Решение задач на тему "динамика поступательного движения"

                          Тема:    Динамика поступательного движения.               

Контрольные вопросы для подготовки  к занятию

1. В чём заключается основная задача динамики?

2. Что называется инерциальными системами отсчёта?

3. Что понимается под массой? Ед. измерения в СИ?

4. Дайте определение силы и поясните основные признаки и свойства силы.

5. Сформулируйте и объясните 1 закон Ньютона.

6. Сформулируйте и объясните 2 закон Ньютона. Запишите основное равнение динамики.

7. Что называется импульсом тела? Единица измерения?

8. Что называется импульсом силы? Единица измерения?

9. Закон сохранения импульса.

10. Перечислите механические силы. Как каждая из них направлена?  Напишите формулы, по которым они определяются? (Сила тяготения, сила тяжести, вес тела, сила упругости, сила трения).

11. Сформулируйте и объясните 3 закон Ньютона.

Краткие теоретические сведения и основные формулы

1. Динамика – раздел механики, изучающий движение материальных тел под действием приложенных к ним сил.

2. ИСО – это система отсчёта, в которой справедлив закон инерции. Всякая система отсчёта, движущаяся по отношению к ИСО поступательно, равномерно и прямолинейно, есть также ИСО. Следовательно, теоретически может существовать любое число равноправных ИСО, обладающих тем важным свойством, что во всех таких системах законы физики одинаковы (принцип относительности).  

3. Масса – физическая величина, одна из основных характеристик материи, определяющих её инерционные и гравитационные свойства.

4. Сила – физическая векторная величина, являющаяся количественной мерой механического взаимодействия материальных объектов.

Во II законе Ньютона масса выступает как мера инертности тел.

Признаки силы:  1) числовое значение (величина);  2) направление; 3) точка приложения.

         Свойства силы: 1. Точка приложения силы может быть перенесена по линии действия силы.

2. Если к данному телу одновременно приложено несколько

сил, то каждая из них действует так, как если бы других сил не было.

          5. I закон Ньютона: материальная точка сохраняет состояние покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока воздействие со стороны других тел не заставит её изменить это состояние.

6. II закон Ньютона: ускорение, приобретаемое телом, совпадает по направлению с действующей на него силой и равно отношению этой силы к массе тела:

                                               

где  - равнодействующая всех сил, приложенных к телу; определяется по правилу сложения векторов.

Чем больше масса тела, тем большую силу к нему нужно приложить для сообщения определённого ускорения.

II закон Ньютона в классической физике (m = const) может быть записан в виде:

В общем случае при переменной массе II закон Ньютона выражается формулой:

       7. Импульс тела:  – физическая векторная величина, равная произведению массы тела на его скорость и имеющая направление скорости.

        8. Импульс силы

      Импульс силы  – физическая векторная величина, равная произведению силы и времени её действия.

Импульс силы, действующий на тело, равен изменению импульса тела.

В случае действия постоянной силы

где  и  - начальная и конечная скорости, разделённые промежутком Dt.

В случае прямолинейного равнопеременного движения

9. Закон сохранения импульса:                .

10. Сила возникает как при непосредственном контакте (давление прижатых друг другу тел, трения), так и через посредство создаваемых телами полей (поле тяготения, электромагнитное поле).

1) Все тела притягиваются друг к другу. Для материальной точки (или шаров) закон всемирного тяготения имеет вид:

                                                                         

где  и – массы тел, r – расстояние между материальными точками или центрами шаров; G – гравитационная постоянная.

Если тело массой m находится над поверхностью Земли на высоте h, то на него действует сила тяготения

                                      

где М - масса Земли, R = 6,37^.10⁶ м – радиус Земли.

2) Сила тяжести F_тяж определяется силой притяжения Земли и тем, что Земля вращается вокруг собственной оси. В связи с малостью угловой скорости вращения Земли (w  = 7,27^.10^-5 ) сила тяжести мало отличается от силы тяготения.

При h << R ускорение, создаваемое силой тяжести является ускорением свободного падения g = G .

3) Вес – сила, с которой тело вследствие тяготения к Земле действует на опору (или подвес), удерживающую тело от свободного падения.

Вес тела проявляется в том случае, если тело движется с ускорением, отличным от g, то есть когда на тело, кроме силы тяжести действуют другие силы. Эта сила приложена либо к опоре, либо к подвесу.

        Вес тела равен силе тяжести только в том случае, когда ускорение тела относительно Земли равно нулю, т.е., когда  тело относительно Земли неподвижно или движется с постоянной скоростью.

4) Сила, вызванная деформацией тел и препятствующая изменению объёма или формы тела, называется силой упругости.

При небольших деформациях растяжения или сжатие x сила упругости прямо пропорциональна деформации и направлена в сторону, противоположную ей (закон Гука):

                                            

где k – коэффициент упругости, зависит от свойств материала и геометрии деформируемого тела.

Закон Гука может быть записан в виде:

                                                      

где e =  - относительная деформация; - длина тела до деформации (начальная длина); - длина тела после деформации; s = - напряжение, возникающее в твердом теле, S – площадь сечения, на которую действует сила F; E – модуль Юнга.

5) Сила трения – сила сопротивления, направленная противоположно относительному перемещению данного тела и приложенная по касательной к соприкасающимся поверхностям:

                                              

где m - коэффициент трения скольжения, зависящий от свойств соприкасающихся поверхностей; N – сила нормального давления.

11. III закон Ньютона: материальные точки действуют друг на друга с силами, численно равными по величине, и направленными в противоположные стороны вдоль прямой, соединяющей эти точки.        .

Методика решения задач

        1. Сделать схематический чертеж согласно условию задачи.

        2. Проставить вектор ускорения.

        3. Расставить все силы, приложенные к телу со стороны других тел.

        4. Составить основное уравнение динамики поступательного движения

в векторной форме.

        5. Выбрать систему координат для каждого тела отдельно. Начало координат совместить с центром масс тел.

        6. Найти проекции всех сил на оси координат.

        7. Записать основное уравнение динамики в проекциях на оси координат. При этом необходимо следить за знаками проекций векторов сил. Если направление проекции вектора совпадает с положительным направлением координатной оси, то проекция силы берется со знаком (+), если не совпадает – со знаком (-).

        8. Решить систему полученных уравнений относительно неизвестной величины.

Примеры решения задач

          Задача 1. Поезд весом 5 МН после прекращения тяги паровоза под действием силы трения 100 кН останавливается через 1 мин. С какой скоростью шел поезд?

         Дано:  Р = 5∙10⁶  Н;     F_тр = 100∙10³ Н;    t = 60 c;      = 0;     F = 0.     

         Найти:    .

Решение.

          1. ;                (1)

2.  Приложим к центру масс силы, действующие на тело.

3. Составим уравнение движения (запишем II закон Ньютона) в векторном виде:

.

4. Выберем систему координат для решения векторного уравнения.

5. Найдем проекции всех сил на оси координат.

                     х:            (2);          

                    у:                

         6) Из   (2) найдем ускорение а:       ;

         7) Массу найдем из   m = P/g   -   подставим в «а»:

- подставим в (1):      .

Задача 2. Определить силу трения, действующую при движении тела по горизонтальной поверхности, если на тело массой m = 1 кг действует сила 10 Н под углом a = 60° к горизонту. Коэффициент трения равен m = 0,1. С каким ускорением будет двигаться тело (рис.2.3)?

  Дано:

m = 1 кг

F = 10 Н

a = 60°                                                              

m = 0,1                                             

                                                        

F_тр - ?   - ?                                                                                                  

Решение

1.  Приложим к центру масс силы, действующие на тело.

2. Составим уравнение движения (запишем II закон Ньютона) в векторном виде:

.

3. Выберем систему координат для решения векторного уравнения.

4. Найдем проекции всех сил на оси координат.

         Ось X: ; ; ; .

         Ось Y: ; ; .

5. Составим систему уравнений для решения векторного уравнения.

;

;            .

;                (.)

Ответ: Н;      .

       Задача 3.  Найти ускорение тела, соскальзывающего с наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол = 30⁰. Коэффициент трения между телом и плоскостью  = 0,3.

       Дано: = 30⁰;     = 0,3.

       Найти: а- ?

                                                Решение.

       Движение тела вниз по наклонной плоскости с ускорением а, направленным вниз по плоскости, может происходить, если скатывающая сила F превышает силу трения F_тр (F > F_тр), а их разность вызывает ускорение, направленное вниз вдоль наклонной плоскости.

        По 2 закону Ньютона:         .

В проекциях на оси    х и у:  

х:   .

y:   .

, подставим в «а»

2,4 м/с².

Ответ:    а = 2,4 м/с².

      Задача 4.  Две гири массами  и  висят на концах нити, перекинутой через блок. Первая гиря находится на 2 м ниже второй. Гири пришли в движение без начальной скорости. Через какое время они будут находиться на одной высоте?

Дано:   ;      ;      h  = 2 м;     = 0. Найти: t.

Решение

        ;     ;         ;

1) ;       проекция на ось   y:    

2)        проекция на ось   y:    

         Сложим (1) и (2) с учетом того, что F_H1 = F_H2 (нить невесома и нерастяжима):

       , подставим в t:

.

       Ответ:   t = 0,73 с.

      Задача 5. Стальной трос торпедно-погрузочного аппарата подводной лодки выдерживает на разрыв нагрузку 25 кН. С каким наибольшим ускорением можно поднимать торпеду массой 1300 кг, подвешенную на этом тросе, чтобы он не разорвался?

      Дано:     F = 25∙10³ Н;    m = 1300 кг.      Найти: а.      

Решение

         На торпедно-погрузочный аппарат действует 2 силы: сила тяжести mg  и сила натяжения троса F_н.    

         Наибольшее ускорение должно соответствовать величине силы натяжения троса F_н  не больше или равной 25 кН.

         По 2 закону Ньютона составим уравнение  в векторной форме (см. рис.):

.

Найдем проекции этих сил на ось у:   ,     отсюда найдем ускорение:

   .

Ответ: а = 9,2 м/с².

       Задача 6. Найти абсолютное удлинение буксирного троса с жесткостью k = 100 кН при буксировке автомобиля массой 2 т с ускорением а = 0,5 м/с².

       Дано:                                                    Решение

k = 100∙10³ Н                   Согласно закону Гука  F_упр = - kx.

m = 2∙10³ кг               Сила натяжения, деформирующая трос, по 3 закону Ньютона

а = 0,5 м/с²                численно равна силе упругости, но противоположна

_____________         ей по направлению. Поэтому

    х - ?                                                 F_нат  =  - F_упр          и     т.о. F_нат  =  kx.

                                          На буксируемый автомобиль действуют три силы: сила тяжести , сила реакции опоры    и  сила натяжения троса . По 2 закону Ньютона в векторном виде

,

а в скалярном виде            .     (1)

(т.к.   по 3 закону Ньютона     mg = N и в проекциях на ось у: mg – N = 0) .        

Тогда                                    .

Из (1) выразим  х :             = 0,01 м.

         Ответ: х = 0,01 м

Задача 7. Каким должен быть радиус кривизны моста, чтобы автомобиль, движущейся со скоростью 19,6 м/с, оказался в невесомости на его середине?

Дано:

 = 19,6 м/с

N =  Р = 0

_________________

- ?

                                                  Решение

;         Найдем проекции сил на ось у.

у:    , т.к.     N = 0,      ,

то      ;           м.