Решение задач с помощью графиков. Развитие одаренности

Решение задач с помощью графиков движения

Нахождение способа решения задачи

подобно изобретению.

«Заслуга математики состоит в том, что она является весьма действенным инструментом к самопознанию человеческого разума. И хотя человек не всегда имеет возможности для создания чего-то нового в той или иной сфере деятельности, но будучи личностью, он, тем не менее, не может не быть готовым к творческому самовыражению. Математика помогает ему, пробуждая творческие потенции. В этом и есть одно из главных предназначений учебного предмета математики».

«Лучше один раз увидеть, чем сто раз услышать».

Решение задач уравнением считается универсальным методом. Но много ли он дает уму и сердцу?

Есть задачи на движение, которые можно решать и с помощью функций, и с помощью графиков, и с помощью геометрии. Этот приём называется графическим моделированием. Первое о нём упоминание было в научно-теоретическом и методическом журнале «Математика в школе» № 5 в 2005 году (моя статья «Графическое моделирование ситуаций в решении задач на движение»). В статье приводились примеры решения задач с помощью графиков. На основе моих идей позже была разработана полная теория графического моделирования, принадлежит она другому автору, и эта теория была опубликована также в журнале «Математика в школе». Благодарю автора теории за уважение, проявленное ко мне, так как автор любезно ссылается на мою статью.

Рассмотрим ещё несколько примеров решения задач с помощью графиков движения. Они будут полезными в развитии одарённости детей.

№ 1 Из пункта А в пункт В отправились одновременно велосипедист и автомобилист, скорость которого в 5 раз больше. На середине пути автомобиль сломался и дальше автомобилист пошёл пешком со скоростью, в два раза меньшей скорости велосипедиста. Кто из них раньше доберётся до пункта В?

Лучше один раз увидеть, чем сто раз услышать, поэтому решим эту задачу с помощью графиков. Этот способ наглядно представит условие задачи и поможет быстро найти ответ. Горизонтальная ость – ось расстояния, вертикальная (она направлена вниз) – ось времени.  Расстояние АВ выбираем произвольно. Например, 20 единиц. Пусть скорость велосипедиста равна 1, тогда скорость автомобиля равна 5, а скорость пешехода 0,5. Следовательно, угловой коэффициент графика движения велосипедиста равен 1, автомобиля 5, а пешехода 0,5. Построив графики движения автомобилиста и велосипедиста на клетчатой бумаге, видим, что велосипедист добирается до пункта В раньше.

     

Заметим, что от выбора длины расстояния АВ ответ не зависит.

Ответ: велосипедист.

№ 2 100-метровку Маша пробегает быстрее Вани на 1 секунду. В тот момент, когда Маша пересекает финишную черту, Ваня отстаёт от неё на 5 метров. Чтобы выровнять финиширование,  положение старта для Маши перенесли на 5 метров назад. Сможет ли теперь Ваня перегнать Машу?

Пусть красная прямая на первом рисунке – график движения Маши, синяя прямая – график движения Вани. Ваня отстаёт от Маши в момент её финиширования на 5 метров. На втором рисунке показан их второй забег, то есть когда старт для Маши перенесли назад на 5 метров. Скорости молодых людей не изменились, поэтому график второго забега Маши (тонкая красная прямая) параллелен графику её первого забега.

Заметим, что совсем неважно, на сколько секунд и на сколько метров Ваня отставал от Маши. Главное, что линию старта для Маши переносят именно на это расстояние. При любом значении этого расстояния Ваня проиграет Маше. Действительно, АСТР – параллелограмм, СР – его диагональ. Продолжение РВ диагонали пересекает линию финиша ниже, чем продолжение РМ стороны АР параллелограмма.

Ответ: нет.

  № 3 Из пунктов А и В навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал расстояние от А до В за 15 часов, а второй прибыл в пункт А через 4 часа после встречи с первым. Найти время, через которое они встретились.

Примем скорость первого за 1, тогда расстояние АВ равно 15 единиц и диагональ АС квадрата АВСD является графиком движения первого автомобиля. Пусть ВМ – график движения второго автомобиля, причем МК равно 4. Пусть искомое время равно х часов, тогда АК = КР = х и АМ = х + 4. Треугольники АВМ и КРМ подобны. Из пропорции  получаем: х = 6.

Заметим, что клетки рисунка, так сказать, сами решат задачу: если подобрать построение графика движения второго автомобиля (синяя прямая) так, чтобы время 4 часа соответствовало именно 4 клеткам и АК было равно КР (ведь первый проехал столько единиц расстояния, сколько прошло часов с момента его отправления).

Ответ: 6 ч.

Мясникова Т.Ф.