Разработка урока математики на тему: "Решение текстовых задач с помощью квадратных уравнений. "

Тема урока: Решение текстовых задач с помощью квадратных уравнений.

Цель урока:

- совершенствование навыков составления уравнения по условию задачи;

- закрепление навыков решения квадратных уравнений;

- развитие логическое мышление учащихся.

Задачи урока: Научить составлять уравнение по условию задачи, определять тип текстовой задачи, знать особенности алгоритма  её решения.

Личностные: рефлексия собственной деятельности

Предметные: совершенствовать навыки составления уравнения по условию задачи, умение проверять соответствие найденного решения условиям задачи при помощи сравнение, обобщения и анализа

Метапредметные:

• П: уметь добывать и перерабатывать новую информацию, представленную в различных формах, активно применять теоретические знания в реальных жизненных ситуациях, уметь проводить сравнение, обобщение и анализ при составлении уравнения
• К: взаимоконтроль, взаимовыручка, распределение обязанностей в группе, умение выслушивать мнения товарищей, отстаивать свою точку зрения, строить речевые высказывания
• Р: выбор и принятие целей, самоконтроль, самооценка, соотнесение своих знаний с той учебной информацией, которую нужно усвоить, приемы само регуляции

Тип урока: закрепление изученного материала.

Оборудование: учебник, карточки.

                                                    Ход урока:

1.Организационный момент.

2.Актуализация опорных знаний.

Работа по индивидуальным карточкам.

Карточка № 1.

1.Запиши общий вид квадратного уравнения.

2.Запиши формулу корней квадратного уравнения.

3.Чему равны коэффициенты а, в, с уравнения   х² – 4х – 3 = 0?

4.Реши уравнения:     а) 3х² + 2 х – 1 = 0;      б) 2х ²+ 7х – 4 = 0;      в) х² – 7х +12 = 0.

Ответ: а) -1, 1/3;  б)1/2, -4;  в)4, 3.

Произведение двух натуральных чисел, одно из которых на 1 больше другого, равно 156. Найдите эти числа.

Решение: Пусть первое натуральное число равно х, тогда второе число х+1. По условию задачи произведение чисел равно 156. Получаем уравнение:

х×(х+1) = 156,

х² + х – 156 = 0,

D=1+624=625,

==-13, ==12.

Так как х натуральное число, то -13 посторонний корень. Значит одно из чисел 12, а другое 12+1=13

Ответ: 12;  13.

Карточка № 2

1.Запишите формулу дискриминанта квадратного уравнения.

2.Сколько корней имеет уравнение, если D > 0?  D < 0?  D = 0?

3. Реши уравнения:  а) 5х² + 8х – 4 = 0;        б) х² – 6х + 11 = 0;       в) 7х² + 6х – 1 = 0.

Ответ: а) 2/5, -2; б) корней нет; в) 1/7, -1.

Произведение двух натуральных чисел, одно из которых на 1 больше другого, равно 210. Найдите эти числа.

Решение: Пусть х первое натуральное число, тогда х+1 – второе число. По условию задачи произведение чисел равно 210. Получаем уравнение:

 х×(х+1)=210,

 х² + х – 210=0,

D=1+840=841,

==-15, =14.

Так как х – натуральное число, то- 15 – посторонний корень, значит первое число равно 14, а второе 14+1=15.

Ответ: 14;  15.

3.Закрепление изученного материала

        На прошлом уроке мы узнали, что многие задачи алгебры, приводят к необходимости решения квадратного уравнения. Давайте вспомним алгоритм решения задачи с помощью квадратного уравнения.

Этапы решения задачи алгебраическим методом:

1. Выбрать неизвестно.

2. Затем составить уравнение.

3. Решить его.

4. Сделать вывод о корнях.

5. Выполнить дополнительные действия.

А теперь давайте потренируемся в составлении уравнений по условию задачи, а также закрепим навык решения квадратных уравнений с помощью небольшого тренажера. Ученикам самостоятельно предлагается решить задачи и выбрать правильный вариант ответа. Если ученик затрудняется решить задачу, он может попросить помощи  ученика-консультанта или учителя.

Задания на карточке.

1. Составьте уравнение к задаче, приняв за х меньшее из чисел:  Произведение двух натуральных чисел, одно из которых на 5 больше другого, равно 256. Найдите эти числа.

1)  х( х – 5) = 256;      2)  х(х + 5) = 256;     3)  2х² + 5 = 256;        4)  2х – 5 = 256.

Ответ: х(х+5)=256.

2. Составьте уравнение к задаче, приняв за х меньшее из чисел: Одна из  сторон прямоугольника на 12 см больше другой. Площадь этого прямоугольника равна 405 см. Найдите стороны прямоугольника.

1) х( х + 12) = 405     2) х(х - 12) = 405      3)2х - 12 = 405        4)  2х + 12 = 405

Ответ: х(х+12)=405.

3. Составьте уравнение к задаче, приняв за х меньшее из чисел: Высота треугольника на 4 см меньше основания этого треугольника, его площадь равна 48. Найдите высоту треугольника.

1) х( х + 4) = 48     2)  - 4 = 96      3) х(х - 4) = 48       4)  х(х + 4) = 96

Ответ: х(х+4)=96.

4. Решите задачу. В прямоугольном треугольнике один катет больше другого на 3 см, а гипотенуза равна 15 см. Найти длину меньшего катета треугольника.

Чтобы правильно ученики составили уравнение. Необходимо вспомнить теорему Пифагора.

5. Решите задачу. Сумма смежных сторон прямоугольника равна 17 см, а его диагональ 13 см. Найти стороны прямоугольника.

Физкультминутка

Часто алгебраические задачи решаются двумя способами. Например, решим задачу на движение двумя способами. Для этого вспомним:

- Какие величины связаны с движением?

- Как зависит расстояние от скорости и времени?

- Как найти скорость, если известны расстояние и время?

- Как найти время, если известны расстояние и время? 

Задача № 1. (работа с классом)

Турист должен был пройти 6 км за определенный срок. Однако он задержался с выходом на 30 мин, поэтому, чтобы прийти вовремя, он шел со скоростью, превышающей намеченную на 1 км/ч. С какой скоростью шел пешеход?

Решение.

Первый способ.

Пусть х ч – намеченный срок. Вспомним! Ч

тобы найти скорость надо путь поделить на время, следовательно, 6/х км/ч – намеченная скорость. х – 0,5 ч – время, затраченное фактически, 6/(х – 0,5) км/ч – фактическая скорость. По условию задачи известно, что пешеход увеличил скорость на

1 км/ч.

Получаем уравнение: 6/(х – 0,5) – 6/х = 1.

Если х≠0,5 и х≠0, то 6х – 6х + 3 = х² – 0,5х

2х² – х – 6 = 0,

D=1+48=49,

==-1,5   ==2.

Так как время – положительное число, то – 1,5 не подходит. Намеченное время – 2 часа, а скорость, с которой шел пешеход  – 6 : 2 + 1 = 4 (км/ч).

Ответ: 4 км/ч.

Второй способ.

Пусть х км/ч – намеченная скорость, тогда 6/х ч – намеченное время. х + 1 км/ч – фактическая скорость, 6/(х+1) ч – фактическое время. По условию задачи известно, что пешеход затратил времени на ½ часа меньше, чем планировал.  Получаем уравнение: 6/х – 6/(х+1) = ½.

Если х ≠ 0, х ≠ 1, то 12х + 12 – 12х = х² + х,

 х² + х – 12 = 0,

D=1+48=49,

==-4,  ==3.

Так как скорость – положительное число, то  – 4 не подходит, значит, намеченная скорость  3 км/ч, а скорость движения пешехода 3 + 1 = 4 (км/ч).

Ответ: 4 км/ч.

Задача № 2. (Самостоятельно, с оказанием дифференцированной помощи)

Велосипедист проехал с постоянной скоростью 40 км от пункта А до пункта В. Возвращаясь обратно со скоростью, на 10 км/ч меньшей первоначальной, он затратил на 20 мин больше, чем на путь от А до В. Найдите первоначальную скорость велосипедиста.

Проверим решение:

Первый способ

Пусть х км/ч – скорость велосипедиста при движении из пункта А в пункт В, тогда время движения – 40/х ч. На обратном пути он ехал со скоростью (х – 10) км/ч и затратил 40/(х - 10) ч. По условию задачи известно, что на обратный путь велосипедист затратил больше на 20 мин или на 1/3 часа. Получаем уравнение: 40/(х - 10) – 40/х = 1/3.

Если х ≠ 0, х ≠ 10, то 120х – 120х + 1200 = х² – 10х,

х² – 10х – 1200 = 0,

D=100+4800=4900,

==-30, ==40.

= - 30 - условию задачи не удовлетворяет. Значит первоначальная скорость велосипедиста –

40 км/ч.

Ответ: 40 км/ч.

Второй способ

Пусть х ч – время, затраченное велосипедистом на путь от А до В, тогда его скорость 40/х км/ч. Время, затраченное на обратный путь (х + 1/3) ч, а скорость – 40/(х + 1/3) км/ч. По условию задачи известно, что обратно велосипедист ехал со скоростью, на 10 км/ч меньшей первоначальной. Получаем уравнение:  40/х - 40/(х + 1/3) = 10.

Если х ≠ 0 и х ≠ 1/3, то 40(х + 1/3) – 40х = 10х(х + 1/3),

3х² + х – 4 = 0,

D=1+48=49,

==-,  ==1.

= - 4/3 –условию задачи не удовлетворяет. Значит, на путь от  А до В был затрачен 1 час и первоначальная скорость велосипедиста 40 км/ч.

Ответ: 40 км/ч.

4. Подведение итогов урока.

- Какие задачи решали на уроке?

- Что нового вы узнали на уроке?

- Какие затруднения у вас возникли?

- Расскажите этапы решения задачи с помощью уравнения.

Отметить наиболее активных учеников. Выставить оценки.

5. Задание на дом. №565,№574, на повторение №578. Подготовить выступление трем учащимся на тему «История квадратных уравнений в Индии», «Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне», «Квадратные уравнения в Европе в XIII – XVIIвв».

     6. Рефлексия.

   И закончить сегодняшний урок хотелось бы словами великого математика У. Сойера:  «Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решить одну и ту же задачу тремя различными способами, чем решить три-четыре различные задачи. Решая одну задачу различными методами, можно путем сравнений выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт».