1160368
столько раз учителя, ученики и родители
посетили сайт «Инфоурок»
за прошедшие 24 часа
+Добавить материал
и получить бесплатное
свидетельство о публикации
в СМИ №ФС77-60625 от 20.01.2015
Дистанционные курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации для педагогов

Дистанционные курсы для педагогов - курсы профессиональной переподготовки от 1.410 руб.;
- курсы повышения квалификации от 430 руб.
Московские документы для аттестации

ВЫБРАТЬ КУРС СО СКИДКОЙ ДО 90%

ВНИМАНИЕ: Скидка действует ТОЛЬКО до конца апреля!

(Лицензия на осуществление образовательной деятельности №038767 выдана ООО "Столичный учебный центр", г.Москва)

ИнфоурокМатематикаКонспектыРешение уравнений способом разложения многочлена на множители

Решение уравнений способом разложения многочлена на множители

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ

Выбранный для просмотра документ Урок.doc

библиотека
материалов
Скачать материал целиком можно бесплатно по ссылке внизу страницы.

Урок по алгебре в 7-м классе

Тема: "Решение уравнений с применением приемов разложения многочлена на множители"



Цели урока: научиться применять формулы сокращенного умножения при решении уравнений; развивать логическое мышление учащихся.

Оборудование: презентация, таблица с формулами сокращенного умножения, тесты.




ХОД УРОКА


  1. Организационный момент. Сообщить тему и цели урока учащимся.


  1. Выполнить тест. Рефлексия.

Ребята, достаточно долго овладевая приёмами разложения многочлена на множители, подошли к моменту, когда необходимо систематизировать и обобщить изученные способы, попытаться сделать новые открытия и самое главное: найти интересное применение разнообразных приёмов разложения на множители к решению порой одинаковых по смыслу уравнений.


2) Вопросы учащимся:

1. Что, значит, разложить многочлен на множители?

2. В каком случае произведение множителей равно 0?

3. Степень, какого числа равна нулю? 1?hello_html_m2edd3fd3.png?

4. Какие приёмы разложения на множители вам известны? (Вынесение общего множителя за скобки, группировка слагаемых с последующем вынесением общего множителя, с помощью формул сокращенного умножения).

5. Чему равны квадрат суммы, разности двух слагаемых?

6. Чему равна разность квадратов двух слагаемых?





  1. Решение уравнений.

  1. На доске записаны уравнения:

hello_html_6511b0.jpg

По какому признаку можно разбить эти уравнения в группы? (Уравнения, содержащие многочлен второй степени. Уравнения, содержащие многочлен выше второй степени. Уравнение, содержащее многочлен второй степени, коэффициенты которого периодические дроби).

Нам предстоит решить эти уравнения, подбирая непохожие способы решения, несмотря порой на похожесть уравнений.

  1. Решить уравнение hello_html_15bb5a15.pngдвумя способами. Вызвать к доске двух учеников.

Один ученик решает уравнение разбиением одночлена 6х на сумму двух одночленовhello_html_m287f3350.png, а другой – применением формулы сокращённого умножения – квадрата суммы:

hello_html_544a0967.jpg

Вопрос: Какой способ оказался более рациональным? (Конечно второй). Как его можно назвать?

(Выделение полного квадрата суммы)

  1. Обсуждаем решение уравнения hello_html_3f2598ff.png.

Можно ли решить уравнение, разбивая одно из слагаемых на два?

(да,hello_html_m32e0ad81.png)

А выделением полного квадрата суммы?

(затруднительно, так как, число 3 не является квадратом никакого рационального числа)

И всё-таки попробуем выделить полный квадрат суммы: дополните сумму первых двух слагаемых до квадрата суммы.

hello_html_m7f3c612a.jpg

Как можно разложить многочлен в левой части уравнения на множители? (По формуле разности квадратов).

hello_html_m37f023b6.jpg

Ответ: -3; -1.

  1. Сообразите, можно ли рассуждая аналогично решить уравнение hello_html_c5fcdec.png?

(Неудобное в данном случае число 5).

И все-таки, попробуем строго следовать формуле квадрата суммы при выделении полного квадрата:

hello_html_4db26b25.jpg

Ответ: 1; -6





  1. Обратите внимание на коэффициенты уравнения hello_html_30188abe.png. Какую закономерность можно заметить?

(Одинаково читаются слева направо)

Что происходит с показателями переменной x?

(Уменьшаются на один)

Выскажите предположение для многочлена в левой части уравнения.

(Многочлен х4+4х3+6х2+4х+1 есть (х+1)4). Обоснуйте это.

(Построим треугольник Паскаля

11

121

1331

14641 4-ая строка содержит коэффициенты возведения в 4-ую степень двучлена (х+1)

Итак, какой вид примет уравнение? Решите его устно.

( (х+1)4=0, х=-1).


  1. Решите устно уравнение hello_html_m6f164707.png

((х+1)3=0,х=-1).

Какими числами являются коэффициенты уравнения hello_html_71c4bea5.png

(Периодическими десятичными дробями)

Обратите периодические дроби в обыкновенные и решите, получившееся уравнение.

(Правило обращения периодической десятичной дроби в обыкновенную: чтобы периодическую десятичную дробь обратить в обыкновенную, надо из числа, стоящего до второго периода, вычесть число, стоящее до первого периода, и сделать эту разность числителем, а в знаменателе написать цифру 9 столько раз, сколько цифр в периоде и после девятки дописать столько нулей, сколько цифр между запятой и первым периодом)

hello_html_m22784ccb.jpg

(Подберите рациональный способ решения и найдите корни уравнения, х=1 или hello_html_61378882.jpg)


  1. Вновь обратимся к уравнению hello_html_3f2598ff.png. Решим это уравнение методом неопределённых коэффициентов:

hello_html_9b2c69a.jpg

Сравните значения найденных корней со значениями переменных b и d. (Они противоположны)

Найденные корни подтверждают мысль о том, что независимо от способа решения корни не меняются.

  1. Чем уравнение hello_html_m1bbab136.pngпохоже на предыдущее?

(Коэффициент при х2 равен 1)

Попробуем решить это уравнение устно, не применяя ни один из рассмотренных приёмов, но

принимая во внимание некоторые рассуждения в предыдущем случае:

Запишите разложение многочлена hello_html_m67e1d24e.pngв виде произведения двучленов:

hello_html_1e9e671b.pnghello_html_m577ba76a.png

Тогда, скажите чему, будут равны значения выражений hello_html_665d2752.pngи hello_html_70783816.pngпо аналогии с предыдущими рассуждениями?

(hello_html_3ff0b605.png Легко догадаться, что hello_html_m7e71319c.pngили наоборот).

Сообразите, чему будут равны корни уравнения?

(х=2 или х=6).









  1. Устно решите уравнения:

hello_html_6891b2c5.jpg



  1. Подведение итогов урока.

Вопросы:

1. С каким новым способом решения квадратных уравнений вы познакомились?

(Выделение полного квадрата суммы или разности)

2. Как вы думаете, почему этот способ не всегда удобен?

(Например, в уравнении 3х2-2х-1=0 3х2 не является квадратом рационального выражения)

3. Какое открытие вы сделали, применяя метод неопределённых коэффициентов для

решения квадратных уравнений, если коэффициент при hello_html_m3b01e087.pngравен 1?

(Чтобы найти корни, надо сначала найти два таких числа в и с, чтобы их сумма была равна второму коэффициенту, а произведение – третьему слагаемому. А корни будут равны числам, противоположным числам hello_html_761bd35a.png.

В 8 классе вы познакомитесь с ещё одним способом решения квадратных уравнений – по формулам. Узнаете, кто такой Франсуа Виет и какое отношение он имеет к нашему открытию.


Д/З §31-34 изучить

953, 1010, 949






6


Выбранный для просмотра документ Формулы скоращенного умножения.doc

библиотека
материалов
Скачать материал целиком можно бесплатно по ссылке внизу страницы.

Формулы сокращенного умножения


Квадрат суммы

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Квадрат разности

(a - b)2 = a2 - 2ab + b2

Разность квадратов

a2b2 = (a + b)(ab)


Куб суммы

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Куб разности

(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

Сумма кубов

a3 + b3 = (a + b)( a2 - ab + b2)

Разность кубов

a3 – b3 = (a – b)( a2 + ab + b2)


Выбранный для просмотра документ тест.doc

библиотека
материалов
Скачать материал целиком можно бесплатно по ссылке внизу страницы.

Тест. Формулы сокращенного умножения.


  1. Выполните действия: (n + 7m)2/

А. n2 + 14mn + 49m2;    Б. n2 + 14nm+  7m2;  

B. n2 +49m2;   Г.  n+ 7nm + 49m2

  1. Представьте в виде квадрата двучлена: 25а2 + 1/9в2 – 10/3ав.

А. (5а – 1/3)2;                Б. (5а + 1/3в)2;           

В. (5а – 1/81в)2;     Г. (5а + 1/81в)2


  1. Замените * одночленом так, чтобы данное выражение можно было представить в виде квадрата двучлена: * + 144х4 + 16у6.

А. 48х2у3;                      Б. 96х2у4;                   

В. 48х2у4;          Г. 96х2у3


  1. Выполните действия: (7с + 4) (7с – 4).

А. 16 + 49с2;                 Б. 49с2 – 16;              

В. 16 – 49с2;      Г. 16 – 28с + 49с2 


  1. Замените * одночленом так, чтобы получилось тождество: (2х + *) (* - 2х) = 49у2 – х2.

А.  7у2;                          Б. 7у;                         

В. 49у;                Г.7у4


  1. Представьте виде произведения выражение: 1 – (7 + с2)2.

А. (6 – с2) (8 + с2);       Б. (6 + с2) (8 + с2);     

В. (-6 – с2) (8 + с2);   Г. (6 + с2) (8 – с2).  


  1. Решение уравнение: (х + 3)2 – (х + 5) (х – 5) = 46.

А. – ½;                          Б. -2;                           

В. 2;                        Г.1/2. 


  1. Решите уравнение:             в3 – 9в = 0.

А.0; 3;                           Б.3; -3;                       

В.0; 3; -3;                Г.0.





Тест. Формулы сокращенного умножения.


  1. Выполните действия: (n + 7m)2/

А. n2 + 14mn + 49m2;    Б. n2 + 14nm+  7m2;  

B. n2 +49m2;   Г.  n+ 7nm + 49m2

  1. Представьте в виде квадрата двучлена: 25а2 + 1/9в2 – 10/3ав.

А. (5а – 1/3)2;                Б. (5а + 1/3в)2;           

В. (5а – 1/81в)2;     Г. (5а + 1/81в)2


  1. Замените * одночленом так, чтобы данное выражение можно было представить в виде квадрата двучлена: * + 144х4 + 16у6.

А. 48х2у3;                      Б. 96х2у4;                   

В. 48х2у4;          Г. 96х2у3


  1. Выполните действия: (7с + 4) (7с – 4).

А. 16 + 49с2;                 Б. 49с2 – 16;              

В. 16 – 49с2;      Г. 16 – 28с + 49с2 


  1. Замените * одночленом так, чтобы получилось тождество: (2х + *) (* - 2х) = 49у2 – х2.

А.  7у2;                          Б. 7у;                         

В. 49у;                Г.7у4


  1. Представьте виде произведения выражение: 1 – (7 + с2)2.

А. (6 – с2) (8 + с2);       Б. (6 + с2) (8 + с2);     

В. (-6 – с2) (8 + с2);   Г. (6 + с2) (8 – с2).  


  1. Решение уравнение: (х + 3)2 – (х + 5) (х – 5) = 46.

А. – ½;                          Б. -2;                           

В. 2;                        Г.1/2. 


  1. Решите уравнение:             в3 – 9в = 0.

А.0; 3;                           Б.3; -3;                       

В.0; 3; -3;                Г.0.





Общая информация

Номер материала: ДВ-369711

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Табличный процессор MS Excel в профессиональной деятельности учителя математики»
Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»

Благодарность за вклад в развитие крупнейшей онлайн-библиотеки методических разработок для учителей

Опубликуйте минимум 3 материала, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную благодарность

Сертификат о создании сайта

Добавьте минимум пять материалов, чтобы получить сертификат о создании сайта

Грамота за использование ИКТ в работе педагога

Опубликуйте минимум 10 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Свидетельство о представлении обобщённого педагогического опыта на Всероссийском уровне

Опубликуйте минимум 15 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данное cвидетельство

Грамота за высокий профессионализм, проявленный в процессе создания и развития собственного учительского сайта в рамках проекта "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 20 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Грамота за активное участие в работе над повышением качества образования совместно с проектом "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 25 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Почётная грамота за научно-просветительскую и образовательную деятельность в рамках проекта "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 40 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную почётную грамоту

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.