Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Конспекты / Решение задач с помощью графиков. Развитие одаренности
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Решение задач с помощью графиков. Развитие одаренности

библиотека
материалов

Решение задач с помощью графиков движения

Нахождение способа решения задачи

подобно изобретению.


«Заслуга математики состоит в том, что она является весьма действенным инструментом к самопознанию человеческого разума. И хотя человек не всегда имеет возможности для создания чего-то нового в той или иной сфере деятельности, но будучи личностью, он, тем не менее, не может не быть готовым к творческому самовыражению. Математика помогает ему, пробуждая творческие потенции. В этом и есть одно из главных предназначений учебного предмета математики».

«Лучше один раз увидеть, чем сто раз услышать».



Решение задач уравнением считается универсальным методом. Но много ли он дает уму и сердцу?

Есть задачи на движение, которые можно решать и с помощью функций, и с помощью графиков, и с помощью геометрии. Этот приём называется графическим моделированием. Первое о нём упоминание было в научно-теоретическом и методическом журнале «Математика в школе» № 5 в 2005 году (моя статья «Графическое моделирование ситуаций в решении задач на движение»). В статье приводились примеры решения задач с помощью графиков. На основе моих идей позже была разработана полная теория графического моделирования, принадлежит она другому автору, и эта теория была опубликована также в журнале «Математика в школе». Благодарю автора теории за уважение, проявленное ко мне, так как автор любезно ссылается на мою статью.



Рассмотрим ещё несколько примеров решения задач с помощью графиков движения. Они будут полезными в развитии одарённости детей.

1 Из пункта А в пункт В отправились одновременно велосипедист и автомобилист, скорость которого в 5 раз больше. На середине пути автомобиль сломался и дальше автомобилист пошёл пешком со скоростью, в два раза меньшей скорости велосипедиста. Кто из них раньше доберётся до пункта В?

Лучше один раз увидеть, чем сто раз услышать, поэтому решим эту задачу с помощью графиков. Этот способ наглядно представит условие задачи и поможет быстро найти ответ. Горизонтальная ость – ось расстояния, вертикальная (она направлена вниз) – ось времени. Расстояние АВ выбираем произвольно. Например, 20 единиц. Пусть скорость велосипедиста равна 1, тогда скорость автомобиля равна 5, а скорость пешехода 0,5. Следовательно, угловой коэффициент графика движения велосипедиста равен 1, автомобиля 5, а пешехода 0,5. Построив графики движения автомобилиста и велосипедиста на клетчатой бумаге, видим, что велосипедист добирается до пункта В раньше.

C:\Documents and Settings\Администратор\Мои документы\выступления\2011-2012\симф урока Дек 12\рисунки\7.bmpC:\Documents and Settings\Администратор\Мои документы\выступления\2011-2012\симф урока Дек 12\рисунки\8.bmp

Заметим, что от выбора длины расстояния АВ ответ не зависит.

Ответ: велосипедист.

2 100-метровку Маша пробегает быстрее Вани на 1 секунду. В тот момент, когда Маша пересекает финишную черту, Ваня отстаёт от неё на 5 метров. Чтобы выровнять финиширование, положение старта для Маши перенесли на 5 метров назад. Сможет ли теперь Ваня перегнать Машу?

hello_html_70c50865.png

hello_html_m29cf745f.png

Пусть красная прямая на первом рисунке – график движения Маши, синяя прямая – график движения Вани. Ваня отстаёт от Маши в момент её финиширования на 5 метров. На втором рисунке показан их второй забег, то есть когда старт для Маши перенесли назад на 5 метров. Скорости молодых людей не изменились, поэтому график второго забега Маши (тонкая красная прямая) параллелен графику её первого забега.

Заметим, что совсем неважно, на сколько секунд и на сколько метров Ваня отставал от Маши. Главное, что линию старта для Маши переносят именно на это расстояние. При любом значении этого расстояния Ваня проиграет Маше. Действительно, АСТР – параллелограмм, СР – его диагональ. Продолжение РВ диагонали пересекает линию финиша ниже, чем продолжение РМ стороны АР параллелограмма.

Ответ: нет.

3 Из пунктов А и В навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал расстояние от А до В за 15 часов, а второй прибыл в пункт А через 4 часа после встречи с первым. Найти время, через которое они встретились.

C:\Documents and Settings\Администратор\Мои документы\выступления\2011-2012\симф урока Дек 12\рисунки\10.bmp

Примем скорость первого за 1, тогда расстояние АВ равно 15 единиц и диагональ АС квадрата АВСD является графиком движения первого автомобиля. Пусть ВМ – график движения второго автомобиля, причем МК равно 4. Пусть искомое время равно х часов, тогда АК = КР = х и АМ = х + 4. Треугольники АВМ и КРМ подобны. Из пропорции hello_html_7f6709e4.gif получаем: х = 6.

Заметим, что клетки рисунка, так сказать, сами решат задачу: если подобрать построение графика движения второго автомобиля (синяя прямая) так, чтобы время 4 часа соответствовало именно 4 клеткам и АК было равно КР (ведь первый проехал столько единиц расстояния, сколько прошло часов с момента его отправления).

Ответ: 6 ч.

Мясникова Т.Ф.



3



Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 29.10.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров1222
Номер материала ДВ-107775
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх