Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / «Решение квадратных уравнений с параметром в соответствии с требованиями ФГОС»
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

«Решение квадратных уравнений с параметром в соответствии с требованиями ФГОС»

библиотека
материалов

hello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifПояснительная записка

ФИО (полностью)

Андреенко Светлана Сергеевна



Должность

Учитель математики

Предмет

Алгебра

Класс

8-9

Тема

«Решение квадратных уравнений с параметром в соответствии с требованиями ФГОС»


Базовый учебник

Алгебра. 8,9 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова; под ред. С.А. Теляковского. — 18-е изд.-М.: Просвещение, 2011.-271 с




  1. Цель: обучение умению решать квадратные уравнения, с параметрами алгебраическим и функционально – графическим методом при подготовке к ГИА.

  2. Задачи:

- обучающие: анализировать и осмысливать текст задачи, самостоятельное выделение и формулирование познавательной цели, переформулировать условие, строить логическую цепочку рассуждений, критически оценивать полученный ответ, осознанное и произвольное построение речевого высказывания, выбор наиболее эффективного способа решения задач, постановка и формулирование проблемы, выдвижение гипотез и их обоснование, смысловое чтение;

  1. -развивающие: целеполагание, планировать свою деятельность в зависимости от конкретных условий; рефлексия способов и условий действия, контроль и оценка процесса и результатов деятельности, саморегуляция, через решение задач, развивать творческую и мыслительную деятельность учащихся, интеллектуальные качества: способность к “видению” проблемы, оценочным действиям, самостоятельности, гибкости мышления;

-воспитательные: смыслообразование, умение слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблем, воспитывать ответственность и аккуратность.

Формируемые УУД в рамках ФГОС при решении задач с параметрами:



Этапы решения задач

Формируемые УУД

Анализ условия (введение буквенных обозначений)

  • целеполагание;

  • выделение существенной информации;

  • формулирование задачи и прогнозирование способов решения;

  • абстрагирование;

  • аналогия;

  • классификация (типологизация);

  • знакосимволические действия.

Схематическая запись условия задачи в виде таблицы, схемы, графа с введенными буквенными обозначениями

  • планирование;

  • систематизация;

  • знакосимволические действия;

  • моделирование.

Составление модели (поиск аналога, привлечение из математики или физики известного закона)

  • создание способа решения задачи;

  • корректировка условия;

  • моделирование в графическом виде.

Решение уравнения, системы и т.д. (поиск неизвестного)

  • анализ и выявление существенной информации;

  • выведение следствий;

  • построение цепи рассуждений;

  • выдвижение и проверка гипотез;

  • преобразование модели.

Интерпретация модели (проверка и оценка решений, корней)

  • анализ;

  • выведение следствий;

  • конкретизация;

  • знакосимволическое действие (интерпретация).

Исследование (обобщение задачи или способа её решения для видоизмененных условий, другие подходы к решению)

  • анализ;

  • синтез;

  • поиск аналогов;

  • построение цепи рассуждений;

  • умение сжато передать содержание;

  • умение схемы, символы, модели;

  • создание способов решения проблем поискового, творческого характера.

Рефлексия

  • смыслообразование;

  • планирование;

  • контроль;

  • коррекция;

  • оценка;

  • волевая саморегуляция;

  • готовность к саморазвитию, к самообразованию;

  • умение самостоятельно определять цели своего обучения;

  • ставить и формулировать для себя новые задачи;

  • развивать мотивы и интересы своей образовательной деятельности.



1.Базовые задачи по квадратичной функции

Рассмотрим следующие методы: метод сведения задачи к равносильной, перебор различных значений параметра, замена переменной, выявление необходимых и достаточных условий или необходимых условий.

  • Функция y = ahello_html_7a2a5240.gif+bx+c (a≠0) задает параболу с вершиной в точке С(xB;yB).

  • Функция y = a(x-m)2+n(a≠0) задает параболу с вершиной в точке

С(m; n).

Пустьf(x) = ahello_html_7a2a5240.gif+bx+c (a≠0).

  1. Квадратное уравнение ax2+bx+c=0 (a≠0) (1)

не имеет решений тогда и только тогда, когда D<0.

  1. Квадратное уравнение (1) имеет два различных корня тогда и только тогда, когда D>0.

  2. Квадратное уравнение (1) имеет два (может быть кратных) корня тогда и только тогда, когда D≥0.

  3. Квадратное уравнение (1) имеет два различных положительных корня тогда и только тогда, когда

hello_html_756ae676.gifили hello_html_m29cfccd6.gif

  1. Квадратное уравнение (1) имеет два различных отрицательных корня тогда и только тогда, когда

hello_html_69a4ab4c.gifили hello_html_m55516ac1.gif

  1. Квадратное уравнение (1) имеет корни разных знаков тогда и только тогда, когда hello_html_m2f26fa15.gif<0 hello_html_m4b77ecfd.gif

  2. Квадратное уравнение (1) имеет корень, равный нулю тогда и только тогда, когда hello_html_35712f1b.gifс=0.

  3. Квадратное уравнение (1) имеет два разных корня x1, x2 <hello_html_69b83015.gif тогда и только тогда, когда hello_html_19999020.gifhello_html_6d6295e5.png



  1. Квадратное уравнение (1) имеет два корня x1<hello_html_69b83015.gif<x2 тогда и только тогда, когда hello_html_1924201a.gif

hello_html_m73c6d01d.png



  1. Квадратное уравнение (1) имеет два разных корня x1, x2 >x0 тогда и только тогда, когда hello_html_51a30eae.gif

hello_html_4e9ddc0d.png

  1. Квадратное уравнение (1) имеет различные корни, принадлежащие интервалу

(M;A), где М<Aтогда и только тогда, когда

hello_html_4162b76d.gifhello_html_m118f6763.png

12. Квадратное уравнение (1) имеет различные корни x1<M<x2<Aтогда и только тогда, когда hello_html_m8fd158e.gif

hello_html_m413ef103.png

  1. Квадратное уравнение (1) имеет различные корни M<x1<A<x2 тогда и только тогда, когда hello_html_6418a6e5.gif

hello_html_m40f5f9c2.png

  1. Квадратное уравнение (1) имеет различные корни x1<M<A<x2 тогда и только тогда, когда hello_html_112ec18b.gif

hello_html_m10d38ab9.png

Рис. 7

  1. Квадратное уравнение (1) имеет один корень внутри интервала (M;A), а другой вне этого интервала тогда и только тогда, когда f(M)∙f(A)<0.


1.1. Примеры решений уравнений с параметром

1. Базовые задачи

Задачи этого блока решаются либо для любого значения параметра, либо для значения параметра, принадлежащих заранее оговоренному множеству.

Пример 1. При каких значениях параметра а уравнение

x2+x+hello_html_8669c6b.gif=0

не имеет решений?

Решение.(Базовая задача 1).

При а=-5 уравнение не имеет смысла.

  1. D= b2-4ac=1-4hello_html_8669c6b.gif=hello_html_m6091e90f.gif=hello_html_me3a7988.gif.

Квадратное уравнение не имеет корней при D<0hello_html_m47a0b9b5.gif<0hello_html_3f9a0703.gif>0hello_html_146a5db.gif-7а+9=0;а=hello_html_3c3a9193.gif;

аhello_html_m37671019.gif;+∞).

Ответ:hello_html_7a482a4.gif;+∞).

Пример 2. При каких значениях параметра а уравнение

(3а-1)x2+2аx +3а-2=0

имеет два действительных различных корня?

Решение. (Базовая задача 2).

1. Если 3а-1=0, т. е. 3а=1; а=hello_html_7f8f9891.gif, то уравнение hello_html_c308ce9.gifх+1-2=0; hello_html_6a1c94eb.gifх-1=0имеет единственный корень.

  1. При аhello_html_m55dfd118.gif=k2-ac=a2-(3a-1)(3a-2)= a2- 9a2+3a+6a-2=-8a2+9a-2,

квадратное уравнение имеет два различных корня, если hello_html_m40bdab38.gif>0,

-8а2+9а-2>0hello_html_146a5db.gif2-9а+2<0, а1,2=hello_html_28f8c15e.gif=hello_html_m54a6e1de.gif.

Ответ:( hello_html_m7d0da4a4.gif;hello_html_7f8f9891.gif)hello_html_48d46fa3.gif(hello_html_574ca291.gif).

Пример 3. Найти все значения a, при которых уравнение

hello_html_m15241f54.gif

имеет два различных действительных корня, из которых только один принадлежит интервалу (1;7).

Решение: (Базовая задача 15).

Квадратное уравнение имеет один корень внутри интервала (M;A), а другой вне этого интервала тогда и только тогда, когда f(M)∙f(A)<0.

f(M)=f(1)=a-5, f(A)=f(7)=7+a,получим неравенство(a-5)(a+7)<0,решая его методом интервалов, получим: -7<a<5.

Ответ:-7<a<5.

Пример 4. При каких а уравнение hello_html_78973f22.gif имеет единственное решение?

Решение: естественно начать решение со случая, а = 0. Итак, если а = 0, то очевидно, что данное уравнение имеет единственное решение. Если же а  0, то имеем дело с квадратным уравнением. Его дискриминант 1 – 2а принимает значение, равное нулю, при а = hello_html_m53d32eaf.gif.

Ответ: а = 0 или а = hello_html_m53d32eaf.gif.

Пример 5. При каких а уравнение hello_html_27894b5b.gif имеет более одного корня?

Решение: при а = 0 уравнение имеет единственный корень, что не удовлетворяет условию. При а  0 исходное уравнение, будучи квадратным, имеет два корня, если его дискриминант hello_html_m17858cc4.gif – положительный. Отсюда получаем: hello_html_8e29cd7.gif. Однако в полученный промежуток (– 4; 1) входит число 0, которое, как мы уже проверили, неприемлемо.

Ответ: hello_html_2b7fae18.gif или hello_html_m48f1daa7.gif.

Пример 6. При каких значениях параметра b уравнение hello_html_m60cc8266.gif имеет:

а) два положительных корня;

б) два отрицательных корня;

в) единственный корень?

Решение:

hello_html_m60cc8266.gif

если b 1, то hello_html_4c435b8.gif

а) согласно теореме Виета hello_html_3ad5950a.gif, b (– ; – 1)  ( – 1; + )

б) hello_html_m2bea8326.gif, решений нет

в) если b = 1, то –2х + 2 = 0

х = 1

b 1; hello_html_2bb84c0d.gif.

Ответ: а) b (– ; – 1)  ( – 1; + );

б) таких b не существует;

в) х = 1.

Пример 7. Решить уравнение x2 – bx + 4 = 0

Решение:= b2 – 16.

а) если |b|> 4, т.е. b < – 4 и b > 4, то D >0 и уравнение имеет 2 корня

http://sv9school.narod.ru/Pages/Uchenik/Testir/zan_po_CT/z_10.files/image091.png

б) если |b|= 4, т.е. b ± 4, то D = 0, уравнение имеет один корень x = b/2

в) если |b|< 4, т.е. – 4 < b < 4, то D < 0 и уравнение корней не имеет.

Ответ:         если b < – 4 и b > 4, то 2 корня  http://sv9school.narod.ru/Pages/Uchenik/Testir/zan_po_CT/z_10.files/image093.png

если b = ± 4, то 1 корень x = b/2.

если – 4 < b < 4, то корней нет.

 

2. Модифицированные задачи

В задачах этого блока требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра. Они видоизменены за счёт:

  1. Увеличения технической сложности и трудности

  2. Переформулирование условия задачи и создания способов её решения

  3. Необычной формы представления условия задачи

Пример 1. Каким условиям должны удовлетворять коэффициенты a, b , c уравнения

ax4+bx2+c=0

чтобы уравнение имело четыре различных действительных корня?

Решение. (Модифицированная задача 4)

Данное уравнение имеет четыре различных действительных корня тогда и только тогда, когда уравнение hello_html_m2af0ecde.gif имеет два различных положительных корня. Это выполняется в том и только в том случае, когда выполняются условия b2-4ac>0, hello_html_m6acef63e.gif<0, hello_html_64ef67f6.gif>0.

Последние два условия равносильны следующим ab<0, ac>0.

Ответ:hello_html_m4b24d9f5.gif

Пример 2. Найти все значения параметра а, при каждом из которых среди корней уравнения

ах2+x(а+4)+а+1=0

имеется ровно один отрицательный.

Решение. (Модифицированная задача 6).

1. При а=0 уравнение линейное 4х+1=0hello_html_7c0c4397.gifх=-hello_html_685d8d49.gif - удовлетворяет условию задачи.

2. При а≠0 D=b2-4ac=(a+4)2-4a(a+1)=a2+8a+16-4a2-4a=-3a2+4a+16;

а) D=0-3a2+4a+16=0;3a2-4a-16=0;

a=hello_html_m3611257.gif=hello_html_mcbf3e49.gif=hello_html_m4f944bcf.gif.

Пусть а=hello_html_m4f944bcf.gif, тогда х=hello_html_7dc18f2a.gif

Пусть a=hello_html_m4f944bcf.gif, тогда х=hello_html_7ec9798e.gif - удовлетворяет условию задачи.

б) Уравнение имеет корни разных знаков тогда и только тогда, когда ас<0, т.е. hello_html_m4b6abd9e.gif<0, ahello_html_m2e28bbd1.gif(-1;0).

в) Один из корней равен нулю, если c=0hello_html_m10e62318.gifa+1=0,a=-1, тогда

-x2+3x=0, x2-3x=0, x(x-3)=0.

x2=3-не удовлетворяет условию задачи.

Ответ:(-1;0)hello_html_7abbff42.gif.

Пример 3. Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение

х2-(|а+5|-|а-5|)х+(а-12)(а+12)=0

имеет два различных отрицательных корня.

Решение. (Модифицированная задача 5).

Квадратное уравнение имеет два разных отрицательных корня, если hello_html_30af29.gif

Рассмотрим систему из второго и третьего условий:

hello_html_m34ee0642.gif

1.(a-12)(a+12)>0приahello_html_m2e28bbd1.gif(-∞;-12)hello_html_48d46fa3.gif(12;+∞).

2. |a+5|-|a-5|<0.

Решив второе неравенство методом интервалов, получимa<0, решение системы неравенств: ahello_html_m2e28bbd1.gif(-∞;-12).

Решим систему:

hello_html_5885495d.gif

(a+5)2-2|a-5||a+5| +(a-5)2-4a2+576>0;

a2+50-4a2+576-2(a2-25)=2a2-2a2-4a2+676=-4a2+676;

-4a2+676>0;a2-169<0; (a-13)(a+13)<0, отсюдаahello_html_m2e28bbd1.gif(-13;-12)

Ответ:-13hello_html_m7c48e444.gifа<-12.

Пример 4.Найти все значения a , при которых уравнениеhello_html_m54f5e58c.gif

имеет два действительных корня hello_html_67f2de71.gif и hello_html_60e503fe.gif такие, чтоhello_html_m7f1e7a6c.gif.

Решение.(Модифицированные задачи 6 и 11).

Квадратное уравнение имеет корни разных знаков, принадлежащие интервалу (-4; 4), тогда и только тогда, когда выполняются условия:

hello_html_m115d0ecd.gifhello_html_m176a8ac3.gif

Решая систему, получаем hello_html_71e3dc07.gif.

Ответ:hello_html_71e3dc07.gif

Пример 5.Найти все значения a, при которых уравнение

hello_html_m9dcc796.gifимеет только целые корни.

Решение:

Пусть hello_html_5027ce02.gif, тогда уравнение линейное: 3x+3=0, x=-1. Поэтому hello_html_m48cd3ccf.gifудовлетворяет условию задачи.

Пусть hello_html_m40a4f86c.gif, тогда уравнение равносильно уравнению hello_html_9db149b.gif.

Если x1, x2- целые корни уравнения, то, по теореме Виета, их сумма -4-hello_html_741f0a7.gif

их произведение 2a+4+3/a - целые числа, откуда следует, что их сумма, т.е. hello_html_18a304d.gif-целое число.

Пусть hello_html_me59fe9a.gif, где hello_html_35f50923.gif, тогда hello_html_479171c4.gif, причем hello_html_15c1daff.gif- целое число. Отсюда следует, что n- делитель числа 6, т.е. n может принимать значения из множества чисел hello_html_5f3ec5c3.gif.

Проверка. При n=1 a=hello_html_6eec8aff.gif,уравнение x2+10x+11=0,корни иррациональные;

приn= - 1 a= - hello_html_6eec8aff.gif, уравнение x2 – 2x – 3=0, x1=-1, x2=3 - целые корни;

при n=2 a=1, x2+7x+9=0, корни иррациональные; при n=-2 a=-1, x2+x-1=0, корни иррациональные; при n=3 a=hello_html_m4aae006e.gif, x2+6x+9=0, x=-3–целый; при n=-3

a= - hello_html_m70d96afa.gifx2+2x -1=0- корни иррациональные.

Проверка показывает, что только при n=-1 и n=3 все корни являются целыми числами. Ответ:hello_html_168b6071.gif.

Пример 6. При каком значении m сумма квадратов корней уравнения hello_html_1f25e1af.gif минимальна?

Решение.

По условию задачи уравнение имеет корни, значит hello_html_6be3051e.gif.

hello_html_2d8037f8.gif.

hello_html_61b6e996.gif. Это неравенство выполняется при любом значении m,

т. е. исходное уравнение при любом значении m имеет корни.

Если х1 и х2 – корни уравнения hello_html_4ff70210.gif, то по теореме Виета hello_html_462bcc5d.gif, hello_html_m2fd669c3.gif.

hello_html_m75a977fa.gif.

hello_html_10eadf06.gif.

Из условия задачи следует, что нам необходимо узнать, при каком значении m квадратный трехчлен принимает наименьшее значение. Т. к. графиком функции hello_html_3968303a.gif является парабола, ветви которой направлены вверх, то наименьшее значение она принимает в вершине. Найдем абсциссу вершины параболы: hello_html_7757664c.gif.

Итак, сумма квадратов корней уравнения hello_html_1f25e1af.gif минимальна при hello_html_m39711f81.gif.

Ответ: при hello_html_m39711f81.gif.

Пример 7. При каком значении q один корень уравнения hello_html_3f1d02d1.gif равен квадрату второго?

Решение: Если корни hello_html_392457b.gif уравнения связаны соотношением hello_html_m18ba6bde.gif, то по теореме Виета hello_html_117f2503.gif

hello_html_1d9a3857.gif.

Тогда hello_html_111b3495.gif, hello_html_36c1051b.gif,

hello_html_cdb8b90.gif;

hello_html_fe3830b.gif; hello_html_mec80b6d.gif.

Ответ: hello_html_fe3830b.gif; hello_html_mec80b6d.gif.

Пример 8. При каких значениях параметра а корни квадратного уравнения

hello_html_m40626406.gifлежат по разные стороны числа от числа 3?

Решение. Рассмотрим квадратный трехчлен hello_html_m43dff455.gif. Графиком является парабола, ветви направлены вверх (первый коэффициент равен 1).

Изобразим геометрическую модель задачи.

y





х1 3 x2 x



у(3)



Перейдем от геометрической модели к аналитической.

  1. Замечаем, что у(3)<0, а ветви параболы направлены вверх. При этих условиях D>0 автоматически.

Поэтому система неравенств будет содержать одно неравенство: у(3)<0, т.е. 9-6а-3+4-а<0, -7а<-10, а>hello_html_6e26e43a.gif.

Ответ: hello_html_m2894dadf.gif

3. Нестандартные задачи

Задачи для которых требуется найти все те значения параметра при которых указанная задача имеет заданное число решений. Они носят исследовательский характер. Их решение основывается на :

1.Методе выдвижения гипотез

2. Видения нового ракурса решения

3.Подключения новых идей и новых комбинаций

Пример 1. При каких значениях параметра а только больший корень квадратного уравнения hello_html_4a03e465.gifпринадлежит промежутку [-1;0).

Решение. Рассмотрим квадратный трехчленhello_html_46b9a469.gifГрафиком является парабола. Ветви направлены вверх. Изобразим геометрическую модель задачи. Пусть х2 – больший корень уравнения. По условию задачи только больший корень принадлежит промежутку.

y(х)



y(0)

x1 -1 х2 0 х

y(-1)



Замечаем, что у(0)>0, а у(-1)<0. Кроме этого ветви параболы направлены вверх, значит, при этих условиях D>0.

Составим систему неравенств и решим ее.

hello_html_15d5073d.gif

Ответ: hello_html_3eabe493.gif.

Пример 2. При каких значениях а число 1 находится между корнями квадратного трёхчлена hello_html_m4e072d85.gif?

Решение. Чтобы число 1 находилось между корнями квадратного трёхчлена, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство

hello_html_m4323a526.gif.

hello_html_1d0cc628.gif,

hello_html_7399b8cf.gif,

hello_html_m7febfce3.gif.



+ - +

-1 2

-1 2 а



hello_html_m581989cc.gif.

При hello_html_m581989cc.gif число 1 находится между корнями квадратного трёхчлена hello_html_m4e072d85.gif.

Ответ: при hello_html_m581989cc.gif.

Пример 3. Определите количество разных корней уравнения |х2-4х+3|=3а-2а2 в зависимости от параметра а.

Решение. В одной системе координат построим графики функций

f(x)=| х2-4х+3|; g(x)=3a-2a2=A-прямая; f(x)=hello_html_m5ddd2b18.gif2-4х+3≥0hello_html_m606c9b5a.gifх2-4х+3<0;х2-4х+3=( х2-4х+4) -1=(x-2)2-1;(2;-1)





у=| х2-4х+3|hello_html_m3452638c.png

у=A



у=A





При А<0 корней нет;

При А=0 и при А>1 два корня;

При Аhello_html_m2e28bbd1.gif(0;1)hello_html_m606c9b5a.gif0<А<1 четыре корня;

При А=1 три корня.

1 случай. 3a-2a2<0 hello_html_m606c9b5a.gifа(3-2а)<0; (-∞;0)hello_html_48d46fa3.gif(1,5;+∞)

2 случай. 3a-2a2=0;а=0 или а=1,5; 3a-2a2>1hello_html_m606c9b5a.gif2-3а+1<0

Это неравенство второй степени, решим его графически

2-3а+1=0; а1=1 или а2=0,5 (0,5;1).

3 случай. 0<3a-2a2<1

hello_html_m77a37d3e.gif

1)3a-2a2>0 2) 3a-2a2<1;

а(3-2а)>0 2а2-3а+1>0;

а1=0 или а2=1,5 а1=1 или а2=0,5;

(0;1,5) (-∞;0,5)hello_html_48d46fa3.gif(1;+∞)

(0;0,5)hello_html_48d46fa3.gif(1;+∞).

4 случай. 3а-2а2=1;а1=1 или а2=0,5

Ответ: если (-∞;0)hello_html_48d46fa3.gif(1,5;+∞) уравнение корней не имеет;

если (0;1)hello_html_m74699cf5.gifуравнение имеет два корня;

если а=1, а=0,5 уравнение имеет три корня;

Если аhello_html_m2e28bbd1.gif(0;0,5)hello_html_48d46fa3.gif(1;1,5) уравнение имеет четыре корня.

Пример 4. Определить значения параметра а, при которых уравнение

|(x+а)2-9|+2|х|-х2-2ах-а2+5=0 будет иметь наибольшее число корней.

Решение. Приведем уравнение к следующему виду:

hello_html_m94ada4.gif2-9)=4-2hello_html_24eac141.gif (*).

Рассмотрим два случая:

|(x+а)2-9|=hello_html_m13179c9a.gif

1 случай.

(x+а)2-9hello_html_m6d1256d7.gif0hello_html_m606c9b5a.gif2|х|-4=0hello_html_m606c9b5a.gif|х|=2hello_html_m606c9b5a.gifх=±2. Для того, чтобы найденные значения x являлись решениями уравнения (*) должны выполняться условия:

если х=2, (2+а)2-9≥0 hello_html_146a5db.gif (2+а)2≥9hello_html_146a5db.gif |а+2|≥3hello_html_9c6e0eb.gifри аhello_html_m2e28bbd1.gif(-∞;-hello_html_4c4dcf3a.gif;+∞).

если х=-2,(а-2)2-9≥0 hello_html_146a5db.gif (а-2)2≥9 hello_html_146a5db.gif |а-2|≥3hello_html_146a5db.gif

hello_html_m7caf6802.gif(-∞;-hello_html_2eee3b06.gif;+∞).

2 случай.(x+а)2-9<0;то уравнение (*) будет иметь вид:

9-(x+a)2-(x+a)2+9=4-2hello_html_778ec6d8.gif(x+а)2=|х|+7;



у=|х|+7hello_html_m41f1b128.png



у=(x+а)2

у=(x+а)2 у=(x+а)2





т.к. должно выполняться условие (x+а)2<9,то для существования корней должно быть и |х|+7<9,т.е. парабола y=(x-a)2 должна пересечь «угол»-y=hello_html_31889437.gif2hello_html_m54ea4251.gifхhello_html_64016029.gif. Это возможно только при аhello_html_2e2015.gif, причем решение при этих значениях a будет одно. При a=-1и a=5 получим x=-2; при a=-5иa=1получим x=2; при аhello_html_m2e28bbd1.gif(-5;-1)hello_html_48d46fa3.gif(1;5) решением будет некоторое число xhello_html_m2e28bbd1.gif(-2;2).

Сравнивая полученные решения в первом и втором случаях, имеем

при аhello_html_m2e28bbd1.gif(-1;1)-уравнение не имеет корней;

при а=-1 и а=1-уравнение имеет одно корень;

при аhello_html_m2e28bbd1.gif(-∞;-1)hello_html_48d46fa3.gif(1;+∞)-два корня;

Проиллюстрирую полученные выводы графически.

1.Пусть аhello_html_m2e28bbd1.gif(-1;1), например, a=0, уравнение (*) примет вид

hello_html_m20fdac3f.gif









y=|x2-9|-(x2-9)

hello_html_m31955b9a.png



y=-2|x|+4







Рисунок наглядно показывает, что при аhello_html_m2e28bbd1.gif(-1;1) корней нет.

2.Пусть а=-1, уравнение принимает вид hello_html_6ba0cd9e.gif2-9)=4-2hello_html_24eac141.gifhello_html_65284eb.png





y=│(x+1)2│-((x+1)2-9)



y=-2│x│+4





Уравнение имеет один корень x=-2.

3.Пусть аhello_html_m2e28bbd1.gif(-∞;-1),например, a=-2, получим уравнение

hello_html_2cfb0190.gif2-9)=4-2hello_html_24eac141.gif

hello_html_5669ccd.png

y=│(x-2)2│-((x-2)2-9)







y=-2│x│+4



Уравнение имеет два корня: x1=-2, x2hello_html_m2e28bbd1.gif(-2;2)

Пусть аhello_html_m2e28bbd1.gif(1;+∞),например, a=5,получим уравнение

hello_html_m8f844c6.gif2-9)=4-2hello_html_24eac141.gif

hello_html_3d823f66.png



y=│(x+5)2│-((x+5)2-9)







y=-2│x│+4





Из рисунка видно, уравнение имеет два корня:x1=-2,x2=2

Ответ: при аhello_html_m2e28bbd1.gif(-∞;-1)hello_html_48d46fa3.gif(1;+∞)-уравнение имеет два корня.

Пример 5. При каких значениях параметра а отрезок [-1;3] целиком находится между корнями квадратного уравнения hello_html_7d9ed12c.gif?

Решение. Рассмотрим квадратный трехчлен hello_html_61d394db.gifГрафиком является парабола. Геометрическая модель данной задачи представлена на рисунке.



х1 -1 0 3 x2 x

у(-1)

у(3)

hello_html_m568d050b.gif

При этих условиях D>0, так как ветви параболы направлены вверх.

hello_html_m33c8d0ea.gif

Ответ: а hello_html_m6fe4e470.gif.

Пример 6. При hello_html_4f2f11dc.gif не равно hello_html_53034168.gif. Найти а.

Решим двумя способами.

Решение.

Способ 1:

hello_html_m2fe6615d.gif

hello_html_m58ce99d9.gif

hello_html_m242a7e8.gif

hello_html_m1e34e5a8.gif

Пусть hello_html_3e136383.gifтогда hello_html_2a3f855a.gif

Корни имеют разные знаки, так как hello_html_23334954.gif

Уравнение имеет корень, если hello_html_m570be3b2.gif







hello_html_40f6c94.gif

hello_html_m50db67d9.gifусловие, когда hello_html_m79f7cd55.gif

Ответ: hello_html_m25e4f947.gif.

Способ 2:

hello_html_m61a8196a.gif

Пусть hello_html_31b54513.gif

hello_html_m5ea817b1.gif



hello_html_46ab89a8.gifфункция возрастает, значит hello_html_b15af79.gif если имеет корень hello_html_m4e3fcc94.gif, то он единственный

hello_html_3e09cb55.gif

hello_html_4c71f68d.gif

При hello_html_50250650.gifимеет решения, значит при hello_html_m6180b6a9.gif

Не имеет корней.

Ответ: hello_html_m25e4f947.gif.

.





Литература

  1. Родионов Е.М. Справочник для поступающих в вузы. Решение задач с параметрами.

  2. Мордкович А.Г. «Алгебра 9 класс».

  3. Семёнов А.В, Ященко И.В. ГИА – 2013; ГИА - 2014 «Математика».

  4. Кузнецова Л.В. «Алгебра 9 класс» сборник заданий.

  5. Лысенко Ф.Ф. Математика. Подготовка к ГИА – 2013

  6. Макарычев Ю.Н. «Алгебра, учебник для 9 класса с углубленным изучением математики».




Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 05.12.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров414
Номер материала ДВ-231678
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх