Рабочая программа элективного курса по математике "Метод математической индукции"

"Метод математической индукции"

Рабочая программа элективного курса по математике для предпрофильной  подготовки учащихся 9-го класса.

 

                                            Автор учитель математики

                МАОУ «Гимназия №1»Октябрьского района г. Саратова

                                         Лестова Елена Валериевна,

                               первая квалификационная категория

Пояснительная  записка.

    Данный элективный курс разработан в рамках  предпрофильной  подготовки  для ориентации учебно-воспитательного процесса на удовлетворение потребностей учащихся в углублении их знаний, умений  и навыков по математике и готовит обучающихся к переходу в  старшем звене на профильный уровень.  Элективный курс предназначен для учащихся 9-х классов и рассчитан на 8 часов. Предполагаемое время проведения элективного курса 2-3 учебная четверть.

    В данном элективном курсе рассматривается метод математической индукции и его применение к решению различных арифметических, алгебраических и геометрических задач, доказательству тождеств, делимости выражений, доказательству неравенств.

                                              Цель элективного курса.                               

    Целью данного элективного курса  является подготовка учащихся к обучению в десятом профильном классе, расширение и углубление полученных на уроках знаний, овладение комплексом новых знаний,  умений, навыков, повышение уровня математической подготовки  школьников.

                                                   Задачи курса.

1. Углубление и расширение знаний, полученных на уроках.

2. Умение применять полученные знания для решения различных практических задач.

3. Развитие логического мышления, творческих способностей, алгоритмической культуры мышления,  интуиции для самостоятельной деятельности в области математики  и ее приложений.

4. Подготовка   к обучению на профильном уровне.

5. Формирование навыков самостоятельной и исследовательской работы.

                                               Ожидаемые результаты.

Учащиеся должны знать/ понимать

сущность метода математической индукции и возможности его применения;

возможность  использования  различных  математических  формул, свойств, неравенств в ходе   решения математических   задач;

значение математики в повседневной жизни, а также как прикладного   инструмента в будущей профессиональной деятельности.

Учащиеся должны  уметь решать различные  задачи с применением метода математической индукции.

Учащиеся должны иметь опыт

решения задач с использованием метода математической индукции,

работы с различной математической информацией.

                             Основные методические особенности курса.

1.Подготовка заданий по тематическому принципу, от простых типов заданий к более  сложным  заданиям.

2.Задания построены  в виде логической взаимосвязанной системы, где из одного задания  вытекает другое.

3.Работа с заданиями в режиме  максимальной нагрузки для всех учащихся в равной мере, в то же время использование  индивидуального подхода к учащимся.

4.Максимальное использование всего имеющегося запаса математических  знаний для получения ответа наиболее рациональным способом.

                                             Структура курса.

Курс рассчитан на 8 занятий. Включенный в программу материал  содержит:

1. Метод математической индукции .(1ч)

2. Применение метода математической индукции  для доказательства тождеств и решения задач арифметического характера.(2ч)

3. Применение метода математической индукции  для доказательства делимости выражений.(1,5ч)

4. Применение метода математической индукции  для доказательства неравенств(1,5ч)

5. Применение метода математической индукции  для решения задач геометрического содержания,  повторение.(1ч)

6. Итоговое занятие (контрольная  работа). (1ч)

                              Формы организации учебных занятий

     Формы проведения занятий включают в себя лекции, практические работы   и контрольную работу. Теоретический материал излагается в форме мини лекции. После изучения теоретического материала выполняются практические задания для его закрепления. Основной тип занятий  комбинированный урок.

     Занятия строятся с учётом индивидуальных особенностей обучающихся, их темпа восприятия и уровня усвоения материала.
В ходе обучения периодически проводятся непродолжительные тестовые испытания для определения глубины знаний и скорости выполнения заданий.
     Систематическое повторение способствует более целостному осмыслению изученного материала, поскольку целенаправленное обращение к изученным ранее темам позволяет учащимся встраивать новые понятия в систему уже освоенных знаний. Курс завершается контрольной работой и подведением итогов.

                                  Контроль и система оценивания

Текущий контроль уровня усвоения материала осуществляется по результатам выполнения учащимися практических работ, в  том числе домашних работ.  Присутствует как качественная, так и количественная оценка деятельности. Качественная оценка базируется на анализе уровня мотивации учащихся, их общественном поведении, самостоятельности в организации учебного труда. Количественная оценка предназначена для снабжения учащихся объективной информацией об овладении ими учебным материалом и производится по окончании курса по четырехбалльной системе.
Итоговый контроль реализуется в  форме контрольной работы.

Учебно-тематический план

№	Тема и содержание	Кол-во часов	Форма проведения	Образовательный продукт	Формы контроля
1	Метод математической индукции	1 ч.	Мини-лекция, практикум	Конспект.	Проверка решения задач домашнего задания
2	Применение метода математической индукции  для доказательства тождеств и решения задач арифметического характера.	2 ч.	Комбинированный урок, практикум, групповая работа.	Конспект.	Проверка решения задач домашнего задания
3	Применение метода математической индукции  для доказательства делимости выражений.	1,5 ч	Комбинированный урок, групповая работа	Конспект.	Проверка решения задач домашнего задания
4	Применение метода математической индукции  для   доказательства неравенств.	1,5 ч	Комбинированный урок- практикум.	Конспект.	Проверка решения задач домашнего задания
5	Применение метода математической индукции  при решении  задач геометрического содержания, повторение.	1 ч	Урок-практикум	Конспект.  Презентации.	Проверка решения задач домашнего задания
6	Обобщающее повторение	1 ч	Контрольная  работа.
Всего часов		8 ч

                                          Методические  рекомендации.

1.  Метод математической индукции.

   Переход от общих утверждений к частным   называется  дедукцией. Переход от частных утверждений  к общим называется индукцией.

Метод математической индукции (ММИ)  заключается в следующем.

    Утверждение справедливо для всякого натурального n, если

1)    оно справедливо для  n=1 (теорема 1);

2)    из справедливости утверждения  для  какого-нибудь произвольного  n=к следует его  справедливость для   n=к+1 (теорема 2).

     Если оба утверждения доказаны, то на основании принципа математической индукции утверждение справедливо для всякого натурального n.  Теоремы 1 и 2 имеют свое особое значение.  Теорема 1  создает базу для проведения индукции. Теорема 2 дает право неограниченного автоматического расширения этой базы, право перехода от данного частного случая к следующему, от n к (n+1).

Если не доказана теорема 1, а доказана теорема 2, то, следовательно, не создана база для проведения индукции, и тогда бессмысленно применять теорему 2, так как и расширять-то, собственно, нечего. Если не доказана теорема 2, а доказана только теорема 1, то, хотя база для проведения индукции и создана, право расширения этой базы отсутствует.

Задача 1.1. Вычислить сумму

, , ,

Предположим, что . Гипотеза верна при n=1, 2, 3, 4. Для проверки гипотезы воспользуемся методом математической индукции.

Теорема 1. Для n = 1 гипотеза верна, так как .

Теорема 2, Предположим, что гипотеза верна для n=k, т. е. что

, где k — некоторое натуральное число. Докажем, что тогда гипотеза обязана быть верной и для n=k+1, т. е. что

Действительно, , следовательно, по условию теоремы,

Обе теоремы доказаны. Теперь па основании принципа математической индукции мы утверждаем, что  при всяком натуральном n.

Задача 1.2.

Докажите, что сумма кубов натуральных чисел равна

Решение.

При n=1  верно, при n=2  верно. Предположим, что при n=k . Докажем для n=k+1 .

Доказано.

2. Метод математической индукции для доказательства тождеств и решений арифметических задач.

Задача 2.1.

Вычислите сумму первых n четных чисел .

Решение.

Предположим, что .

При n=1 , при n=2 , при n=3 . При n=k . Докажем, что при n=k+1 .

.

Ответ:

Задача 2.2.

Вычислите сумму первых n нечетных чисел .

Решение.

Предположим, что .

При n=1 , при n=2 , при n=3 . При n=k . Докажем, что при n=k+1 .

.

Ответ:

Задача 2.3.

Докажите, что .

Решение.

Предположим, что .

При n=1 , при n=2 , при n=3 . При n=k . Докажем, что при n=k+1 .

.

Доказано.

Задача 2.4.

Докажите, что .

Решение.

Предположим, что .

При n=1 , при n=2 . При n=k . Докажем формулу при n=k+1.

Доказано.

Задача 2.5.

Докажите, что .

Решение.

Предположим, что .

При n=1 , при n=2 . При n=k . Докажем формулу при n=k+1

Доказано.

Задача 2.6.

Докажите, что .

Решение.

Предположим, что .

При n=1 , при n=2 , при n=3 . Предполагая, что , докажем, что .

Доказано.

Задача 2.7.

Вычислите сумму .

Решение.

Предположим, что .

При n=1 , при n=2 . При n=k . Докажем, что при n=k+1 .

.

Ответ:

Задача 2.8.

Докажите, что

Решение.

При n=1 , при n=2 . Предположим, что при n=k . Докажем, что при n=k+1 .

.

Доказано.

Задача 2.9.

Докажите, что

Решение.

При n=1 , при n=2 . Предположим, что при n=k . Докажем, что при n=k+1

Доказано.

Задача 2.10.

Докажите, что

Решение.

При n=1 . Предположим, что при n=k . Докажем, что при n=k+1 .

Доказано.

3. Метод математической индукции для доказательства делимости.

Задача 3.1.

Доказать, что сумма кубов трех последовательных натуральных чисел делится на 9.

Решение.

При n=1       делится на 9.

При n=2      делится на 9.

Предположим, что при  n=k   делится на 9. Докажем делимость при n=k+1

 

 делится на 9  и  делится на 9.

Доказано.

Задача 3.2.

Докажите, что при любом целом  число  делится на 133.

Решение.

При n=0      делится на 133.

При n=1      делится на 133.     Предположим, что при  n=k  делится на 133.   Докажем делимость при n=k+1

 делится на 133 и  делится на 133.

Доказано.

Задача 3.3.

Докажите, что при любом целом  число  делится на 19.

Решение.

При n=1       делится на 19.

Предположим, что при  n=k   делится на 19.

Докажем делимость при n=k+1  делится на 19 и   делится на 19.

Доказано.

Задача 3.4.

Докажите, что при любом целом  число  делится на 9.

Решение.

При n=1  делится на 9. Предположим, что при n=k  делится на 9. Докажем делимость при n=k+1  делится на 9.  Докажем, что  делится на 3.

При   k=1    делится на 3. При k=2     делится на 3. Предположим, что при k=m   делится на 3.   Докажем делимость  при  k=m+1

 делится на 3  и   делится на 3,  значит  делится на 9.

Доказано.

Задача 3.5.

Докажите, что при любом целом  число  делится на 8.

Решение.

При n=1  делится на 8, при n=2  делится на 8. Предположим, что при n=k  делится на 8. Докажем делимость при n=k+1

 делится на 8. Докажем, что  делится на 2.

При k=1  делится на 2, при k=2  делится на 2. Предположим, что при k=m  делится на 2. Докажем делимость при k=m+1

  делится на 2, значит  делится на 8.

Доказано.

Задача 3.6.

Докажите, что при любом целом  число  делится на 3.

Решение.

При n=1  делится на 3, при n=2  делится на 3, при n=3  делится на 3. Предположим, что при n=k  делится на 3. Докажем делимость при n=k+1

Делится на 3.

Доказано.

Задача 3.7.

Докажите, что при любом целом  число  делится на 7.

Решение.

При n=1  делится на 7, при n=2  делится на 7. Предположим, что при n=k  делится на 7. Докажем делимость при n=k+1

 делится на 7 и  делится на 7.

Доказано.

4. Метод математической индукции для доказательства неравенств.

Задача 4.1.

Докажите, что для всех натуральных  сумма .

Решение.

При n=2 . Предположим, что при n=k . Докажем, что при n=k+1

. Найдем разность

Доказано.

Задача 4.2.

Докажите, что для всех натуральных  число .

Решение.

При n=2 , то есть   неверно, при n=3 , то есть . Предположим, что при n=k  (1). Докажем, что при n=k+1 . Так как , то к левой части (1) прибавим , а к правой части (1) прибавим 2.

Доказано.

Задача 4.3.

При каких n справедливо неравенство ?

Решение.

При n=1    верно, при n=2    неверно, при n=3   неверно, при n=4   неверно, при n=5    верно.  Предположим, что при n=k

. Докажем при n=k+1 , где k>4. Сложим  и .

То есть  при  n=1 и n>4.

Доказано.

Задача 4.4.

Докажите, что , , ,  (неравенство Бернулли).

При n=2

Предположим при n=k . Докажем при n=k+1

Умножим  на

Доказано.

Задача 4.5.

Докажите, что  при .

Решение.

При n=2

Предположим, что при n=k .  Докажем, что при n=k+1

Докажем, что , то есть

Умножим на

   верно. Значит  .

Доказано.

Задача 4.6.

Докажите, что при  

Решение.

При n=2

Предположим, что при n=k  . Докажем для n=k+1

Докажем, что

при

Доказано.

Задача 4.7.

Доказать, что  при , ,

Решение.

При n=2

, значит  . Добавим  к обеим частям  неравенства  .

Предположим  что при  n=k  (2). Докажем для n=k+1 . Умножим обе части (2) на

. Докажем, что

Доказано.

Задача 4.8.

Докажите, что  

Решение.

При n=1  (3)

Заметим, что . Разделим обе части  на  и получим .

При n=2

В (3) заменим x на x² и получим .

Предположим, что при n=k   (4)

Докажем для n=k+2

Заменим в (3) x на x^k+2

  (5).   Если сложить (4) и (5), то получим,  что

Доказано.

Задача 4.9.

Докажите, что  при

Решение.

При n=3 , при n=4 . Предположим, что при n=k . Докажем для n=k+1

Докажем, что

Докажем, что

При k=3 , при k=4 . При k=p . Докажем при k=p+1

Значит

Доказано.

6. Вариант контрольной работы.

Вариант № 1.

1.Докажите, что сумма первых n чисел натурального ряда равна

2.Докажите равенство

3.Докажите, что при любом целом  число  делится на 17.

4.Докажите, что  при  любом .

Вариант №2.

1.Докажите, что сумма квадратов n первых натуральных чисел равна

2.Докажите, что сумма кубов n первых натуральных чисел

3.Докажите, что при любом целом  число  делится на 7.

4.Докажите, что  при  любом .

На выполнение работы отвести 1 час.

Ниже приводятся краткие решения  задач контрольной работы.

                                 Решение задач варианта № 1.

1.Докажите, что сумма первых n чисел натурального ряда равна

Решение.

Предположим, что . При n=1  верно, при n=2  верно. Предположим, что при n=k . Докажем для n=k+1 .

Доказано.

2.Докажите равенство

Решение.

При n=1 , при n=2 . Предположим, что при n=k . Докажем при n=k+1 .

Доказано.

3.Докажите, что при любом целом  число  делится на 17.

Решение.

При n=1   делится на 17. При n=2  делится на 17. Предположим, что при  n=k   делится на 17. Докажем делимость при n=k+1

 делится на 17  и  делится на 17.

Доказано.

4.Докажите, что  при  любом .

Решение.

При n=1 , при n=2  верно. Предположим, что при n=k . Докажем при n=k+1 .

Доказано.

                                   Решение задач варианта № 2.

1.Докажите, что сумма квадратов n первых натуральных чисел равна

Решение.

Предположим, что . При n=1 , при n=2 . Предположим, что при n=k . Докажем, что

Доказано.

2.Докажите, что сумма кубов n первых натуральных чисел

Решение.

Предположим, что . При n=1 . При n=2 . Предположим, что при n=k . Докажем, что

Доказано.

3.Докажите, что при любом целом  число  делится на 7.

Решение.

При n=1  делится на 7.

Предположим, что при   n=k  делится на 7.

Докажем делимость при n=k+1

 делится на 7 и  делится на 7.

Доказано.

4.Докажите, что  при  любом .

Решение.

При n=1 , при n=2 . Предположим, что при n=k . Докажем, что при n=k+1

Доказано.

Литература.

1.     Виленкин Н.Я., Сурвилло Г.С., Симонов А.С., Кудрявцев А.И. Алгебра.   Учебное пособие для  учащихся 9 классов  с углубленным изучением математики, М: Просвещение, 1999.

2.     Галицкий Л.М, Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов, М: Просвещение, 2001.

3.     Звавич  Л. И., Рязановский А.Р., Алгебра   9 класс. Углубленное изучение. Учебник и задачник, М: Мнемозина, 2006.

4.     Мордкович А.Г. Алгебра   9 класс. Учебник для классов с углубленным изучением математики, М: Мнемозина, 2004.

5.     Соминский И.С. Метод математической индукции., М: Наука,1965.

6.     Соминский И.С., Головина Л.И., Яглов И.М. О математической индукции, М: Наука,1967.