Для всех учителей из 37 347 образовательных учреждений по всей стране

Скидка до 75% на все 778 курсов

Выбрать курс
Получите деньги за публикацию своих
разработок в библиотеке «Инфоурок»
Добавить авторскую разработку
и получить бесплатное свидетельство о размещении материала на сайте infourok.ru
Инфоурок Алгебра Другие методич. материалыРабочая тетрадь по математике "Производная функции"

Рабочая тетрадь по математике "Производная функции"

библиотека
материалов

Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение

«Курганский промышленный техникум»
















Рабочая тетрадь

по математике



Студента (ки) группы________________________________________________

ФИО_______________________________________________________________







Курган

2017



Рабочая тетрадь по дисциплине «Математика» для обучающихся по программам для специальностей СПО /авт.сост.:О.В. Секисова. – Курган, 2017. – 17с.





Автор – составитель:

Секисова Ольга Викторовна – преподаватель ГБПОУ «Курганский промышленный техникум»

Рецензенты: Груздева Е.Н., зам. директора по НМР

ГБПОУ «Курганский промышленный техникум»

Андриевских О.В., преподаватель математики

ГБПОУ «Курганский промышленный техникум»






Рабочая тетрадь содержит задания раздела по теме производная функции. В рабочей тетради подобраны задания, при выполнении которых необходимо вписать ключевые моменты изучаемого теоретического материала, вычислить производную функции, составить уравнение касательной к графику функции, решить задачу.

Данное пособие дает возможность повысить интерес обучающихся к предмету, сэкономить время на занятии при выполнении заданий по заданным формулам, сконцентрировать внимание на основных моментах теории.

Рабочая тетрадь предназначена для обучающихся среднего профессионального образования.










Предисловие



Дорогой студент, данная рабочая тетрадь поможет тебе при изучении дисциплины «Математика». Активная работа с ее использованием поможет легче воспринимать теоретический материал и проверить свои знания, позволит значительно сэкономить время на выполнение заданий, сконцентрировать внимание на основных моментах теории.

Рабочая тетрадь содержит задания, при выполнении которых необходимо вписать основные моменты изучаемого теоретического материала, записать решение. Удачи тебе!
































Содержание


Занятие 1…………………………………………………………………………..5

Занятие 2……………………………………………………………………….......9

Занятие 3…………………………………………...……………………………..12

Занятие 4……………………………………..…………………………………...14

Контрольная работа……………………………………………………………...15

Для записей………………………………………………………………………16

Список используемых источников……………………………………………..17



























Занятие 1. Вычисление производных функций, применяя правила их вычисления


Определение: Производной функции y=f(x) в точке х0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремиться к нулю (если этот предел существует).

hello_html_m1a31b2c6.gifhello_html_5702c067.gif


Основные правила дифференцирования



1. a′=0

2. x′=1

3. (ax)′=a

4. (xⁿ)′=nxⁿˉ¹

5. (u+v)′=u′+v′

6. (uv)′=u′v+uv′

7. (u/v)′=(u′v-v′u)/v²



1. Производная от числа равна нулю.

a′=0.


7′=0; (1⁄3)′=0; (-2,5)′=0; (√11)′=0



Вычислите:


4′ =_____; (-15)′ =______; (7,81)′ = ______;


(√2)′=_______ (5/7)′ =______.








2. Производная от любой переменной равна единице.

x′=1.

Вычислите:


у′ =________________; в′=_____________



3. Постоянный множитель можно выносить за знак производной.

(ax)′=a

Пример: (13х)′=13; (-¼х) ′ = -¼; (√2х)′ = √2

Вычислите:


(101х)′ = __________

(-56х)′ = __________

(⅞х) ′ = __________

(√8х) ′ = _________



4. Производная степени: (xⁿ)′=n·xⁿˉ¹


Пример: (х6)′=6х5; (3х4)′ = 3·4х3 = 12х3;

(-¼х4)′ =-¼·4 х3=- х3

Вычислите:


21)' = _______________

(10х4)' = _______________

(-⅓х3)' = _______________

1/2)' = _______________




5. Производная суммы двух функций:

(u+v)′=u′+v

Пример: (3х+5)'=(3х)'+5'=3+0=3

(5х2+8х-10)'=(5х2)'+(8х)'-10'=5·2х+8-0=10х+8

Вычислите:


(3х2 – 6х)' = _______________________________________________________

3+ 4х100-1)' = _____________________________________________________

(3х4-7х3+2х2+5)'=___________________________________________________


6. Производная произведения двух функций:

(u·v)′=u′·v+u·v

Пример: (х(х+3))' = х'·(х+3) + х· (х+3)'= 1·( х+3) + х · 1=х+3+х=2х+3

((х2-х)(5х-8))'= (х2-х)'·(5х-8) + (х2-х)·(5х-8)'=(2х-1)(5х-8)+

+(х2-х)5= 10х2-21х+8+5х2-5х= 15х2-26х+8

Вычислите:


((х+5)(х+7))'=_______________________________________________________

__________________________________________________________________

((х2-2)(х7+4))'=_______________________________________________________




7. Производная частного двух функций:

(u/v)′=(u′·v-v′·u)/v²

Пример: 2/(х+3))'= ((х2)'·(х+3) - х2·(х+3)')/(х+3)2=(2х(х+3)-х2)/(х+3)2 =(2х2+6х - х2) /(х+3)2=(х2+6х) /(х+3)2

Вычислите:


((3х)/(2х-1))'=__________________________________________________________

______________________________________________________________________

((6х-9)/(-11х+7))'= ______________________________________________________

______________________________________________________________________


Упражнения на закрепление изученных понятий


(4х2 – Зх)'=____________

_____________________

(2х3-3х2+5х+15)'=_______

______________________

______________________

(2х(х2+6))'=____________

______________________

______________________

((3х+5)/(8х4))'=_________

______________________

______________________

______________________


(12х3 -бх2)'=____________

______________________

(5х4+3х3-4х2+х8)'=_______

_______________________

_______________________

((7х+3)(8х4))'=__________

______________________

______________________

((3х3-8)/(2х+4))'= ______________________

______________________

______________________

_______________________

(¼х4√3х2+х)'=___________

______________________

(⅞x8+⅓x3-⅟2x2+x8)'= ______________________

______________________

_______________________

((3х2-5х+1)(2х+9))'= ______________________

______________________

______________________

((7х2-3х+4)/(5х+3))'= ______________________

______________________

_______________________

_______________________


Установи соответствие


(2sinx+3)'


(4 cosx2)'


(tgx+7)'


(ctgx+3х2+8)'


(7 sinx-1/7)'


(tgx+ 2sinx)'


((tgx)/3)'


(√3 cosx5+0,3х)'


(3 cosx+15х)'


(sinx/ cosx)'


-√3 sinx-5х4+0,3


1⁄3 cos 2x


-3 sinx+15


-1⁄sin 2x +6х


1⁄ 2sinx 2x +6


-4 sinx+2х


1⁄cos 2x


3cosx


2⁄ cos 2x +6


7 cosx


1 ⁄ cos 2x+2 cosx


15+ cosx









hello_html_5742f6b.gif





















Занятие 2. Решение задач с применением уравнения касательной к графику функции

  1. Геометрический смысл производной


hello_html_m6616630d.png




Производная в точке х0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функций у=f(х) в этой точке.

К = угловой коэффициент, равный тангенсу угла прямой с осью ОХ

К= f '0)= tgх

у=у0)+у'0)(х-х0) - уравнение касательной



Пример: Найдем угловой коэффициент касательной к графику функции у=f(х) в точке с абсциссой (х0):

Решение: f(х) =х2, х0=-4

К= f '0); f '(х)=2х; f '0)= f '(-4)=2·(-4)=-8, т.е. к=-8


Задание: Найдем угловой коэффициент касательной к графику функции у=f(х) в точке с абсциссой (х0):


а) f(х)=1⁄х, в х0=- 1⁄3 ______________________________________________

________________________________________________________________

б) f(х)= sinx, в х0 = 1⁄3_____________________________________________

______________________________________________________________

в) f(х)= 3х3 – 2х +1, в х0=1__________________________________________

________________________________________________________________


Пример: Найдем тангенс угла касательной к кривой у=1⁄2 х2 с осью Ох, в точке х0=1.

Решение: tgα=у'(х0); у'(х)=( 1⁄2 х2)'=х; у'(х0)= у'(1)=1, т.е. tgα=1; α=1⁄4


Задание: Найдем тангенс угла касательной к кривой у=f(x)с осью Ох, в точке х0=a.


а) у= х2 при х0=√3⁄2________________________________________________

_______________________________________________________________________

б) f(х)=1⁄3 х3, х0=1 ________________________________________________

_______________________________________________________________________

Пример. Найдем уравнение касательной к графику функции у=1⁄3 х2-2в точке с абсциссой х0=3.

Решение: Находим уравнение касательной у=у0)+у'0)(х-х0)

у(х0)=у(3)= 1⁄3 ·32-2=1; у'(х)= (1⁄3 х2-2)'=2⁄3 х; у'(х0)= у'(3)= 2⁄3 ·3= 2

у=1+2(х-3)=1+2х-6=2х-5; т.е. у=2х-5 – уравнение касательной


Задание: Найдем уравнение касательной к графику функции у=f(x) в точке с абсциссой х0=а.


а) f(х)=3х2-5х+4, в х0=1____________________________________________

______________________________________________________________________




б) у=1⁄2 х2+1, в х0=2_______________________________________________

______________________________________________________________________



  1. Физический смысл производной


Если точка движется вдоль оси Ох и ее координата изменяется по закону х(t), то мгновенная скорость точки V(t)=х'(t) V=S' (t), а ускорение а (t)= V' (t)=х'' (t)= S'' (t)

Пример. Тело движется по закону S (t)=3t2-5t+8. Найдем скорость и ускорение движения тела и вычислить их значения при t=1.


Решение: V (t)= S' (t)= 6 t-5; V (1)=6·1-5=1

а= V'(t)=( 6 t-5)'=6

Ответ: V=1, а=6

Задание:

  1. Определить скорость и ускорение тела, движущегося по закону S(t)= t2+2 в момент времени t=5: _____________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

_______________________________________________________________________


  1. Определить скорость и ускорение тела, движущегося по закону S(t)= 0,5t3+2t2-7t+11 в момент времени t=2:

______________________________________________________________

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________





Занятие 3. Исследование функций и построение их графиков с помощью производной

Схема исследования


  1. Область определения функции.

  2. Четность, нечетность функции.

  3. Точки пересечения с осями.

  4. Асимптоты функции.

  5. Экстремумы и интервалы монотонности.

  6. График функции

Пример: Исследовать функции и построить их графики.

hello_html_m45ff6728.png.

  1. Область определения функции D(у)= (–∞; +∞). Точек разрыва нет.

  2. Функция нечетная, следовательно, можно исследовать ее только на промежутке [0, +∞).

  3. Пересечение с осью Oxx = 0,у=0.

  4. а) Вертикальных асимптот нет

б) Горизонтальная асимптота – y = 0.

hello_html_3822315b.png

hello_html_m113e2cbc.png

  1. hello_html_1e0ea46b.png

Критические точки: x1 = 1; x2= –1.

hello_html_beff66b.png



hello_html_61d18a08.png

  1. График функции

hello_html_28f597f6.png


Задание: Исследуйте функцию с помощью производной и постройте её график:

f(x)= x2-3x+2

  1. D(у)= _____________________________________________________________

  2. __________________________________________________________________

  3. Пересечение с осью Ox: __________________________________________________________

Пересечение с осью Оу:_______________________________________________________________

  1. а) Вертикальные асимптоты _________________________________________

__________________________________________________________________

б) Горизонтальная асимптота ________________________________________

__________________________________________________________________

5. Критические точки: _________________________________________________

hello_html_57fdef02.gif



ymin=_______________________________________________________________

ymax= ______________________________________________________________



6hello_html_m272361f6.gif. График функции






hello_html_53ab3cbc.gif








Занятие 4. Решение задач на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке


Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения

функции на отрезке

  1. Найдем производную заданной функции.

  2. Приравняем к нулю производную.

  3. Определим принадлежат ли полученные точки заданному отрезку.

  4. Найдем значение функции в данных точках и на концах отрезка.

  5. Выберем наибольшее и наименьшее значение.

Пример: Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

у= х3+15х2 – 8


на отрезке [-8;1]


  1. у/= 3х2+30х

  2. у/=0

2+30х=0

х1= 0 х2=-10

  1. х2=-10 не принадлежит отрезку [-8;1]

  2. у(-8)= 460

у(0) = -8

у(1) = 8

  1. унаим= у(0) = -8

унаиб= у(-8) = 460


Задание: Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

на отрезке [-6;0]


  1. у/=________________________________________________________________

  2. у/=0

х1= ____ х2= ____

  1. х =________________________________________________________________

  2. у( )=______________________________________________________________

у() =______________________________________________________________

у( ) =____________________________________________________________

у( ) =__________________________________________________________

  1. унаим= __________________________________________________________

унаиб= ___________________________________________________________







hello_html_m46f30941.gif

на отрезке [1;2]


  1. у/=________________________________________________________________

  2. у/=0

х1=_____ х2=___

  1. х = ____________________________________________________________

  2. у( )=___________________________________________________________

у() =_____________________________________________________________

у( ) =____________________________________________________________

у( ) =____________________________________________________________

  1. унаим= ___________________________________________________________

унаиб=______________________________________________________________



Контрольная работа по теме: «Производная функции»

1.Производная функции у=f(х) в точке х0 называется предел _________________

__________________, когда приращение аргумента стремится к нулю.

2.Функцию, имеющую производную в точке х0 называют____________________

_________________ в этой точке.

3.Найти производные функций:

1) у=х3+√2____________________________________________________________

2) у=3х4-7х3-х+9_______________________________________________________

3) у=7х3 - 5х___________________________________________________________

4) у= х-х3+7___________________________________________________________

5) у= (5х-2)·(4х-1)______________________________________________________

______________________________________________________________________

6) у=(5х+2)⁄(4х-1)_____________________________________________________

______________________________________________________________________

7) у=(7х+5)·(8х-4)_____________________________________________________

8) у=(3х2-8)/(2х-4)_____________________________________________________

______________________________________________________________________

9) у=3cosх____________________________________________________________

10) у=sin2х___________________________________________________________

11) у=1/2 sinх-х5_______________________________________________________

12) у=5tgх____________________________________________________________

13) у= tg3х____________________________________________________________

14) у=3cosх+2_________________________________________________________

______________________________________________________________________

15) у=2х5-3cosх________________________________________________________

_______________________________________________________________________


4. Найти угловой коэффициент касательной в точке с абсциссой х0:

1) у=7х3-21х2+18, при х0=1______________________________________________

_______________________________________________________________________

2) у=х3-2х2+3х-6, при х0=-1______________________________________________

_______________________________________________________________________

3) у=sinx+cosx, при х0=1⁄2________________________________________________

_______________________________________________________________________

4) у=х2⁄2+х, при х0=1____________________________________________________

_________________________________________

5. Найти угол, образованный касательной к графику функции в точке х0:

1) у=х6-4х, при х0=1_____________________________________________________

_______________________________________________________________________

2) f(х)= -х5-2х2+2, при х0=-1______________________________________________

_______________________________________________________________________

3) f(х)=10-cosх, при х0=31⁄2_______________________________________________


4) f(х)=2tgх, при х0=1⁄4___________________________________________________

_______________________________________________________________________

6.Найти уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой х0:

1) у=-1⁄3 х2+4, при х0=3_________________________________________________

_______________________________________________________________________

2) у=1⁄6 х2+х-3, при х0=3_________________________________________________

_______________________________________________________________________

3) у=х3-6х2+5, при х0=1_________________________________________________

_______________________________________________________________________

4) у=х-х2+3, при х0=2___________________________________________________

_______________________________________________________________________

7. Исследуйте функцию с помощью производной и постройте её график:

f(x)= x3-2

  1. D(у)= _____________________________________________________________

  2. __________________________________________________________________

  3. Пересечение с осью Ox: __________________________________________________________

Пересечение с осью Оу:_______________________________________________________________

  1. а) Вертикальные асимптоты _________________________________________

__________________________________________________________________

б) Горизонтальная асимптота ________________________________________

__________________________________________________________________

5. Критические точки: _________________________________________________

hello_html_57fdef02.gif



ymin=_______________________________________________________________

ymax= ______________________________________________________________



6hello_html_m272361f6.gif. График функции






hello_html_53ab3cbc.gif





8. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

у= 1/3х3+4х2 - 3

на отрезке [-9;3]


  1. у/=________________________________________________________________

  2. у/=0

х1= ____ х2= ____

  1. х =________________________________________________________________

  2. у( )=______________________________________________________________

у() =______________________________________________________________

у( ) =____________________________________________________________

у( ) =__________________________________________________________

  1. унаим= __________________________________________________________

унаиб= ___________________________________________________________






Критерий оценки: «3» - выполнить 16заданий

«4» - выполнить 24 задания

«5» - выполнить более 24 задания















ДЛЯ ЗАПИСЕЙ


____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________



Список используемых источников


Основные

  1. Мордкович, А.Г. Алгебра и начала математического анализа. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень)/ А.Г. Мордкович, Л.О. Денищева. – М.:Мнемозина,2012.- 343с.

Дополнительные

  1. ЕГЭ. Математика: сборник заданий /В.В. Кочагин, М.Н. Кочагина. – М.:Эксмо,2014.


Интернет – источники

  1. Сайт «Учебники XXI века» [Электронный ресурс] /www.OZON.ru/.

  2. Сайт Издательский дом «Первое сентября» [Электронный ресурс] /www.1September/ru/.

  3. Сайт «Учительская газета» [Электронный ресурс] /www.ug.ru.ru/.

21


Курс повышения квалификации
Курс профессиональной переподготовки
Учитель математики
Найдите материал к любому уроку,
указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
также Вы можете выбрать тип материала:
Общая информация
Учебник: «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)», Ч.1.: Мордкович А.Г., Семенов П.В.; Ч.2.: Мордкович А.Г. и др., под ред. Мордковича А.Г.
Тема: Глава 5. Производная

Номер материала: ДБ-1292502

Вам будут интересны эти курсы:

Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Управление персоналом и оформление трудовых отношений»
Курс повышения квалификации «Организация практики студентов в соответствии с требованиями ФГОС педагогических направлений подготовки»
Курс профессиональной переподготовки «Организация деятельности по подбору и оценке персонала (рекрутинг)»
Курс повышения квалификации «Маркетинг в организации, как средство привлечения новых клиентов»
Курс повышения квалификации «Организация практики студентов в соответствии с требованиями ФГОС медицинских направлений подготовки»
Курс повышения квалификации «Экономика: инструменты контроллинга»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Курс повышения квалификации «Мировая экономика и международные экономические отношения»
Курс повышения квалификации «Финансовые инструменты»
Курс профессиональной переподготовки «Гражданско-правовые дисциплины: Теория и методика преподавания в образовательной организации»

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Репетиторы онлайн

✅ Подготовка к ЕГЭ/ГИА
✅ По школьным предметам

✅ На балансе занятий — 1

Подробнее