, при которых данное число является (не является) корнем заданного уравнения». В заданиях №6.221 и №6.222 следует использовать свойства четности или нечетности функций и соответствующую симметрию графиков.

Рассмотрим уравнение f(х)=g(х), где обе функции четные. Их графики симметричны относительно оси y. Если графики не имеют общей точки на оси y, то число корней (точек пересечения графиков f(х) и g(х), если оно есть) – четное. Если общая точка на оси y имеется, т. е. f(0)=g(0), то число корней нечетно. (Предполагается, что число корней конечно.) Рассуждая подобным образом, можно прийти также к выводу о том, что если функция F(х) - четная, то уравнение F(х)=0 имеет четное число корней, кроме случая, когда F(0)=0, т. е. график F(х) касается оси х в начале координат.

Задания 6.229 - №6.232 удобно решать графоаналитическим способом.


Пример 3. Для каждого значения а найти число корней уравнения |х-2| + х =ах.

Решение. Переписав уравнение в виде|х-2| = х(а-1),обозначим а-1=b. Пришли к уравнению

|х-2| =bх. Строим график hello_html_m34e2fb7e.gifи несколько характерных графиков hello_html_m308d1903.gif для различных b.hello_html_14d16250.png

Из рисунка видно, что при b<-1 имеем одно решение, при -1<b<1 – нет решений, при b=0 – одно решение, при 0<b<1 – два решения и при b≥1 – одно решение. Возвращаясь к исходному уравнению и подставляя вместо b его значение а-1, получим ответ.

Ответ: при а<0 – одно решение, при 0≤а<1 – нет решений, при а=1 – одно решение, при 1<a<2 –два решения, при а≥2 – одно решение.


Пример 4. Найти все значения параметра а, при котором неравенство hello_html_m7bf90ae7.gif имеет, по крайней мере, одно решение.

Решение. Графиком функции hello_html_7c836665.gif является верхняя полуокружность с центром в точке (0; 0) и радиусом 1.

Функция hello_html_m6879c7d1.gif для каждого фиксированного значения параметра а задает прямую, параллельную биссектрисе 2 и 4 координатных углов. Следовательно, уравнение hello_html_m6879c7d1.gif на координатной плоскости х0у задает семейство прямых, параллельных указанной биссектрисе.

Данное неравенство будет иметь по крайней мере одно решение лишь при тех значениях параметра а, при которых найдутся точки полуокружности, расположенные выше соответствующих точек прямой. Такие точки появятся лишь тогда, когда прямая hello_html_m6879c7d1.gif располагается слева от касательной к верхней полуокружности, параллельно биссектрисе 2 и 4 координатных углов.

Учитывая, что указанная касательная принадлежит семейству прямых hello_html_m6879c7d1.gif, найдем значение параметра, соответствующее моменту касания. Для этого вначале запишем систему уравнений, из которых определяются координаты точек пересечения прямой hello_html_m6879c7d1.gif и окружности с центром в точке (0; 0) и радиусом 1:

hello_html_35a09d74.gif

система должна иметь единственное решение, значит D=0 для второго уравнения, то есть

hello_html_m41216bdb.gif

значение параметра hello_html_m48780c98.gifсоответствует касательной к полуокружности, лежащей в верхней полуплоскости, и является искомым.

Таким образом, при hello_html_mdbe8b52.gifданное неравенство имеет по крайней мере одно решение, а при hello_html_62cb5b1f.gifоно решений не имеет.

hello_html_5fe04b43.png

Ответ: hello_html_m3cdfbab9.gif

Пример 5. Решите уравнение hello_html_c52a5c6.gif

Решение. Возведем обе части уравнения в квадрат:

hello_html_797ecc20.gif

1) Если а=2, то 0∙х=5 – нет решений,

2) Если а≠2, то hello_html_m6875c2de.gif

Проверка. Если hello_html_575f6277.gif то в левой части уравнения получим:

hello_html_m7254d4c1.gif

в правой части –

hello_html_m63b4c3ec.gif

Левая и правая части равны, hello_html_m729579e9.gif и а>2.

При hello_html_m2c001bcd.gif решений нет.

Ответ: если hello_html_m2c001bcd.gif, то решений нет; если hello_html_m729579e9.gif или а>2, то корнем уравнения является hello_html_m213d6da0.gif

Пример 6. Для каждого допустимого значения параметра а решите уравнение hello_html_m5f5c1e53.gif

Решение. В данном уравнении допустимыми являются любые значения параметра hello_html_m6097b747.gif При любом а данное уравнение равносильно следующей системе:

hello_html_254a0a35.gif

Ответ: если hello_html_26e9593e.gif то hello_html_m6d1d2d6f.gif

если hello_html_m499c8971.gif то уравнение решений не имеет.

Пример 7. Для каждого значения а найти число корней уравнения | х – 2 | + х = ах.

Пример 8. Найдите наибольшее целое значение параметра а, при котором система неравенств

hello_html_56e41b16.gifне имеет решений.

Задания для самостоятельного решения.

6.207 - №6.218, №6.221, №6.222, №6.229 - №6.232 hello_html_644003f0.gif.

Так как объем материала большой, то можно предложить учащимся провести исследовательскую работу и то, что сказано в замечании оформить в виде публикации или презентации. (Тогда учитель только ставит задачу перед учащимися, а они под руководством учителя ее решают.)

(Урок 21-22).

Цель: совершенствование навыков решения иррациональных уравнений и неравенств.

Теоретическая часть. Учащиеся делятся на группы и готовят теоретические вопросы, которые вызвали наибольшее затруднение. Обсудив в группе эти вопросы и не найдя на них желаемого ответа, учащиеся обращаются к другой группе. Если ответ опять не удовлетворил учащихся, то учитель еще раз останавливается на данных вопросах. Из опыта своей работы я знаю, что ученики сразу задают вопрос о решении иррациональных неравенств с параметрами, поэтому этот вопрос следует рассмотреть еще раз.

Практическая часть.

Пример 1. При любом допустимом значении параметра а решить неравенство hello_html_m5f2fcdf.gif

Решение. Параметр а –любое действительное число. Преобразуем неравенство к виду hello_html_m38faab54.gif и сделаем замену х-а=t.

Получим уравнение hello_html_34d04ebe.gif, которое равносильно системе hello_html_m152d402.gif

    1. Если а=0, то система не имеет решений.

    2. При а≠0 рассмотрим два случая (а>0 и а<0):

а) Если а>0, то hello_html_m7e3f25c.gif

Множество решений М последней системы является пересечением множеств

М =hello_html_m14dd0c0d.gif и hello_html_103f5da2.gif

Итак, hello_html_1b55ac48.gif

hello_html_m6b361cda.png.

б) Если а<0, то

hello_html_44b196e4.gifhello_html_m928ace9.png

Видим, что система не имеет решений, поэтому при а<0решений нет.

Итак, система (1) имеет решение лишь при а>0. Используя полученное множество решений (2) системы (1) и возвращаясь к переменной х, получим искомое множество решений исходного неравенства (при любом а>0):

hello_html_m50315ac3.gif

Ответ. Если а>0, то hello_html_4e8381c6.gifесли а≤0, то решений нет.

Далее рассматриваются примеры, предложенные учащимся для самостоятельного решения, которые вызвали наибольшее затруднение.

Задания для самостоятельного решения. №1-№9 стр.174, №11, №14, №15, №16 стр.174-175. hello_html_153f24ed.gif.

Замечание: 1) Учащимся необходимо сообщить, что на последнем занятии по этой теме будут предложены задания для самостоятельного решения, с целью определения рейтинга учащихся, однако эти оценки не будут выставлены в журнал.

2) Решение неравенств, как правило, вызывает наибольшее затруднение, поэтому учащимся предлагается для самостоятельного решения рациональные и иррациональные неравенства. Но учитель может изменить задания, учитывая уровень подготовки учеников. Главное, чтобы они были достаточно сложны, но доступны. В противном случае, ученики потеряют интерес и разуверятся в свои силы.


(Урок 23-24).

Цель: контроль уровня усвоения способов и методов решения иррациональных уравнений и неравенств, в том числе, содержащих параметры.

Практическая часть. Ученикам предлагаются типовые задачи различных уровней сложности по данной теме, которые предлагались абитуриентам на вступительном экзамене в БФ СГУ и другие вузы города. Перед учащимися ставится задача: набрать максимальное количество баллов.

  1. Решите уравнения: 1) hello_html_m3914dbd6.gif(3 б.)

2) hello_html_1c9918fd.gif (3 б.)

3) hello_html_2276dee7.gif (3 б.)

4) hello_html_7c825e44.gif (4 б.)

5) hello_html_m6664819b.gif(5 б.)

2. 6) Найдите натуральный корень уравнения hello_html_6dc458a3.gif(5 б.)

7) Найдите координаты общих точек графиков функций hello_html_m198a5ecc.gif и hello_html_m50e15953.gif(5 б.)

8) Найдите количество целых решений уравнения hello_html_m1473a6d7.gif(6 б.)

9) Найдите все значения параметра а, при которых не имеет корней уравнение

hello_html_m3aad6450.gif(10 б.)

3.Решите неравенства: 10) hello_html_m4c4d82f3.gif (5 б.)

11) hello_html_m1f25b972.gif (6 б.)

12) hello_html_3a9989a7.gif(6 б.)

4. 13) Найдите число целых решений неравенства hello_html_77e7ddc4.gif(6 б.)

14) Для каждого допустимого значения параметра а решить неравенство hello_html_mf494e31.gif (10 б.)

Ответы: 1) hello_html_m7853e24f.gif 2) 0, 3) 1, 4) нет корней, 5) 1, 6) 7, 7) (-1;1), 8) 9, 9) hello_html_6a7421a2.gif

10) hello_html_720527a1.gif 11) hello_html_m360eec61.gif 12) 3, 13) 3, 14) если hello_html_m33bb167b.gif то решений нет; если hello_html_m6be86777.gif то hello_html_m6473a74c.gif если hello_html_7c479fa9.gif то hello_html_1c5d5e2c.gif

Замечания: 1) замена 3х²+5х+3=t,

2) так как 3х+2≥0, то х+2>0, тогда |х-2|=х-2,

3) воспользоваться формулой hello_html_21468efb.gif

4) достаточно найти ОДЗ уравнения,

5) замена hello_html_m7d28b108.gif

6) замена | x |=t,

7) воспользоваться тем, что первая функция убывающая, а вторая – возрастающая,

8) воспользуемся равенством hello_html_m4c60713.gif

9) использовать условие отсутствия корней квадратного уравнения,

12) оценить левую и правую части неравенства,

13) учесть, что hello_html_5ea7b023.gif

14) легче решать графически.

В конце урока учитель собирает работы для их оценивания. Оставшиеся задания предлагает решить дома.



(Урок 25-26).

Цель: продолжить формирование умений и навыков решения тригонометрических уравнений.

Теоретическая часть. Определение: уравнение, содержащее тригонометрические функции, называется тригонометрическим уравнением.

Основные методы решения тригонометрических уравнений

1.Простейшие. К ним относятся уравнения вида hello_html_m6dd93c7d.gif, hello_html_m49d71028.gif,hello_html_m1c512f89.gif (где аhello_html_12394510.gif), hello_html_55257bf6.gif (где аhello_html_12394510.gif). Формулы решений этих уравнений имеют следующий вид (здесь и в дальнейшем hello_html_m126873c3.gifозначает, что n- целое число):

hello_html_md377c9f.gif; x=(-1)hello_html_d901e0b.gifhello_html_8c85d89.gif+hello_html_m2214077c.gif; (1)

hello_html_5d7bca1d.gif(2)

hello_html_481378d6.gif(3)

hello_html_m41f9df6.gif(4)

Необходимо повторить частные случаи решения уравнений при а=0, а=1 и а= -1.

Уравнения вида hello_html_m4c81678d.gif

(hello_html_5bae2756.gifлюбые действительные числа) также относятся к простейшим.

Их следует решать сразу по формулам (1)-(4), заменив х на hello_html_m3e204b7b.gif.

Необходимо помнить, что: 1) hello_html_mf8c698d.gif

2) hello_html_caf62c8.gif

3) hello_html_77133ad4.gif

4) hello_html_2b8127a0.gif.

Можно напомнить формулы корней уравнений вида: hello_html_m1e4d420b.gif

hello_html_m3a46ff7b.gif

hello_html_mc157040.gif

2.Общий прием. Он заключается в том, что все тригонометрические функции, которые входят в уравнение, выражают через какую-нибудь одну тригонометрическую функцию, зависящую от одного и того же аргумента.

3. Методы группировки. Путем группировки слагаемых уравнение привести к виду, когда левая часть разложена на множители, а правая часть равна нулю. Уравнение распадается на несколько более простых уравнений. При решении уравнений этим методом возможно появление посторонних корней. Чтобы избежать ошибки в ответе, нужно исключить из полученных значений неизвестного те, для которых заданное уравнение не имеет смысла.

4. Уравнения, решаемые понижением степени. Если тригонометрическое уравнение содержит hello_html_m456658e2.gif в четвертой степени, то применим формулы понижения степени hello_html_m5fa6eb50.gif

5. Универсальная подстановка. При решении уравнений вида hello_html_6a9b5cac.gif удобно применять универсальную подстановку hello_html_3da429ab.gif Тогда hello_html_72f0b2a1.gif а hello_html_4368a9e7.gif Уравнение становится рациональным. После нахождения его решения надо проверить, не удовлетворяют ли исходному уравнению числа hello_html_m72bd5043.gif

6. Однородные уравнения и приводимые к ним. Однородные уравнения, т. е. уравнения вида: hello_html_m7b252d3.gif

hello_html_31b62d40.gif

и т. д. (у всех слагаемых сумма показателей одинакова) приводятся к алгебраическим относительно hello_html_m49976e4f.gif путем деления обеих частей уравнения на hello_html_m38c5ec35.gif соответственно.

Некоторые уравнения можно сделать однородными путем замены 1 на hello_html_m56769946.gif с помощью различных преобразований функций, входящих в уравнение и т. д. Например: hello_html_m2075832c.gif

hello_html_31a624b5.gif

получили однородное уравнение второй степени.

7. Способ подстановки. Рассмотрим уравнения, для которых удобно применять различные подстановки: 1) hello_html_373d2d73.gif;

2) hello_html_m380ec9da.gif.

8. Введение вспомогательного угла. Суть метода в том, что некоторую величину представляют как тригонометрическую функцию соответствующего аргумента hello_html_6f95504e.gif, а затем производят тригонометрические преобразования.

Покажем, что любое линейное уравнение, hello_html_m2ed015a8.gifгде hello_html_38d90690.gif можно решить этим методом. Разделим обе части уравнения на hello_html_m2ed3f73b.gif:

hello_html_m4d15c126.gifТак как hello_html_m3e931f38.gif то точка с координатами hello_html_m43975bde.gif лежит на единичной окружности. Следовательно, существует такое число hello_html_6f95504e.gif (такой угол hello_html_6f95504e.gif), что hello_html_m5f87c48f.gif

Поэтому уравнение hello_html_6da4d14d.gif можно записать в виде:

hello_html_m691c3e2c.gif

Последнее уравнение является простейшим тригонометрическим, решение которого известно.

Практическая часть. Уравнениям первых трех типов уделяется достаточно времени на уроках, поэтому их можно не рассматривать (или рассматривать по мере необходимости).

Пример 1. hello_html_5d1e0d.gif

Решение. Найдем значения х, удовлетворяющие каждому из уравнений

hello_html_m6ff0fa83.gifили hello_html_18b96e5c.gif Если hello_html_69aa94d.gif то hello_html_m9b812f0.gif

Если hello_html_7acf5c7.gifт. е.hello_html_m7b83dcd7.gif, то hello_html_7b8866a7.gifОднако было бы ошибочным считать ответом объединение полученных решений, так как исходное уравнение не имеет смысла при hello_html_13df6a04.gifпоэтому первое из предполагаемых решений – постороннее.

Ответ: hello_html_9283fe9.gif

Пример 2.hello_html_m26657b0.gif

Решение. hello_html_m6c24a143.gif

hello_html_m2a2a4b4f.gif

hello_html_m39e673c0.gif

hello_html_20a4bc0e.gif

Отсюда: hello_html_m6583b27c.gif, hello_html_m60d7e297.gif или hello_html_m7d4f355e.gif

hello_html_m7299f7c0.gifhello_html_2f7bbccc.gifhello_html_6cde2492.gif

Решение hello_html_m1e5466a0.gifявляется частью множества корней hello_html_m60353c5e.gif (((при hello_html_caf2240.gif).

Ответ: hello_html_m29f5221f.gif

Пример 3. hello_html_3a2a7cf6.gif

Решение. hello_html_7ed285e8.gif

Последнее уравнение можно решать разными способами.

1. Решим его, перейдя к функции hello_html_m115c2f6d.gif (см. 2.):

hello_html_41622ed9.gif(берем «+», т. к. слева выражение положительное). Возведя обе части в квадрат, получим:

hello_html_m3a9a7f2e.gif

hello_html_m47fc13fc.gif

  1. Воспользуемся универсальной подстановкой hello_html_4f9ae6a0.gif (см. 5.):

hello_html_m7eb57cff.gif

hello_html_mca30f2e.gif

  1. Сведем его к однородному уравнению (см. 6):

hello_html_m6554189d.gif,

hello_html_m65dc5462.gifhello_html_m190231cb.gif

разделим обе части последнего уравнения на hello_html_42d975c7.gif, получим:

hello_html_m5d557499.gifhello_html_m433e4c4d.gifhello_html_52c34f84.gifhello_html_192cb4fa.gifhello_html_2fc794cf.gifhello_html_c07f851.gif

  1. Решим с помощью введения вспомогательного угла (см. 8.):

Разделим обе части уравнения на hello_html_151deb3a.gif: hello_html_m621547bd.gif, hello_html_m7826b701.gif Поэтому уравнение можно записать в виде:

hello_html_899d092.gifhello_html_m1d6f371e.gifhello_html_4cce0df4.gif

hello_html_m7bfaaca6.gif, hello_html_m3c75d73e.gif

Проверяем, является ли hello_html_6a9e96c6.gifрешением данного уравнения:

hello_html_m11a8c56.gifзначит, не является.

Ответ: hello_html_261c8453.gif (или hello_html_5ea49e2d.gif).

Замечание: сравнивая найденные ответы 2 и 3 с ответами 1 и 4, видим лишь внешнее различие.

Но если hello_html_m401b6c8c.gif то hello_html_m50ad1c56.gif

Пример 4. hello_html_61b3819f.gif

Решение. Воспользуемся формулой hello_html_m46f0cc76.gif и перепишем данное уравнение иначе: hello_html_802ee5d.gif

hello_html_75b403cd.gifОбозначим hello_html_7099030c.gif, т. е. hello_html_7bf5e042.gif.

Тогда получаем hello_html_m19baf735.gif

Тогда hello_html_m1b6f05b5.gif или hello_html_m25d4428f.gif Второе уравнение не имеет корней, тогда hello_html_m12d42503.gif

Ответ: hello_html_m65c44b4.gif

Пример 5. hello_html_m38ea4a28.gif

Решение. В примере встречаются разность синуса и косинуса и их произведение. Обозначим hello_html_m793dd9ae.gif Отсюда следует

hello_html_m3bf5e414.gif

Уравнение примет вид: hello_html_m58e1160d.gif

Решая его, получаем корни 3 и hello_html_63234fa9.gif.

Стало быть, hello_html_m2c9280cd.gif или hello_html_ma3ebeb8.gif Первое уравнение не имеет решений, так как hello_html_5e2cf45a.gif, а второе решим с помощью введения вспомогательного угла, т. е.hello_html_3b02d270.gif Отсюда hello_html_m1b75f69c.gif

Ответ: hello_html_m87e0030.gif

Замечание: Можно было бы сразу уравнение переписать в виде:

hello_html_m36a5c8ba.gifтак как hello_html_226e07ba.gif

Задания для самостоятельного решения. №1-№5 стр.229, №1-№5 стр.230-231, №1-№7 стр. 233, №1-№5 стр.235 №1-№5 стр.236-237 hello_html_153f24ed.gif.


(Урок 26-27).

Цель: сформировать навык решения нестандартных тригонометрических уравнений, продолжить развитие логического мышления, умения обобщать и анализировать.

Теоретическая часть. Ищем решение данного нестандартного тригонометрического уравнения путем рассуждений, путем сведения к системе уравнений и т. д. При решении уравнений существенным является ограниченность функций синус и косинус.

На экзаменах могут встретиться уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции. Их решение, как правило, основано на определении обратных тригонометрических функций и знании их свойств.


Практическая часть. Пример 1. hello_html_51f43aac.gif

Решение. Левая часть уравнения не больше 2, т. е. hello_html_51a30ec5.gifтак как hello_html_m6f3606cd.gif Равенство возможно лишь при условии, что hello_html_m535a09aa.gifПравая часть должна быть положительна, так как hello_html_2e6d637c.gifа значит, hello_html_2d06c6bc.gif. Кроме того, из этого

следует, что hello_html_513ffd3.gif. Равенство возможно лишь при условии, что hello_html_m535a09aa.gifТаким образом, исходное уравнение имеет решение только при условии, что hello_html_16032f87.gif(тогда hello_html_175fa08f.gif). Отсюда следует ответ: hello_html_39ebc651.gif

Ответ: hello_html_m72a52262.gif

Пример 2. hello_html_bd65942.gif

Решение. Перепишем уравнение в виде hello_html_636fa185.gif

Но это возможно лишь при условии, что hello_html_m670f7596.gifт. е. данное уравнение равносильно системе уравнений

hello_html_7cb939ce.gif

Приравнивая правые части этих равенств, получаем уравнение hello_html_1c61e587.gif, т. е. hello_html_m585b010.gifгде k и n-целые числа. Это уравнение имеет решение hello_html_6ca7bf28.gif где hello_html_m7c9fdb4c.gif Подставляя значения k и n в равенства (1), получаем xl.

Ответ: πl, hello_html_m7c9fdb4c.gif

Пример 3. hello_html_42f77f82.gif

Решение. Так как hello_html_1cdc2237.gif и hello_html_393ddf38.gifто сумма hello_html_2a073fb4.gif равна 2 только в том случае, когда hello_html_m75e4d91f.gifи hello_html_m5462d0a0.gifодновременно. Следовательно, данное уравнение равносильно системе уравнений

hello_html_m257593a.gifт.е. hello_html_m63653fe8.gifт.е. hello_html_49ca2968.gif

Отсюда получаем hello_html_1e986f0f.gif т.е. hello_html_m5a5fb264.gif где k и n – целые числа. Это уравнение имеет решение hello_html_m725b71ed.gif где hello_html_m7c9fdb4c.gif Следовательно, исходное уравнение имеет решение hello_html_m531e4517.gif

Ответ: 4πl, hello_html_m7c9fdb4c.gif

Пример 4. hello_html_100bf778.gif

Решение. Очевидно, что

hello_html_m596dbf57.gifhello_html_m11eb8834.gifhello_html_m766f6f99.gif

Перемножим почленно эти неравенства, получаем

hello_html_m4aea988d.gif

Левая часть равна правой лишь при условии, что hello_html_m2bb397b7.gif, hello_html_787806e4.gif и hello_html_7c21e470.gif одновременно. Следовательно, данное уравнение равносильно системе уравнений

hello_html_m5f211ef7.gifотсюда

х=πm, hello_html_15de18bd.gif hello_html_m2121aaca.gif hello_html_22d56ce7.gif hello_html_69bc6b0b.gifhello_html_m7c9fdb4c.gif

Ответ: х=πm, hello_html_15de18bd.gif hello_html_m2121aaca.gif hello_html_22d56ce7.gif hello_html_69bc6b0b.gifhello_html_m7c9fdb4c.gif

Пример 5. hello_html_1a4f57a9.gif

Решение. Так как hello_html_m1bdcd7a4.gifто левая часть уравнения не превосходит 4, т.е. hello_html_m71d74a8c.gif

Правая часть уравнения не меньше 4, т.е. hello_html_45f5757d.gif

Равенство достигается при выполнении условий

hello_html_mf9aa9ce.gifт.е. hello_html_7e13727b.gif

Система разбивается на две:

hello_html_m5e6c114.gifи hello_html_560ad860.gif

Легко убедиться, что первая система не имеет решения, а решением второй является hello_html_m3f075b85.gif

Ответ: hello_html_m79f0a3db.gifhello_html_1b22f94d.gif

Пример 6. hello_html_1135daa.gif

Решение. hello_html_7412e57c.gif т.е.hello_html_5ea9087d.gifhello_html_m65c702d0.gif

Из второго уравнения находим hello_html_m2fc622f5.gif т.е. hello_html_325522f3.gifhello_html_35e41827.gif (2)

При этом значении х первое уравнение принимает вид:

hello_html_m3b8a9009.gifт.е. hello_html_7d42bcc4.gif

Отсюда hello_html_m7c9dcc19.gif Теперь находим х (см. (2)): hello_html_m5bf969ed.gif

Ответ: hello_html_301ee6d.gifhello_html_17bfd85c.gif

Пример 7. hello_html_m5a4a425d.gif

Решение. Очевидно, что в силу ограниченности функции синус такое уравнение имеет решение в случае одновременно выполнения равенств

hello_html_m68ce23d4.gifт.е. hello_html_749ff85e.gif или hello_html_m2168f599.gif

Из этих решений необходимо выбрать общие решения, т.к. именно при них система обращается в равенства. Изобразим полученные решения на единичной окружности

hello_html_m5f2bf777.png

Из рисунка видно, что общие решения совпадают с hello_html_f9f4b37.gif. Итак: hello_html_c7dc5e0.gifhello_html_m3ccfab4e.gif

Ответ: hello_html_m6a119f37.gif

Пример 8. hello_html_274e2169.gif

Решение. Преобразуем обе части уравнения. В левой части учтем, что hello_html_6290ae3a.gif, в правой части выделим квадрат разности чисел. Получаем

уравнение:

hello_html_13fca653.gif

Учтем, что hello_html_bb1c9d5.gif Поэтому уравнение имеет решения только в случае hello_html_4c953eda.gif

Ответ: hello_html_4478b198.gif

Пример 9. hello_html_m1cc2ef4a.gif

Решение. Легко догадаться, что числа hello_html_m4782a2e7.gifявляются решениями уравнения. Однако еще следует доказать, что других решений нет.

Предположим, что существуют решения hello_html_m1a89db22.gif Так как hello_html_m729369dd.gif и hello_html_510960e0.gif, то hello_html_m548b666.gif Поэтому для любого целого положительного k справедливы неравенства hello_html_218d3aaa.gif Складывая их, получаем hello_html_m4b833bfa.gif Но hello_html_m2c30d75b.gifСледовательно, hello_html_m62276e5b.gif для всех значений hello_html_m1a89db22.gif

Значит, заданное уравнение (в частности, уравнение hello_html_662c7fe4.gif) не имеет решений, отличных от hello_html_m4782a2e7.gif.

Ответ: hello_html_m5f705053.gif.

Пример 10. hello_html_1357c2aa.gif

Решение. hello_html_af07204.gif Но hello_html_m60dff61f.gifпоэтому k=0.

Имеем: hello_html_19a28c60.gif

Ответ: hello_html_m173705b7.gifЗамечание: можно встретить тот же ответ, записанный в другом виде: hello_html_m47878ba6.gif

Пример 11. hello_html_m2d9843b2.gif

Решение. Функция hello_html_33289f70.gif определена приhello_html_m4e83ca83.gif, причем при х=0 значение hello_html_m6de39193.gif Следовательно, ОДЗ данного уравнения hello_html_70a987f9.gif. Введем новую неизвестную hello_html_m464b283f.gif и получим рациональное уравнение: hello_html_396cdcbd.gif.

Илиhello_html_m2bd18926.gif Корни уравнения hello_html_68b7ce5d.gif Оба корня входят в область значений функции hello_html_33289f70.gifhello_html_m66f0c02f.gif Вернемся к старой переменной.

Имеем уравнения: hello_html_m149ace20.gif

hello_html_m226d3ba2.gif

Итак, уравнение имеет два корня hello_html_2da42442.gif

Ответ: hello_html_m7424eccc.gif

Задания для самостоятельного решения. №1-№5 стр. 240, №1-№30 стр. 240-241 hello_html_m27b748e3.gif, можно также предложить задания к главе 8 из сборникаhello_html_6401c403.gif.


(Урок 28-29).

Цель: сформировать навык решения тригонометрических неравенств с помощью тригонометрического круга и по формулам, совершенствовать умения и навыки решения систем уравнений, уравнений и неравенств, содержащих параметры и переменную под знаком модуля.

Теоретическая часть. 1.С помощью методов решения тригонометрических уравнений тригонометрические неравенства свести к простейшему виду:

hello_html_56a3d69e.gifhello_html_1bedde23.gifhello_html_6f101c97.gif

Из hello_html_fca5524.gif -1<a<1 следует hello_html_3f2c3a6b.gif

Из hello_html_e95672d.gif -1<a<1 следует hello_html_ma9bd6fb.gif

Из hello_html_10a031a8.gif -1<a<1 следует hello_html_m25a5c1b6.gif

Из hello_html_m442db831.gif -1<a<1 следует hello_html_m643d31d6.gif

Из hello_html_m32ece672.gif следует hello_html_m1283511.gif

Из hello_html_65732bc3.gif следует hello_html_7351043d.gif

Тригонометрические неравенства удобно решать, используя тригонометрический круг.

hello_html_m4dfe5176.pnghello_html_m2e5260c2.png

В случае сложного аргумента тригонометрической функции рекомендуется обозначить его новой переменной, решить для него неравенство, а затем вернуться к старой неизвестной.

Практическая часть.

Пример 1. hello_html_m413208d7.gif

Решение. Обозначим аргумент косинуса hello_html_m56042860.gif и получим неравенство hello_html_24e09828.gif На тригонометрическом круге на оси косинусов отложим значение hello_html_2fa1d38b.gif и построим соответствующие углы hello_html_m138417a0.gif и hello_html_7547614.gif Тогда неравенству hello_html_m1b1b9f2e.gif удовлетворяют значения hello_html_1395a7d2.gif Учтем периодичность функции hello_html_43e721be.gif и получим решения hello_html_7a54003f.gif Вернемся к старой неизвестной х и получим двойное линейное неравенство: hello_html_m2fe159b.gif Ко всем частям неравенства прибавим число hello_html_m361c60bb.gifhello_html_27746cf1.gif Все части неравенства разделим на положительное число 3. При этом знак неравенства сохраняется: hello_html_146570b0.gif.

hello_html_m69c2b18e.pngОтвет: hello_html_m436b4500.gif

Пример 2. hello_html_797fb703.gif

Решение. Перепишем уравнение следующим образом

hello_html_6c072e98.gif

Отметим, что hello_html_1356524a.gif т.е. hello_html_m5ac236ce.gif Далее

hello_html_mc422e63.gifт.е. hello_html_m6cf62e1a.gif

Сокращаем на hello_html_m3ce32fad.gifhello_html_1a9fcb2d.gif

hello_html_m74024aef.gifт.е. hello_html_m11e95bac.gif т.е. hello_html_m70461a21.gif Отсюда

hello_html_24a2e4e3.gifт.е. hello_html_a46b928.gif

Разделим почленно на 2:

hello_html_m3610843c.gif

Ответ: hello_html_m8d37c0a.gif

Пример 3. hello_html_m2d86b6e8.gif

Решение. Проведем следующие преобразования

hello_html_209729ab.gifт.е.

hello_html_429542f5.gifт.е.

hello_html_m1c0b53a0.gifт.е.

hello_html_m38251541.gifт.е.

hello_html_94aac4.gifт.е.

hello_html_m21476c99.gif

По выше приведенной формуле получаем

hello_html_1a4d64e4.gifили hello_html_m1643f44a.gif где hello_html_m5500faa7.gif

Ответ: hello_html_2e0dc8cd.gif

Пример 4. hello_html_m3719df24.gif.

Решение. Введем новую переменную hello_html_m43b1487.gif и получим квадратное неравенство hello_html_7a4c15f6.gif Это неравенство имеет решение hello_html_m2bb065b8.gif Вернемся к старой неизвестной х и получим: hello_html_14327b65.gif На тригонометрическом круге по оси тангенсов отложим значения 1 и hello_html_m980c3de.gif, построим соответствующие углы hello_html_3b8bc425.gif и hello_html_58ae1305.gif Тригонометрическому неравенству удовлетворяют значения hello_html_156a2eb0.gif Учтем периодичность hello_html_1bfc1af9.gif функции тангенс и получим: hello_html_3119bd27.gif.

hello_html_m56d6a0aa.pngОтвет: hello_html_m3e1c84dd.gif

Пример 5. Решите систему уравнений hello_html_m25ebd458.gif

Решение. Возведем оба уравнения в квадрат и сложим полученные уравнения:

+ hello_html_m3f270292.gif

hello_html_1fd4abee.gifhello_html_m3e4c07b8.gif

hello_html_m217a8540.gif

Так как hello_html_70abadd.gifто hello_html_5020af01.gif Следовательно, hello_html_m59768b35.gif

Рассмотрим два случая: k-четное и k-нечетное числа.

  1. Если hello_html_m62f451bd.gifто, подставляя hello_html_m1032a9f6.gif в исходную систему, имеем:

hello_html_5f422a14.gif

  1. Если hello_html_3719739d.gif то, подставляяhello_html_63446345.gif в исходную систему, получаем:

hello_html_mf92771f.gif

Ответ: hello_html_m6a948d43.gif

Пример 6. Решите уравнение для каждого значения параметра а hello_html_m6714779d.gif

Решение. Преобразуем левую часть уравнения как сумму кубов:

hello_html_3ff749bf.gif

hello_html_m13ef3735.gif

hello_html_76212ead.gifТак как hello_html_m197d7cd0.gif, то получим равносильное исходному уравнение hello_html_m77051b0a.gif. Откуда hello_html_m2488799d.gif

Если hello_html_m7c24dddd.gif, то уравнение hello_html_4ba6cdde.gif имеет решение

hello_html_m42cf187.gif

В частности, при а=1 решением уравнения hello_html_662c7fe4.gif являются числа hello_html_m3649af7d.gif Однако это уравнение, как и многие другие, можно решить быстрее, используя неравенства hello_html_51715f10.gif(см. занятие 27, пример 9).

Пример 7. Решите уравнение для каждого значения параметра а hello_html_m3a9e4dae.gif

Решение.

Очевидно, что hello_html_453d576.gif т. е. hello_html_m869515a.gif (1)

Решаем исходное уравнение hello_html_m7e2f628e.gif

Так как hello_html_m7e7fb1e4.gif то hello_html_m7f2fa3c4.gif а) Если hello_html_2c8e1531.gifто hello_html_m3c434869.gif

б) Если hello_html_m43fbc580.gifто hello_html_1a858364.gif

Из hello_html_28fa3d21.gif следует, hello_html_66d79576.gif

Найденное решение удовлетворяет соотношению (1).

Ответ: hello_html_m7d909606.gif при hello_html_6e9c68f5.gif

hello_html_m56376642.gifпри hello_html_m687616b8.gif

Пример 8. Решите уравнение для каждого значения параметра а

hello_html_mb2f4467.gif

Решение. Запишем уравнение в виде:

hello_html_dbac966.gif

hello_html_m4fe76943.gifhello_html_7d053e89.gif(2)

а) Если 3а-1=0, т. е. hello_html_dd02390.gif то уравнение (2) примет вид:

hello_html_7f1657c1.gif

hello_html_797eb1da.gif

б) Если 3а-1hello_html_3750bfcb.gif0, т. е. hello_html_5d0113ea.gif то уравнение (2) можно записать в виде:

hello_html_m3ab00b59.gif

Каждое уравнение совокупности имеет решение, если hello_html_m11f4e54b.gif

hello_html_675341df.gifТогда hello_html_1229595d.gif

Ответ: hello_html_2c301384.gif при hello_html_5815d7be.gif

hello_html_218be065.gifпри hello_html_54309f5a.gif

Пример 9. Определите, при каких значениях параметра а система hello_html_m1b0456bb.gif

не имеет решений.

Решение. В одной системе координат построим графики функций hello_html_m271a4efb.gif

и hello_html_m7e91cc71.gif. 1) hello_html_m271a4efb.gif- синусоида, симметричная относительно оси 0у.

2) у=2х – прямая, проходящая через начало координат;

у=hello_html_1db187cf.gif и у=-hello_html_1db187cf.gif

hello_html_md6ecacf.png

Если а=0, то система имеет одно решение х=0.

Если а>0, то система имеет два решения, а<0 – система не имеет решений.

Задания для самостоятельного решения. №1-№5 стр. 170, №31-№33 стр. 175, №6 стр. 210, №11 стр. 211 hello_html_m27b748e3.gif, №8.394-№8.405 стр. 163-164, №8.494-№8.499 стр. 166-167 hello_html_6401c403.gif.


(Урок 30 - 31).

Цель: совершенствование умений и навыков решения тригонометрических уравнений и неравенств, систем тригонометрических уравнений.

Теоретическая часть. При решении тригонометрических уравнений (как и при решении иррациональных или логарифмических уравнений) некоторые преобразования не приводят данное уравнение к равносильному ему уравнению. Например, при возведении обеих частей уравнения в квадрат получается уравнение – следствие данного, т. е. могут появиться посторонние корни. При умножении обеих частей уравнения на выражение, содержащее неизвестное, также могут появиться посторонние корни, а при делении обеих частей уравнения на выражение, содержащее неизвестное, может произойти потеря корней. Если в процессе решения уравнения получается уравнение – следствие данного, надо проверить, не появились ли посторонние корни. Потерю корней обнаружить труднее. Поэтому преобразования уравнения, которые могут привести к потере его корней, нужно проводить осторожно.

Посторонние корни при решении тригонометрических уравнений могут появиться, если:

  • уравнение содержит тангенс или котангенс;

  • обе части уравнения умножаются (или делятся) на выражение, содержащее неизвестное;

  • обе части уравнения возводятся в квадрат.

Потеря корней при решении тригонометрических уравнений может произойти, если:

  • обе части уравнения делятся (или умножаются) на выражение, содержащее неизвестное;

  • используются тригонометрические формулы, которые справедливы не при всех значениях неизвестного;

  • при решении системы тригонометрических уравнений для обозначения целого числа в найденных значениях х и hello_html_7c2f2809.gif употребляется только одна буква.

Избежать ошибки поможет следующая схема:

  1. определяют hello_html_m6e156b81.gif (первоначальное допустимое значение х);

  2. hello_html_578699c1.gif(после преобразований), могут быть два случая:

а) hello_html_578699c1.gif шире hello_html_m6e156b81.gif, тогда могут быть лишние корни, проверяем их в

hello_html_m6e156b81.gifи отбрасываем;

б) hello_html_578699c1.gifуже hello_html_m6e156b81.gif, тогда произошла потеря корней, берем их из hello_html_m6e156b81.gif.

Тогда решения, найденные таким образом, совпадают с решениями исходного уравнения.

Учитель делает анализ заданий по тригонометрии централизованного тестирования и ЕГЭ. Тригонометрические уравнения, включенные в ЕГЭ, являются базовыми, соответствующими обязательным требованиям к уровню подготовки выпускников средней школы. Наибольшие затруднения вызывают уравнения смешанного типа, включающие две разные функции, одной из которых является тригонометрическая функция. Этим вопросам будет посвящено несколько уроков.

Рассматриваются вопросы, вызвавшие наибольшее затруднение у учащихся.

Практическая часть. Пример 1. Решите уравнение hello_html_m1c0cc3e4.gif

Решение. hello_html_m6e156b81.gif:hello_html_8285136.gif

hello_html_4858d195.gifhello_html_578699c1.gif: hello_html_49a2d624.gif

Произошло сужение: hello_html_6835caa9.gif

hello_html_fa3f3e2.gif

hello_html_3d16b7ab.gifПроверяем, подставив в исходное уравнение промежуточное ограничение hello_html_6835caa9.gif

hello_html_m2717ccb8.gifверное равенство, следовательно hello_html_17fa4dd3.gif- корень уравнения.

Ответ: hello_html_17fa4dd3.gif; hello_html_m4f82f315.gif

Пример 2. hello_html_m5bf3e9db.gif

Решение. hello_html_m6e156b81.gif: hello_html_m3bd0574c.gif

Возведем обе части уравнения в квадрат, получим:

hello_html_m47d01c62.gif

hello_html_39bcdcee.gifhello_html_m7a46bfca.gif

hello_html_39bcdcee.gifhello_html_m25cbd643.gif

hello_html_m62c48e84.gif

Сделаем проверку корней, подставив их в исходное:

1. hello_html_6a465bdc.gif а) k-четное число, т. е. k=2p, hello_html_23aaf6d9.gif

hello_html_41ca20c5.gifhello_html_m154b22f7.gif, 0=0 – верно.

б) k-нечетное число, т. е. k=2p+1, hello_html_3032a354.gif

hello_html_7e323d07.gifhello_html_m305db5b.gif0=0-верно.

2. hello_html_m3649af7d.gifа) hello_html_2c88df97.gifhello_html_mbe127c2.gif

hello_html_m696c1ba7.gif1+0=1, 1=1-верно.

б) hello_html_16270b28.gif

hello_html_b0c91a9.gif1≠-1, следовательно, hello_html_cdf0540.gif не является корнем исходного уравнения.

в) hello_html_m37cb3876.gif Также не является корнем исходного уравнения, так как -1≠1.

г) hello_html_31b5209c.gif

hello_html_661d3851.gif-1=-1 –верно.

Ответ: hello_html_41ec407d.gif

Пример 3. В некоторых заданиях первой части при решении тригонометрических уравнений получаем множество корней, из которых нужно выбрать те, которые принадлежат конкретному промежутку, и эта часть решения, как правило, вызывает затруднения.

(А) Укажите число корней уравнения hello_html_1b4305b6.gif на промежутке hello_html_4cb27ebd.gif

1) 1 2) 2 3) 3 4) 4

Решение. hello_html_16656984.gif

Изобразим полученные числа на тригонометрическом круге:

hello_html_m3e8f97de.png

Из рисунка видно, что данному промежутку принадлежат только два числа hello_html_ma038622.gif и 0. Ответ: 2)

Замечание: можно подставить в выражение hello_html_m2a7a4510.gif значения n, равные -1; 0; 1, получить значения х: hello_html_m7fc110a4.gif Из них на промежутке hello_html_4b8925c4.gifлежит только число hello_html_706a69e7.gif Подставляя в выражение hello_html_53d09960.gif значения m, равные -1; 0; 1, получаем значения х: hello_html_m5bbd4405.gif Из них промежутку hello_html_4b8925c4.gif принадлежит только число 0. Следовательно, на промежутке hello_html_4b8925c4.gif лежат только два корня заданного уравнения, то есть номер ответа 2).

Далее рассматриваются примеры, вызвавшие наибольшее затруднение, учащиеся работают группами, затем обмениваются решениями. Учитель оказывает помощь по мере необходимости.

Задания для самостоятельного решения. Учащиеся должны сделать анализ заданий по тригонометрии из сборника hello_html_644003f0.gif для проведения письменного экзамена, разбить все задания части 5 и 6 на группы и привести по одному примеру из каждой группы. Задание учащиеся выполняют либо самостоятельно, либо небольшими группами. В течение недели они могут обращаться за помощью к учителю.


(Урок 32-33).

Цель: контроль знаний, умений и навыков решения тригонометрических уравнений и неравенств, систем тригонометрических уравнений.

Практическая часть. Учащимся даются для самостоятельного решения конкурсные задания, которые предлагались на вступительных экзаменах в вузы нашего города. Главное, решить не все задания, а следить за обоснованиями и выполнением всех шагов решения. За каждое задание учащийся может получить максимум 4 балла (см. критерии оценки выполнения заданий). На следующем занятии учитель сообщает набранные баллы и определяет рейтинг учащихся.

  1. Решите уравнение несколькими способами hello_html_m73784aa9.gif

hello_html_56164d1e.gif

  1. Решите уравнение hello_html_64f112db.gifhello_html_mbea7f07.gif

  2. Решите уравнение hello_html_m3f497a73.gifhello_html_m4b0a25e4.gif

  3. Решите уравнение для каждого параметра а hello_html_1512d2da.gif

hello_html_m51d05e80.gif

  1. Определите количество корней уравнения hello_html_m1fff7ff.gif

на отрезке hello_html_2c161017.gif, hello_html_5c1b2611.gif

6. Решите неравенство hello_html_m61d80cc4.gifhello_html_m4e1245a9.gif

7. Решите неравенство hello_html_2c69c089.gif

hello_html_79ef0d80.gif

8. Найдите значение выражения hello_html_m2ce42c62.gif, если hello_html_m425782bd.gifhello_html_1c87a01d.gif

Задания для самостоятельного решения.

Задания, которые учащиеся не решали, можно будет выполнить дома и получить дополнительный балл.

(Урок). 34-35)

Цель: подведение итогов работы за год, определение рейтинга каждого учащегося.


Список используемой литературы

1. Алексеев И. Г. Математика. Подготовка к ЕГЭ: Учебно–методическое пособие. – Саратов: Лицей, 2004, 112 с.

2.Бродский И. Л. Решение экзаменационных заданий повышенной сложности по алгебре и началам анализа за курс средней школы: Пособие для учащихся. – М.: АРКТИ, 2001, 72 с. (Методическая библиотека).

3. Виленкин Н. Я. И др. Алгебра: Учебное пособие для 9-10 классов средних школ с математической специализацией.- 2-е изд., М.: «Просвещение», 1972, 302 стр.

4. Дорофеев Г. В., Муравин Г. К., Седова Е. А. Сборник заданий для подготовки и проведения письменного экзамена по математике (курс А) и алгебре и началам анализа (курс Б) за курс средней школы. 11 класс: Экспериментальное пособие. – 4-е изд., испр. – М.: Дрофа, 2001, 160 с.: ил.

5. Зорин В. В. Пособие по математике для поступающих в вузы. – 2-е изд., М.: «Высшая школа», 1969, 264 с.

6. Перегудов А. Б. и др. Математика. Материалы для подготовки к вступительному компьютерному экзамену в СГТУ: Учебное пособие. Саратов: саратовский гос. Техн. Ун-т, 2004, 88 с.

7. Письменный Д. Т. Готовимся к письменному экзамену по математике. – 5-е изд., испр. и доп.- М.6 Рольф, 1999. – 288 с. с ил.- (Домашний репетитор)

8. Сборник задач по математике для поступающих во втузы: Учебное пособие/ В.К. Егерев и др.; Под ред. М.И. Сканави. – 6-е изд., стер. – М.6 Высш. шк., 1993, 528 с.: ил.

9. Студенецкая В. Н., Гребнева З. С. Решение задач и выполнение заданий с комментариями и ответами для подготовки к единому государственному экзамену. Часть 1.- Волгоград: Учитель, 2003, 105 с.

10. Сухоруков В. И. и др. Математика для поступающих в БГПИ/ сборник конкурсных задач. – Балашов: Издательство БГПИ, 1995, 112 с.

11. Единый Государственный Экзамен по математике (информационный сборник для учителей математики и учащихся общеобразовательных школ). Издательство СарИПКиПРО,2004, 56 с.

12. Тесты. Математика 11класс. Варианты и ответы централизованного тестирования. – М.: Центр тестирования МО РФ, 2003.

13. Пособие по математике: Для поступающих в Саратовский государственный социально – экономический университет / Сост. Бабин Ю. Я. И др. – Саратов: СГСЭУ, 2001, 124 с.

14. Рурукин А. Н. Пособие для интенсивной подготовки к выпускному, вступительному экзаменам и ЕГЭ по математике. – М.: ВАКО, 2004, 248с.- (Интенсив).

15. Колягин М. Ю. Алгебра и начала анализа. 10 класс.: Учебник для общеобразовательных учреждений. - М.: Мнемозина, 2001, 364 с.

16. Колягин М. Ю. Математика. Алгебра и элементарные функции. Учебное пособие. Ч. 1.- М.: Агар, 1999, 426 с.


Образовательные диски

  1. Математика 5-11 классы. Практикум.

  2. Математика 5-11 классы. Практикум. Учебное электронное пособие.

  3. Сдаем единый экзамен 2004.


Номера пособий, рекомендуемых учащимся, выделены жирным шрифтом.

Приложение 1

Темы сообщений

  1. Метод неопределенных коэффициентов и другие способы решения рациональных уравнений hello_html_131b05b8.gif

  2. Функции и их свойства. Построение графиков функции [14, диск 2]

  3. Графический способ решения уравнений и неравенств [диск 1 и 2]

  4. Виды текстовых задач и способы их решения [14, диск 1 и 2]

  5. Арифметическая и геометрическая прогрессии [14, диск 1 и 2]

  6. Преобразование тригонометрических выражений [14, диск 1 и 2]

Темы исследовательских работ

1.Анализ уравнений и неравенств с параметрами, вошедших в сборник заданий для подготовки и проведения письменного экзамена за курс средней школы и рекомендации по их решению.

2. Анализ уровня сложности показательных и логарифмических уравнений, неравенств и систем уравнений, вошедших в сборник заданий для подготовки и проведения письменного экзамена за курс средней школы и рекомендации по их решению.

3. Анализ заданий по тригонометрии разделов 5 и 6, сборника заданий для подготовки и проведения письменного экзамена за курс средней школы и рекомендации по их решению.

Темы сообщений можно дать учащимся в начале учебного года, сообщив им, что по мере прохождения материала они могут готовить отчет по выбранной теме, а защита работ пройдет на итоговом занятии. Учащиеся выбирают тему самостоятельно или объединяются в группы. Формы работ могут быть разных видов: реферат, доклад, публикация, презентация. Знакомятся с требованиями выполнения работ и критериями их оценки.


Приложение 2

Лист учета рейтинга учащегося ______класса_____________________(ф.и.)

модуля

1

2

3

4

5

6

7

8

Итого

Осн.

балл










Доп.

баллы










Итог













Итоговый лист учета рейтинга учащихся10____________класса.

п/п

модуля

Фамилия, имя

1

2

3

4

5

6

7

8

Итог

1











2











3











4











5











6











7











8











9











10











11











12



















Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 29.11.2015
Раздел Математика
Подраздел Рабочие программы
Просмотров266
Номер материала ДВ-207739
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх