Реализация требований ФГОС ООО при обучении математике учащихся 7 класса теме «Системы линейных уравнений»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ МОСКОВСКОЙ ОБЛАСТИ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ МОСКОВСКОЙ ОБЛАСТИ

АКАДЕМИЯ СОЦИАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

Кафедра математических дисциплин

ИТОГОВАЯ ПРАКТИКО-ЗНАЧИМАЯ РАБОТА

Реализация требований ФГОС ООО при обучении математике учащихся

7 класса теме «Системы линейных уравнений». Учебник: Ю.Н.Макарычева, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешкова, С.Б.Суворова «Алгебра. 7 класс»

Выполнил: Группа 12

Котопуло Ариадна Станиславовна

слушатель учебного курса

«Актуальные проблемы развития

профессиональной компетентности

учителя математики (в условиях ФГОС)»,

учитель математики

Муниципального общеобразовательного учреждения «Средняя

общеобразовтельная школа № 25»

Г.о. Подольск Московской области

Руководитель учебного курса:

преподаватель кафедры

математических дисциплин АСОУ

Алексеева Елена Евгеньевна

Москва 2016

СОДЕРЖАНИЕ

Введение .……………………………………………………………………………....... 3

Теоретические и методические основы обучения теме «Системы линейных уравнений»

1. Логико-дидактический анализ темы ……………..……………………….…... 4

1.1. Целеполагание …………………….……..…………………………..….... 4

1.2. Логико-дидактический анализ материала темы ...................................... 7

1.3. Анализ задачного материала темы …………………………………….....9

2. Тематическое планирование темы ……………..………………………..….....10

3. Цели обучения теме ………................................................................................11

4. Карта темы ……………………..….....................................................................13

5. Рабочая программа темы ……………………………........................................15

Заключение …………………………………………………….…..................................21

Список литературы ……………………………………………………..........................22

Приложения …………………………………………..................................................... 23

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы «Системы линейных уравнений» заключается в том, что  материал данной темы  находит широкое применение при изучении других тем школьного курса математики, так же и других смежных дисциплин, помогают тем самым реализовать межпредметные связи. 

Изучение данной темы способствует развитию алгоритмической культуры, критичности мышления. В процессе обучения закрепляется, углубляется  и  повторяется  пройденный материал, решаются разнообразные практические задачи.

Цель проекта: реализация ФГОС ООО при изучении темы Системы линейных уравнений.

Для достижения поставленной цели необходимо решение задач:

1)                Выявить теоретические основы обучения теме, связанные с реализацией ФГОС ООО.

2)                Выполнить отбор средств обучения теме, в том числе средства ИКТ.

3)                Разработать таблицу целей и карту обучения теме.

4)                Составить учебную рабочую программу «Тематическое и почасовое пла-нирование образовательных результатов освоения математики (в соответствии с темой).

5)                Разработать методические рекомендации обучения теме и применить их в учебном процессе (фрагментов уроков, иллюстрирующих развитие и формирование УУД при обучении данной теме школьного курса математики).

Решение поставленных задач потребовало использования следующих методов исследования: анализ психолого-педагогической, математической и методической литературы по проблеме исследования, учебников и учебных пособий по математике, беседы с учителями, тестирование учащихся, проведение опытной проверки. 

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ И МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОБУЧЕНИЯ ТЕМЕ

«СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ»

1. Логико-дидактический анализ темы «Системы линейных уравнений»

1.1 ЦЕЛЕПОЛАГАНИЕ

Тема «Системы линейных уравнений» составляет важную часть школьного курса математики, что и определяет цели ее изучения: в процессе обучения  происходит ознакомление обучающихся с основами наук; развивается логическое мышление, формируются и закрепляются вычислительные навыки.

Основной учебной задачей при изучении темы «Системы линейных уравнений» является формирование понятий:

Ø линейное уравнение (Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида ax+by=c, где x и y – переменные, a, b и c – некоторые числа);

Ø решение уравнения (Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство);

Ø равносильные уравнения (Уравнения с двумя переменными, имеющие одни и те же решения, называют равносильными).

Ø свойства уравнений

(если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному;

если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному);

Ø график уравнения (графиком уравнения с двумя переменными называется множество всех точек координатной плоскости, координаты которых

Ø являются решениями этого уравнения; графиком линейного уравнения с двумя переменными, в котором хотя бы один из коэффициентов при переменных не равен нулю, является прямая);

Ø решение системы уравнений (решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство. Решить систему уравнений - значит найти все ее решения или доказать, что решений нет.);

Ø способ подстановки

(Алгоритм:

1. выражают из какого-нибудь уравнения системы одну переменную через другую;

2.     подставляют в другое уравнение системы вместо этой переменной полученное выражение;

3.     решают получившееся уравнение с одной переменной;

4.     находят соответствующее значение второй переменной);

Ø способ сложения

(Алгоритм:

1. умножают почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами;

2.     складывают почленно левые и правые части уравнений системы;

3.     решают получившееся уравнение с одной переменной;

4.     находят соответствующее значение второй переменной);

Ø решение задач с помощью систем уравнений

(Алгоритм:

1. обозначают некоторые неизвестные числа буквами и, используя условие задачи, составляют систему уравнений;

2.     решают систему;

3.     истолковывают результат в соответствии с условием задачи).

  Понятия вводятся с помощью определений и примеров.

  Материал данной темы  находит широкое применение при изучении других тем школьного курса математики, так же и других смежных дисциплин, помогают тем самым реализовать межпредметные связи. 

  Изучение данной темы способствует развитию алгоритмической культуры, критичности мышления. В процессе обучения закрепляется, углубляется и повторяется пройденный материал, решаются разнообразные практические задачи.

Планируемые результаты обучения теме

Ученик научится (1 уровень):

– Знать: определения понятия: «линейное уравнение с двумя переменными», «решение уравнения с двумя переменными», «график уравнения с двумя переменными», «решение системы уравнений с двумя переменными», «способ подстановки», «способ сложения».

– Уметь: решать уравнения с одной переменной, выполнять преобразование систем уравнений, решать системы уравнений способом подстановки и способом сложения, использовать решение систем уравнений для решения практических задач, строить график линейного уравнения с двумя переменными, решать систему уравнений с двумя переменными графическим способом, анализировать решение задач из учебника, обобщать их решении с помощью готового предписания, подводить решённые задачи под готовое предписание, перечислять новые преобразования и правила, используя учебник.

Ученик научится (2 уровень):

– Знать: составление схем определения понятия «решение уравнения с двумя переменными», «график уравнения с двумя переменными», «решение системы уравнений с двумя переменными», «способ подстановки», «способ сложения», «алгоритм решения задач с помощью систем уравнений» сравнивая набор объектов, сверяясь с учебником.

– Уметь: выполнять анализ и  обобщать решение задач одного типа и составлять предписание, используя карточку-информатор, работая в группе, оказывать помощь, рецензировать ответы товарищей,  организовывать взаимоконтроль, взаимопроверку на всех этапах выполнения заданий предыдущего уровня с обоснованием, оказывать помощь, работающим на предыдущих уровнях, составлять контрольную работу в соответствии со своим уровнем освоения темы, предлагать её решить и проверять решение, осуществлять поиск информации для подготовки письменного сообщения и устного выступления в соответствии с изучаемой темой.

Ученик получит возможность научиться (3 уровень):

– Знать: связь данного понятия с ранее изученными, применение правила решения уравнений и алгоритмы решения систем уравнений, обоснование и доказательство верности выбранного способа решения систем уравнений.

– Уметь: исследовать заданные объекты и самостоятельно составлять схему определения понятия«решение уравнения с двумя переменными», «график уравнения с двумя переменными», «решение системы уравнений с двумя переменными», «способ подстановки», «способ сложения», «алгоритм решения задач с помощью систем уравнений», обобщать решение задач одного типа и составлять предписания для решения практических задач, использовать приём саморегуляции для выполнения заданий повышенного уровня сложности, составлять задания по теме.

1.2. ЛОГИКО-ДИДАКТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МАТЕРИАЛА ТЕМЫ

«РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ»

При проведении логико-дидактического анализа выделены особенности структурного построения и методического изложения материала учебника, определено представление задачного материала. На основании данного анализа сделаны выводы.

Результаты логико-дидактического анализа учебного материала представлены в таблице 1.

Таблица 1

Результаты логико-дидактического анализа учебного материала

темы «Системы линейных уравнений»

Учебник/ Компоненты анализа учебника	Алгебра. 7 класс. Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова
Общая структура
характеристика частей	Материал в учебнике по данной теме представлен в шестой главе в §15 и §16 , каждый в свою очередь состоит из 3 пунктов. Итого, содержание темы представлено в шести пунктах.
структура наименьшей части	Каждый пункт содержит теоретическую часть, примеры, задания для решения и задания на повторение.
Представление задачного материала
классификация	задачный материал разбит на следующие основные блоки:    1) по способу задания    2) по характеру требований    3) по сложности (I, II, III уровни)    4) по способу решения    5) по дидактической цели
представление текста задачи	задачи представлены математическим текстом
Другие структурные особенности
структурные особенности	При изложении материала используются определения, алгоритмы действий при решении, приведены примеры выполнения заданий.
Методические особенности
характер изложения	Теоретический материал рассматривается сначала менее сложный, как примеры, а потом усложняется.
использование цвета, особых выделений главного	Материал для обязательного запоминания выделен цветом и обведён в рамку.
наглядность	При построении графиков.
повторение	В конце каждого пункта есть упражнения для повторения.
Выводы
достоинства	Выделены примеры для обязательного решения.
недостатки	Дополнительные упражнения  рассчитаны на сильных учеников.

 Анализ дидактической единицы темы

С точки зрения логики:

– в теме представлены понятия: линейного уравнения; решения уравнения; равносильных уравнений; свойств уравнений; графика уравнения; решения системы уравнений, решения системы уравнений способом подстановки; решения системы уравнений способом сложения; решения задач с помощью систем уравнений – алгоритмов в теме 3:

1. Алгоритм способа подстановки:

1. выразить из какого-нибудь уравнения системы одну переменную через другую;

2. подставить в другое уравнение системы вместо этой переменной полу- ченное выражение;

3. решить получившееся уравнение с одной переменной;

4. найти соответствующее значение второй переменной);

2. Алгоритм способа сложения:

1. умножить почленно уравнения системы, подобрав множители так, что- бы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами;        

2. сложить почленно левые и правые части уравнений системы;

3. решить получившееся уравнение с одной переменной;

4. найти соответствующее значение второй переменной);

3. Алгоритм решение задач с помощью систем уравнений:

1. обозначить некоторые неизвестные числа буквами и, используя условие задачи, составить систему уравнений;

 2. решить систему;

 3. истолковать результат (в соответствии с условием задачи).

1.3. Анализ задачного материала темы

При проведении анализа задачного материала темы определён вид задач и их дидактическая цель. Задачный материал классифицирован по способу задания, характеру требования, способу решения. Результаты анализа представлены в таблице 2.

Таблица 2

Результаты анализа задачного материала темы

Вид задач	По способу задания	По характеру требования	По способу решения	По дидактической цели
№№ 1025-1036	Задачи представлены математическим текстом.	Распознать линейное уравнение. Найти решение линейного уравнения.	Арифметический. № 1030-1034 – на применение свойств уравнений. № 1036 - задание с параметром.	Отработка понятий: линейное уравнение, решение линейного уравнения, свойства уравнений.
№ № 1037-1042	Текстовые задачи.	Решить практическую задачу.	Решение текстовых задач с помощью уравнений.	Отработка решения задач с помощью уравнения с двумя переменными в натуральных числах.
№№ 1045-1047	Задачи представлены математическим текстом.	Определить принадлежность данной точки графику уравнения	Арифметический.	Отработка понятия график линейного уравнения.
№№ 1048.	Задачи представлены математическим текстом.	Построить график уравнения	На построение графика уравнения.	Отработка навыка построения графика уравнения
№№ 1051-1053.	Задачи представлены математическим текстом.	Найти координату точки по заданной второй координате	Алгебраический.	Отработка навыка нахождения координаты точки по заданной координате
№№ 1056-1059 1062-1064	Задачи представлены математическим текстом.	Проверить, является ли пара чисел решением системы уравнений. Выяснить, сколько решений имеет система уравнений.	Алгебраический	Отработка понятия решение системы уравнений
№№ 1060--1061	Задачи представлены математическим текстом.	Решить систему уравнений	Графический	Отработка графического способа решения систем уравнений.
№№ 1068-1078.	Задачи представлены математическим текстом.	Решить систему уравнений.	Алгебраический.	Отработка способа подстановки.
№№ 1082-1096.	Задачи представлены математическим текстом.	Решить систему уравнений.	Алгебраический.	Отработка способа сложения.
№№ 1099-1122	Текстовые задачи.	Решить задачу	Алгебраический	Отработка способов решения систем уравнений при решении текстовых задач

В результате выполнения анализа задач была проведена их классификация по уровню сложности и виду, на основании которой составлена таблица 3.

Таблица 3

Классификация задач по теме «Решение систем линейных уравнений»

Вид /сложность задачи	I уровень сложности	II уровень сложности	III уровень сложности
Задачи представленне математическим текстом	№ 1025-1028, 1045, 1046, 1056-1058, 1068-1072, 1082-1085	№ 1029-1034, 1051, 1052, 1053, 1059, 1073-1076, 1086, 1092-1096	№ 1035, 1036, 1062-1064, 1077, 1078, 1087-1091
Задачи на построение	№ 1048	№ 1047, 1049, 1060, 1061	№ 1050
Текстовые задачи	№ 1099-1102	№ 1037-1040, 1103-1114	№ 1041, 1042, 1116-1122, 1104, 1105, 1115

2. Тематическое планирование темы

Тематическое планирование темы «Системы линейных уравнений» составлено на основе примерной Программы основного общего образования по математике, Программы по алгебре Н.Г. Миндюк (М.: Просвещение, 2012) к учебнику Ю.Н. Макарычева, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешкова и др. (М.: Просвещение, 2013). При планировании на изучение темы отводится 3 часов в неделю, дана характеристика основных видов деятельности учащихся (таблица 4).

Таблица 4

Тематическое планирование темы «Системы линейных уравнений»,  

3 часа в неделю

№ параграфа/ пункт	Содержание материала	Кол–во часов	Характеристика основных видов деятельности ученика (на уровне учебных действий)
ГЛАВА VI. Системы линейных уравнений.		13	Познакомиться с понятием линейное уравнение с двумя переменными, решением уравнения ax+by=c. Научиться находить точку пересечения графиков линейных уравнений без построения, выражать в линейном уравнении одну переменную через другую. Строить график уравнения ax+by=c. Освоить алгоритм построения на координатной плоскости точки и фигуры по заданным координатам; научиться определять координаты точек; определять, является ли пара чисел решением данного уравнения. Освоить основные понятия о решении систем двух линейных уравнений. Научиться правильно употреблять термины: уравнение с двумя переменными, система; понимать их в тексте; понимать формулировку задачи решить систему уравнений с двумя переменными; строить графики некоторых уравнений; решать системы уравнений; использовать функционально-графические представления для решения и исследования систем уравнений. Научиться решать системы уравнений способом подстановки и способом сложения. Научиться конструировать эквивалентные речевые высказывания с использованием алгебраического и геометрического языков. Освоить математическую модель при решении алгебраических задач с помощью систем линейных уравнений с двумя переменными. Научиться решать текстовые задачи на составление систем уравнений с двумя переменными. Научиться применять приобретённые знания, умения, навыки на практике.
§ 15	Линейные уравнения с двумя переменными и их системы	5
40	Линейное уравнение с двумя переменными	1
41	График линейного уравнения с двумя переменными	2
42	Системы линейных уравнений с двумя переменными	2
§ 16	Решение систем линейных уравнений	8
43	Способ подстановки	2
44	Способ сложения	2
45	Решение задач с помощью систем уравнений	3
	Контрольная работа № 9: «Решение систем линейных уравнений»	1

3.     Цели обучения теме

Взаимосвязь целей и УУД (таблица 5)

Таблица 5

Обозначение цели	Цели обучения математике на уровне учебной темы	УУД
Ц 1	Приобретение  и преобразование учебной информации, фор- мирование познавательной учебной деятельности	Используются регулятивные и познавательные УУД при постановке этой цели
Ц 2	Контроль усвоения теории	Логические  познавательные, коммуникативные УУД при постановке этой цели
Ц 3	Применение знаний и умений	Познавательные и коммуникативные УУД при постановке этой цели
Ц 4	формирование коммуникативных организационных умений через: включение в групповую работу; взаимопомощь, рецензирование ответов; организацию взаимоконтроля и взаимопроверки на всех этапах УПД	используются и формируются познавательные, коммуникативные, регулятивные УУД…..
Ц 5	формирование организационных умений (целеполагание, планирование, реализация плана, саморегуляция УПД)	формируются и используются регулятивные и познавательные общеучебные УУД……

Таблица целей обучения теме «Системы линейных уравнений» (таблица 6)

Таблица 6

Формулировки обобщённых целей	Формулировки учебных задач, с помощью которых достигается обобщённая цель			Средства помощи
	Цель считается достигнутой, если ученик:
	на 1 уровне	на 2 уровне	на 3 уровне
Ц 1: Приобре-тение и преобра-зование УИ, формиро-вание ПУД	а) анализирует УИ и составляет схему определения понятия: «линейное уравнение с двумя переменными», «решение уравнения с двумя переменными», «график уравнения с двумя переменными», «решение системы уравнений с двумя переменными», «способ подстановки», «способ сложения»; б) анализирует решение задач из учебника, обобщает их решении с помощью готового предписания; в) подводит решённые задачи под готовое предписание; г) перечисляет новые преобразования и правила, используя учебник.	а) составляет схему определения понятия «решение уравнения с двумя переменными», «график уравнения с двумя переменными», «решение системы уравнений с двумя переменными», «способ подстановки», «способ сложения», «алгоритм решения задач с помощью систем уравнений» сравнивая набор объектов, сверяясь с учебником; б) выполняет анализ и  обобщает решение задач одного типа и составляет предписание, используя карточку-информатор.	а) исследует заданные объекты и самостоятельно составляет схему определения понятия«решение уравнения с двумя переменными», «график уравнения с двумя переменными», «решение системы уравнений с двумя переменными», «способ подстановки», «способ сложения», «алгоритм решения задач с помощью систем уравнений» б) обобщает решение задач одного типа и составляет предписания для решения практических задач.	а) схема определения понятия; б) предписания для решения текстовых задач; в) общие приёмы поиска  алгоритма решения систем уравнений.
Ц 2: контроль усвоения теории	а) формулирует определения понятия: «линейное уравнение с двумя переменными», «решение уравнения с двумя переменными», «график уравнения с двумя переменными», «решение системы уравнений с двумя переменными», «способ подстановки», «способ сложения» б) выполняет преобразование систем уравнений, используя УИ, предписание, карточку-информатор.	а) проговаривает предписания для решения практических задач и решает задачи, используя их; б) рассказывает краткие сведения из истории темы; в) приводит примеры линейных уравнений с двумя переменными.	а) устанавливает связи данного понятия с ранее изученными; б) применяет правила решения уравнений и алгоритмы решения систем уравнений; в) обосновывает и доказывает верность выбранного способа решения систем уравнений.	Приём саморегуляции; таблицы с предписаниями; карточки-информаторы
Ц 3: Применение знаний и умений	умеет а )решать уравнения с одной переменной; б) решать системы уравнений способом подстановки и способом сложения; в) использовать решение систем уравнений для решения практических задач; г) строить график линейного уравнения с двумя переменными; д) решать систему уравнений с двумя переменными графическим способом.		умеет а) использовать приём саморегуляции для выполнения заданий повышенного уровня сложности; б) составлять задания по теме.	Приём саморегуляции; таблицы с предписаниями; карточки-информаторы
Ц 4: формирование КУД	На своём уровне освоения темы: а) работая в группе, оказывает помощь, рецензирует ответы товарищей,  организует взаимоконтроль, взаимопроверку на всех этапах УПД по выполненным заданиям предыдущих уровней с обоснованием; б) оказывает помощь, работающим на предыдущих уровнях; в) составляет контрольную работу в соответствии со своим уровнем освоения темы, предлагает её решить и проверяет решение; г) осуществляет поиск информации для подготовки письменного сообщения и устного выступления в соответствии с изучаемой темой.			Приёмы контроля, оценки; таблица коммуникативной компетентности
Ц 5: формирование общих ПУД и РУД	В соответствии со своим уровне освоения темы а) сам выбирает уровень освоения темы; б) выбирает темы для дополнительного изучения; в) формулирует цели своей учебной деятельности; г) осуществляет самопроверку с использованием образцов, алгоритмов, приёмов; д) оценивает сою УПД по данным объективным критериям; по собственным критериям, сравнивая их с объективными критериями; е) делает выводы по итогам предыдущей УПД о дальнейших действиях, направленных на коррекцию УПД.			Приёмы постановки целей и саморегуляции УПД

УИ – учебная информация; ПУД – познавательные; КУД – коммуникативные; РУД – регулятиные учебные действия.

4. Карта темы

Карта изучения темы «Системы линейных уравнений»

I.                   Логическая структура и цели изучения темы на уровне урока

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

Ц 1-5

Ц 1,2,4

Ц 2-4

Ц 1,3,4

Ц 2-4

Ц 1,5

Ц 2-5

Ц 1,4

Ц 2-4

Ц 1,4,5

Ц 2-4

Ц 2-5

Ц 2,3,5

П. 40

П. 41

П. 41 с/р

П. 42

П. 42 с/р

П. 43

П. 43 с/р

П. 44

П. 44 с/р

П. 45

П. 45

П. 45 с/р

контрольная работа

II.                Блок актуализации знаний учащихся

Знают: преобразования первой и второй групп, определения: линейных уравнений с одной переменными, решения уравнения, правила решения линейных уравнений с одной переменной, графика линейной функции, приём решения текстовых задач. Умеют: решать линейные уравнения, строить график линейного уравнения.

III.             Предметные результаты

Выпускник научится (1 уровень) Знать:  определения понятия: «линейное уравнение с двумя переменными», «решение уравнения с двумя переменными», «график уравнения с двумя переменными», «решение системы уравнений с двумя переменными», «способ подстановки», «способ сложения». Уметь:  решать уравнения с одной переменной, выполнять преобразование систем уравнений, решать системы уравнений способом подстановки и способом сложения, использовать решение систем уравнений для решения практических задач, строить график линейного уравнения с двумя переменными, решать систему уравнений с двумя переменными графическим способом, анализировать решение задач из учебника, обобщать их решении с помощью готового предписания, подводить решённые задачи под готовое предписание, перечислять новые преобразования и правила, используя учебник. Выпускник научится (2 уровень) Знать: составление схем определения понятия «решение уравнения с двумя переменными», «график уравнения с двумя переменными», «решение системы уравнений с двумя переменными», «способ подстановки», «способ сложения», «алгоритм решения задач с помощью систем уравнений» сравнивая набор объектов, сверяясь с учебником. Уметь: выполнять анализ и  обобщать решение задач одного типа и составлять предписание, используя карточку-информатор, работая в группе, оказывать помощь, рецензировать ответы товарищей,  организовывать взаимоконтроль, взаимопроверку на всех этапах выполнения заданий предыдущего уровня с обоснованием, оказывать помощь, работающим на предыдущих уровнях, составлять контрольную работу в соответствии со своим уровнем освоения темы, предлагать её решить и проверять решение, осуществлять поиск информации для подготовки письменного сообщения и устного выступления в соответствии с изучаемой темой. Выпускник получит возможность научиться (3 уровень) Знать: связь данного понятия с ранее изученными, применение правила решения уравнений и алгоритмы решения систем уравнений, обоснование и доказательство верности выбранного способа решения систем уравнений. Уметь: исследовать заданные объекты и самостоятельно составлять схему определения понятия«решение уравнения с двумя переменными», «график уравнения с двумя переменными», «решение системы уравнений с двумя переменными», «способ подстановки», «способ сложения», «алгоритм решения задач с помощью систем уравнений», обобщать решение задач одного типа и составлять предписания для решения практических задач, использовать приём саморегуляции для выполнения заданий повышенного уровня сложности, составлять задания по теме.

IV. Образцы заданий итоговой контрольной работы

I уровень

Баллы

II уровень

Баллы

III уровень

Баллы

1. Решить системы ур-ний:   2. На 1 плащ и 3 куртки пошло 9 м ткани, а на 2 плаща и 5 курток – 16 м. Сколько ткани требуется на пошив плаща и сколько – на пошив куртки? 3. Прямая у = kx + b проходит через точки А и В. Найдите k  и  b  и запишите уравнение этой прямой, если А(0; 2), В(3; -1). 4. Найдите значения a и b, при которых решением системы уравнений является пара x = 1, y = 1:

1 1 1 1

1. Решить системы уравнений:   2. 2 гири и 3 гантели весят 47 кг, а 3 гири тяжелее 6 гантелей на 18 кг. Сколько весит гиря и сколько - гантель? 3. График линейной функции проходит через точки А и В. Задайте эту функцию формулой, если А(-5; 32), В(3; -8). 4. Разность квадратов двух натуральных чисел равна 25, а сумма этих чисел тоже равна 25. Найдите эти числа.

1 1 1 2

1. Решить системы уравнений:   2. Катер за 3 ч по течению и 5 ч против течения проходит 76 км. Найдите скорость течения и собственную скорость катера, если за 6 ч по течению катер проходит столько же, сколько за 9 ч против течения. 3. График линейной функции проходит через точки А и В. Задайте эту функцию формулой, если А(4; 2), В(-4; 0). 4. Решите уравнение:

1 1 1 2

V. Средства обучения

1)      учебник; 2)      схема определения понятия; 3)      приём решения систем: способом подстановки; способом сложения; графическим способом; 4)      приёмы саморегуляции при выполнении преобразований и решения уравнений и систем линейных уравнений; предписания для решения текстовых задач.

VI. Задания для внеаудиторной самостоятельной работы

I уровень

№  1028,1048,1060, 1061, 1070, 1083, 1099, 1101

II уровень

№  1033,1050,1063, 1073, 1087, 1107, 1109, 1112, 1114

III уровень

№ 1036,1052,1078, 1095, 1115, 1116, 1118,  № (со звёздочкой) 1042,1119, 1120, 1121, 1122

VII. Темы индивидуальных заданий

1)      Системы Диофанта. 2)      Решение систем линейных уравнений с модулем. 3)      Самостоятельно выбранная тема.

VIII. Метапредметные результаты: перечень учебных действий (умений) для освоения темы

Познавательные УУД

Регулятивные УУД

Коммуникативные УУД

Сравнение, обобщение, конкретизация, анализ; составление схемы определения понятия, подведение под понятие; постановка и решение  проблемы при составлении задачи.

Выбор и принятие целей, составление плана, самоконтроль, самооценка, соотнесение своих знаний с той учебной информацией, которую нужно усвоить; приёмы саморегуляции.

Взаимоконтроль, взаимопроверка, распределение обязанностей в группе, умение слушать, выступать, рецензировать, писать текст выступлений.

5. Рабочая программа темы

Фрагмент рабочей программа темы ««Системы линейных уравнений»

№ урока	Тема урока	Тип урока	Содержание		Планируемые предметные результаты		Цель урока
ГЛАВА VI. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ, 13 часов
1– 13	Тип урока: 1) «открытия» нового знания; 2) рефлексии;					3) построения системы знаний; 4) развивающего контроля.
	Форма работы: фронтальная, индивидуальная, групповая
	Средства обучения: 1)      учебник; 2)      подсказки к поиску решения задач; 3)      презентация по теме;			4)      карточки-задания; 5)      общая схема определения понятия; 6)      предписания.
	Цели обучения: Ц 1: приобретение УИ, формирование логических ПУД; Ц 2: контроль усвоения теории; формирование; Ц 3: применение знаний и умений; Ц 4: формирование коммуникативных организационных умений через: включение в групповую работу; взаимопомощь, рецензирование ответов; организацию взаимоконтроля и взаимопроверки на всех этапах УПД; Ц 5: формирование организационных умений (целеполагание, планирование, реализация плана, саморегуляция УПД)
1	Линейное уравнение с двумя переменными	Комбинированный урок: открытия «нового» знания и рефлексии	п.40. Определение линейного уравнения с двумя переменными и его решения. Равносильные уравнения с двумя переменными и их свойства		Знают: определения линейного уравнения с двумя переменными и их решения.		Ц 1: анализирует УП  и составляет схему определения понятия: «линейного уравнения с двумя переменными», алгоритм решения линейного уравнения с двумя переменными. Ц 4: работая в группе, оказывает помощь, рецензирует ответы товарищей,  организует взаимоконтроль, взаимо- проверку на всех этапах УПД по выполненным заданиям предыдущих уровней с обоснованием; оказывает помощь, работающим на предыдущих уровнях. Ц 5: введение в тему, постановка и  формулирование целей своей учебной деятельности.
2	График линейного уравнения с двумя переменными	Урок открытия «нового» знания	п.41. График уравнения с двумя переменными		Знают: определение графика уравнения и графика линейного уравнения с двумя переменными.		Ц 1: : анализирует УИ и составляет схему определения понятия: «график линейного уравнения», «алгоритм построения графика линейного уравнения». Ц 5: введение в тему, постановка и  формулирование целей своей учебной деятельности.
3	График линейного уравнения с двумя переменными	Урок построения системы знаний и рефлексии	п.41. График уравнения с двумя переменными		Знают: определение графика уравнения и графика линейного уравнения с двумя переменными. Умеют: строить графики ли- нейного уравнения с двумя переменными		Ц 2: контроль правильности применения схемы определения понятий: «график линейного уравнения», «алгоритм построения графика линейного уравне- ния». Ц 4: работая в группе, оказывает помощь, рецензирует ответы товарищей,  организует взаимоконтроль, взаимопроверку на всех этапах УПД по вы- полненным заданиям предыдущих уровней с обоснованием; оказывает помощь, работающим на предыдущих уровнях.
4	Системы линейных уравнений с двумя переменными	Урок открытия «нового» знания	п.42. Понятие системы линейных уравнений с двумя переменными и ее решения		Умеют находить решение системы с двумя переменными		Ц 1: анализирует УИ и составляет схему определения понятия: «алгоритм нахождения решения системы линейных уравнений с двумя переменными». Ц 5: введение в тему, постановка и  формулирование целей своей учебной деятельности.
5	Системы линейных уравнений с двумя переменными	Урок построения системы знаний и  развивающего контроля, рефлексии	п.42. Понятие системы линейных уравнений с двумя переменными и ее решения. Графический способ решения системы уравнений с двумя пере- менными		Умеют: графически решать системы линейных уравнений и выяснять; сколько решений имеет система уравнений		Ц 2: контроль правильности применения схемы определения понятия: «ал- горитм построения графика линейного уравнения», «алгоритм нахождения решения системы линейных уравнений с двумя переменными».  Ц 3:  применение знаний и интеллектуальных умений при решении заданий повышенной трудности. Ц 4: работая в группе, оказывает помощь, рецензирует ответы товарищей,  организует взаимоконтроль, взаимопроверку на всех этапах УПД по вы- полненным заданиям предыдущих уровней с обоснованием; оказывает помощь, работающим на предыдущих уровнях. Ц 5: саморегуляция УПД
6	Способ подстановки	Урок открытия «нового» знания	п.43. Способ подстановки. Равносильные системы. Алгоритм решения систем способом подстановки		Знают: алгоритм решения системы уравнений способом подстановки		Ц 1: анализирует УИ и составляет схему определения понятия: «способ подстановки», «равносильные системы уравнений», «алгоритм решения системы уравнений способом подстановки». Ц 5: введение в тему, постановка и  формулирование целей своей учебной деятельности.
7	Способ подстановки	Урок построения системы знаний и  развивающего контроля, рефлексии	п.43. Метод подстановки, система двух уравнений с двумя переменными, алго- ритм решения системы двух уравнений с двумя переменными методом подстановки		Знают: алгоритм решения системы линейных уравнений методом подстановки.  Умеют: решать системы двух линейных уравнений методом подстановки по алгоритму, решать системы двух линейных уравнений методом подстановки, выбрать и выполнить задание по своим силам и знаниям.		Ц 2: контроль правильности применения схемы определения понятия: «алгоритм решения системы уравнений способом подстановки». Ц 3:  применение знаний и интеллектуальных умений при решении заданий повышенной трудности. Ц 4: работая в группе, оказывает помощь, рецензирует ответы товарищей,  организует взаимоконтроль, взаимопроверку на всех этапах УПД по вы- полненным заданиям предыдущих уровней с обоснованием; оказывает помощь, работающим на предыдущих уровнях. Ц 5: саморегуляция УПД.
8	Способ сложения	Комбинированный урок: открытия «нового» знания и рефлексии	п.44. Система двух уравнений с двумя пере- менными, метод алгебраического сложения.		Знают: алгоритм решения системы линейных уравнений методом алгебраического сложения		Ц 1: анализирует УИ и составляет схему определения понятия: «способ сложения», «алгоритм решения системы уравнений способом сложения». Ц 4: работая в группе, оказывает помощь, рецензирует ответы товарищей,  организует взаимоконтроль, взаимопроверку на всех этапах УПД по вы- полненным заданиям предыдущих уровней с обоснованием; оказывает помощь, работающим на предыдущих уровнях.
9	Способ сложения	Урок построения системы знаний и  развивающего контроля	п.44. Система двух уравнений с двумя переменными, метод алгебраического сложения.		Знают: алгоритм решения системы линейных уравнений методом алгебраического сложения.  Умеют: решать системы двух линейных уравнений методом алгебраического сложения.		Ц 2: контроль правильности применения схемы определения понятия: «алгоритм решения системы уравнений способом сложения». Ц 3:  применение знаний и интеллектуальных умений при решении заданий повышенной трудности. Ц 4: работая в группе, оказывает помощь, рецензирует ответы товарищей,  организует взаимоконтроль, взаимопроверку на всех этапах УПД по вы- полненным заданиям предыдущих уровней с обоснованием; оказывает помощь, работающим на предыдущих уровнях.
10	Решение задач с помощью систем уравнений	Комбинированный урок: открытия «нового» знания и системы знаний,  развивающего контроля,  рефлексии	п.45. Алгоритм решения задач с помощью систем уравнений		Знают: алгоритм решения системы линейных уравнений методом алгебраического сложения.  Умеют: решать системы двух линейных уравнений методом алгебраического сложения		Ц1: анализирует УИ и составляет схему определения понятия: «алгоритм решения задач с помощью систем уравнений». Ц 4: работая в группе, оказывает помощь, рецензирует ответы товарищей, организует взаимоконтроль, взаимопроверку на всех этапах УПД по вы- полненным заданиям предыдущих уровней с обоснованием; оказывает помощь, работающим на предыдущих уровнях. Ц 5: саморегуляция УПД.
11	Решение задач с помощью систем уравнений	Комбинированный урок: системы знаний, развивающего контроля и рефлексии	п.45. Алгоритм решения задач с помощью систем уравнений		Знают: алгоритм решения задач с помощью систем уравнений. Умеют: решать системы линейных уравнений, выбирая наиболее рациональный путь, решать текстовые задачи повышенного уровня сложности.		Ц 2: контроль правильности применения схемы определения понятия: «алгоритм решения задач с помощью систем уравнений».  Ц 3:  применение знаний и интеллектуальных умений при решении задач повышенной трудности.  Ц 4: работая в группе, оказывает помощь, рецензирует ответы товарищей,  организует взаимоконтроль, взаимо- проверку на всех этапах УПД по вы- полненным заданиям предыдущих уровней с обоснованием; оказывает помощь, работающим на предыдущих уровнях. Ц 5: саморегуляция УПД
12	Решение задач с помощью систем уравнений	Урок развивающего контроля и рефлексии	п.45. Алгоритм решения задач с помощью систем уравнений		Знают: алгоритм решения задач с помощью систем уравнений. Умеют: решать системы линейных уравнений,  решать текстовые задачи с помощью систем линейных уравнений.		Ц 2: контроль правильности применения схемы определения понятия: «алгоритм решения задач с помощью систем уравнений». Ц 3:  применение знаний и интеллектуальных умений при решении задач повышенной трудности. Ц 4: работая в группе, оказывает помощь, рецензирует ответы товарищей,  организует взаимоконтроль, взаимопроверку на всех этапах УПД по вы- полненным заданиям предыдущих уровней с обоснованием; оказывает помощь, работающим на предыдущих уровнях. Ц 5: саморегуляция УПД.
13	Контрольная работа	Урок развивающего контроля и рефлексии	П.40-45. Системы ли- нейных уравнений		Умеют: решать системы линейных уравнений способом подстановки и способом сложения, решать задачи.		Ц 2, 3, 5: выбирает задачи своего уровня сложности, решает их, осуществляет самопроверку; делает выводы о качестве собственных знаний, необходимых для выполнения контрольной работы.
Внеурочная самостоятельная деятельность
Темы рефератов, докладов, проектов:
1)      Системы Диофанта. 2)      Решение систем линейных уравнений с модулем.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Реализация требований ФГОС ООО при изучении темы «Системы линейных уравнений» является целью данного проекта.

Для её  достижения были решены следующие задачи:

- выявлены  теоретические основы обучения теме, связанные с реализацией ФГОС ООО;

- выполнен отбор средств обучения теме, в том числе средства ИКТ;

- разработана таблица целей и карта обучения теме;

- составлена рабочая программа «Тематическое и почасовое планирование образовательных результатов освоения математики.

В соответствии с темой  «Системы линейных уравнений»

- разработаны методические рекомендации обучения теме «Системы линейных уравнений»

Решение поставленных задач потребовало использования следующих    методов исследования: анализ психолого-педагогической, математической и методической литературы по проблеме исследования, учебников и учебных пособий по математике; беседы с учителями, тестирование учащихся, проведение опытной проверки. 

ЛИТЕРАТУРА

1. Федеральный государственный образовательный стандарт общего основного образования / М-во образования и науки Рос. Федерации. – М.: Просвещение, 2011. – 48 с

2. Асмолов А.Г. Формирование универсальных учебных действий в основной школе: от действия к мысли. Система заданий: пособие для учителя/под ред. А.Г. Асмолова. – М.: Просвещение, 2010. – 159 с.

3. Данилюк А.Я., Кондаков А.М., Тишков В.А.. Концепция духовно- нравственного развития и воспитания личности гражданина России. – М.: Просвещение, 2009. – 24 с. 

4. Примерные программы по математике. – М.: Просвещение, 2010. – 67 с.

5. Фундаментальное ядро содержания общего образования (проект). Москва, 2009.

6. Примерная основная образовательная программа образовательного учре- ждения. Основная школа. Москва, «Просвещение», 2011.

7. Методика формирования универсальных учебных действий при обучении геометрии. Л.И. Боженкова. Москва. БИНОМ. Лаборатория знаний,2013.

8. Алгебра в схемах и таблицах. Л И. Боженкова. Москва, 2013.

9. Алгебра. 7 класс. Изд. 18-е / Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И.,  Суворова С.Б. – М.: Издательство «Просвещение», 2009 г.

10. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и геометрии для  7 класса. Ершова А.П., Голобородько В.В. - М.: Издательство «ИЛЕКСА»,  2012 г.

11. Дидактические материалы по алгебре для 7 класса. Звавич Л.И., Кузнецова  Л.В., Суворова С.Б. – М.: Издательство «Просвещение», 1998 г.

12. Алгебра. Рабочая тетрадь для 7 класса общеобразовательных учреждений. Миндюк М.Б., Миндюк Н.Г. М.: Издательство «ГЕНЖЕР», 1997 г.

13. Тестовые материалы для оценки качества обучения. Математика 7 класс, И.Л.Гусева, С.А.Пушкин, Н.В.Рыбакова, - Москва: «Интеллект – Центр», 2013г.

ПРИЛОЖЕНИЯ

Материалы по истории математики 

Тема индивидуальных заданий: «Системы Диофанта».

Диофант Александрийский

Диофа́нт Александри́йский (др.-греч. Διόφαντος ὁ Ἀλεξανδρεύς; лат. Diophantus) — древнегреческий математик, живший предположительно в III веке н. э.

Биография

Латинский перевод Арифметики (1621)

О подробностях его жизни практически ничего не известно. С одной стороны, Диофант цитирует Гипсикла (II век до н. э.); с другой стороны, о Диофанте пишет Теон Александрийский (около 350 года н. э.), — откуда можно сделать вывод, что его жизнь протекала в границах этого периода. Возможное уточнение времени жизни Диофанта основано на том, что его Арифметика посвящена «достопочтеннейшему Дионисию». Полагают, что этот Дионисий — не кто иной, как епископ Дионисий Александрийский, живший в середине III в. н. э.

В Палатинской антологии содержится эпиграмма-задача, из которой можно сделать вывод, что Диофант прожил 84 года:

Прах Диофанта гробница покоит; дивись ей и камень
Мудрым искусством его скажет усопшего век.
Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком.
И половину шестой встретил с пушком на щеках.
Только минула седьмая, с подругой он обручился.
С нею, пять лет проведя, сына дождался мудрец;
Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил.
Отнят он был у отца ранней могилой своей.
Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе,
Тут и увидел предел жизни печальной своей.

(Пер. С. Н. Боброва)

В честь Диофанта назван кратер на Луне.

Арифметика Диофанта

Основное произведение Диофанта — Арифметика в 13 книгах. К сожалению, сохранились только 6 первых книг из 13.

Лист из Арифметики (рукопись XIV века). В верхней строке записано уравнение: .

Первая книга предварена обширным введением, в котором описаны используемые Диофантом обозначения. Неизвестную Диофант называет «числом» (ἀριθμός) и обозначает буквой ς, квадрат неизвестной — символом (сокращение от δύναμις — «степень»). Предусмотрены специальные знаки для следующих степеней неизвестного, вплоть до шестой, называемой кубо-кубом, и для противоположных им степеней. Знака сложения у Диофанта нет: он просто пишет рядом положительные члены, причём в каждом члене сначала записывается степень неизвестного, а затем численный коэффициент. Вычитаемые члены также записываются рядом, а перед всей их группой ставится специальный знак в виде перевёрнутой буквы Ψ. Знак равенства обозначается двумя буквами ἴσ (сокращение от ἴσος — «равный»). Сформулированы правило приведения подобных членов и правило прибавления или вычитания к обеим частям уравнения одного и того же числа или выражения: то, что потом у ал-Хорезми стало называться «алгеброй и алмукабалой». Введено правило знаков: минус на минус даёт плюс; это правило используется при перемножении двух выражений с вычитаемыми членами. Всё это формулируется в общем виде, без отсылки к геометрическим истолкованиям.

Бо́льшая часть труда — это сборник задач с решениями (в сохранившихся шести книгах их всего 189), умело подобранных для иллюстрации общих методов. Главная проблематика Арифметики — нахождение положительных рациональных решений неопределённых уравнений. Рациональные числа трактуются Диофантом так же, как и натуральные, что не типично для античных математиков.

Сначала Диофант исследует системы уравнений 2-го порядка от 2 неизвестных; он указывает метод нахождения других решений, если одно уже известно. Затем аналогичные методы он применяет к уравнениям высших степеней.

В X веке Арифметика была переведена на арабский язык, после чего математики стран ислама (Абу Камил и др.) продолжили некоторые исследования Диофанта. В Европе интерес к Арифметике возрос после того, как Рафаэль Бомбелли обнаружил это сочинение в Ватиканской библиотеке и опубликовал 143 задачи из него в своей Алгебре (1572). В 1621 году появился классический, подробно прокомментированный латинский перевод Арифметики, выполненный Баше де Мезириаком. Методы Диофанта оказали огромное влияние на Франсуа Виета и Пьера Ферма; впрочем, в Новое время неопределённые уравнения обычно решаются в целых числах, а не в рациональных, как это делал Диофант.

В XX веке под именем Диофанта обнаружен арабский текст еще 4 книг Арифметики. И. Г. Башмакова и Е. И. Славутин, проанализировав этот текст, выдвинули гипотезу, что их автором был не Диофант, а хорошо разбиравшийся в методах Диофанта комментатор, вероятнее всего — Гипатия.

Другие сочинения Диофанта

Трактат Диофанта О многоугольных числах (Περὶ πολυγώνων ἀριθμῶν) сохранился не полностью; в сохранившейся части методами геометрической алгебры выводится ряд вспомогательных теорем.

Из сочинений Диофанта Об измерении поверхностей (ἐπιπεδομετρικά) и Об умножении (Περὶ πολλαπλασιασμοῦ) также сохранились лишь отрывки.

Книга Диофанта Поризмы известна только по нескольким теоремам, используемым в Арифметике.

Литература

Сочинения

• Греческие тексты («Арифметика» и схолии) по изданию Таннери
• Диофант Александрийский. Арифметика и книга о многоугольных числах. Пер. И. Н. Веселовского; ред. и комм. И. Г. Башмаковой. М.: Наука (ГРФМЛ), 1974. 328 стр. 17500 экз.
• В серии «Collection Budé» начато издание: опубликованы 2 тома (кн. 4-7).

О нём

• Башмакова И. Г. Диофант и Ферма (к истории метода касательных и экстремумов). Историко-математические исследования, 17, 1967, с. 185—204.
• Башмакова И. Г. Диофант и диофантовы уравнения. М.: Наука, 1972. 68 стр. 40000 экз.
• (Репринт М.: ЛКИ, 2007)
• Башмакова И. Г. Арифметика алгебраических кривых (от Диофанта до Пуанкаре). Историко-математические исследования, 20, 1975, с. 104—124.
• Башмакова И. Г., Славутин Е. И., Розенфельд Б. А. Арабская версия «Арифметики» Диофанта. Историко-математические исследования, 23, 1978, с. 192—225.
• Башмакова И. Г., Славутин Е. И. История диофантова анализа от Диофанта до Ферма. М.: Наука, 1984.
• История математики с древнейших времён до начала XIX столетия. Под ред. А. П. Юшкевича. том I: С древнейших времён до начала Нового времени, М., Наука, 1970.
• Славутин Е. И. Алгебра Диофанта и её истоки. Историко-математические исследования, 20, 1975, с. 63-103.
• Щетников А. И. Можно ли назвать книгу Диофанта Александрийского «О многоугольных числах» чисто алгебраической? Историко-математические исследования, 8(43), 2003, с. 267—277.
• Christianidis J. The way of Diophantus: Some clarifications on Diophantus’ method of solution. Historia Mathematica, 34, 2007, p. 289—305.
• Heath Th. L. Diophantus of Alexandria, A Study in the History of Greek Algebra. Cambridge, 1910 (Repr. NY, 1964).
• Knorr W. R. Arithmktikê stoicheiôsis: On Diophantus and Hero of Alexandria. Historia Mathematica, 20, 1993, p. 180—192.

Ссылки

• Джон Дж. О’Коннор и Эдмунд Ф. Робертсон. Диофант Александрийский (англ.) в архиве MacTutor.

См. также

• Диофантово уравнение
• Математика в Древней Греции