Решение прикладных задач, используя координаты и векторы

Открытый урок по теме:

«Решение прикладных задач, используя координаты и векторы».

Предмет: математика

Преподаватель: Никонова Н.О.

Цели урока:

Образовательные цели: научить учащихся использовать знания о координатах и векторах при решении прикладных задач в физике и геометрии; развивать интерес учащихся к изучению математики и физики; активизировать познавательную активность учащихся.

Развивающие цели: развитие абстрактного мышления, пространственного воображения и интуиции, развитие познавательного интереса.

Воспитательные цели: развитие навыков коллективной работы, создание атмосферы доброжелательности на уроке.

Метод обучения: использование информационно-компьютерных технологий

Тип урока: урок применения, обобщения и систематизации знаний

Оборудование: компьютер, экран, проектор, доска, карточки с тестом и самостоятельной работой.

План урока:

I.Организационный этап.

II. Подготовка к изучению нового материала.

2.1. Информация о целях и задачах урока.

2.2. Проверка домашнего задания.

2.3. Тестирование.

III. Объяснение нового материала.

3.1 Объяснение и решение задачи учителем.

3.2 Решение задач на доске студентами.

IV. Проверка усвоения нового материала.

4.1 Устный опрос.

4.2 Самостоятельная работа.

V. Подведение итогов урока.

VI. Задание на дом

VII. Рефлексия

Ход урока:

I.Организационный этап:

Здравствуйте студенты и гости нашего урока!

II. Тема сегодняшнего урока: «Использование координат и векторов при решении прикладных задач».

На сегодняшнем уроке мы продолжаем изучать блок тем: «Координаты и векторы».

Эпиграф сегодняшнего занятия - шарада… постарайтесь отгадать

Мой первый слог – почтенный срок,

Коль прожит он недаром.

Второй был тортом на столе,

Пока Т не убрали.

Меня вы встретите везде –

Такой я вездесущий.

А имя громкое мое –

Латинское «несущий».

от латинского vector, буквально несущий

На прошлых занятиях мы познакомились с тем, что такое, координаты, вектор, плоскость и пространство.

Как задается точка, отрезок, вектор на плоскости и в пространстве.

Научились совершать различные действия над векторами.

Вектор — многозначный термин; величина, характеризующаяся размером и направлением. Вектора применяются во многих науках, таких как: математика, физика, геометрия и многих других прикладных науках.

Векторы вокруг нас! Нам безусловно важно знать в каком направлении мы движемся (куда же нас несет): вошли мы в класс или вышли, в каком направлении повернули ручку комфорки духового шкафа когда там начинает подгорать пирог…. Все это вектора и они играют важную роль в нашей жизни.

На практике, векторы позволяют не делать лишних операций и сократить время выполнения задач.

Поэтому цель сегодняшнего урока:

-полученные ранее знания научиться использовать как инструмент для решения прикладных задач. Сегодня разберем некоторые задачи по физике и геометрии.

Оценим свои знания дважды. В начале урока проверим знания и навыки которые были вами принесены сегодня и второй раз в конце урока - проведем проверку знаний которые вы сегодня от сюда вынесете.

Для начала проверим ДЗ. Вам было задано четыре задачи. Кто справился со всеми задачами? Какие задачи вызвали затруднения? Решение двух задач мы сегодня разберем.

-ДЗ задание на доске решают студенты:

Задача №1 Доказать, что треугольник с вершинами A(-3, -2), B(0, -1) и C(-2, 5) прямоугольный.

Задача №2 Доказать, что треугольник, вершины которого A(2, 3); B(6, 7) и C(-7, 2), - тупоугольный.

Задача №3 Даны вершины A(2; -1; 4). B(3; 2; -6), C(-5; 0; 2) треугольника. Вычислить длину его медианы, проведенной из вершины А.

Задача №4 Найти векторное произведение векторов а (-1;2;-3), в (0;-4;1) и его длину.

Решение задачи №3. Ответ:7 (слайд№4)

Решение задачи №4. 1) Найдём векторное произведение векторов:

В результате

2) Вычислим длину векторного произведения.

Ответ:

Спасибо. Очень не плохо. Все кто отвечал будут оценены.

У вас на столах лежат тесты. Сейчас вы подписываете бланки тестов и приступаете к работе. На работу вам 10 мин. Затем вы самостоятельно сверив с доской свои ответы, проверите свою работу и в конце теста выставите полученный балл. А пока вы выполняете работу тем кто, работал с ДЗ, беседовал со мной я пройду проставлю на бланке теста дополнительный балл. За ДЗ по баллу, за ответы с места по 0,5 балла. Приступаем. Напоминаю! У вас 10 минут.

- Тест (проверка и коррекция теоретических знаний по теме “Координаты и векторы”)

Выбрать правильный ответ.

1. Что такое вектор?

а) вектор - это направленный отрезок;

б) вектор - это отрезок имеющий координаты;

в) вектор – это прямая, имеющая направление.

2. Что такое абсолютная величина вектора?

а) абсолютной величиной (или модулем) вектора называется длина отрезка, изображающего вектор;

б) абсолютной величиной (или модулем) вектора называется отрезок, изображающий вектор;

в) абсолютной величиной (или модулем) вектора называется длина, изображающая вектор.

3.Что такое нулевой вектор?

а) вектор, абсолютная величина которого не существует;

б) вектор, у которого начало совпадает с его концом;

в) вектор, не имеющий ни начала, ни конца.

4. Какие векторы называются равными?

а) два вектора называются равными, если они не совмещаются параллельным переносом;

б) два вектора называются равными, если они совмещаются параллельным переносом;

в) два вектора называются равными, если они одинаково направлены.

5. Определение суммы векторов.

а) суммой векторов а и в с координатами (а_1, а_2, а₃₎ и (в₁, в₂,в₃ ) называется вектор с координатами ( а₁ + а₂ + а₃; в₁ + в₂ + в₃ );

б) суммой векторов а и в с координатами ( а_1, а_2, а₃) и ( в₁, в₂, в₃₎ называется вектор с координатами (а₁₊ в₁ ; а₂+ в₂ ; а₃+ в₃);

в) суммой векторов а и в с координатами (а_1, а₂ , а₃ ) и ( в₁, в₂ , в₃) называется вектор с координатами (а₁ + а ₂+ а₃) + ( в ₁ + в ₂ + в₃)

6. Определение разности векторов

а) разностью векторов а с координатами (а_1, а₂ , а₃) и вектора в с координатами (в ₁, в₂, в₃) называется вектор с с координатами (с₁ ; с₂, с₃) который с вектором в дает вектор а;

б) разностью векторов а с координатами (а_1, а₂ , а₃ ) и в с координатами(в ₁, в₂, в₃) называется вектор с с координатами (а₁+в₁, а₂ +в₂, а₃ +в₃)

в) разностью векторов а с координатами (а_1, а₂ , а₃ ) и вектора в с координатами (в ₁, в₂, в₃) называется вектор в с координатами (с₁ ; с₂, с₃) который в сумме с вектором в, дает вектор а.

7. Какие векторы называются коллинеарными?

а) два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой;

б) два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.. Они направлены либо одинаково, либо противоположно;

в) два вектора называются коллинеарными, если они лежат на перпендикулярных прямых

8. Упростите выражение: КА^>-СД^>-ВО^>-КМ^>+АО^>-МС^>

а)АД^>

б)ДБ^>

в)ВМ^>

9. Косинус угла наклона вектора АВ к положительному направлению оси Ox, где A(-1, 3) и B(7, -3) равен

а) 4/5

б) -4/5

с) 5/4

10. расстояние d между точками M(x₁;у₁) и N(x₂;y₂)  выражается формулой

а) d = (x₁-x₂)²+(y₁-y₂)²+(z₁-z₂)²

б)d = (x₁+x₂)²-(y₁+y₂)²-(z₁-z₂)²  

в) d² = (x₁-x₂)²+(y₁-y₂)²+(z₁-z₂)²

(10 мин)

-Оценка подведение итогов. За каждый правильный вопрос -0,5 балла. Получим общий балл. Кто получил 5 баллов, 4 и 3 балла.

Хорошо. Судя по результатам мы готовы к движению вперед к познанию.

III. Усвоение новых знаний и способов действий

3.1 Объяснение и решение задач (слайд презентации № )

Задача №1.

Когда в товарищах согласья нет,
На лад их дело не пойдет,
И выйдет из него не дело, только мука.
Однажды Лебедь, Рак да Щука
Везти с поклажей воз взялись
И вместе трое все в него впряглись;
Из кожи лезут вон, а возу все нет ходу!
Поклажа бы для них казалась и легка:
Да Лебедь рвется в облака,
Рак пятится назад, а Щука тянет в воду.
Кто виноват из них, кто прав - судить не нам;
Да только воз и ныне там.

Если рассмотреть с точки зрения механики басню о том "как лебедь, рак да щука везти с поклажей воз взялись". Результат получается совсем не похожий на вывод баснописца Крылова.

Перед нами механическая задача на сложение нескольких сил, действующих под углом друг к другу. направление сил определено в басне так:

... Лебедь рвется в облака,
рак пятится назад, а щука тянет в воду.

Это значит, что одна сила, тяга лебедя, - направлена вверх; другая, тяга щуки, - вбок; третья, тяга рака, - назад. Не забудем, что существует еще и четвертая сила - вес воза, которая направлена отвесно вниз. Басня утверждает, что "воз и ныне там", другими словами, что равнодействующая всех, приложенных к возу сил равна нулю.

Так ли это? Посмотрим. Лебедь, рвущийся к облакам, не мешает работе рака и щуки, даже помогает им: тяга лебедя направлена против силы тяжести, облегчая вес воза, а может быть даже и уравновешивает его, - ведь груз невелик ("поклажа бы для них казалась и легка"). Допустив для простоты последний случай, мы видим, что остаются только две силы: тяга рака и тяга щуки. О направлении этих сил говорится, что "рак пятится назад, а щука тянет в воду". Само собой разумелось, что вода находится не впереди воза, а где-нибудь сбоку. Значит силы рака и щуки направлены под углом одна к другой. Если приложенные силы не лежат на одной прямой, то равнодействующая их никак не может равняться нулю.

Поступая по правилам механики строим на обеих силах ОВ и ОС параллелограмм, диагональ его OD дает направление и величину равнодействующей. Ясно, что эта равнодействующая сила должна сдивинуть воз с места, тем более, что вес его частично или полностью уравновешивается тягой лебедя. Другой вопрос в какую сторону сдивинется воз: вперед, назад или вбок? Это зависит уже от соотношения сил и угла между ними

Задача №2. Говорят, что колёса поездов вращаются неравномерно, т.е. есть точки на колёсах которые перемещаются не вперёд, а назад.

Решение:
Дело опять-таки происходит так, словно верхняя часть колеса быстрее движется, чем нижняя. В чем же разгадка этого странного явления? Да просто в том, что верхняя часть катящегося колеса действительно движется быстрее, чем нижняя. Факт представляется с первого взгляда невероятным, а между тем простое рассуждение убедит нас в этом.
Каждая точка катящегося колеса совершает сразу два движения: обращается вокруг оси и в то же время подвигается вперед вместе с этой осью. Происходит в результате сложение двух движений: вращательного и поступательного. Скорость вращательного движения направлена по часовой стрелке и перпендикулярно радиусу колеса. Скорость поступательного движения направлена в сторону перемещения колеса.
Результат для верхней и нижней частей колеса получается разный. Вверху вращательное движение колеса прибавляется к поступательному, так как оба движения направлены в одну и ту же сторону. Внизу же вращательное движение направлено в обратную сторону и, следовательно, отнимается от поступательного. Вот почему верхние части колеса перемещаются относительно неподвижного наблюдателя быстрее, чем нижние.

Задача 3. Вычислить работу, совершаемую силой F = (1; 2; 3), при прямолинейном перемещении материальной точки из положения В (1; 0; 0) в положение С (10; 1;2).

Мы знаем, что физический смысл скалярного произведения векторов, есть ни что иное, как работа А совершенная силой F^> по перемещению из одной точки пространства в другую (из В в С)

А = | F^> | • | BC^> | cos (F^>; BC^>), т. е. A = F^> • BC^> - скалярному произведению

В нашем случае F^>= (1; 2; 3), BC^> = (9; 1; 2), поэтому по формуле скалярного произведения получаем:

А = 1•9 + 2•1 + 3•2 = 17 (ед. работы).

Таким образом, чтобы найти работу постоянной силы F^> при перемещении материальной точки вдоль отрезка ВС^>, достаточно вычислить скалярное произведение вектора силы F^> и вектора перемещения BC^>.

Задача №4. Даны вершины треугольника . Найти его площадь.

Решение: Сначала найдём векторы:

Затем векторное произведение:

Вычислим его длину:

Формулы площадей параллелограмма и треугольника, само собой, остаются те же самые:

Ответ:

Задача 5. Вычислить площадь параллелограмма, три последовательные вершины которого А( 1; 2; 0), В(3; 0; —3), С(5; 2; 6) заданы своими координатами в прямоугольной системе.

Так как S _{паралл.} = |[AB^>, BC^>]|, Так как S _{паралл.} = |[AB^>, BC^>]|, а согласно формуле векторного произведения векторов

N^>=[АВ^>,ВС^>]=(12;24;8)

Таким образом, для вычисления площади параллелограмма можно найти векторное произведение двух векторов, построенных на любых двух смежных его сторонах, а затем вычислить его длину.

2.2 Решение задач по физике и математике на доске студентами (задание на экране слайд презентации № )

Задача №2. Найти площадь треугольника, вершины которого находятся в точках A(2, -3), B(1, 1), C(-6, 5).

Решение.

Задачу очень просто решить, воспользовавшись формулой

(1) в которой нужно взять x₁ = 2, x₂ = 1, x₃ = -6, y₁ = -3, y₂ = 1, y₃ = 5.

Подставляя эти числа в формулу, получим

S = 12 кв. ед.

III. Проверка усвоения нового материала.

3.1 Устный опрос (слайд презентации № )

3.2 Самостоятельная работа с рейтинговыми заданиями.

1. Задание на «3». Какую работу совершает сила F^>(3;2;1), если груз был доставлен из пункта А(5;-2;0) в пункт В(7;2;-4)?

F^> (3;2;1), А(5;-2;0), В(5;-2;0) А = | F^> | • | АВ^> | cos (F^>; BC^>), т. е. A = F^> • АВ^>

АВ^> (2;4;-4); А=3*2+2*4+1*(-4)=6+8-4=10 ед.

2. Найти площадь треугольника образованного векторами:

Найдём векторное произведение:

3. Задание на «5»

Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах , если

Решение: Найдём вектор:
.
Векторное произведение:

Площадь параллелограмма:

Ответ:

IV. Подведение итогов урока.

V. Задание на дом. (Творческое задание: Придумать, решить и оформить прикладную задачу на листах А4 и в электронном виде.)

VI. Рефлексия с использованием оценочного пространства, посредствам векторов.

• 1 слайд

  шарада Мой первый слог – почтенный срок, Коль прожит он недаром. Второй был тортом на столе, Пока Т не убрали. Меня вы встретите везде – Такой я вездесущий. А имя громкое мое – Латинское «несущий». от латинского vector, буквально несущий

• 2 слайд

  Решение прикладных задач, используя координаты и векторы Урок № 109

• 3 слайд

  Домашнее задание Задача №1 Доказать, что треугольник с вершинами A(-3, -2), B(0, -1) и C(-2, 5) прямоугольный. Задача №2 Доказать, что треугольник, вершины которого A(2, 3); B(6, 7) и C(-7, 2), - тупоугольный. Задача №3 Найти векторное произведение векторов а (-1;2;-3), в (0;-4;1) и его длину. Задача №4 Даны вершины A(2; -1; 4). B(3; 2; -6), C(-5; 0; 2) треугольника. Вычислить длину его медианы, проведенной из вершины А.

• 4 слайд

  Ответим на вопросы: 1.Что называют вектором? 2.Какие вектора являются коллинеарными? 3.Нулевой вектор-это какой? 4.Можно ли умножить вектор на число? Как? 5.Что такое скалярное произведение векторов? 6.Что называют модулем вектора? 7.Какие вектора являются ортогональными? 8.Как найти координаты середины отрезка по координатам его концов? 9.Имеет ли физический смысл скалярное произведение векторов? Какой? 10.Чем задается плоскость и пространство?

• 5 слайд

  Д/З. Задача №3 Дано: а (-1;2;-3), в (0;-4;1)  Найти: , | | Решение: 1) Найдём векторное произведение векторов: => => Ответ:

• 6 слайд

  Д/З. Задача №4 Дано: A(2; -1; 4), B(3; 2; -6), C(-5; 0; 2), D –середина СВ Найти: АD Решение: 1. найдем координаты D: 2. Найдем длину АD: Ответ: АD=7 ед. С В D А

• 7 слайд

  Правильные ответы теста: 1 - а 2 - а 3 - б 4 - б 5 - б 6 - в 7 - б 8 - б 9 - а 10 - в

• 8 слайд

  Задача №1 . А правда ль воз и ныне ТАМ??? Когда в товарищах согласья нет, На лад их дело не пойдет, И выйдет из него не дело, только мука. Однажды Лебедь, Рак да Щука Везти с поклажей воз взялись И вместе трое все в него впряглись; Из кожи лезут вон, а возу все нет ходу! Поклажа бы для них казалась и легка:

• 9 слайд

  Задача №1 . А правда ль воз и ныне ТАМ??? Да Лебедь рвется в облака, Рак пятится назад, а Щука тянет в воду. Кто виноват из них, кто прав - судить не нам; Да только воз и ныне там. Дано:

• 10 слайд

  Задача № 2. Говорят, что колеса поездов вращаются не равномерно, т.е. есть точки на колесах которые перемещаются не вперед, а назад? Любая точка колеса: Верхняя точка: Нижняя точка: vпост vвр

• 11 слайд

  Задача №3. Вычислить работу, совершаемую силой F=(1;2;3), при прямолинейном перемещении материальной точки из положения В(1;0;0) в положение С(10;1;2). Физический смысл скалярного произведения векторов, есть ни что иное, как работа А совершенная силой F> по перемещению из одной точки пространства в другую (из В в С) А = | F> | • | BC> | cos (F>; BC>), т. е. A = F> • BC> - скалярному произведению Так как: F>= (1; 2; 3), BC> = (9; 1; 2) Получаем: А = 1•9 + 2•1 + 3•2 = 17 (ед. работы). Таким образом, чтобы найти работу постоянной силы F> при перемещении материальной точки вдоль отрезка ВС>, достаточно вычислить скалярное произведение вектора силы F> и вектора перемещения BC>.

• 12 слайд

  Задача№4. Даны вершины треугольника А(0;2;0), В(-2;5;0), С(-2;2;6). Найти его площадь. Решение: Сначала найдём векторы: Затем векторное произведение векторов по формуле: Вычислим длину вектора: По определению, длина вектора есть площадь параллелограмма, а следовательно: Ответ:

• 13 слайд

  Задача№5. Найти площадь треугольника, вершины которого находятся в точках А(2;-3), В(1,1), С(-6,5) Задачу очень просто решить, воспользовавшись формулой в которой нужно взять x1 = 2, x2 = 1, x3 = -6, y1 = -3, y2 = 1, y3 = 5. Подставляя эти числа в формулу, получим S = 12 кв. ед.

• 14 слайд

  Задача № 6. Вычислить площадь параллелограмма, три вершины которого А(1;2;0), В(3;0;-3), С(5;2;6) заданы своими координатами в прямоугольной системе Ответ: 28 ед.кв. Так как S паралл. = |[AB>, BC>]|, Согласно формуле векторного произведения векторов: N>=[АВ>,ВС>]=(12;24;8)

• 15 слайд

  Самостоятельная работа: Задание на «3». Какую работу совершает сила F>(3;2;1), если груз был доставлен из пункта А(5;-2;0) в пункт В(7;2;-4)? 2.Задание на «4». Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах . 3. Задание на «5». На векторах построен параллелограмм. Вычислите его площадь если его вершины

• 16 слайд

  Решение самостоятельной работы: Задача на «3» балла: F> (3;2;1), А(5;-2;0), В(5;-2;0) А = | F> | • | АВ> | cos (F>; BC>), т. е. A = F> • АВ> АВ> (2;4;-4); А=3*2+2*4+1*(-4)=6+8-4=10 ед. Задача на «4» балла:

• 17 слайд

  Самостоятельная работа: Задача на «5» баллов: Решение: Найдём вектор: Векторное произведение: Площадь параллелограмма: Ответ:

• 18 слайд

  Домашнее задание: Творческое задание: Придумать, решить и оформить прикладную задачу на листах А4 и в электронном виде.

• 19 слайд

  Наше оценочное пространство какие координаты имеет вершина вектора нашего урока? (начало вектора координаты(0,0,0)-начало урока) Новые знания Закрепленные знания настроение

• 20 слайд

  СПАСИБО ЗА УРОК!