Разработка урока по алгебре в 8 классе "Способы решения квадратных уравнений"

Урок  по алгебре в 8 классе по теме:

« Десять способов решения квадратных уравнений ».

Цели урока: повторить известные способы решения квадратных уравнений, разобрать новые способы и уметь применять их на практике.

Оборудование:  компьютер, проектор, экран.

Ход урока.

I.Орг. момент.

Сообщение темы урока, целей урока. (слайд1)

II. Повторение пройденного материала. ( слайд 2)

1. Дайте определение квадратного уравнения.

2. Виды квадратных уравнений.

3. Теорема Виета.

III. Рассмотрим  способы решения квадратных уравнений. (слайд3,4)

      Определить вид квадратного уравнения и назвать способ его решения:

1. х² + 2х = 0
2. х² – 81 = 0

1 способ: разложение левой части уравнения на множители.

Слайд 5.

      Определить вид квадратного уравнения и назвать способ его решения:

х² + 6х – 7 = 0

2 способ: метод выделения полного квадрата

3 способ: по формулам

4 способ: с использованием  теоремы Виета (прямой и обратной)

IV. Изучение нового материала

Слайд 6.

5 способ: «переброска» коэффициентов.

Объяснение материала.

Рассмотрим квадратное уравнение ах² + вх + с =0, где коэффициент а не равен 0. Умножим обе части уравнения на коэффициент а, получаем уравнение а²х² + авх + ас = 0. Пусть  ах = у, откуда х = у/а; тогда приходим к уравнению у² +ву +ас = 0, равносильному данному.  Его корни найдем с помощью теоремы Виета. Окончательно получаем х_{1 =} у₁/а, х₂ = у₂/а. При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому способ и называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета, и когда дискриминант есть точный квадрат.

Слайд 7

Решить уравнение: 2х² -11х + 15 = 0.

Решение:

1. Коэффициент а=2 умножим на свободный член с=15 («перебросим» коэффициент). Получим уравнение: у² – 11у + 30 = 0, где х = у/а, т.е х = у/2
2. По теореме Виета получаем: у₁=5, у₂=6.
3. х₁=5/2=2,5      х₂=6/2=3.

Ответ. х₁ =2,5;  х₂ = 3.

Закрепление материала.

Самостоятельно решить уравнение:

I вариант: 4х²  + 12х + 5 = 0         ( у² +12у + 20=0,  х = у/4 )

IIвариант: 6х² + 5х – 6 = 0            ( у² + 5х - 36=0,    х = у/6 )

Ответ.  1 вариант.  х₁= -0,5 ;    х₂= -2,5.

              2 вариант.  х₁= 2/3 ;      х₂= -1,5.

Слайд 8.

6 способ: Свойства коэффициентов квадратного уравнения.

Объяснение материала.

Теорема:

если сумма коэффициентов квадратного уравнения

ах² + вх + с = 0 равна нулю (т.е. а+в+с=0), то

х₁ =1,  

х₂ =с/а.

Слайд 9

Решить уравнение: 11х² + 25х – 36 = 0.

Решение:

Применим теорему о коэффициентах квадратного уравнения:

11+25+(-36)=0, значит х₁ =1, х₂ =-36/11.

Ответ. х₁ =1, х₂ =-36/11.

Устно  решить уравнения:

а) 5х² -7х+2=0

б) 3х² +5х-8=0

Ответ.  а) х₁  =1, х₂  =2/5

              б) х₁  =1; х₂  = -8/3

Слайд 10

7 способ: Решение квадратных уравнений с помощью номограммы.( для приведенных квадратных уравнений)

Объяснение нового материала.

Это старый и незаслуженно забытый способ решения квадратных уравнений с помощью четырехзначных математических таблиц В.М. Брадиса  

   ( таблица XXII, способ описан на стр.83).

         Номограмма для решения уравнения  z²+pz+q=0. Эта номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, по его коэффициентам определить корни уравнения.

Слайд 11.

Примеры.                                                                          

1.         Для уравнения

z² – 9z + 8 = 0

номограмма дает корни

z₁ = 8,0 и z₂ = 1,0

( см рис. ).

2.         Решим с помощью
номограммы уравнение

      2z²  -9z + 2 = 0.

Разделим коэффициенты этого уравнения на 2, получим уравнение

 z² -4,5z+1 = 0.

Номограмма дает корни  z₁ = 4 и  z₂ =0,5.

Слайд 12.

Для уравнения

z² + 5z - 6 = 0

номограмма дает положительный корень z₁ = 1,0, а отрицательный корень находим, вычитая положительный корень из - р, т. е.

z₂ = - р - 1 = = - 5 - 1 = - 6,0 .

Слайд 13.

Для уравнения 

Z² + 4z + 3 = 0,

оба корня которого отрицательные числа, берем z₁ = — t₁, z₂= - t₂   и  находим по номограмме два положительных корня t₁  и t₂

уравнения t₂  - 4t + 3 = 0,

это t₁ = 1 и t₂  = 3,

а затем z₁  = - t₁   = - 1 и

z₂  = - t₂ = - 3.

Если коэффициенты р и q выходят за пределы шкалы, то выполняют подстановку

z = kt и решают с помощью номограммы уравнение

t²  +(p/k)k+ q/k²  =0,

где k берут с таким расчетом, чтобы имели место неравенства

-12,6 < p/k < 12,6,

- 12,6 <   q/k2  < 12,6.

Слайд 14

Решите с помощью номограммы уравнения:

I вариант

a)      z² - 4z + 4 = 0                        

b)      z² –z – 6 = 0

c)      z² + 5z + 4 = 0

Ответ.  a) z₁ =3,5;   z₂ =1,0

                 b) z₁ =3;      z₂  = -2

                 c) z₁ = -4;    z₂  = -1.

II вариант

a)      z² - 7z + 6 = 0

b)      z² + 4z - 5 = 0

c)      z² +  5z + 6 = 0

Ответ.   a) z₁ =6,5;    z₂ =1,5

                  b) z₁ =1;       z₂  = -5

                  c) z₁ = -3;     z₂  = -2.

Слайд 15.

8 способ: Графическое решение квадратного уравнения.

Объяснение материала.

Если в уравнении

х² + рх + q = 0

   перенести второй и третий члены в правую часть, то получим

х² = - рх - q.

    Построим графики зависимостей

у = х² и у= -рх- q

      График первой зависимости – называется парабола. Она проходит  через начало координат.

    График второй зависимости – прямая.

   Возможны следующие случаи: 

1)                 прямая и парабола
могут пересекаться в двух
точках, абсциссы точек пе­-
 ресечения являются кор­-
нями квадратного уравне­-
ния ( см рис. ).

2)                 прямая и парабола могут касаться (только одна общая точка), т. е. уравнение имеет одно решение.  

3)                 прямая и парабола не
имеют общих точек, т. е.
квадратное уравнение не имеет корней.

Слайд 16.Определить по рисунку, сколько корней имеет квадратное уравнение (обосновать):

 х² – 3х – 4 = 0.

Назовите корни этого уравнения.

Ответ. 2 корня: х  = 4; х  = -1.

Слайд 17.

Определить, сколько корней имеет квадратное уравнение (обосновать):

х² - 2х + 1 = 0.

Назовите  корни этого уравнения.

Ответ. 1 корень: х=1.

Слайд 18.

Определить, сколько корней имеет квадратное уравнение (обосновать): 

х² - 2х + 5 = 0.

Назовите  корни этого уравнения.

Ответ. Нет корней

Слайд 19.

9 способ: Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки.

Объяснение материала.

Графический способ решения квадратных уравнений с помощью параболы неудобен. Если строить параболу по точкам, то требуется много времени, и при этом степень точности получаемых результатов невелика.
 Рассмотрим способ нахождения корней квадратного уравнения 

ах² + bх + с = 0 c помощью циркуля и линейки.

Слайд 20.

Схема построения:

1)         Построим центр окружности S( -b 2a;а+с2а)

      и А(0; 1);

     2) проведем окружность с радиусом SA;

     3) абсциссы точек пересечения этой окружности с осью Ох являются корнями исходного квадратного уравнения.

Слайд 21.

При этом возможны 3 случая:

1) Радиус окружности  больше ординаты центра:

окружность пересекает ось Ох в двух точках, т.е. уравнение имеет 2 различных корня.

2)         Радиус  окружности  равен  ординате  центра

окружность касается оси Ох, т.е. уравнение имеет 2 равных корня

3)         Радиус окружности меньше ординаты центра
окружность не имеет общих точек с осью Ох, т.е. уравнение не имеет корней.

Слайд 22.

Назовите корни уравнения  1) х² – 2х – 3 = 0

по предложенному рисунку:

Слайд 23.

Назовите корни уравнения  2) х² + 4х + 4 = 0 по предложенному рисунку:

Слайд 24.

Назовите корни уравнения 3) х² – 2х + 3 = 0 по предложенному рисунку.

Слайд 25.

10 способ: Геометрический способ решения квадратных уравнений

Объяснение материала.

В древности, когда геометрия была более развита, чем алгебра, квадратные уравнения решали не алгебраически, а геометрически. Приведем ставший знаменитым пример из «Алгебры» ал-Хорезми.

 Примеры.

1. Решим уравнение х² + 10х = 39.

В оригинале эта задача формулируется следующим

образом:

«Квадрат и десять корней равны 39» (рис.).

Решение.

Рассмотрим квадрат со стороной х, на его сторонах

строятся прямоугольники так, что другая сторона каждого

из них равна 2¹ /₂, следовательно, площадь каждого

равна 2¹ / ₂ х. Полученную фигуру дополняют затем до

нового квадрата ABCD, достраивая в углах четыре равных

 квадрата, сторона каждого из них 2¹ / ₂    , а площадь 6¹ /₄  .

Слайд 26.

Площадь S квадрата ABCD можно представить как сумму площадей: первоначального квадрата х², четырех прямоугольников (4*2¹/ ₂х=10х)

и четырех пристроенных квадратов (6¹/₄*4=25), т.е. S= х² + 10х + 25.

Заменяя х² + 10 числом 39, получим, что

S = 39 + 25 = 64, откуда следует, что сторона квадрата ABCD, т. е. отрезок АВ = 8. Для искомой стороны х первоначального квадрата получим

Х = 8 – 2¹/₂ – 2¹/₂ = 3.

V. Рефлексия.

Перечислите способы решения квадратных уравнений.

VI. Домашнее задание.

Решить с помощью циркуля и линейки квадратные уравнения:

 1) х² – 2х – 3 = 0

 2) х² + 4х + 4 = 0

 3) х² – 2х + 3 = 0

 4) х² – 5х + 4 = 0

VII. Подведение итогов. Выставление оценок.

Всем большое спасибо за урок!