Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Разработка урока по алгебре в 8 классе "Способы решения квадратных уравнений"
  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Урок по алгебре в 8 классе по теме:

« Десять способов решения квадратных уравнений ».


Цели урока: повторить известные способы решения квадратных уравнений, разобрать новые способы и уметь применять их на практике.

Оборудование: компьютер, проектор, экран.


Ход урока.


I.Орг. момент.

Сообщение темы урока, целей урока. (слайд1)


II. Повторение пройденного материала. ( слайд 2)

1. Дайте определение квадратного уравнения.

2. Виды квадратных уравнений.

3. Теорема Виета.


III. Рассмотрим способы решения квадратных уравнений. (слайд3,4)

Определить вид квадратного уравнения и назвать способ его решения:

  1. х2 + 2х = 0

  2. х2 – 81 = 0

1 способ: разложение левой части уравнения на множители.

Слайд 5.

Определить вид квадратного уравнения и назвать способ его решения:

х2 + 6х – 7 = 0

2 способ: метод выделения полного квадрата

3 способ: по формулам

4 способ: с использованием теоремы Виета (прямой и обратной)


IV. Изучение нового материала

Слайд 6.

5 способ: «переброска» коэффициентов.

Объяснение материала.

Рассмотрим квадратное уравнение ах2 + вх + с =0, где коэффициент а не равен 0. Умножим обе части уравнения на коэффициент а, получаем уравнение а2х2 + авх + ас = 0. Пусть ах = у, откуда х = у/а; тогда приходим к уравнению у2 +ву +ас = 0, равносильному данному. Его корни найдем с помощью теоремы Виета. Окончательно получаем х1 = у1/а, х2 = у2/а. При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому способ и называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета, и когда дискриминант есть точный квадрат.


Слайд 7

Решить уравнение: 2х2 -11х + 15 = 0.

Решение:

  1. Коэффициент а=2 умножим на свободный член с=15 («перебросим» коэффициент). Получим уравнение: у2 – 11у + 30 = 0, где х = у/а, т.е х = у/2

  2. По теореме Виета получаем: у1=5, у2=6.

  3. х1=5/2=2,5 х2=6/2=3.

Ответ. х1 =2,5; х2 = 3.

Закрепление материала.

Самостоятельно решить уравнение:


I вариант: 4х2 + 12х + 5 = 0 ( у2 +12у + 20=0, х = у/4 )

IIвариант: 6х2 + 5х – 6 = 0 ( у2 + 5х - 36=0, х = у/6 )


Ответ. 1 вариант. х1= -0,5 ; х2= -2,5.

2 вариант. х1= 2/3 ; х2= -1,5.


Слайд 8.

6 способ: Свойства коэффициентов квадратного уравнения.

Объяснение материала.

Теорема:

если сумма коэффициентов квадратного уравнения

ах2 + вх + с = 0 равна нулю (т.е. а+в+с=0), то

х1 =1,

х2 =с/а.

Слайд 9

Решить уравнение: 11х2 + 25х – 36 = 0.

Решение:

Применим теорему о коэффициентах квадратного уравнения:


11+25+(-36)=0, значит х1 =1, х2 =-36/11.

Ответ. х1 =1, х2 =-36/11.


Устно решить уравнения:

а) 5х2 -7х+2=0

б) 3х2 +5х-8=0

Ответ. а) х1 =1, х2 =2/5

б) х1 =1; х2 = -8/3

Слайд 10

7 способ: Решение квадратных уравнений с помощью номограммы.( для приведенных квадратных уравнений)

Объяснение нового материала.

Это старый и незаслуженно забытый способ решения квадратных уравнений с помощью четырехзначных математических таблиц В.М. Брадиса

( таблица XXII, способ описан на стр.83).

Номограмма для решения уравнения z2+pz+q=0. Эта номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, по его коэффициентам определить корни уравнения.

hello_html_182c0b45.jpg

Слайд 11.

Примеры.

1. Для уравнения

z2 – 9z + 8 = 0

номограмма дает корни

z1 = 8,0 и z2 = 1,0

( см рис. ).

2. Решим с помощью
номограммы уравнение

2z2 -9z + 2 = 0.

Разделим коэффициенты этого уравнения на 2, получим уравнение

z2 -4,5z+1 = 0.

Номограмма дает корни z1 = 4 и z2 =0,5.


Сhello_html_32dbc62c.jpgлайд 12.

Для уравнения

z2 + 5z - 6 = 0

номограмма дает положительный корень z1 = 1,0, а отрицательный корень находим, вычитая положительный корень из - р, т. е.

z2 = - р - 1 = = - 5 - 1 = - 6,0 .

Сhello_html_m3f509d80.jpgлайд 13.

Для уравнения

Z2 + 4z + 3 = 0,

оба корня которого отрицательные числа, берем z1 =t1, z2= - t2 и находим по номограмме два положительных корня t1 и t2

уравнения t2 - 4t + 3 = 0,

это t1 = 1 и t2 = 3,

а затем z1 = - t1 = - 1 и

z2 = - t2 = - 3.

Если коэффициенты р и q выходят за пределы шкалы, то выполняют подстановку

z = kt и решают с помощью номограммы уравнение

t2 +(p/k)k+ q/k2 =0,

где k берут с таким расчетом, чтобы имели место неравенства

-12,6 < p/k < 12,6,

- 12,6 < q/k2 < 12,6.


Слайд 14

Решите с помощью номограммы уравнения:

I вариант

  1. z2 - 4z + 4 = 0

  2. z2 –z 6 = 0

  3. z2 + 5z + 4 = 0

Ответ. a) z1 =3,5; z2 =1,0

b) z1 =3; z2 = -2

c) z1 = -4; z2 = -1.


II вариант

  1. z2 - 7z + 6 = 0

  2. z2 + 4z - 5 = 0

  3. z2 + 5z + 6 = 0

Ответ. a) z1 =6,5; z2 =1,5

b) z1 =1; z2 = -5

c) z1 = -3; z2 = -2.


Слайд 15.

8 способ: Графическое решение квадратного уравнения.

Объяснение материала.

Если в уравнении

хhello_html_68b9b52f.jpg2 + рх + q = 0

перенести второй и третий члены в правую часть, то получим

х2 = - рх - q.

Построим графики зависимостей

у = х2 и у= -рх- q

График первой зависимости – называется парабола. Она проходит через начало координат.

График второй зависимости – прямая.


Возможны следующие случаи:

  1. пhello_html_66b3f19b.jpgрямая и парабола
    могут пересекаться в двух
    точках, абсциссы точек пе­-
    ресечения являются кор­-
    нями квадратного уравне­-
    ния ( см рис. ).

  2. прямая и парабола могут касаться (только одна общая точка), т. е. уравнение имеет одно решение.

hello_html_13cf3c2b.jpg


  1. прямая и парабола не
    имеют общих точек, т. е.
    квадратное уравнение не имеет корней.



Слайд 16.Определить по рисунку, сколько корней имеет квадратное уравнение (обосновать): hello_html_m520fcbd0.jpg


х2 – 3х – 4 = 0.


Назовите корни этого уравнения.

Ответ. 2 корня: х = 4; х = -1.


Сhello_html_66b3f19b.jpgлайд 17.

Определить, сколько корней имеет квадратное уравнение (обосновать):


х2 - 2х + 1 = 0.


Назовите корни этого уравнения.

Ответ. 1 корень: х=1.


Слайд 18.

Определить, сколько корней имеет квадратное уравнение (обосновать):

hello_html_13cf3c2b.jpg

х2 - 2х + 5 = 0.


Назовите корни этого уравнения.


Ответ. Нет корней



Слайд 19.

9 способ: Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки.

Объяснение материала.

Графический способ решения квадратных уравнений с помощью параболы неудобен. Если строить параболу по точкам, то требуется много времени, и при этом степень точности получаемых результатов невелика.
Рассмотрим способ нахождения корней квадратного уравнения

ах2 + bх + с = 0 c помощью циркуля и линейки.

Сhello_html_145f6bf8.jpgлайд 20.

Схема построения:

1) Построим центр окружности S( -b 2a;а+с2а)

и А(0; 1);

2) проведем окружность с радиусом SA;

3) абсциссы точек пересечения этой окружности с осью Ох являются корнями исходного квадратного уравнения.

Слайд 21.

При этом возможны 3 случая:

1) Радиус окружности больше ординаты центра:

оhello_html_9b9036b.jpgкружность пересекает ось Ох в двух точках, т.е. уравнение имеет 2 различных корня.

2) Радиус окружности равен ординате центра

окружность касается оси Ох, т.е. уравнение имеет 2 равных корня

3) Радиус окружности меньше ординаты центра
окружность не имеет общих точек с осью Ох, т.е. уравнение не имеет корней.


Сhello_html_15a0d7f9.jpgлайд 22.

Назовите корни уравнения 1) х2 – 2х – 3 = 0

по предложенному рисунку:





Слайд 23.

Нhello_html_m4dfa605e.jpgазовите корни уравнения 2) х2 + 4х + 4 = 0 по предложенному рисунку:






Слайд 24.

Нhello_html_560e53e1.jpgазовите корни уравнения 3) х2 – 2х + 3 = 0 по предложенному рисунку.







Слайд 25.

10 способ: Геометрический способ решения квадратных уравнений

Объяснение материала.

В древности, когда геометрия была более развита, чем алгебра, квадратные уравнения решали не алгебраически, а геометрически. Приведем ставший знаменитым пример из «Алгебры» ал-Хорезми.

hello_html_647691b5.gifПримеры.

1. Решим уравнение х2 + 10х = 39.

В оригинале эта задача формулируется следующим

образом:

«Квадрат и десять корней равны 39» (рис.).


Решение.

Рассмотрим квадрат со стороной х, на его сторонах

строятся прямоугольники так, что другая сторона каждого

из них равна 21 /2, следовательно, площадь каждого

равна 21 / 2 х. Полученную фигуру дополняют затем до

нового квадрата ABCD, достраивая в углах четыре равных

квадрата, сторона каждого из них 21 / 2 , а площадь 61 /4 .



Слайд 26.

Площадь S квадрата ABCD можно представить как сумму площадей: первоначального квадрата х2, четырех прямоугольников (4*21/ 2х=10х)

и четырех пристроенных квадратов (61/4*4=25), т.е. S= х2 + 10х + 25.

Заменяя х2 + 10 числом 39, получим, что

S = 39 + 25 = 64, откуда следует, что сторона квадрата ABCD, т. е. отрезок АВ = 8. Для искомой стороны х первоначального квадрата получим

Х = 8 – 21/2 – 21/2 = 3.



V. Рефлексия.

Перечислите способы решения квадратных уравнений.


VI. Домашнее задание.


Решить с помощью циркуля и линейки квадратные уравнения:

1) х2 – 2х – 3 = 0

2) х2 + 4х + 4 = 0

3) х2 – 2х + 3 = 0

4) х2 – 5х + 4 = 0

VII. Подведение итогов. Выставление оценок.

Всем большое спасибо за урок!

Выберите курс повышения квалификации со скидкой 50%:

Автор
Дата добавления 22.09.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров59
Номер материала ДБ-208394
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх