Реферат по математике "Векторы"

Министерство общего и профессионального образования 

Свердловской области

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Основная общеобразовательная школа № 14»

Администрация Сысертского городского округа

Векторы

                         Реферат по геометрии

Исполнитель: Бесов Владислав

Ученик 9а класса

Руководитель: Годова И.В

Учитель математики

г. Сысерть 2008 г.

Оглавление

Введение ................................................................................................... ………….3

Глава 1. Векторы................................................................ ........................................4.

1.1. О трактовке понятия вектора…………………………………………………..4

Глава 2. Операции над векторами.............................................................................8

2.1. Композиция параллельных переносов...............................................................8

2.2. Сложение и вычитание векторов, умножение вектора на число...................10

2.3 Коллинеарные вектора .......................................................................................14

2.4.Свойства операции над векторами ...................................................................18

2.5. Скалярное произведение двух векторов и его свойства…………….............20

Глава 3 Приложение векторов при доказательстве теорем и решению задач.....21                                   3.1. Применение векторов при доказательстве теорем .........................................21

3.2. Применение векторов при решении задач.......................................................24

Заключение…………………………………………………………………............37

Литература………………………………………………………………………….38

ВВЕДЕНИЕ

Одними из фундаментальных понятий современной математики являются вектор и его обобщение — тензор. Эволюция понятия вектора осуществлялась благодаря широкому использованию этого понятия в различных областях математики, механики, а также в технике. Работы К. Веселя, Ж. Аргана и К. Ф. Гаусса по теории комплексных чисел установили связь между арифметическими операциями над комплексными числами и геометрическими опера­циями над векторами в двумерном пространстве — в плоскости.

В середине прошлого столетия в работах В. Гамильтона, Ф. Мё­биуса понятие вектора нашло широкое применение при изучении свойств трехмерного и многомерного пространств.

Конец прошлого и начало текущего столетия ознаменовались широким развитием векторного исчисления и его приложений. Бы­ли созданы векторная алгебра и векторный анализ, теория поля, тензорный анализ, общая теория многомерного векторного прост­ранства. Эти теории были использованы при построении специаль­ной и общей теории относительности, которые играют исключитель­но важную роль в современной физике.

ВЕКТОРЫ

О трактовке понятия вектора

Действительно, понятие вектора тесно связано с принятой сей­час теоретико-множественной трактовкой основных понятий школь­ного курса математики. Например, с таким важнейшим понятием школьного курса геометрии, как понятие перемещения. Кроме того, понятие вектора находит достаточно широкие приложения при рассмотрении различных вопросов школьных курсов математики и физики.

Уже на уроках физики в VIII классе изложение материала ве­дется с широким привлечением векторного аппарата. Понятно, что это заставляет задуматься прежде всего над тем, как наиболее есте­ственно ввести в курс математики восьмилетней школы понятие вектора, как эффективнее применять это понятие при изложении теории и решении задач, как рассматривать основные действия над векторами.

Известно, что существует несколько подходов к введению этого понятия.

В физике при помощи вектора изображаются различные направ­ленные величины: сила, скорость, ускорение и т. п., в силу чего вектор обычно определялся здесь как направленный отрезок. При этом часто такая направленная величина оказывалась существен­но связанной с определенной точкой (точкой ее приложения) или прямой.

В математике же обычно имеют дело с так называемым свободным вектором (вектором, не связанным ни с какой прямой и ни с какой фиксированной точкой).

В традиционных математических курсах вектор также опреде­лялся как направленный отрезок. При этом два вектора считались равными, если они имели одну и ту же длину и направление. Одна­ко такое определение равенства векторов не вполне корректно, так как тем самым отождествляются два хотя и родственные, но различ­ные понятия: равенство и эквивалентность. Между тем равенство математических объектов трактуется сейчас как  их совпадение, а эквивалентность – как любое отношение, обладающее свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности.

Далее, равные сонаправленные отрезки принимались за пред­ставителей одного так называемого свободного вектора, который, таким образом, трактовался как бесконечное множество равных, одинаково направленных отрезков. Каждая точка плоскости при этой трактовке представляет собой начало некоторого отрезка из семейства отрезков на плоскости. Эти отрезки затем разбиваются на подмножества, в каждое из которых попадают лишь те, которые одинаково направлены и равны по длине. Тем самым осуществля­ется идея разбиения всех направленных отрезков плоскости на классы эквивалентности, при этом каждый направленный отрезок является «полномочным представителем» своего класса. Направлен­ные отрезки одного класса рассматриваются как представители од­ного и того же свободного вектора.

Анализируя понятие вектора, нетрудно обнаружить, что с гео­метрической точки зрения вектор — это объект, характеризуемый направлением (т. е. некоторым множеством сонаправленных лучей) и длиной.

Новое определение вектора не связа­но с понятием направленного отрезка. Под вектором понимают либо множест­во упорядоченных пар точек, задающих некоторый параллельный перенос, либо сам этот перенос. В школьном курсе геометрии параллельным переносом (вектором) называется отображение плоскости на себя, при котором все точки плоскости отображаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние. Такой подход к определению вектора как параллельного переноса позволяет устранить противоречия с теоретико-множественной точкой зрения на понятие равенства, которое возникало при традиционном определе­нии вектора как направленного отрезка. Известно, что параллельный перенос задается парой точек. Рассмотрим множество всех пар точек плоскости. Для элементов рассматриваемого множества вве­дем следующее отношение: пары (А, В) и (С, D) будем называть эквивалентными и обозначать (А, В) ~ (C, D),  если [АВ) ↑↑ [CD) и  │АВ│  = │CD│ (рис. 3). Это те пары точек, которые задают один и тот же параллельный перенос. Эквивалентными между собой будем считать и пары, у которых первая точка совпадает со второй. Легко проверить, что такое отношение есть отношение эквивалент­ности, так как обладает следующими свойствами:

1) рефлективности: (А, В) ~ (А, В);

2) симметричности:   если   (А, В) ~ (С, D), то (С, D) ~ {А, В);

3) транзитивности: если (А, В) ~ (С, D) и (C,D) ~ (K,M), то (А, В) ~ (К, М).

С помощью рассмотренного отношения эквивалентности произ­водится разбиение множества пар точек плоскости на непересека­ющиеся подмножества (классы), элементами которых являются эк­вивалентные пары. Каждое из таких подмножеств можно назвать вектором. Следовательно, один и тот же параллельный перенос Т (вектор) можно задать при помощи бесконечного множества эквива­лентных между собой пар точек (А, В) ~ (А_1, В₁) ~ (А₂, В₂) ... (рис. 4), т. е. Т = Т_АВ = Т _А1В1 = Т _А2В2 = ... .

Поэтому естественно говорить, что направленные отрезки АВ, А₁В_1,  А₂В₂,... «изображают» один и тот же вектор  =  = =... .

Так как всякий класс (подмножество) эквивалентных пар определяется любым его представителем — любой   его парой, то тем самым всякая пара точек плоскости задает (определяет) некоторый вектор на плоскости. При этом эквивалентные пары определяют один и тот же вектор, а неэквивалентные пары — различные век­торы. Если вектор задается парой (А, В) (А ≠ В), то его обозначают. Направление, определяемое лучом АВ, называют направлением вектора , а расстояние │АВ│ — его длиной. Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором. Пусть теперь вектор задается парой (В, В), т. е. парой, у которой первая точка совпадает со второй; такой вектор  называется ну­левым вектором и обозначается  =. Длина нулевого вектора равна нулю, т. е. ││= ││= 0, а направление его не опреде­лено. Итак, любой вектор  плоскости полностью определяется за­данием одной пары точек А и В, где В =  (А). Заметим, что на­правленный отрезок АВ выступает при такой трактовке вектора лишь как удобное наглядное изображение вектора. Любой вектор  ≠ 0 имеет бесконечное множество изображений в виде направлен­ных отрезков.

Итак, мы рассмотрели возможность введения понятия вектора как множества пар точек, задающих один и тот же параллельный перенос, т. е. множество всех пар (X, У), для которых T(X)=Y, есть вектор. Это множество пар (X, Y) иногда называют графиком параллельного переноса.

В современной трактовке принято отождествлять график с самим отображением. Все сказанное и привело к отождествлению в школьном курсе математики параллельного переноса и вектора как синонимов, обозначающих одно и то же понятие.

ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ

2.1. Композиция параллельных переносов

В теме «Векторы» рассматривается последовательное выполнение двух параллельных переносов.

Для доказательства того факта, что композицией параллельных переносов является также параллельный перенос, необходимо до­казать следующую теорему.

Теорема. Для того чтобы перемещение F было вектором, необходимо и достаточно, чтобы оно любой луч отображало на сонаправленный луч.

Необходимость будет установлена, если докажем, что из F = Т следует справедливость соотношения: [ОХ): ([ОХ) → [О₁Х₁)) ([OX) ↑↑ [О₁X₁)), т. е. мы должны доказать, что если перемеще­ние есть вектор, то при этом любой луч отображается на сона­правленный ему луч.

Пусть вектор  задан парой точек (А, В), т. е. В = (А) (рис. 5). Рассмотрим  произвольный  луч   ОХ и отобразим его с помощью вектора  (рис. 6). Точка О при этом отобразится на точку О1, а прямая ОХ отобразится на парал­лельную ей прямую О1Х1. Заметим, что каждая точка луча ОХ отобразится при этом на точку луча О1Х1, так как (ОО1) || (XX,), т. е. [OX) ↑↑ [О1X1)

Достаточность будет установлена, если докажем справедливость следующего ут­верждения: [AB): ([АВ) → [А₂В₂)│[AB) ↑↑ [А₂В₂)) F = Т, т. е. мы должны до­казать, что если перемещение F отображает любой луч на сонаправленный ему луч, то это перемещение — вектор.

Пусть перемещение F отображает лю­бой луч на сонаправленный ему луч и при этом точка A отображается на некоторую точку В (рис. 6). Но пара точек (А, В) задает вектор . Итак, В = F(A) =  (A)

Рассмотрим луч АХ с началом в точке А (рис. 7). Перемещение F по условию те­оремы отобразит его на сонаправленный луч BY с началом в точке В (рис. 8). При этом  │АВ│=│XY│  и (АВ) || (XY), но тогда (Х)=Y, а значит, F=. Что и требовалось доказать.

Теперь докажем сформулированное вы­ше  предложение.

Теорема. Композиция параллель­ных переносов (векторов) есть параллельный перенос (вектор).

Доказательство этой теоремы состоит из двух частей.

1) Композиция параллель­ных переносов есть пере­мещение.

Пусть даны два вектора  и  и X и Y — любые точки плоскости.

(Х) = Х₁;  (Y) = Y₁  и  │XY│= │X₁Y₁│;

( Х₁) = Х₂;  (Y₁) = Y₂ и │X₁Y₁│ = │X₂Y₂│.

Тогда ((Х)) = X₂  и ((Y))= Y₂;   │XY│ = │X₂Y₂│.

Таким образом, ◦ — перемещение.

2) Композиция ◦ отображает любой луч на   сонаправленный   ему   луч.

Вектор  по условию отображает любой луч на сонаправленный ему, т. е. l↑↑l₁ где l₁ — образ луча l при отображении вектором .

Пусть l₂ — образ луча l₁ при отображении его вектором , a значит, l₁↑↑l₂. По свойству транзитивности отношения сонаправленности лучей  l₂↑↑l.

Итак, ◦ — перемещение,  отображающее любой  луч   на   сонаправленный ему луч, а значит, ◦ — вектор.

2.2. Сложение и вычитание векторов, умножение вектора на число

Сложение и вычитание векторов.

Суммой двух векторов  и  называется отображение плоскости на себя,  являющееся результатом последовательного выполнения отображений  и  (т. е. композиция ◦).

Сумма векторов может обозначаться так:

+ или (+)(Х)= ((Х))

Известное правило треугольника, вытекающее из определения суммы векторов, позволяет геометрически найти сумму данных векторов (рис. 9).

Интересен случай, изображенный на рисунке 10. Здесь сумма векторов оказалась нуль-вектором. Этот случай ярко иллюстрирует отличие смысла математического термина «переме­щение» от его житейского толкования (путь). Если, например, ситуацию, изображенную на рисунке 10, истолковать как пове­дение путешественника в незнакомом городе, который долго бро­дил по улицам и вернулся в гостиницу (им проделан значительный путь), то перемещение (результат пути) выражается нулевым векто­ром. Путешественник «отобразился» в исходную точку.

Рассмотрим физическую задачу, при решении которой исполь­зуется сложение векторов.

Задача. Лодка движется от одного берега к другому со скоростью ; скорость течения реки . Ка­кова истинная скорость движения лодки?

Решение. Изобразим условия за­дачи с помощью векторов (рис. 11). Тог­да решением задачи будет  =  + . Так как любое перемещение F обратимо, то F-1 также является перемещением, при­чем F-1◦ F = F◦ F-1= Е.  Если  F = , тогда по определению F-1= —    есть  противоположный вектор, а из утверждения F-1◦ F = Е следует, что  + (—) = . Из определения суммы векторов получаем закон поглощения нулевого вектора: += + = . Нетрудно установить, что из равенства  =  + (—) следует  +  — а.   В   самом   деле,    + [ + (—)] =  + [(—)+] = (+(—))+=. Отсюда естественным образом получаем определение разности  —  как вектора , такого, что  +  = . Геометрическое построение разности векторов представлено на рисунке 12:  —  =  + (—).

Заметим, что операции сложения и вычитания векторов нередко встречаются в жизненных ситуациях, на которые мы обычно не обращаем внимания. Например,

1) пешеход в безветренную дождливую погоду наклоняет зон­тик вперед,  хотя дождь падает отвесно;

2) дождевые полосы на окнах вагона двух встречных поездов имеют различные направления.

Отметим, что разность и сумма двух векторов могут изобра­жаться направленными диагоналями одного и того же паралле­лограмма (рис. 13).

Умножение вектора на число.

Умножение вектора на число можно определить так:

1) 0 •  = ;       2) k •  = ;

3) если k > 0,  ≠ 0, то k •  есть вектор направления  дли­ны k││; 

4) если k < 0,  ≠ 0, то k •  есть вектор направления, проти­воположного направлению , длины │ k │ • ││. Числовой множитель пишут слева.

Произведение вектора на число можно определить и так, как это сделано в учебнике геометрии для VII класса (Геомет­рия, VII класс, М., «Просвещение»,   1975,  с.90):   «Произведением вектора  на число х   называется    вектор, имеющий    (при  = ) направление вектора , если х > 0, и противоположное направление, если х < 0. Длина этого вектора равна произведению длины вектора  на модуль числа х».

Заметим, что оговорка, сделанная в данном определении от­носительно  ( = ), необходима для указания направления век­тора х •  (в этом случае необходимо оговаривать и то, что х ≠ 0). Для   указания   длины  этого  вектора такие оговорки не нужны.

Приняв это определение умножения вектора на число, необхо­димо особо рассмотреть случаи умножения вектора на число 0 и умножение нулевого вектора на любое число х.

Из определения следует, что  │х • │= │х│ • ││.    (1)

а) Пусть │х│= 0, тогда правая часть равенства (1) есть нуль. Значит,  │х • │= 0, т. е. 0 •  =  для любого .

б) Пусть =, тогда ││=││= 0, т. е. правая часть равен­ства (1) также обращается в нуль для любого числа х. Значит, │х • │= 0, т. е. х •  =  (закон поглощения  нулевого вектора).

Прежде чем рассматривать остальные свойства операции  умно­жения вектора на число, рассмотрим вопрос о коллинеарных и компланарных векторах.

2.3. Коллинеарные векторы

Пусть О — любая точка плоскости. Каждый вектор  = имеет, как известно, бесконечно много изображений в виде направленных отрезков. Заметим, что легко осуществить операцию по построе­нию направленного отрезка ОК, для которого  = . Действитель­но, с этой целью достаточно через точку О провести луч с нача­лом в точке О, имеющий то же направление, что и вектор , а затем на этом луче отложить отрезок ОК длины ││. Операцию по­строения направленного отрезка ОК, для которого  = , назы­вают откладыванием вектора  от точки О.

Пусть на плоскости заданы сонаправленные или противополож­но направленные векторы , ,  (рис. 14). Каждый из этих век­торов отложим от одной и той же точки О. Мы видим, что они изображаются направленными отрезками одной и той же прямой.

Векторы, которые могут быть изображены направленными от­резками одной и той же прямой, называются коллинеарными. Таким образом, векторы ,  и  коллинеарны. Можно так­же сказать, что ненулевые век­торы коллинеарны, если их на­правления совпадают или про­тивоположны.

Заметим, что вектор  коллинеарен ненулевому вектору , тогда и только тогда, когда существует такое число k ≠ 0, что выполняется равенство  = k. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Используя операцию откладывания вектора от некоторой точки О, всегда можно любые векторы, заданные на плоскости, привести к этой точке (сделать ее началом направленных отрезков, изобра­жающих данные векторы).

В ряде случаев оказывается удобным рассматривать векторы в некоторой системе координат.

Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат хОу.

Отложив на лучах Ох и Оу отрезки единичной длины ОЕ_х и   ОЕ_у,   получим два вектора, которые принято обозначать:

 = ,  = .

Мы видим, что система координат может быть определена ука­занием точки О и единичных векторов  и . Векторы  и взаимно перпендикулярны и имеют одинаковую длину. Значит, можно счи­тать, что произвольная прямоугольная декартова система координат задается указанием начальной точки О и двух взаимно перпенди­кулярных векторов  и одинаковой длины.

Существует взаимно-однозначное отображение  =  → А мно­жества всех векторов  на множество всех точек А плоскости, а также отображение А→ (х, у), т. е. множество всех точек А плос­кости на множество всех пар чисел (х, у). Возникающее отсюда отображение  → (х, у) тоже взаимно-однозначно. Поэтому числа х и у можно считать и координатами вектора : они однозначно определяются вектором  и, в свою очередь, взятые вместе, однозначно определяют вектор . Нетрудно усмотреть, что  =  = х •  + у • .

Таким образом, вектор  может быть представлен в виде = х •  + у •единственным образом.

Координаты вектора  обозначаются а_х и а_у соответственно.

Мы исходили из определенной системы координат, заданной точкой О и векторами  и . Но нетрудно заметить, что коэффи­циенты а_х и а_у представления  = а_х •  + a_y • не зависят от выбора точки О.

Векторы = а_х • , = а_у •    называются составляющими вектора  в данной системе координат.

В векторном исчислении и его приложениях большое значение имеет представление (разложение) вектора в виде суммы несколь­ких векторов, называемых составляющими данного вектора. Разло­жить вектор  по двум неколлинеарным векторам  и  — это зна­чит представить его в виде суммы двух векторов, которые будут коллинеарны данным   векторам  и .

Пусть   заданы   три   неколлинеарных    вектора   ,  ,   .  Разложим вектор  по векторам  и . Для того чтобы разложить вектор  по двум векторам (неколлинеарным)    и    , надо представить    в    виде   суммы двух  векторов,    коллинеарных соответственно       и    .   Для этого от точки О отложим векторы ,  и  (рис. 15).

Через точку С проведем прямые, параллельные отрезкам ОА и  ОВ. Получим  параллелограмм,   в  котором [ОС] — диагональ. В этом параллелограмме  = +, причем  коллинеарен ,  коллинеарен . Значит, можно найти такие числа х и у, что =,  =. А тогда  =  + , т. е. мы представили  в виде суммы двух векторов  и , соответственно коллинеарных  и .

Докажем теперь единственность разложения вектора . Дока­зательство проведем методом от противного.

Допустим,  что вектор  можно разложить двумя способами:  =+и  =  + , где х ≠ х₁, у ≠ у₁. Так как  — один и тот же вектор, то, применяя свойства сложения векторов и ум­ножения вектора на число, имеем:

+  = + ,  —  =  — ,

(х₁ — х)  = (у — у₁) ,   = .

Следовательно,  коллинеарен . Получили противоречие с условием. И потому х₁ — х и у₁ — у.

Итак, установлено существование и единственность такого раз­ложения.

В общем случае, когда  и  — произвольные неколлинеарные векторы, заданные в определенном порядке ( — пер­вый,  — второй векторы (базиса)), а  =  + , то числа х и у называют координатами вектора  относительно базиса (,).

Разложение вектора  по двум перпендикулярным векторам, или, другими словами, по направлениям координатных осей декартовой прямоугольной системы координат хОу, заданной в плоско­сти  (рис.   16),   является  частным  случаем  рассмотренного  выше разложения.

Следовательно, и в этом случае  =  + .

Векторы  и  называются базисны­ми векторами; также говорят, что они обра­зуют коор динатный    базис.  Представление вектора  в виде суммы (составляющих векторов) назы­вается разложением этого вектора по базису  и . Коэффициенты х и у при базисных векторах  и  называют декартовыми координатами вектора . В дальнейшем вектор , заданный координатами х и у, будем обозначать так:      = (х, у), и записывать: = +. В этом случае будем говорить, что вектор задан в координатной форме.  

2.4. Свойства операций над векторами

Основные законы векторной ал­гебры представлены следующи­ми свойствами:

1)  + =  +  — комму­тативность;

2)      + ( + ) = ( + ) + — ассоциативность;

3)     +  =  +  =  — за­кон поглощения нулевого век­тора;

4)    (ху) •= х(у • ) — сочета­тельность;

5)      +  = (х + у)  — первый распределительный   закон;

6)     +  = х( + ) — второй распределительный закон;

7)    0 •  =  — закон поглощения нуля;

8)  х • =  — закон поглощения нулевого вектора.

Рассмотрим для примера доказательство свойства коммутатив­ности векторов.

При доказательстве  коммутативности  сложения  векторов  на плоскости необходимо рассмотреть два случая.

1-й   случай,   ,  — неколлинеарные  векторы (рис. 22, а). Пусть  = ,  = . 1) Строим параллелограмм ОАСВ:[AM)||[OB), [BN) || [ОА), С = [АМ) (BN); 2) ==, == так как [ОА) (BN) и |ОА|= |ВС|  [OB)[AM) и |ОВ|=|АС| 3)     + = + =значит,  +=+ ,  транзитивность равенства.

2-й   случай,    ,  — коллинеарные векторы (рис. 22, б).

1) = ,  =,  +  = ,

=,  = ,  + = ;

2) =, х_В — х_А= х_С — х_D;

=, х_Е — х_В = х_D — х_А;

х_В — х_А + х_Е — х_В = х_С — х_D + х_D — х_А,

                         х_В = х_С 

3) хС = хЕ хА = хА

хС — хА= хВ — хА, =

Полезно иметь в виду аналогию свойств сложения векторов со свойствами сложения и умножения чисел.

(, +)	(R, +)
+	m + n = n + m
( + ) + = + (+)	(m + n) + k = m + (n + k)
+(–) =	m + (– m) = 0
+=+=	m + 0 = 0+ m = m
(R? •)
m • n = n • m
(m • n) • k = m • (n • k)
m •=1(m ≠ 0)
m • 1 = 1 • m = m

Легко доказываются свойства умножения вектора на число:

k • (l • ) = (k • l) •  (ассоциативность),

(k + l ) •  = k •  + l •  (первый дистрибутивный закон).

Здесь все входящие в рассмотрение векторы можно изображать парами точек (или направленными отрезками), лежащими на одной прямой. Поэтому, по аналогии с соответствующими свойствами действительных чисел, эти свойства по существу нам хорошо зна­комы.

Более сложно доказывается дистрибутивный закон: k • ( + )= k •  + k • . Доказательство этого закона дается в основной школе только для рационального k.

2.5. Скалярное произведение двух векторов и его свойства

Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется
число, равное произведению числовых значений длин этих векторов
на косинус угла между векторами.

Обозначение:  •  = || • | | • cos (,).

Пример. Пусть даны векторы  и , длины которых  || = 2 и |  | = 3, угол между ними равен 60°. Тогда скалярное произведе­ние этих векторов будет равно:

 •  = || • | | cos (,) = 2 • 3 cos 60° = 2 • 3 • - = 3.

Если из двух векторов хотя бы один вектор нулевой, то ска­лярное произведение таких векторов принимается равным нулю.

Свойства скалярного произведения.

1.        •  =  •  (коммутативность).

2.     ( + )• = • + • (дистрибутивность).

3.      т • n = (т • п)  • , т. е. числовой множитель можно выносить за знак скалярного произведения.

4.     Если , то cos (,) = 0 и  •  = 0. Скалярное произ­ведение перпендикулярных векторов равно нулю.

Из этого свойства вытекает справедливость следующей теоре­мы: для того, чтобы два ненулевых вектора  и  были перпенди­кулярны, необходимо и достаточно, чтобы скалярное произведение этих векторов было равно нулю, т.е.   •  = 0.

5.    Выражение  •  будем обозначать а² и называть скалярным квадратом вектора . Скалярный квадрат вектора равен квадрату числового значения его длины, т. е.  =  ||²= а².

6.  Косинус угла между ненулевыми векторами  и  равен скалярному произведению этих векторов, деленному на произве­дение числовых значений длин векторов, т. е. cos (,) = .

Глава 3. Приложение векторов при доказательстве теорем и решению задач.

3.1. Применение векторов при доказательстве теорем.

.

Важную роль играют векторы при изучении тригонометри­ческих функций. Здесь тригонометрические функции sin  и cos  определяются как координаты точек еди­ничной окружности, а соотношения между элементами в пря­моугольном треугольнике получаются из рассмотрения формул, связывающих координаты произвольного и единичного вектора:

а_х= || cos ,  а_у =  || sin .

Пользуясь векторами, можно доказать известные нам теоремы планиметрии. Так, например, в учебном пособии по геометрии доказана теорема Фалеса. Доказательство ее факти­чески сводится к осуществлению параллельного переноса, отобра­жающего точку А₁ на точку С₁.

Следствием из этой теоремы является теорема о средней линии треугольника (ниже эта теорема доказана иначе).

Рассмотрим доказательство некоторых теорем с помощью век­торов.

Теорема   1.   Средняя линия треугольника параллельна его третьей стороне и равна половине ее.

Доказательство.   Рассмотрим ∆ ABC (рис. 24). Пусть

=, = и  =, тогда по определению суммы векторов:  +  = . Пусть М и N — середины сторон АВ и ВС ∆АВС, тогда  

 =  +  =  +   =  + =

=  ( + ) =

Так   как    =   и   =  ,  то   = .

Таким   образом,    ,   следовательно,    [] || [].

Так как  =  , то  || =  ||.

Теорема  2.  Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.

До казательство.   Пусть ABCD — данный параллело­грамм (рис. 25). 

   

1. Положим   = ,    =    (|АС| = |СD| = a;   |АD| =|ВС| =b).

2. По определению суммы и разности векторов = + , =  — .

3. Используя свойство скалярного квадрата, получим:

+= (+)² + (—)² = ² + 2 •  + ² + ² — 2• + ² = =2² + 2², т. е.

|АС|²+ |DB|² = |АВ|² + |ВС|² + |CD|² + |АD|² так как ² = |АС|², ² =  |DB|².

Теорема3. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

Доказательство. Пусть ABCD —данный ромб (рис. 26).

1.       Введем обозначения: =,=.

Из определения ромба: ==, =  = .

2. По определению суммы и   разности векторов  

             =  + ;  =  — .

3. Рассмотрим

 •  = (+)• ( —) = ²  — ² = а² — b²          (по     свойствам скалярного произведения).

4.     Так как стороны  ромба равны, то

а = b. Следовательно,    • = 0.   Из

последнего получаем:  , т. е. [DB]  [АС].

Теорема  4.  Диагонали прямоуголь­ника равны между собой.

Доказательство. Пусть ABCD — данный прямоугольник (рис. 27).

1. Введя обозначения  = и =, получим  =  + ; =  —.

2. Найдем квадраты диагоналей, исполь­зуя   свойство   скалярного   произведения:

² = |АС|²= ( + )² = ² + 2 •  +² = а² + b²,   так  как   • = 0,   ибо в  прямоугольнике   .

Итак, |АС|²= а² + b².

Далее, ² = |DB|² = ( — )² =² — 2 •  + b²   = а² + b², так как  .

3.2 Применение векторов при решении задач

Введение в школьный курс геометрии векторного аппарата вооружает учащихся ещё одним методом решения геометрических задач – векторным. Возможноси этого метода довольно широки, поскольку он охватывает многочисленные аффинные задачи, а после введения скалярного произведения векторов – и метрические.

1. Аффинные задачи. Хорошо известны те трудности, с ко­торыми сталкиваются учащиеся и учитель, когда речь идет о ре­шении аффинных задач. Наиболее слабо разработана методика решения геометрических задач, в особенности аффинных, с исполь­зованием векторного аппарата. При этом особое затруднение ис­пытывают учащиеся при выборе метода, с помощью которого они будут решать ту или иную задачу.

Выделим несколько видов задач, которые целесообразно ре­шать с применением векторов. При этом обращаем внимание на задачи, в тексте которых не содержится никаких понятий вектор­ной алгебры (т. е. чисто геометрические).

Здесь не рассматривается система задач каждого вида, кон­кретный вид иллюстрируется задачами средней сложности. Вмес­те с тем указываются те требования, которые предъявляются к задачам данного вида. Следует отметить, что рассмотренные ниже три вида задач достаточно распространены среди тех задач, кото­рые приходится решать учащимся средней школы.

К первому виду отнесем задачи, связанные с доказательст­вом параллельности некоторых отрезков и прямых. В задачах этого типа для решения нужно показать коллинеарность векторов, изображаемых некоторыми данными отрезками, т. е. доказать, что = k, где k — некоторое число. Рассмотрим решение задач та­кого вида на примерах.

Задача 1. В плоскости даны четырехугольник ABCD и точка М. Докажите, что точки, симметричные точке М относительно середин сторон этого четырехугольника, являются вершинами параллело­грамма.

Решение. Пусть ABCD —данный четырехугольник (рис. 29), a N, Р, Q и R — точки, симметричные точке М относительно сере­дин [АВ], [ВС], [CD] и [DA].

Согласно «правилу параллелограмма» имеем:

 =  +

 =  + ,  =  + , = +.      (1)

По определению разности векторов:  =  —  и =  — .

Так как  — _= (—) — ( — ), то, ис­пользуя равенства (1), убежда­емся, что  — = , т. е.  =. Аналогично доказы­вается, что  = . Следо­вательно,  =  и  = , а это значит, что четырехуголь­ник NPQR — параллелограмм.

Задача 2. Дан четырехуголь­ник АBCD. Прямая, проведенная через вершину А параллельно (ВС), пересекает (BD) в точке М,

а прямая, проведенная через вер­шину В параллельно стороне AD, пересекает (АС) в точке N. До­казать, что [MN] || [DC].

Решение. Для решения за­дачи достаточно доказать кол­линеарность векторов (рис. 30), т. е.

надо доказать, что  = k, где k — некоторое число. Но век­торы   и    непосредственно

один через другой не выражаются, т. е. их коллинеарность видна не сразу. Чтобы убедиться в их коллинеарности, нужно выра­зить каждый из этих векторов  через некоторые другие векторы.

При этом замечаем следующее: вектор  легко выражается через векторы и , вектор  — через векторы  и , где О = (АС) ∩ (BD). А векторы  и  можно выразить   через вектор векторы  и  — через вектор . Отношение длин отрезков диагоналей четырехугольника можно принять рав­ным отношению чисел: |АО|: |ОС|= р : q, |ВО|: |ОD|= т : п (1).

Тогда можно выразить вектор  через  и  последователь­ными заменами:

= —  =  — =  (mq — np ).

С другой стороны, из параллельности отрезков BE и AD вы­текает

|АО|: |ОN| = |DО|: |ОB|= п : т (2). Тогда из чертежа и равенств (2) следует:  =  . Аналогично из параллельности отрезков AM и ВС  следует  |ВО|: |ОМ| = |СО| : |АО| = q : p и  =. Тогда можно выразить вектор  через  и  последовательными   заменами:  

 =  —  = —   +  =  (—пр + тq).

Откуда  = , что и означает, в переводе на геометри­ческий язык, параллельность отрезков MN и DC.

Ко второму виду относятся задачи, в которых доказывается, что некоторая точка делит отрезок в некотором отношении или, в частности, является его серединой.

Для доказательства того, что точка С делит отрезок АВ в не­котором отношении |АС|: |СВ| = т : п, достаточно:

а) доказать равенство АС = ;

б) доказать равенство

=+

где Q – произвольная точка. Доказательство достаточности последнего пункта (б) несложно:

=+=+(–) =

= (–) = (–)=

что и означает, что |АС|: |СВ| = .

Заметьте, что проведя доказательство в обратном порядке, можно убедиться в необходимости условия (б) для деления точкой С отрезка АВ в отношении  т : п.

Решим несколько задач этого вида.

Задача 3.

В произвольном четырёхугольнике отрезок, соединяющий середины диагоналей, проходит через точку пересечения средних линий. Доказать, что этот отрезок делится ею пополам.

Решение.    Тот факт, что точка О (рис. 31) является серединой отрезка ЕF, можно доказать различными способами. Наиболее естественными из них являются:

1)    доказать, что =, что означает, что EPFQ – параллелограмм, и так как [EF] является диагональю, то она проходит через точку О и делится ею пополам;

2)    доказать, что =;

3)    доказать, что =(+) или =(+);

4)    доказать, что =(+) или =(+)

Рассмотрим первый способ доказательства, который в данном случае является и самым простым.

В треугольнике АВС отрезок EP является средней линией, откуда =. Это значит, что =, и задача решена.

Задача 4. В параллелограмме АВСD сторона АD разделена на n равных частей и первая точка деления соединена с вершиной В. На какие части делит полученная прямая диагональ АС?

Решение.     Пусть  = ,  =  и  = (рис. 32).

Выразим  вектор  двояким образом через векторы  и :

1)  = =  ( — )=—;

2) =+= —+= —+(+) = +

 ( = , так как ∆  АРК ~ ∆ ВРС).

Тогда   по  теореме  о   единственности   представления   вектора через два неколлинеарных вектора имеем:  = —  =.

Это значит, что отрезок АР составляет (n + 1) часть отрезка АС. Задача решена.

При решении задач второго вида иногда выбирается произволь­ная точка Q плоскости в качестве полюса. При решении задач второго вида (и вообще при решении задач векторным способом) находит широкое применение следующая теорема.

Теорема. Пусть А₁, А₂, А₃ — неколлинеарные точки, М — четвертая данная точка, a Q — произвольная точка плоскости. Если

=++,

=++,

то  =, =, =.

Доказательство.   Имеем:

=++	++=++
=++

+(—)+(—)+(—)=.

Но =+, =+

Тогда (—)+(—)+(—)+(—)+

+(—)=[(—)+(—)+(—)]=

=(—)+(—)

Так как точкой Q может быть любая точка плоскости, то в ле­вой части последнего равенства вектор  переменный, а в правой — векторы ,  постоянны и неколлинеарны. Значит, это равенство возможно только при равенстве нулю коэффициентов при этих векторах:

(—)+(—)+(—) = 0,

—= 0,

—= 0,

Откуда и вытекает, что =, =, =.

  Рассмотрим теперь решение задачи  из второй группы с использованием этой тео­ремы.

Задача 5. На стороне АС треугольника ABC взята такая точка М, что |АМ| = = |АС|, а на продолжении стороны ВС — такая точка N, что |ВN| — |СВ|. В каком отношении точка Р пересече­ния отрезков АВ и MN делит каждый из этих отрезков?

Решение. Обозначим |NP| : |РМ| =  : ,

|АР| : |РВ|= : (1) (рис. 33). Тогда нам нужно найти  :  и :. Для этого нужно составить несколько уравнений, содержащих , , , . Два таких уравнения можно написать сразу, используя теорему о делении отрезка в данном отношении.

Если Q — произвольная точка плоскости, то для отрезков АВ и NM имеем:

=+(2), =+. (3)

Написанные равенства содержат пять различных векторов. Уменьшим их число, заменив имеющиеся векторы другими на ос­нове той же теоремы. Тогда для отрезков NC и АС имеем: =( + ),  =  + (4). Подставляя из равенства (4) в равенства (2) и (3) значения QB и QM, получим:

=+ + ,                    (5)

=+ + ,   (6)

Откуда на основе доказанной выше теоремы имеем:

=,	Решив   эту   систему   уравнений,   получим: = и =. Это говорит о том, что |АР| =|ВР| и |NР| : |РМ| = 3 : 1. Задача решена
=,
=

К задачам третьего   вида отнесем те, в которых требуется доказать принадлежность трех точек  одной   прямой.   Эти   задачи можно было бы рассматривать как част­ные случаи задач предыдущего вида. Но они имеют некоторую специфику решения в связи с использованием условия коллинеарности трех точек. Представителем за­дач этой группы является следующая.

Задача 6. На стороне АВ треугольни­ка ABC дана точка Р, через которую проведены прямые параллельно его медиа­нам AM₁ и ВМ₂ и пересекающие соответствующие стороны треугольника в точ­ках А₁ и В₁. Доказать, что середина от­резка А₁В₁ (точка Е), а также точка Р и точка G пересечения медиан данного треугольника лежат на од­ной прямой.

Решение. Изменим заключение задачи таким образом, что­бы можно было применить векторы к ее решению. Это можно сде­лать следующими способами (рис. 34).

1) Установить, что  = k (можно взять и другие векторы).

2)    Для   некоторой   точки   Q   установить,   что= =k+(1 — k)  (условие принадлежности трех точек одной прямой).

Первый путь решения нам знаком из решения задач первого вида.

Рассмотрим второй путь. Но для этого вначале выведем усло­вие принадлежности трех точек одной прямой.

Для того чтобы точки А, В, С принадлежали одной прямой, необходимо и достаточно, чтобы для полюса Q выполнялось равенство

 = p + q,  где р + q = 1.

Доказательство. Пусть точки А, В, С принадлежат одной прямой. Тогда можно написать: |АС| : |СВ| = т : п. Это означает справедливость следующей цепочки равенств:

|АС|: |СВ| = т : п  =  + 

Рассуждения,   проводимые   по   этой   цепочке,   доказывают   и необходимое и достаточное условия.

Решение данной задачи, таким образом, сводится к тому, чтобы установить зависимость между векторами , , . Если точку Q выбрать произвольно, то решение задачи окажется весьма усложненным, поэтому выберем точку Q в удобном для нас месте. Лучше всего принять ее совпадающей с точкой С. При этом век­торы , ,  легко выражаются через  и . Действительно, пусть |АР| : |РВ| = т : п (1). Тогда |АВ₁| : |В₂С| = т : (т + п+ п) = = т : (2 п + т)   (2)     (так    как   М₂ — середина   [АС]) и |ВА₁| : |А₁С| = п : (т + + т + п) = п : (2т + п)     (3)     (так    как М₁ — середина [BC]).  Из   свойства  центра  тяжести  G вытекает: =∙(+) =(+) (4).   Из отношений (2) и (3) можно написать: =, =.

Тогда из свойства середины Е отрезка А₁В₁ можно написать:

=(+) =.  (5)

По теореме о делении отрезка в данном отношении имеем: =+ + (6).  Чтобы связать векторы , , , преобразуем вектор : ===+, т.е. =+; а так как +=1, точки Е, G, Р принадлежат одной прямой и |EG| : |PE| =1:3. Задача  решена.

Рассмотренные нами виды аффинных задач на плоскости далеко не исчерпывают всего многообразия этих задач. Но они образуют самые многочисленные группы задач, что и оправдывает их специ­альное рассмотрение.

2. Метрические задачи. При решении метрических задач используется скалярное произведение векторов. Мы не будем классифицировать эти задачи по видам, а приведем несколько примеров таких задач.

Задача 7. На основании АВ равнобедренного треугольника ABC дана точка Р. Доказать, что |РС|² = |АС|² — |АР| ∙ |ВР|. Выяс­нить, как изменится формула, если точка Р расположена на про­должении основания АВ.

Решение.  Запишем требуемое равенство в векторной форме. Учитывая сонаправленность векторов  и  (рис. 35), получим:

= — ∙ (1).

Доказательст­во равенства (1) и есть решение   задачи. Преобразуем    правую часть  (1) :

—∙ = — (+)∙(+)= =—∙—∙+—∙= =(—∙) — (∙+∙)+= =∙(—) ∙ (—)+= =∙ (—)+

Если теперь вектор =, то —=—=, но ∆АВ¹В — прямоугольный. Таким образом, ∙(—)=∙=0. Следовательно, —∙=, откуда и вытекает справедливости доказываемого равенства. Исследуем изменение этого равенства в зависимости от расположения точки Р на прямой АВ. Если точка Р принадлежит отрезку АВ, то при переходе от векторного равенства (1) к скалярному равенству имеем:

=||² = |РС|², = ||²=|АС|²,

∙= ||∙|| cos (,)= ||∙|| cos 0˚, т.е.

 ||²=||²— ||∙||.

Если же точка Р не принадлежит отрезку АВ, то векторы и  противонаправлены и ∙= |АР|∙|РВ| cos 180˚= —|АР|∙|РВ|. Тогда доказываемое равенство имеет вид |РС|² = ||² + |АР|∙|РВ|. Задача решена полностью.

Задача 8. Найти сумму квадратов медиан треугольника, если известны его стороны а, b, и с.

Решение.  Рассмотрим ∆ ABC (рис. 36). 1.     Пусть =, =, =. 2.     По определению суммы векторов:  =+, = +, =+. 3.     Используя свойство скалярного квадрата, получим: ++= ++= = 2 + ∙++2 +∙++2 +∙+= = ( а 2 + b 2 + с 2) + [∙+∙+∙]    (1)

4.    Так как по правилу сложения векторов: ++= 0, (++)² = 0. Таким образом,

² +² +² +2[∙+∙+∙] = 0,

т.е.  а ² + b ² + с ² = –2[∙+∙+∙].

Итак, ∙+∙+∙= – .

Подставив полученное значение в равенство (1), получим:

|АD|² + |ВЕ|² + |СF|² = ( а ² + b ² + с ²),

так как согласно свойству скалярного квадрата

= |АD|², = |ВЕ|², = |СF|².

Задача 9. Доказать, что высоты произвольного треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство. 1.     Пусть [АР] [ВС], [ВQ] [СА], где [АР] и [ВQ] – высоты ∆ АВС и О – точка их пересечения (рис. 37). 2.     Обозначим  = ,  = , =  и L – точка пересечения (ОС) и (АВ). 3.     По определению разности векторов: =–, = –, = –. 4.     Так как [РА] [ВС], то ∙(–) = 0, т.е. ∙ = ∙. 5.     Аналогично, так как [ОВ] [СА], то ∙(–) = 0, т.е. ∙=∙. 6.     Из этих равенств по транзитивности: ∙=∙[так как ∙=∙], т.е. ∙(–) = 0. Последнее означает: [ОС] [АВ] 7.     Итак, [СL] – высота ∆ АВС.

Задача 10. Для того чтобы диагонали четырехугольника были взаимно перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы сумму квадратов противоположных сторон четырёхугольника были равны. Доказать.

Необходимость. Имеем перпендикулярность диагоналей АС и ВD (рис. 38). Нужно доказать равенство |АВ|² + |СD|² = |ВС|² + |АD|². Здесь можно обойтись без векторов, используя теорему Пифагора. В самом деле,

|АВ|² + |СD|² = |АО|² + |ОВ|² + |СО|² + |ОD|² = (|АО|² + |ОD|²) + (|ОВ|² +|ОС|²) = = |АD|² +|ВС|². Необходимость доказана.

Достаточность. Имеем равенство |АВ|² + |СD|² = |ВС|² + |АD|².

Нужно доказать перпендикулярность диагоналей АС и ВD. На языке векторов это означает доказательство одного из равенств:

а)     ∙= 0; б)    ∙= 0; в)     ∙= 0; г)     ∙= 0; д)    ∙= 0; е)     ∙= 0; ж)   ∙= 0; з)     ∙= 0; и)    ∙= 0;

Теперь нужно составить такое равенство, в котором содержались бы величины |АВ|², |СD|², |ВС|², |АD|² и члены одного из равенств, которые нужно доказать.

Для этого прежде всего преобразуем исходное скалярное равенство в векторное += + (при записи векторов, получаемых из скаляров, лучше всего соблюдать определённый порядок букв по определённому выбранному направлению обхода). Здесь мы замечаем, что можно дополнить суммы до полного квадрата и рассмотреть первые степени полученных сумм, т.е. приходим к необходимости сравнения выражений +и +. Но они в сумме дают нулевой вектор в силу замкнутости четырёхугольника АВСD.

+++=+=+(+)² = (+)²

|АВ|² + |СD|² +2∙ = |ВС|² + |АD|² + 2∙∙ = ∙

(+)(+) = (+)(+)

∙+∙+∙+∙=∙+∙+∙+∙

(∙–∙) + (∙–∙) = 0(–) + (–)=0 

(–)(+) = 0∙= 0,

что и означает перпендикулярность диагоналей

Заключение

В математике в настоящее время на векторной основе изла­гаются линейная алгебра, аналитическая и дифференциальная геометрии. До введения в школе новых программ по математике с понятием вектора учащиеся впервые встречались в курсе физики (скорость, сила, ускорение, напряженность магнитного поля и т. п.). Лишь при изучении тригонометрических функций в тради­ционном курсе школьной математики использовалось понятие вектора. Поэтому у учащихся обычно складывалось неправильное представление о том, что вектор — понятие физическое. Между тем вектор — чисто математическое понятие, которое лишь применяется в физике или других прикладных науках и которое позволяет упростить решение некоторых сложных задач этих наук.

Список литературы:

Печатные  источники:

1.     Геометрия: учеб. для 7-9 кл. сред. шк. / авт.-сост. Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. - 4-е изд. - М.: Просвещение, 1994. - 335 с: ил

2.     Гусев В.А. векторы в школьном курсе. Пособие для учителей. М., «Просвещение», 1976

3.     Энциклопедия для детей. Т. II. Математика / глав. ред. М. Д. Аксёнова. — М.: Аванта + , 2002. - 688 с: ил.

4.     Энциклопедический словарь юного математика / сост. А. П. Савин. - М.: Педагогика, 1989.-352 с: ил

5.     Энциклопедический словарь юного математика. Савин. А.П

6.     Геометрия 7-9 Александров. А.Д. Просвещение 1992.

7.     Геометрия 6-10 Погорелов. А.В. Просвещение.1981.

Электронные   источники:

1.     Рефераты и сочинения в помощь школьнику. Дискавери - 2003.

2.     Большая энциклопедия Кирилла и Мефодия. - 2004.

3.     Электронная энциклопедия: Star World.

4.     Internet.