Рабочая тетрадь по математике "Производная функции"

Скачать материал

Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение

«Курганский промышленный техникум»

Рабочая тетрадь

по математике

Студента (ки) группы________________________________________________

ФИО_______________________________________________________________

Курган

2017

Рабочая тетрадь по дисциплине «Математика» для обучающихся по программам для специальностей СПО /авт.сост.:О.В. Секисова. – Курган, 2017. – 17с.

Автор – составитель:

Секисова Ольга Викторовна – преподаватель ГБПОУ «Курганский промышленный техникум»

Рецензенты: Груздева Е.Н., зам. директора по НМР

ГБПОУ «Курганский промышленный техникум»

Андриевских О.В., преподаватель математики

ГБПОУ «Курганский промышленный техникум»

Рабочая тетрадь содержит задания раздела по теме производная функции. В рабочей тетради подобраны задания, при выполнении которых необходимо вписать ключевые моменты изучаемого теоретического материала, вычислить производную функции, составить уравнение касательной к графику функции, решить задачу.

Данное пособие дает возможность повысить интерес обучающихся к предмету, сэкономить время на занятии при выполнении заданий по заданным формулам, сконцентрировать внимание на основных моментах теории.

Рабочая тетрадь предназначена для обучающихся среднего профессионального образования.

Предисловие

Дорогой студент, данная рабочая тетрадь поможет тебе при изучении дисциплины «Математика». Активная работа с ее использованием поможет легче воспринимать теоретический материал и проверить свои знания, позволит значительно сэкономить время на выполнение заданий, сконцентрировать внимание на основных моментах теории.

Рабочая тетрадь содержит задания, при выполнении которых необходимо вписать основные моменты изучаемого теоретического материала, записать решение. Удачи тебе!

Содержание

Занятие 1…………………………………………………………………………..5

Занятие 2……………………………………………………………………….......9

Занятие 3…………………………………………...……………………………..12

Занятие 4……………………………………..…………………………………...14

Контрольная работа……………………………………………………………...15

Для записей………………………………………………………………………16

Список используемых источников……………………………………………..17

Занятие 1. Вычисление производных функций, применяя правила их вычисления

Определение: Производной функции y=f(x) в точке х₀ называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремиться к нулю (если этот предел существует).

Основные правила дифференцирования

1. a′=0

2. x′=1

3. (ax)′=a

4. (xⁿ)′=nxⁿˉ¹

5. (u+v)′=u′+v′

6. (uv)′=u′v+uv′

7. (u/v)′=(u′v-v′u)/v²

1. Производная от числа равна нулю.

a′=0.

7′=0; (1⁄3)′=0; (-2,5)′=0; (√11)′=0

Вычислите:

4′ =_____; (-15)′ =______; (7,81)′ = ______;

(√2)′=_______ (5/7)′ =______.

2. Производная от любой переменной равна единице.

x′=1.

Вычислите:

у′ =________________; в′=_____________

3. Постоянный множитель можно выносить за знак производной.

(ax)′=a

Пример: (13х)′=13; (-¼х) ′ = -¼; (√2х)′ = √2

Вычислите:

(101х)′ = __________

(-56х)′ = __________

(⅞х) ′ = __________

(√8х) ′ = _________

4. Производная степени: (xⁿ)′=n·xⁿˉ¹

Пример: (х⁶)′=6х⁵; (3х⁴)′ = 3·4х³ = 12х³;

(-¼х⁴)′ =-¼·4 х³=- х³

Вычислите:

(Х²¹)' = _______________

(10х⁴)' = _______________

(-⅓х³)' = _______________

(Х^1/2)' = _______________

5. Производная суммы двух функций:

(u+v)′=u′+v′

Пример: (3х+5)'=(3х)'+5'=3+0=3

(5х²+8х-10)'=(5х²)'+(8х)'-10'=5·2х+8-0=10х+8

Вычислите:

(3х² – 6х)' = _______________________________________________________

(х³+ 4х¹⁰⁰-1)' = _____________________________________________________

(3х⁴-7х³+2х²+5)'=___________________________________________________

6. Производная произведения двух функций:

(u·v)′=u′·v+u·v′

Пример: (х(х+3))' = х'·(х+3) + х· (х+3)'= 1·( х+3) + х · 1=х+3+х=2х+3

((х²-х)(5х-8))'= (х²-х)'·(5х-8) + (х²-х)·(5х-8)'=(2х-1)(5х-8)+

+(х²-х)5= 10х²-21х+8+5х²-5х= 15х²-26х+8

Вычислите:

((х+5)(х+7))'=_______________________________________________________

__________________________________________________________________

((х²-2)(х⁷+4))'=_______________________________________________________

7. Производная частного двух функций:

(u/v)′=(u′·v-v′·u)/v²

Пример: (х²/(х+3))'= ((х²)'·(х+3) - х²·(х+3)')/(х+3)²=(2х(х+3)-х²)/(х+3)²=(2х²+6х - х²) /(х+3)²=(х²+6х) /(х+3)²

Вычислите:

((3х)/(2х-1))'=__________________________________________________________

______________________________________________________________________

((6х-9)/(-11х+7))'= ______________________________________________________

______________________________________________________________________

Упражнения на закрепление изученных понятий

«3»

«4»

«5»

(4х² – Зх)'=____________

_____________________

(2х³-3х²+5х+15)'=_______

______________________

(2х(х²+6))'=____________

______________________

((3х+5)/(8х4))'=_________

______________________

(12х³ -бх²)'=____________

______________________

(5х⁴+3х³-4х²+х8)'=_______

_______________________

((7х+3)(8х4))'=__________

______________________

((3х³-8)/(2х+4))'= ______________________

______________________

_______________________

(¼х⁴√3х²+х)'=___________

______________________

(⅞x⁸+⅓x³-⅟2x²+x8)'= ______________________

______________________

_______________________

((3х²-5х+1)(2х+9))'= ______________________

______________________

((7х²-3х+4)/(5х+3))'= ______________________

______________________

_______________________

Установи соответствие

Занятие 2. Решение задач с применением уравнения касательной к графику функции

1. Геометрический смысл производной

график производной

Производная в точке х₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функций у=f(х) в этой точке.

К = угловой коэффициент, равный тангенсу угла прямой с осью ОХ

К= f '(х₀)= tgх

у=у(х₀)+у'(х₀)(х-х₀) - уравнение касательной

Пример: Найдем угловой коэффициент касательной к графику функции у=f(х) в точке с абсциссой (х₀):

Решение: f(х) =х², х₀=-4

К= f '(х₀); f '(х)=2х; f '(х₀)= f '(-4)=2·(-4)=-8, т.е. к=-8

Задание: Найдем угловой коэффициент касательной к графику функции у=f(х) в точке с абсциссой (х₀):

а) f(х)=1⁄х, в х₀=- 1⁄3 ______________________________________________

________________________________________________________________

б) f(х)= sinx, в х₀= 1⁄3_____________________________________________

______________________________________________________________

в) f(х)= 3х³ – 2х +1, в х₀₌1__________________________________________

________________________________________________________________

Пример: Найдем тангенс угла касательной к кривой у=1⁄2 х² с осью Ох, в точке х₀=1.

Решение: tgα=у'(х₀); у'(х)=( 1⁄2 х²)'=х; у'(х₀)= у'(1)=1, т.е. tgα=1; α=1⁄4

Задание: Найдем тангенс угла касательной к кривой у=f(x)с осью Ох, в точке х₀=a.

а) у= х² при х₀=√3⁄2________________________________________________

_______________________________________________________________________

б) f(х)=1⁄3 х³, х₀=1 ________________________________________________

_______________________________________________________________________

Пример. Найдем уравнение касательной к графику функции у=1⁄3 х²-2в точке с абсциссой х₀₌3.

Решение: Находим уравнение касательной у=у(х₀)+у'(х₀)(х-х₀)

у(х₀)=у(3)= 1⁄3 ·3²-2=1; у'(х)= (1⁄3 х²-2)'=2⁄3 х; у'(х₀)= у'(3)= 2⁄3 ·3= 2

у=1+2(х-3)=1+2х-6=2х-5; т.е. у=2х-5 – уравнение касательной

Задание: Найдем уравнение касательной к графику функции у=f(x) в точке с абсциссой х₀₌а.

а) f(х)=3х²-5х+4, в х₀=1____________________________________________

______________________________________________________________________

б) у=1⁄2 х²+1, в х₀=2_______________________________________________

______________________________________________________________________

2. Физический смысл производной

Если точка движется вдоль оси Ох и ее координата изменяется по закону х(t), то мгновенная скорость точки V(t)=х'(t) V=S' (t), а ускорение а (t)= V' (t)=х'' (t)= S'' (t)

Пример. Тело движется по закону S (t)=3t²-5t+8. Найдем скорость и ускорение движения тела и вычислить их значения при t=1.

Решение: V (t)= S' (t)= 6 t-5; V (1)=6·1-5=1

а= V'(t)=( 6 t-5)'=6

Ответ: V=1, а=6

Задание:

1. Определить скорость и ускорение тела, движущегося по закону S(t)= t²+2 в момент времени t=5: _____________________________

______________________________________________________________

_______________________________________________________________________

2. Определить скорость и ускорение тела, движущегося по закону S(t)= 0,5t³+2t²-7t+11 в момент времени t=2:

______________________________________________________________

_______________________________________________________________________

Занятие 3. Исследование функций и построение их графиков с помощью производной

Схема исследования

1. Область определения функции.

2. Четность, нечетность функции.

3. Точки пересечения с осями.

4. Асимптоты функции.

5. Экстремумы и интервалы монотонности.

6. График функции

Пример: Исследовать функции и построить их графики.

1. Область определения функции D(у)= (–∞; +∞). Точек разрыва нет.

2. Функция нечетная, следовательно, можно исследовать ее только на промежутке [0, +∞).

3. Пересечение с осью Ox: x = 0,у=0.

4. а) Вертикальных асимптот нет

б) Горизонтальная асимптота – y = 0.

Критические точки: x₁ = 1; x₂= –1.

6. График функции

Задание: Исследуйте функцию с помощью производной и постройте её график:

f(x)= x²-3x+2

1. D(у)= _____________________________________________________________

2. __________________________________________________________________

3. Пересечение с осью Ox: __________________________________________________________

Пересечение с осью Оу:_______________________________________________________________

4. а) Вертикальные асимптоты _________________________________________

__________________________________________________________________

б) Горизонтальная асимптота ________________________________________

__________________________________________________________________

5. Критические точки: _________________________________________________

y_min=_______________________________________________________________

y_max= ______________________________________________________________

6. График функции

Занятие 4. Решение задач на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения

функции на отрезке

1. Найдем производную заданной функции.

2. Приравняем к нулю производную.

3. Определим принадлежат ли полученные точки заданному отрезку.

4. Найдем значение функции в данных точках и на концах отрезка.

5. Выберем наибольшее и наименьшее значение.

Пример: Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

у= х³+15х² – 8

на отрезке [-8;1]

1. у^/= 3х²+30х

2. у^/=0

3х²+30х=0

х₁= 0 х₂=-10

3. х₂=-10 не принадлежит отрезку [-8;1]

4. у(-8)= 460

у(0) = -8

у(1) = 8

5. у_наим= у(0) = -8

у_наиб= у(-8) = 460

Задание: Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

на отрезке [-6;0]

1. у^/=________________________________________________________________

2. у^/=0

х₁= ____ х₂= ____

3. х =________________________________________________________________

4. у( )=______________________________________________________________

у() =______________________________________________________________

у( ) =____________________________________________________________

у( ) =__________________________________________________________

5. у_наим= __________________________________________________________

у_наиб= ___________________________________________________________

на отрезке [1;2]

1. у^/=________________________________________________________________

2. у^/=0

х₁=_____ х₂=___

3. х = ____________________________________________________________

4. у( )=___________________________________________________________

у() =_____________________________________________________________

у( ) =____________________________________________________________

5. у_наим= ___________________________________________________________

у_наиб=______________________________________________________________

Контрольная работа по теме: «Производная функции»

1.Производная функции у=f(х) в точке х₀ называется предел _________________

__________________, когда приращение аргумента стремится к нулю.

2.Функцию, имеющую производную в точке х₀ называют____________________

_________________ в этой точке.

3.Найти производные функций:

1) у=х³+√2____________________________________________________________

2) у=3х⁴-7х³-х+9_______________________________________________________

3) у=7х³ - 5х___________________________________________________________

4) у= х-х³+7___________________________________________________________

5) у= (5х-2)·(4х-1)______________________________________________________

______________________________________________________________________

6) у=(5х+2)⁄(4х-1)_____________________________________________________

______________________________________________________________________

7) у=(7х+5)·(8х-4)_____________________________________________________

8) у=(3х²-8)/(2х-4)_____________________________________________________

______________________________________________________________________

9) у=3cosх____________________________________________________________

10) у=sin2х___________________________________________________________

11) у=1/2 sinх-х⁵_______________________________________________________

12) у=5tgх____________________________________________________________

13) у= tg3х____________________________________________________________

14) у=3cosх+2_________________________________________________________

______________________________________________________________________

15) у=2х⁵-3cosх________________________________________________________

_______________________________________________________________________

4. Найти угловой коэффициент касательной в точке с абсциссой х₀:

1) у=7х³-21х²+18, при х₀=1______________________________________________

_______________________________________________________________________

2) у=х³-2х²+3х-6, при х₀=-1______________________________________________

_______________________________________________________________________

3) у=sinx+cosx, при х₀=1⁄2________________________________________________

_______________________________________________________________________

4) у=х²⁄2+х, при х₀=1____________________________________________________

_________________________________________

5. Найти угол, образованный касательной к графику функции в точке х₀:

1) у=х⁶-4х, при х₀=1_____________________________________________________

_______________________________________________________________________

2) f(х)= -х⁵-2х²+2, при х₀=-1______________________________________________

_______________________________________________________________________

3) f(х)=10-cosх, при х₀=31⁄2_______________________________________________

4) f(х)=2tgх, при х₀=1⁄4___________________________________________________

_______________________________________________________________________

6.Найти уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой х₀:

1) у=-1⁄3 х²+4, при х₀=3_________________________________________________

_______________________________________________________________________

2) у=1⁄6 х²+х-3, при х₀=3_________________________________________________

_______________________________________________________________________

3) у=х³-6х²+5, при х₀=1_________________________________________________

_______________________________________________________________________

4) у=х-х²+3, при х₀=2___________________________________________________

_______________________________________________________________________

7. Исследуйте функцию с помощью производной и постройте её график:

f(x)= x³-2