Открытый урок по алгебре в 7 кл «взаимное
расположение графиков линейных функций»
Цели:
Образовательная:
- Создать условия для восприятия, осмысления и
понимания взаимного расположения графиков линейной функции в прямоугольной
системе координат.
- Отработать навыки построения линейной функции,
определения углового коэффициента линейной функции.
- Сделать вывод о том, что взаимное расположение
прямых зависит от значения угловых коэффициентов этих прямых.
- Научиться определять взаимное расположение прямых
по виду их уравнений.
Развивающие:
- Развивать умение строить график линейной функции,
определять по графику вид функции и знак углового коэффициента линейной
функции.
- Развивать интеллектуальные умения: сравнивать,
делать выводы, выявлять закономерности, анализировать.
Воспитательная:
- воспитывать культуру труда, математической речи,
культуру общения, активность, самостоятельность.
Оборудование:
- Плакат с планом работы на уроке.
- Учебник «Алгебра – 7, Ю. Н. Макарычев и др.
- Плакат с девизом: «Числа не Боги, они не управляют
миром, они показывают, как управляется мир» (поэт, гений немецкой
литературы, Гёте). Плакат со словарем: «Абсцисса», «Ордината»,
«Параллельные прямые», «Координата», «Коэффициент».
- Папка с заданиями.
- Карточки – подсказки.
- Мультимедийная презентация.
Ход урока
I. Орг. момент
- Я рада вас видеть и мне приятно начать с вами
работу.
- Познакомьтесь с планом работы, он у вас на столе.
Учитель: У вас на столах есть карточки с
домашним заданием. Вы сами выбираете какой вариант решать В – 1 или В – 2. За
решение В – 1 вы получите не более «4», а за решение В – 2 оценку «5». Поэтому
будьте внимательны на уроке, чтобы справится с заданием более высокого уровня.
п.36,стр.192 В – 1: № 941(б,г), 942,
943,944(а),1178(а).
В* – 2: 1) № 944(а), 1178(а); 2) Постройте прямую,
если ее угловой коэффициент равен – 0,5 и она проходит через точку (- 6; 4).
Задайте формулой линейную функцию, график которой параллелен указанной прямой и
пересекает ось у в точке (0; 5).
II. Учитель: А теперь вспомним, что мы изучили на
прошлых уроках? (На партах листочки с вопросами, работа в парах. Дети по
очереди задают друг другу вопросы).
- Дайте определение функции. (Функцией называется
соответствие между двумя множествами, при котором каждому элементу одного
множества соответствует единственный элемент другого множества).
- Дайте определение графика функции. (Графиком
функции называется множество точек координатной плоскости, абсциссы
которых равны значениям аргумента, а ординаты – соответствующим значениям
функции).
- Сформулируйте определение линейной функции.
(Линейной называется функция, которую можно задать формулой вида у = kх +
b, где х – независимая переменная, k и b – любые числа).
- Что является графиком линейной функции? (Графиком
линейной функции является прямая).
- Как записывается формула частного случая линейной
функции прямой пропорциональности? Какая особенность построения графика?
(Прямой пропорциональностью называется функция, которую можно задать
формулой вида у = kх, где х – независимая переменная, а k – не равное нулю
число. Чтобы построить график функции у = kх, достаточно отметить
какую-нибудь точку графика, отличную от начала координат, и провести через
эту точку и начало координат прямую).
- От чего зависит, как расположен график линейной
функции? (От коэффициентов k и b. Если k > 0, то угол наклона прямой у
= kx + b к оси х острый; если k < 0, то этот угол тупой). Если х = 0,
то у = b. Значит, график линейной функции у = kx + b (при любых значениях
k и b) проходит через точку (0;b). Как называется коэффициент k?
- Установите соответствие между функциями и
построенными графиками. Ответ обоснуйте, не прибегая к вычислениям. (Слайд
№3)
а) у = - х; б) у = 3 – 2х; в) у = ; г) у = 0,5(х + 2);д) у
= 0,7х; е) у = 6.
(Ответ: а – 2, б – 4, в – 1, г – 3, д – 6,
е - 5. Слайд №4)
Рисунок 1.
Учитель: Подведем итоги. Что вы уже знаете?
Ученик: Мы знаем: определения функции, графика функции. Умеем
строить графики линейной функции и прямой пропорциональности. По графику
функции можем определять угловой коэффициент прямой и коэффициент b.
Учитель: В домашней работе, у вас было задание найти
общие точки графиков функций (слайды №5-8)
В – 1. у = 2х + 6, у = 2х – 1.
В – 2. у = - 3х + 5, у = 4х – 2.
В – 3. у = 3х + 3, у = 3(х + 1).
Поверим, что у вас получилось? (решение на слайде№5)
В – 1. 2х + 6 = 2х – 1; 0 ∙ х = - 7; Корней нет
Ответ: графики данных функций общих точек не имеют.
В – 2. - 3х + 5 = 4х – 2; у(1) = 4 ∙ 1 – 2 = 2; 7х = 7; (1;
2); х = 1
Ответ: (1; 2) – общая точка графиков данных функций
В – 3. 3х + 3 = 3(х + 1); 3х + 3 = 3х + 3; 0 ∙ х = 0; х –
любое число.
Ответ: графики данных функций имеют бесконечно много общих
точек.
Учитель: Сегодня на уроке мы выясним, как будут
расположены графики этих функций на плоскости. Как можно сформулировать тему
нашего урока?
Ученики: «Взаимное расположение графиков линейных
функций» (тема записывается на доске).
III. Учитель: Теперь проведем небольшое
исследование.
На столах в папке найдите карточку 2 с заданиями.
Выполните самостоятельно 1 задание.
Задание:
Построить в одной координатной плоскости графики
функций:
В – 1. у = 2х + 6, у = 2х – 1.
В – 2. у = - 3х + 5, у = 4х – 2.
В – 3. у = 3х + 3, у = 3(х + 1).
Как расположены графики линейных функций относительно
друг друга? Предположите, что влияет на расположение прямых относительно друг
друга?
Учитель: Итак, что вы получили? Как расположены прямые в
системе координат?
Ученик (В – 1): Прямые параллельны.
Учитель: Как вы думаете, почему? Что общего вы увидели? В
чем различия?
Ученик (В – 1): Одинаковые угловые коэффициенты
и разные b.
Учитель: Правильно. Если угловые коэффициенты равны, то
прямые параллельны.
Ученик (В – 2): Прямые пересекаются, так как
коэффициенты разные.
Ученик (В – 3): Прямые совпадают, так как
угловые коэффициенты равны и числа b одинаковы.
Учитель: Какое предположение можно сделать?
Ученик: Если угловые коэффициенты прямых равны, то прямые
параллельны. А если угловые коэффициенты различны, то прямые пересекаются. Если
угловые коэффициенты равны и коэффициенты b равны, то прямые совпадают. (Если
учащиеся затрудняются, то помогает учитель, он начинает фразу, дети
продолжают).
Учитель: Т.е. не строя графики функций, можно заранее
видеть каково взаимное расположение графиков в одной координатной плоскости.
Учитель: Итак, чему вы должны научиться сегодня на уроке,
что узнать?
Ученики: Мы должны узнать, как могут располагаться
графики друг относительно друга, и от чего это зависит.
Учитель: А теперь докажем это в общем виде.
Пусть y = k1х + b1 и y = k2х
+ b2 – две различные линейные функции. Решим уравнение:
k1х + b1 = k2х +
b2
k1х – k2х = b2 –
b1
x(k1 – k2) = b2 –
b1
1 случай: если k1 = k2, то есть k1 –
k2 = 0; и b2 ≠ b1, получаем
уравнение 0 ∙ x = b2 – b1
- Что можно сказать о решении?
(Нет корней, значит, нет общей точки, следовательно,
графики линейных функций параллельны при одинаковых коэффициентах).
2 случай: если k1 = k2 и b2 =
b1, получаем уравнение 0 ∙ х = 0
- Какое решение? х – любое число
(Бесконечно много решений, значит, бесконечно много
общих точек, следовательно, графики совпадают).
3 случай: если k1 ≠ k2, то есть k1 –
k2 ≠ 0.
- Имеет ли корни уравнение?
(Уравнение имеет 1 корень, графики функций имеют общую
точку, значит, они пересекаются).
- Итак, мы доказали справедливость нашего
предположения.
IV. Учитель: Посмотрим, как практически вы примените
изученное свойство в различных ситуациях.
1) Назовите несколько примеров функций, графики которых
параллельны, пересекают, совпадают с графиком функции у = 5х – 7.
2) № 340(г), 341 (а).
№ 340(г) (устно, решение на слайде №12)
Линейная функция задана формулой у = . Докажите, что график
этой функции параллелен графику функции:
г) у = .
Решение: г) у = , k1 =
у = , у = х – , k2 = , k1 = k2
график функции у = параллелен графику функции у = .
№ 341(а) (письменно)
Докажите, что график функции у = 4,5х – 7 пересекает график
функции: а) у = 6х – 1. Найдите координаты точки пересечения.
Решение:
а) у = 4,5х – 7, k1 = 4,5
у = 6х – 1, k2 = 6
k1 ≠ k2 ,
график функции у = 4,5х – 7 пересекает график функции у = 6х – 1.
4,5х – 7 = 6х – 1,
1,5х = - 6,
х = - 4,
у(- 4) = 6 ∙ (- 4) – 1 = - 25 . (- 4; - 25) –
координаты точки пересечения.
Ответ: (- 4; - 25).
3) Задание: Задайте формулой линейную функцию,
графиком которой является прямая , проходящая через точку А(2; 6) и
параллельная графику функции у = 1,5х – 3.
Решение:
Т.к. график функции у = kx + b параллелен прямой у =
1,5х – 3, то k = 1,5.
Т.к. график функции проходит через точку А(2; 6), то
верно равенство
6 = 1,5 ∙ 2 + b, b = - 3, тогда у = 1,5х + 3.
Ответ: у = 1,5х + 3.
4) Задание: Постройте график функции у = kx + b, если он
параллелен прямой у = 2х + 11 и пересекается с графиком у = х – 3 в точке
лежащей на оси ординат.
Решение:
Т.к. график функции у = kx + b параллелен прямой у =
2х + 11, то k = 2.
Т.к. график функции у = 2x + b пересекается с графиком
у = х – 3 в точке лежащей на оси ординат, то при х = 0, у = - 3 , т.е. график
проходит через точку с координатами (0; - 3).
- 3 = 2 ∙ 0 + b, b = - 3, тогда у = 2х -3
Рисунок 2.
Учитель: А сейчас проверим, что вы запомнили и поняли
сегодня на уроке. Выполните следующие тесты.
Вариант – 1
1. Определите угловой коэффициент
Рисунок 3.
Ответ: а) у = 3х – 2 , б) у = - 2,3х – 2 , в) у = 0,7х – 2, г)
у = 2,3х – 2.
2. Как расположены графики функций: у = 9х + 9 и у = 9(х
+ 1)?
Ответ: а) параллельно; б) пересекаются; в) совпадают.
3. Задайте формулой линейную функцию, график которой
проходит через начало координат и параллелен прямой у = - 7х – 2.
Ответ: а) у = - 2х, б) у = -7х, в) у = 7х – 2, г) у = - 7х +
2.
Вариант – 2
1. Определите угловой коэффициент
Рисунок 4.
Ответ: а) у = - 3х + 2 , б) у = 1,5х + 2, в) у = - 1,5х + 2,
г) у = 2х + 2.
2. Как расположены графики функций: у = 5х + 15 и у =
5(5х + 3)?
Ответ: а) параллельно; б) пересекаются; в) совпадают.
3. Задайте формулой линейную функцию, график которой
проходит через начало координат и параллелен прямой у = 4х + 3.
Ответ: а) у = 4х, б) у = - 4х +3, в) у = - 4х, г) у = 3х.
V. Самопроверка (ответы на слайде №13)
В – 1. 1) г; 2) в; 3) б
В – 2. 1) в; 2) б; 3) а
Учитель: Поднимите руки, кто получил «5».
Учитель: Подведем итоги: что нового узнали на уроке?
Ученики: Что взаимное расположение графиков линейной
функции зависит от k.
Учитель: Где применять новый материал?
Ученики: На уроках физики.
Учитель: Линейная функция находит также свое применение и
в медицине, биологии и других областях науки и техники. Сведения о взаимном
расположении графиков линейной функции находят применение при рассмотрении
вопроса о числе решений системы двух линейных уравнений с двумя переменными.
VI. Рефлексия
Приложение 1. Контрольные
вопросы, план работы на уроке, задания.
Приложение 2. Презентация.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.