«Решение квадратных уравнений с параметром в соответствии с требованиями ФГОС»

Пояснительная записка

ФИО (полностью)	Андреенко Светлана Сергеевна
Должность	Учитель математики
Предмет	Алгебра
Класс	8-9
Тема	«Решение квадратных уравнений с параметром в соответствии с требованиями ФГОС»
Базовый учебник	Алгебра. 8,9 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова; под ред. С.А. Теляковского. — 18-е изд.-М.: Просвещение, 2011.-271 с

1.     Цель: обучение умению решать квадратные уравнения, с параметрами  алгебраическим и функционально – графическим методом  при подготовке к ГИА.

2.     Задачи:

- обучающие: анализировать и осмысливать текст задачи, самостоятельное выделение и формулирование познавательной цели, переформулировать условие, строить логическую цепочку рассуждений, критически оценивать полученный ответ, осознанное и произвольное построение речевого высказывания, выбор наиболее эффективного способа решения задач, постановка и формулирование проблемы, выдвижение гипотез и их обоснование, смысловое чтение;

-развивающие: целеполагание, планировать свою деятельность в зависимости от конкретных условий; рефлексия способов и условий действия, контроль и оценка процесса и результатов деятельности, саморегуляция, через решение задач, развивать творческую и мыслительную деятельность учащихся, интеллектуальные качества: способность к “видению” проблемы, оценочным действиям, самостоятельности, гибкости мышления;

-воспитательные: смыслообразование, умение слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблем, воспитывать ответственность и аккуратность.

Формируемые  УУД в рамках ФГОС при решении задач с параметрами:

№	Этапы решения задач	Формируемые УУД
1.	Анализ условия (введение буквенных обозначений)	-       целеполагание; -       выделение существенной информации; -       формулирование задачи и прогнозирование способов решения; -       абстрагирование; -       аналогия; -       классификация (типологизация); -       знакосимволические действия.
2.	Схематическая запись условия задачи в виде таблицы, схемы, графа с введенными буквенными обозначениями	-       планирование; -       систематизация; -       знакосимволические действия; -       моделирование.
3.	Составление модели (поиск аналога, привлечение из математики или физики известного закона)	-       создание способа решения задачи; -       корректировка условия; -       моделирование в графическом виде.
4.	Решение уравнения, системы и т.д. (поиск неизвестного)	-       анализ и выявление существенной информации; -       выведение следствий; -       построение цепи рассуждений; -       выдвижение и проверка гипотез; -       преобразование модели.
5.	Интерпретация модели (проверка и оценка решений, корней)	-       анализ; -       выведение следствий; -       конкретизация; -       знакосимволическое действие (интерпретация).
6.	Исследование (обобщение задачи или способа её решения для видоизмененных условий, другие подходы к решению)	-       анализ; -       синтез; -       поиск аналогов; -       построение цепи рассуждений; -       умение сжато передать содержание; -       умение схемы, символы, модели; -       создание способов решения проблем поискового, творческого характера.
7.	Рефлексия	-       смыслообразование; -       планирование; -       контроль; -       коррекция; -       оценка; -       волевая саморегуляция; -       готовность к саморазвитию, к самообразованию; -       умение самостоятельно определять цели своего обучения; -       ставить и формулировать для себя новые задачи; -       развивать мотивы и интересы своей образовательной деятельности.

1.Базовые задачи по квадратичной функции

         Рассмотрим следующие методы: метод сведения задачи к равносильной, перебор различных значений параметра, замена переменной, выявление необходимых и достаточных условий или необходимых условий.

·     Функция y = a+bx+c (a≠0) задает параболу с вершиной в точке С(x_B;y_B).

·        Функция y = a(x-m)²+n(a≠0) задает параболу с вершиной в точке

С(m; n).

Пустьf(x) =  a+bx+c  (a≠0).

1.     Квадратное уравнение     ax²+bx+c=0 (a≠0)                      (1)     

не имеет решений тогда и только тогда, когда D<0.

2.     Квадратное уравнение (1) имеет два различных корня тогда и только тогда, когда D>0.

3.     Квадратное уравнение (1) имеет два (может быть кратных) корня тогда и только тогда, когда D≥0.

4.     Квадратное уравнение (1) имеет два различных положительных  корня тогда и только тогда, когда

       или     

5.      Квадратное уравнение (1) имеет два различных отрицательных  корня тогда и только тогда, когда

       или     

6.     Квадратное уравнение (1) имеет корни разных знаков  тогда и только    тогда, когда <0

7.     Квадратное уравнение (1) имеет корень, равный нулю  тогда и только    тогда, когда с=0.

8.    Квадратное уравнение (1) имеет два разных  корня    x₁,  x₂ < тогда и только    тогда, когда

9.    Квадратное уравнение (1) имеет два корня x₁<<x₂ тогда и только тогда, когда

10. Квадратное уравнение (1) имеет два  разных корня  x₁,  x₂ >x₀ тогда и только тогда, когда

11. Квадратное уравнение (1) имеет различные корни, принадлежащие интервалу

(M;A), где М<Aтогда и только тогда, когда

12. Квадратное уравнение (1) имеет различные корни  x₁<M<x₂<Aтогда и только тогда, когда

13. Квадратное уравнение (1) имеет различные корни M<x₁<A<x₂  тогда и только тогда, когда

14. Квадратное уравнение (1) имеет различные корни   x₁<M<A<x₂  тогда и только тогда, когда

                                                         Рис. 7

15. Квадратное уравнение (1) имеет  один корень внутри интервала (M;A), а другой вне этого интервала  тогда и только  тогда, когда  f(M)∙f(A)<0.

1.1. Примеры решений уравнений с параметром

1. Базовые задачи

Задачи этого блока решаются либо для любого значения параметра, либо для значения параметра, принадлежащих заранее оговоренному множеству.

Пример 1. При каких значениях параметра а уравнение

x²+x+=0

 не имеет решений?

Решение.(Базовая задача 1).

При а=-5 уравнение не имеет смысла.

1.    D= b²-4ac=1-4==.

Квадратное уравнение не имеет корней при  D<0<0>0-7а+9=0;а=;

а;+∞).

Ответ:;+∞).

Пример 2. При каких значениях параметра а уравнение

(3а-1)x²+2аx +3а-2=0

имеет два действительных различных корня?

Решение. (Базовая задача 2).

1. Если 3а-1=0, т. е. 3а=1; а=, то уравнение х+1-2=0; х-1=0имеет единственный корень.

1.      При а≠=k²-ac=a²-(3a-1)(3a-2)= a²- 9a²+3a+6a-2=-8a²+9a-2,

квадратное уравнение имеет два различных корня, если  >0,

-8а²+9а-2>0 8а²-9а+2<0,  а_1,2==.

Ответ:( ;)().

Пример 3. Найти все значения a, при которых уравнение

имеет  два различных действительных корня, из которых только один принадлежит интервалу (1;7).

Решение: (Базовая задача 15).

Квадратное уравнение  имеет  один корень внутри интервала (M;A), а другой вне этого интервала  тогда и только  тогда, когда  f(M)∙f(A)<0.

f(M)=f(1)=a-5, f(A)=f(7)=7+a,получим неравенство(a-5)(a+7)<0,решая его методом интервалов, получим: -7<a<5.

Ответ:-7<a<5.

Пример 4. При каких а уравнение  имеет единственное решение?

Решение: естественно начать решение со случая, а = 0. Итак, если а = 0, то очевидно, что данное уравнение имеет единственное решение. Если же а ¹ 0, то имеем дело с квадратным уравнением. Его дискриминант 1 – 2а принимает значение, равное нулю, при а = .

Ответ: а = 0 или а = .

Пример 5.  При каких а уравнение  имеет более одного корня?

Решение: при а = 0 уравнение имеет единственный корень, что не удовлетворяет условию. При а ¹ 0 исходное уравнение, будучи квадратным, имеет два корня, если его дискриминант  – положительный. Отсюда получаем: . Однако в полученный промежуток (– 4; 1) входит число 0, которое, как мы уже проверили, неприемлемо.

Ответ:  или .

Пример 6. При каких значениях параметра b уравнение  имеет:

а) два положительных корня;

б) два отрицательных корня;

в) единственный корень?

Решение:

если  b ¹ 1, то

а) согласно теореме Виета , b Î (– ¥; – 1) È ( – 1; + ¥)

б) , решений нет

в) если b = 1, то –2х + 2 = 0

х = 1

b ¹ 1; .

Ответ:          а) b Î (– ¥; – 1) È ( – 1; + ¥);

                            б) таких b не существует;

                            в) х = 1.

Пример 7. Решить уравнение x² – bx + 4 = 0

Решение: D = b² – 16.

а) если |b|> 4, т.е. b < – 4 и b > 4, то D >0 и уравнение имеет 2 корня

б) если |b|= 4, т.е. b = ± 4, то D = 0, уравнение имеет один корень x = b/2

в) если |b|< 4, т.е. – 4 < b < 4, то D < 0 и уравнение корней не имеет.

Ответ:         если b < – 4 и b > 4, то 2 корня  

если b = ± 4, то 1 корень x = b/2.

если – 4 < b < 4, то корней нет.

2. Модифицированные задачи

В задачах этого блока требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра. Они видоизменены за счёт:

1.     Увеличения технической сложности и трудности

2.     Переформулирование условия задачи и создания способов её решения

3.     Необычной формы представления условия задачи

Пример 1. Каким условиям должны удовлетворять коэффициенты   a, b , c уравнения

ax⁴+bx²+c=0

чтобы уравнение имело четыре различных действительных корня?

Решение.  (Модифицированная задача 4)

Данное  уравнение  имеет четыре различных действительных корня тогда и только тогда, когда уравнение  имеет два различных положительных корня. Это выполняется  в том и только в том случае, когда выполняются условия b²-4ac>0, <0, >0.

Последние два условия равносильны следующим ab<0, ac>0.

Ответ:

Пример 2. Найти все значения параметра а, при каждом из которых среди корней уравнения

ах²+x(а+4)+а+1=0

имеется  ровно один отрицательный.

Решение. (Модифицированная задача 6).

1. При а=0 уравнение линейное 4х+1=0х=-  - удовлетворяет условию задачи.

2. При а≠0 D=b²-4ac=(a+4)²-4a(a+1)=a²+8a+16-4a²-4a=-3a²+4a+16;

а) D=0-3a²+4a+16=0;3a²-4a-16=0;

a===.

Пусть а=, тогда х=

Пусть a=, тогда х= - удовлетворяет условию задачи.

б) Уравнение имеет корни разных знаков тогда и только тогда, когда ас<0, т.е. <0, a(-1;0).

в) Один из корней равен нулю, если c=0a+1=0,a=-1, тогда

-x²+3x=0,  x²-3x=0, x(x-3)=0.

x₂=3-не удовлетворяет условию задачи.

Ответ:(-1;0).

Пример 3. Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение

х²-(|а+5|-|а-5|)х+(а-12)(а+12)=0

имеет два различных отрицательных корня.

Решение.  (Модифицированная задача 5).

Квадратное  уравнение имеет два разных  отрицательных корня, если 

Рассмотрим систему из второго и третьего условий:

1.(a-12)(a+12)>0приa(-∞;-12)(12;+∞).

2. |a+5|-|a-5|<0.

Решив второе  неравенство методом интервалов, получимa<0, решение системы неравенств: a(-∞;-12).

Решим систему:

(a+5)²-2|a-5||a+5| +(a-5)²-4a²+576>0;

a²+50-4a²+576-2(a²-25)=2a²-2a²-4a²+676=-4a²+676;

-4a²+676>0;a²-169<0; (a-13)(a+13)<0, отсюдаa(-13;-12)

Ответ:-13а<-12.

Пример 4.Найти все значения a , при которых уравнение

имеет два действительных корня  и  такие, что.

Решение.(Модифицированные  задачи 6 и 11).

Квадратное уравнение имеет корни разных знаков, принадлежащие интервалу (-4; 4), тогда и только тогда, когда выполняются условия:

Решая систему, получаем .

Ответ:

Пример 5.Найти все значения a, при которых уравнение

имеет только целые корни.

Решение:

Пусть , тогда уравнение линейное: 3x+3=0, x=-1. Поэтому удовлетворяет условию  задачи.

Пусть , тогда уравнение равносильно уравнению .

Если x_1, x₂- целые корни уравнения,  то, по теореме Виета,  их сумма -4-

их произведение  2a+4+3/a - целые числа,  откуда следует, что их сумма, т.е. -целое число.

Пусть , где , тогда , причем - целое число. Отсюда следует, что n- делитель числа 6, т.е. n может принимать значения из множества чисел .

Проверка.  При n=1 a=,уравнение x²+10x+11=0,корни иррациональные;

приn= - 1 a= - , уравнение x² – 2x – 3=0, x₁=-1, x₂=3 - целые корни;

при n=2 a=1, x²+7x+9=0, корни иррациональные; при n=-2 a=-1, x²+x-1=0, корни иррациональные;  при n=3 a=, x²+6x+9=0, x=-3–целый; при n=-3

a= - x²+2x -1=0-  корни иррациональные.

Проверка показывает, что только при n=-1 и n=3 все корни являются целыми числами. Ответ:.

Пример 6. При каком значении m сумма квадратов корней уравнения  минимальна?

Решение.

По условию задачи уравнение имеет корни, значит .

.

. Это неравенство выполняется при любом значении  m,

т. е. исходное уравнение при любом значении m имеет корни.

         Если х₁ и х₂ – корни уравнения , то по теореме Виета , . 

         .

         .

         Из условия задачи следует, что нам необходимо узнать, при каком значении m квадратный трехчлен принимает наименьшее значение. Т. к. графиком функции  является парабола, ветви которой направлены вверх, то наименьшее значение она принимает в вершине. Найдем абсциссу вершины параболы: .

         Итак, сумма квадратов корней уравнения  минимальна при .

         Ответ: при .

Пример 7. При каком значении q один корень уравнения  равен квадрату второго?

Решение: Если корни  уравнения связаны соотношением , то по теореме Виета

.

Тогда , ,

;

; .

Ответ: ; .

Пример 8. При каких значениях параметра а корни квадратного уравнения

 лежат по разные стороны числа от числа 3?

Решение. Рассмотрим квадратный трехчлен . Графиком является парабола, ветви направлены вверх (первый коэффициент равен 1).

Изобразим геометрическую модель задачи.

                                             y

                                                       х₁             3                      x₂           x

                                       у(3)

Перейдем от геометрической модели к аналитической.

1)                Замечаем, что у(3)<0, а ветви параболы направлены вверх. При этих условиях D>0 автоматически.

Поэтому система неравенств будет содержать одно неравенство: у(3)<0, т.е. 9-6а-3+4-а<0, -7а<-10, а>.

Ответ:

3. Нестандартные задачи

Задачи для которых требуется найти все те значения параметра при которых указанная задача имеет заданное число решений. Они носят исследовательский характер. Их решение основывается на :

1.Методе выдвижения гипотез

2. Видения нового ракурса решения

3.Подключения новых идей и новых комбинаций

Пример 1.  При каких значениях параметра а только больший корень квадратного уравнения принадлежит промежутку      [-1;0).

Решение. Рассмотрим квадратный трехчленГрафиком является парабола. Ветви направлены вверх. Изобразим геометрическую модель задачи. Пусть х₂ – больший корень уравнения. По условию задачи только больший корень принадлежит промежутку.

                       y(х)

                                                          y(0)

                             x₁                  -1     х₂ 0                                       х

                                                                   y(-1)

Замечаем, что у(0)>0, а у(-1)<0. Кроме этого ветви параболы направлены вверх, значит, при этих условиях D>0.

Составим систему неравенств и решим ее.

Ответ: .

Пример 2. При каких значениях а число 1 находится между корнями  квадратного трёхчлена ?

Решение. Чтобы число 1  находилось между корнями квадратного трёхчлена, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство

 .

,

,

.

 

 .

При  число 1 находится между корнями  квадратного трёхчлена .

Ответ: при .

Пример 3. Определите количество разных корней уравнения |х²-4х+3|=3а-2а² в зависимости от параметра а.

Решение. В одной системе координат построим графики функций

f(x)=| х²-4х+3|; g(x)=3a-2a²=A-прямая; f(x)=;х²-4х+3≥0х²-4х+3<0;х²-4х+3=( х²-4х+4) -1=(x-2)²-1;(2;-1)

                                    у=| х²-4х+3|

у=A

у=A

При  А<0 корней нет;

При А=0 и при А>1 два корня;

При А(0;1)0<А<1 четыре корня;

При А=1 три  корня.

1 случай. 3a-2a²<0   а(3-2а)<0;  (-∞;0)(1,5;+∞)

2 случай.   3a-2a²=0;а=0   или     а=1,5;  3a-2a²>12а²-3а+1<0

Это неравенство второй степени, решим его графически

2а²-3а+1=0;   а₁=1    или    а₂=0,5   (0,5;1).

3 случай. 0<3a-2a²<1

1)3a-2a²>0                                 2) 3a-2a²<1;

а(3-2а)>0                                 2а²-3а+1>0;           

а₁=0     или     а₂=1,5                а₁=1     или     а₂=0,5;

(0;1,5)                                       (-∞;0,5)(1;+∞)

(0;0,5)(1;+∞).

4 случай. 3а-2а²=1;а₁=1      или      а₂=0,5

Ответ: если (-∞;0)(1,5;+∞) уравнение корней не имеет;

если (0;1)уравнение имеет два корня;

если а=1, а=0,5  уравнение имеет три корня;

Если а(0;0,5)(1;1,5) уравнение имеет четыре корня.

Пример 4. Определить значения параметра а, при которых уравнение

|(x+а)²-9|+2|х|-х²-2ах-а²+5=0 будет иметь наибольшее число корней.

Решение. Приведем уравнение к следующему виду:

²-9)=4-2 (*).

Рассмотрим два случая:

|(x+а)²-9|=

1 случай.

(x+а)²-902|х|-4=0|х|=2х=±2. Для того, чтобы найденные значения x являлись решениями уравнения (*) должны выполняться условия:

если  х=2,   (2+а)²-9≥0   (2+а)²≥9 |а+2|≥3ри а(-∞;-;+∞).

если  х=-2,(а-2)²-9≥0           (а-2)²≥9         |а-2|≥3

(-∞;-;+∞).

2 случай.(x+а)²-9<0;то уравнение (*) будет иметь вид:

9-(x+a)²-(x+a)²+9=4-2(x+а)²=|х|+7;

                                                               у=|х|+7

у=(x+а)²

                                                     у=(x+а)²                                                                                                                                                                                   у=(x+а)²

т.к. должно выполняться условие (x+а)²<9,то для существования корней должно быть и |х|+7<9,т.е. парабола y=(x-a)² должна пересечь «угол»-y=2х. Это возможно только при  а, причем решение при этих значениях a будет одно.  При a=-1и a=5 получим x=-2; при a=-5иa=1получим x=2; при а(-5;-1)(1;5) решением будет некоторое число x(-2;2).

Сравнивая полученные решения в первом и втором случаях, имеем

при а(-1;1)-уравнение не имеет корней;

при а=-1 и а=1-уравнение имеет одно корень;

при а(-∞;-1)(1;+∞)-два корня;

Проиллюстрирую полученные выводы графически.

1.Пусть а(-1;1), например, a=0, уравнение (*) примет вид

                     y=|x²-9|-(x²-9)

                    y=-2|x|+4

Рисунок наглядно показывает, что при а(-1;1) корней нет.

2.Пусть а=-1, уравнение принимает вид ²-9)=4-2

                                                                             y=│(x+1)²│-((x+1)²-9)

               y=-2│x│+4                                                                     

Уравнение имеет один корень x=-2.

3.Пусть  а(-∞;-1),например, a=-2, получим уравнение

²-9)=4-2

                                                                    y=│(x-2)²│-((x-2)²-9) 

                                                                            y=-2│x│+4

Уравнение имеет два корня: x₁=-2, x₂(-2;2)

Пусть а(1;+∞),например, a=5,получим уравнение

²-9)=4-2

y=│(x+5)²│-((x+5)²-9)  

            y=-2│x│+4

Из рисунка видно, уравнение имеет два корня:x₁=-2,x₂=2

Ответ: при а(-∞;-1)(1;+∞)-уравнение имеет два корня.

Пример 5. При каких значениях параметра а отрезок [-1;3] целиком находится между корнями квадратного уравнения ?

Решение. Рассмотрим квадратный трехчлен Графиком является парабола. Геометрическая модель данной задачи представлена на рисунке.

                                       х₁      -1   0                     3                  x₂        x

                                                         у(-1)

                                               у(3)

 При этих условиях D>0, так как ветви параболы направлены вверх.

Ответ: а .

Пример 6. При  не равно . Найти а.

Решим двумя способами.

Решение.

Способ 1:

Пусть тогда

Корни имеют разные знаки, так как

Уравнение имеет корень, если

      условие, когда

Ответ: .

Способ 2:

Пусть

 функция возрастает, значит  если имеет корень , то он единственный

При имеет решения, значит при

 Не имеет корней.

Ответ: .

.

Литература

1.             Родионов Е.М. Справочник для поступающих в вузы. Решение задач с параметрами.

2.            Мордкович А.Г. «Алгебра 9 класс».                    

3.            Семёнов А.В, Ященко И.В. ГИА – 2013; ГИА -  2014 «Математика».

4.            Кузнецова Л.В. «Алгебра 9 класс» сборник заданий.

5.            Лысенко Ф.Ф. Математика. Подготовка к ГИА – 2013

6.            Макарычев Ю.Н. «Алгебра, учебник для 9 класса с углубленным изучением математики».