Решение задач . Геометрия 11 класс

• 1 слайд

  Решение заданий ЕГЭ №№14 и 16
  

• 2 слайд

  F
  A
  B
  C
  D
  E
  a
  a
  a
  𝟔𝟎 𝟎
  𝟏𝟐𝟎 𝟎
  V = 1 3 𝑆 осн ℎ;
  S = 𝑆 1 + 𝑆 2 + …+ 𝑆 𝑛
  𝑆 ∆ = 1 2 𝑎∙𝑏 sin 𝑎𝑏
  𝑐 2 = 𝑎 2 + 𝑏 2
  
  
  R=
  60 0
  ⎾
  𝐬𝐢𝐧 𝜶= 𝒂 𝒄
  𝒙 ср.трап = 𝒂+𝒃 𝟐
  

• 3 слайд

  В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF ребро основания АВ =4,
  боковое ребро SA = 10. Точка М – середина АВ. Через точки М и D проведена плоскость 𝜶
  перпендикулярно плоскости АВС, пересекающая ребро SC в точке К.
  а) Докажите, что КМ = КD.
  б) Найдите объем пирамиды MCDK
  А
  В
  С
  D
  E
  F
  S
  О
  Р
  К
  М
  Решение:
  а) △МКD ∊𝛂, (МКD)⏊(АВС) по условию.
  ⇒ КР⏊МD (1)
  Рассмотрим АВСD,
  ОС ∥АВ
  ⇒ Р–середина МD (2).
  Из условия 1 и 2 ⇒КР – медиана и высота,
  △МКD–равнобедренный,
  
  
  ⇒МК = КD.
  ЧТД.
  (Рис.1)
  

• 4 слайд

  Рис.1
  K
  O
  P
  C
  б) 𝐕= 𝟏 𝟑 𝐒 𝑴𝑪𝑫 ∙𝑲𝑷
  Р – середина МD, ⇒
  СР= 3 4 ОС,
  △СРК ∾△СОS,
  ⇒KP:SO=3:4
  𝑺𝑶= 𝟏𝟎𝟎−𝟏𝟔 = 𝟖𝟒 =𝟐 𝟐𝟏
  В
  𝐒 𝑴𝑪𝑫 = 𝑺 АВС𝑫 − 𝑺 𝑨𝑴𝑫 + 𝑺 𝑩𝑴𝑪
  𝑺 𝑨𝑴𝑫 = 1 2 ∙2∙8∙𝒔𝒊𝒏 60 0 =4 3
  𝑺 𝑩𝑴𝑪 = 1 2 ∙2∙4∙𝒔𝒊𝒏 120 0 =2 3
  𝑲𝑷= 3 4 ∙2 21 = 3 21 2
  A
  B
  C
  D
  4
  4
  8
  h
  𝑺 𝑨𝑩𝑪𝑫 = 1 2 8+4 ∙2 3 =12 3 , (ℎ= 16−4 =2 3 )
   
  𝐒 𝑴𝑪𝑫 = 𝟏𝟐 𝟑 − 𝟒 𝟑 +𝟐 𝟑 =𝟔 𝟑
  𝐕= 1 3 6 3 ∙ 3 21 2 =9 7
  ОР = АМ/2 = ОС/4,⇒
  D
  S
  60 0
  120 0
  2
  2
  M
  Ответ: б) 9 7
  б) Найдите объем пирамиды MCDK
  

• 5 слайд

  Дана равнобедренная трапеция ABCD с основаниями BC и AD. На стороне AB как на диаметре построена окружность с центром в точке O, касающаяся стороны CD и повторно пересекающая основание AD в точке H. Точка Q — середина стороны CD.
  а) Докажите, что OQDH — параллелограмм.
  б) Найдите AD, если ∠BAD = 60°, BC = 2.
  А
  В
  С
  D
  Q
  Решение:
  т. О центр окружности ⇒ О – сeредина AB
  Q – середина CD ⇒ OQ – средняя линия,
  ОQ ∥ AD (1)
  H
  Трапеция АВСD равнобедренная ⇒ ∠А = ∠D (2)
  OA = OH ⇒∆ AOH – равнобедренный⇒ ∠А = ∠Н (3)
  Из условия (2) и (3) ⇒ ОН ∥ QD (4)
  ОQ ∥ AD, ОН ∥ QD ⇒ HDQO – параллелограмм.
  ЧТД.
  О
  

• 6 слайд

  А
  В
  С
  D
  Q
  О
  Дана равнобедренная трапеция ABCD с основаниями BC и AD. На стороне AB как на диаметре построена окружность с центром в точке O, касающаяся стороны CD и повторно пересекающая основание AD в точке H. Точка Q — середина стороны CD.
  а) Докажите, что OQDH — параллелограмм.
  б) Найдите AD, если ∠BAD = 60°, BC = 2.
  H
  60 0
  R
  R
  R
  A
  H
  O
  B
  R
  P
  б)
  Решение
  ∆АОН −равносторонний, (АО=ОН=𝑅, ∠𝐴= 60 0 ),
  AH = R,
  AD = 2R + 2 (1)
  △OPQ - ∠P= 90 0 (радиус проведенный в точку касания),
  ∠Q= 60 0 (соответственный ∠D при параллельных прямых)
  OQ = 2𝑅 3 ,
  OQ = 𝐵𝐶+𝐴𝐷 2 = 2𝑅+4 2 = R+2,
  2𝑅 3 = R +2,
  2R= 3 𝑅+2 3 ,𝑅= 2 3 2− 3
  AD = 2 ∙ 2 3 2− 3 +2 =
  4 3 2+ 3 +2=
  8 3 + 14
  Ответ: 8 𝟑 + 14
  
  ∆АВН −прямоугольный
  BН – высота трапеции