Решение уравнений способом разложения многочлена на множители

Тест. Формулы сокращенного умножения.

1. Выполните действия: (n + 7m)²/

А. n² + 14mn + 49m²;       Б. n² + 14nm+  7m²;     

B. n² +49m²;                      Г.  n²  + 7nm + 49m². 

2. Представьте в виде квадрата двучлена: 25а² + 1/9в² – 10/3ав.

А. (5а – 1/3)²;                   Б. (5а + 1/3в)²;           

В. (5а – 1/81в)²;               Г. (5а + 1/81в)². 

3. Замените * одночленом так, чтобы данное выражение можно было представить в виде квадрата двучлена: * + 144х⁴ + 16у⁶.

А. 48х²у³;                         Б. 96х²у⁴;                   

В. 48х²у⁴;                         Г. 96х²у³. 

4. Выполните действия: (7с + 4) (7с – 4).

А. 16 + 49с²;                    Б. 49с² – 16;              

В. 16 – 49с²;                    Г. 16 – 28с + 49с² 

5. Замените * одночленом так, чтобы получилось тождество:           (2х + *) (* - 2х) = 49у² – х².

А.  7у²;                            Б. 7у;                         

В. 49у;                            Г.7у⁴. 

6. Представьте виде произведения выражение: 1 – (7 + с²)².

А. (6 – с²) (8 + с²);            Б. (6 + с²) (8 + с²);     

В. (-6 – с²) (8 + с²);           Г. (6 + с²) (8 – с²).  

7. Решение уравнение: (х + 3)² – (х + 5) (х – 5) = 46.

А. – ½;                               Б. -2;                           

В. 2;                                   Г.1/2. 

8. Решите уравнение:             в³ – 9в = 0.

А.0; 3;                                Б.3; -3;                       

В.0; 3; -3;                           Г.0.

Тест. Формулы сокращенного умножения.

1. Выполните действия: (n + 7m)²/

А. n² + 14mn + 49m²;       Б. n² + 14nm+  7m²;     

B. n² +49m²;                      Г.  n²  + 7nm + 49m². 

2. Представьте в виде квадрата двучлена: 25а² + 1/9в² – 10/3ав.

А. (5а – 1/3)²;                   Б. (5а + 1/3в)²;           

В. (5а – 1/81в)²;               Г. (5а + 1/81в)². 

3. Замените * одночленом так, чтобы данное выражение можно было представить в виде квадрата двучлена: * + 144х⁴ + 16у⁶.

А. 48х²у³;                         Б. 96х²у⁴;                   

В. 48х²у⁴;                         Г. 96х²у³. 

4. Выполните действия: (7с + 4) (7с – 4).

А. 16 + 49с²;                    Б. 49с² – 16;              

В. 16 – 49с²;                    Г. 16 – 28с + 49с² 

5. Замените * одночленом так, чтобы получилось тождество:           (2х + *) (* - 2х) = 49у² – х².

А.  7у²;                            Б. 7у;                         

В. 49у;                            Г.7у⁴. 

6. Представьте виде произведения выражение: 1 – (7 + с²)².

А. (6 – с²) (8 + с²);            Б. (6 + с²) (8 + с²);     

В. (-6 – с²) (8 + с²);           Г. (6 + с²) (8 – с²).  

7. Решение уравнение: (х + 3)² – (х + 5) (х – 5) = 46.

А. – ½;                               Б. -2;                           

В. 2;                                   Г.1/2. 

8. Решите уравнение:             в³ – 9в = 0.

А.0; 3;                                Б.3; -3;                       

В.0; 3; -3;                           Г.0.

Урок по алгебре в 7-м классе

 

Тема: "Решение уравнений с применением приемов разложения многочлена на множители"

Цели урока: научиться применять формулы сокращенного умножения при решении уравнений; развивать логическое мышление учащихся.

Оборудование: презентация, таблица с формулами сокращенного умножения, тесты.

ХОД УРОКА

1.     Организационный момент. Сообщить тему и цели урока учащимся.

1)    Выполнить тест. Рефлексия.

Ребята, достаточно долго овладевая приёмами разложения многочлена на множители, подошли к моменту, когда необходимо систематизировать и обобщить изученные способы, попытаться сделать новые открытия и самое главное: найти интересное применение разнообразных приёмов разложения на множители к решению порой одинаковых по смыслу уравнений.

2) Вопросы учащимся:

1. Что, значит, разложить многочлен на множители?

2. В каком случае произведение множителей равно 0?

3. Степень, какого числа равна нулю? 1??

4. Какие приёмы разложения на множители вам известны? (Вынесение общего множителя за скобки, группировка слагаемых с последующем вынесением общего множителя, с помощью формул сокращенного умножения).

5. Чему равны квадрат суммы, разности двух слагаемых?

6. Чему равна разность квадратов двух слагаемых?

2.     Решение уравнений.

1)    На доске записаны уравнения:

По какому признаку можно разбить эти уравнения в группы? (Уравнения, содержащие многочлен второй степени. Уравнения, содержащие многочлен выше второй степени. Уравнение, содержащее многочлен второй степени, коэффициенты которого периодические дроби).

Нам предстоит решить эти уравнения, подбирая непохожие способы решения, несмотря порой на похожесть уравнений.

2)    Решить уравнение двумя способами. Вызвать к доске двух учеников.

Один ученик решает уравнение разбиением одночлена 6х на сумму двух одночленов, а другой – применением формулы сокращённого умножения – квадрата суммы:

Вопрос: Какой способ оказался более рациональным? (Конечно второй). Как его можно назвать?

(Выделение полного квадрата суммы)

3)    Обсуждаем решение уравнения .

Можно ли решить уравнение, разбивая одно из слагаемых на два?

(да,)

А выделением полного квадрата суммы?

(затруднительно, так как, число 3 не является квадратом никакого рационального числа)

И всё-таки попробуем выделить полный квадрат суммы: дополните сумму первых двух слагаемых до квадрата суммы.

Как можно разложить многочлен в левой части уравнения на множители? (По формуле разности квадратов).

Ответ: -3; -1.

4)    Сообразите, можно ли рассуждая аналогично решить уравнение ?

(Неудобное в данном случае число 5).

И все-таки, попробуем строго следовать формуле квадрата суммы при выделении полного квадрата:

Ответ: 1; -6

5)    Обратите внимание на коэффициенты уравнения . Какую закономерность можно заметить?

(Одинаково читаются слева направо)

Что происходит с показателями переменной x?

(Уменьшаются на один)

Выскажите предположение для многочлена в левой части уравнения.

(Многочлен х⁴+4х³+6х²+4х+1 есть (х+1)⁴). Обоснуйте это.

(Построим треугольник Паскаля

11

121

1331

14641 4-ая строка содержит коэффициенты возведения в 4-ую степень двучлена (х+1)

Итак, какой вид примет уравнение? Решите его устно.

( (х+1)⁴=0, х=-1).

6)    Решите устно уравнение

((х+1)³=0,х=-1).

Какими числами являются коэффициенты уравнения

(Периодическими десятичными дробями)

Обратите периодические дроби в обыкновенные и решите, получившееся уравнение.

(Правило обращения периодической десятичной дроби в обыкновенную: чтобы периодическую десятичную дробь обратить в обыкновенную, надо из числа, стоящего до второго периода, вычесть число, стоящее до первого периода, и сделать эту разность числителем, а в знаменателе написать цифру 9 столько раз, сколько цифр в периоде и после девятки дописать столько нулей, сколько цифр между запятой и первым периодом)

(Подберите рациональный способ решения и найдите корни уравнения, х=1 или )

7)    Вновь обратимся к уравнению . Решим это уравнение методом неопределённых коэффициентов:

Сравните значения найденных корней со значениями переменных b и d. (Они противоположны)

Найденные корни подтверждают мысль о том, что независимо от способа решения корни не меняются.

8)    Чем уравнение похоже на предыдущее?

(Коэффициент при х² равен 1)

Попробуем решить это уравнение устно, не применяя ни один из рассмотренных приёмов, но

принимая во внимание некоторые рассуждения в предыдущем случае:

Запишите разложение многочлена в виде произведения двучленов:

Тогда, скажите чему, будут равны значения выражений и по аналогии с предыдущими рассуждениями?

( Легко догадаться, что или наоборот).

Сообразите, чему будут равны корни уравнения?

(х=2 или х=6).

9)    Устно решите уравнения:

3.     Подведение итогов урока.

Вопросы:

1. С каким новым способом решения квадратных уравнений вы познакомились?

(Выделение полного квадрата суммы или разности)

2. Как вы думаете, почему этот способ не всегда удобен?

(Например, в уравнении 3х²-2х-1=0 3х² не является квадратом рационального выражения)

3. Какое открытие вы сделали, применяя метод неопределённых коэффициентов для

решения квадратных уравнений, если коэффициент при равен 1?

(Чтобы найти корни, надо сначала найти два таких числа в и с, чтобы их сумма была равна второму коэффициенту, а произведение – третьему слагаемому. А корни будут равны числам, противоположным числам .

В 8 классе вы познакомитесь с ещё одним способом решения квадратных уравнений – по формулам. Узнаете, кто такой Франсуа Виет и какое отношение он имеет к нашему открытию.

Д/З §31-34 изучить

        №  953, 1010, 949

Формулы сокращенного умножения

Квадрат суммы	(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Квадрат разности	(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
Разность квадратов	a2 – b2 = (a + b)(a – b)

Куб суммы	(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 +  b3
Куб разности	(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 -  b3
Сумма кубов	a3 + b3 = (a + b)( a2 - ab + b2)
Разность кубов	a3 – b3 = (a – b)( a2 + ab + b2)