Разработка урока "Применение теорем косинусов и синусов к решению треугольников" (9 класс)

Тема:  Применение теорем синусов и косинусов при решении треугольников.

Цель: познакомить учащихся с основными алгоритмами решения произвольных треугольников, повторить методы решения  прямоугольных треугольников, активизация познавательной деятельности, привитие навыков исследовательской деятельности;  формирование познавательного интереса, наблюдательности, воспитание у учащихся чувства взаимопомощи.

Основные термины и понятия: синус угла, косинус угла, теорема синусов, теорема косинусов, решение треугольников.

Планируемые результаты обучения: уч-ся должны научиться применять теоремы синусов и косинусов при решении треугольников

Тип урока: совершенствование знаний и способов деятельности

Форма урока: комбинированный урок.

Ход урока

1. Организационный этап.
2. Актуализация

Проверка домашнего задания

- разобрать решение упражнений, вызвавших у учащихся затруднения при выполнении

3.      Формирование новых понятий и способов действия

Задачи на решение треугольников делятся на три типа:

1.      По данной стороне и двум углам.

2.      По двум сторонам и углу между ними.

3.      По двум сторонам и углу, противолежащему одной их них.

4.      По трем сторонам.

СХЕМА РЕШЕНИЯ 1-го ТИПА ЗАДАЧ.

1)Дано: a, α, β

 Найти: b, c, γ

План решения:

1)      ;

2)      γ = 180⁰-(α+β)

3)     

2)Дано: a, β, γ

Найти: b, c, α

План решения:

1)      α = 180⁰-(γ +β)

2)      ;

3)     

СХЕМА РЕШЕНИЯ 2-го ТИПА ЗАДАЧ.

Дано: a, b, γ

Найти:  c, β, α

1)      Предложить учащимся по этой записи с помощью рисунка дать словесную формулировку задачи.

2)      Вместе с  учащимися наметить план решения задачи. Чтобы направить поиск решения задачи по нужному руслу, поставить следующие вопросы:

а) как найти длину третьей стороны треугольника? (с помощью теоремы косинусов);

б) можно ли, пользуясь только теоремой косинусов, найти остальные элементы (два угла треугольника)? (можно).

3)      Записать решение в общем виде:

 План решения:

4)   c² = a² + b² – 2ab·cos γ ;

5)      a² = c² + b² – 2bc·cos α

6)      b² = c² + a² – 2ac·cos β  (или β = 180⁰ – (α + γ))

СХЕМА РЕШЕНИЯ 3-го ТИПА ЗАДАЧ.

           

Дано: a, b, c

Найти:  α, β, γ

 План решения:

1)      a² = c² + b² – 2bc·cos α

2)      b² = c² + a² – 2ac·cos β  

3)      γ = 180⁰ – (α + β)

СХЕМА РЕШЕНИЯ 4-го ТИПА ЗАДАЧ

(повышенной  трудности)

           

Дано: a, b, α

Найти:  c, β, γ

 План решения:

1)     

2)      γ = 180⁰-(α+β)

3)     

Далее решение делится на 3 возможных случая:

1-й случай: b > a

а) если sin β < 1, то задача имеет два решения: существуют два угла  β₂ (острый и тупой, причем β₁ + β₂ = 180⁰), синусы которых равны, тогда

γ₁ = 180⁰ – α – β₁,

γ₂ = 180⁰ – α – β₂,

б) если sin β = 1, то β = 90⁰, решение единственное:

        γ = 90⁰ – α, c = b·cosα

в) если sin β > 1, то решения нет.

2-й случай: b < a

Решение единственное – угол β – острый, тогда

γ = 180⁰ – α – β,

3-й случай: b = a

а) при α < 90⁰, решение единственное: α = β,

γ = 180⁰ – 2α, ;

                   б) при α ≥ 90⁰ решения нет, т.к. углы при основании равнобедренного треугольника могут быть только острыми.

4.       Применение. Формирование умений и навыков.

        Выполнение упражнений

            № 1

            Даны сторона и два угла треугольника. Найдите третий угол и остальные две стороны треугольника, если:

1)      а = 5         β = 30⁰           γ = 45⁰

2)      а = 20       α = 75⁰           β = 60⁰

№ 2 Даны две стороны и угол между ними. Найдите остальные два угла и сторону треугольника, если:

1)      a = 12       b = 8               γ = 60⁰

2)      b = 14       c = 10             α = 145⁰

№ 3. Даны три стороны треугольника. Найдите его углы, если

1)      a = 2         b = 3               c = 4

2)      a = 7         b = 2               c = 8

5.      Этап информации о домашнем задании

Повторить схемы решения задач на решение треугольников, выполнить практикум

6.   Подведение итогов уроков

7.   Этап рефлексии.

1.  Сегодня я узнал…….

2.  Было интересно……

3.  Было трудно…….

4.  Я выполнял задание….

5.  Я понял что…….

6.  Теперь я могу…….

7.  Я почувствовал что…..

8.  Я приобрёл….

9.  Я научился…….

10. У меня получилось………