«Решение задач с практическим содержанием при подготовке к ЕГЭ по математике на профильном уровне»

• 1 слайд

  
  Тема урока:
  «Решение задач с практическим содержанием при подготовке к ЕГЭ по математике на профильном уровне»
  

• 2 слайд

  Анализ банка задач ЕГЭ по математике, а также демоверсии ЕГЭ 2021 года позволил выделить основные подходы к решению задач с практическим содержанием:
  1. решение с помощью формул;
  2. решение задач в общем виде;
  3. решение задач с использованием свойства степеней;
  4. решение задач с помощью математического анализа;
  5. решение задач методом сравнения
  

• 3 слайд

  4 вида экономических задач:
  1. Простые проценты, налоги;
  2. Сложные проценты, вклады;
  3. Кредиты;
  4. Задачи на оптимизацию.
  

• 4 слайд

  Задача
  Клиент взял в банке кредит 12 000 рублей на год под 16%. Он должен погашать кредит, внося в банк ежемесячно одинаковую сумму денег, с тем чтобы через год выплатить всю сумму, взятую в кредит, вместе с процентами. Сколько рублей он должен вносить в банк ежемесячно?
  

• 5 слайд

  Решение
  Через год клиент должен будет выплатить
  12 000 + 0,16 * 12 000 = 13 920 рублей.
  Разделим 13 920 руб. на 12 мес.:
  13 920/12 = 1 1160 руб./мес.
  Значит, клиент должен вносить ежемесячно в банк
  1 160 рублей.
  
  Ответ: 1 160.
  

• 6 слайд

  Налог на доходы составляет 13% от заработной платы. Заработная плата Ивана Кузьмича равна 12 500 рублей. Сколько рублей он получит после вычета налога на доходы?
  Задача
  

• 7 слайд

  Решение
  Налог на зарплату Ивана Кузьмича составит 12 500 * 0,13 = 1 625 рублей. Значит, после вычета налога на доходы он получит 12 500 – 1 625 = 10 875 рублей.
  
  Ответ: 10 875
  

• 8 слайд

  Задача
  Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась втрое, общий доход семьи вырос бы на 112%. Если бы стипендия дочери уменьшилась вдвое, общий доход семьи сократился бы на 4%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?
  

• 9 слайд

  Решение
  Если бы зарплата мужа увеличилась втрое, общий доход семьи вырос бы на 112%, то есть зарплата мужа составляет 56% дохода семьи. Если бы стипендия дочери уменьшилась вдвое, общий доход семьи сократился бы на 3%, то есть вся стипендия дочери составляет 6% дохода семьи. Таким образом, доход жены составит 100%-56%-6% = 38% дохода семьи.
  
  Ответ: 38.
  

• 10 слайд

  Задача
  Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%. Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 6%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?
  

• 11 слайд

  Решение
  𝑥+𝑦+𝑧=100 100+2𝑥+2𝑦=288 𝑥=67 𝑥+𝑦+𝑧=100 𝑥+𝑦=94 𝑥=67
  𝑥+𝑦+𝑧=100 𝑦=94−67 𝑥=67
  𝑧=100−27−67 𝑦=27 𝑥=67
  Ответ: 27
  

• 12 слайд

  Задача
  Четыре рубашки дешевле куртки на 8%. На сколько процентов пять таких рубашек дороже куртки?
  

• 13 слайд

  Цена четырех рубашек составляет 92% цены куртки. Значит цена одной рубашки составляет 23% цены куртки. Поэтому цена пяти рубашек составляет 115% цены куртки. Это превышает цену на 15%.
  Решение
  

• 14 слайд

  Кредиты
  На сумму выплачиваемых процентов влияет не только ставка, но и метод погашения кредита.
  Таких методов существует два: дифференцированные платежи и аннуитетные платежи.
  

• 15 слайд

  Схемы погашения кредита
  Аннуитет - начисление равных платежей на весь срок погашения кредита. При этом в первой половине срока погашения задолженность по кредиту практически не гасится — выплачиваются в большей части проценты. Эта особенность делает платежи относительно небольшими, но увеличивает общую сумму начисляемых процентов.
  
  Дифференцированные - платежи характерны тем, что задолженность по кредиту погашается равномерно, начиная с самых первых выплат, а проценты начисляются на фактический остаток. Таким образом, каждый последующий платеж меньше предыдущего.
  
  

• 16 слайд

• 17 слайд

  Задача: Анатолий решил взять кредит в банке 331000 рублей на 3 месяца под 10 %. Существуют 2 схемы выплаты кредита.
  

• 18 слайд

  Формулы для аннуитетных расчетов
  n- платежные периоды
  Sо- сумма кредита
  m= 1+0,01q
  q%- процентная ставка
  Х- постоянные выплаты
  Sn-величина текущего долга
  

• 19 слайд

  Формулы для дифференцированных платежей
  n- платежные периоды Sо- сумма кредита
  q% - процентная ставка, причем, каждый платежный период, долг сначала возрастает, по сравнению с концом предыдущего платежного периода, а затем вносится оплата так, что долг становится на одну и ту же сумму меньше долга на конец предыдущего платежного периода
  Х- постоянные выплаты П-величина переплаты
  В- полная величина выплат
  

• 20 слайд

  31 декабря 2014 года Алексей взял в банке 6 902 000 рублей в кредит под 12,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая — 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12,5%), затем Алексей переводит в банк X рублей. Какой должна быть сумма X, чтобы Алексей выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?
  Задача
  

• 21 слайд

  Аннуитетный вид платежа.
  
  
  
  
  Решение
  

• 22 слайд

  Сергей взял кредит в банке на срок 9 месяцев. В конце каждого месяца общая сумма оставшегося долга увеличивается на 12%, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Сергеем. Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый месяц уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину.
  Сколько процентов от суммы кредита составила общая сумма, уплаченная Сергеем банку (сверх кредита)?
  
  Задача
  

• 23 слайд

  Предложение:
  «Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый месяц уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину» означает: Сергей взятую сумму, без учета процентов, возвращал равными долями. Это значит дифференцированный платеж.
  
  Решение
  

• 24 слайд

  Алексей взял кредит в банке на срок 12 месяцев. По договору Алексей должен вернуть кредит ежемесячными платежами. В конце каждого месяца к оставшейся сумме долга добавляется r % этой суммы и своим ежемесячным платежом Алексей погашает эти добавленные проценты и уменьшает сумму долга. Ежемесячные платежи подбираются так, чтобы долг уменьшался на одну и ту же величину каждый месяц (на практике такая схема называется «схемой с дифференцированными платежами»). Известно, что общая сумма, выплаченная Алексеем банку за весь срок кредитования, оказалась на 13 % больше, чем сумма, взятая им в кредит. Найдите r.
  Задача
  

• 25 слайд

  Дифференцированный платеж.
  
  
  

• 26 слайд

  В июле планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
  — каждый январь долг возрастает на 31% по сравнению с концом предыдущего года;
  — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга, равную 69 690 821 рубль.
  Сколько рублей было взято в банке, если известно, что он был полностью погашен тремя равными платежами ( то есть за три года)?
  
  Задача
  

• 27 слайд

  Если искомая сумма составляет S рублей, то при коэффициенте ежегодной процентной ставки q, равной 1,31, фиксированная сумма Х, которую клиент ежегодно должен возвращать в банк в течение 3 лет, составляет откуда  
  
  Ответ: 124 809 100 рублей
  Решение
  

• 28 слайд

  Василий кладет в банк 1 000 000 рублей под 10% годовых на 4 года (проценты начисляются один раз после истечения года) с правом докладывать три раза (в конце каждого года) на счет фиксированную сумму 133 000 рублей. Какая сумма будет на счете у Василия через 4 года?
  Задача
  

• 29 слайд

  1. После первого года хранения вклада:
  Сумма вклада возрастает до 1 000 000 · 1,1 = 1 100 000 (р);
  Дополнительное пополнение счета 1 100 000 + 133 000 = 1 233 000 (р);
  2. После второго года хранения вклада:
  Сумма вклада возрастает до 1 233 000 · 1,1 = 1 356 300 (р);
  Дополнительное пополнение счета 1 356 300 + 133000 = 1 489 300 (р);
  3. После третьего года хранения вклада:
  Сумма вклада возрастает до 1 489 300 · 1,1 = 1 638 230 (р);
  Дополнительное пополнение счета 1 638 230 + 133 000 = 1 771 230 (р);
  4. После четвертого года хранения вклада:
  Сумма вклада возрастает до 1 771 230 · 1,1 = 1 948 353 (р).
   
  Ответ: 1 948 353 рубля.
  
  
  Решение
  

• 30 слайд

Краткое описание документа:

«Решение задач с практическим содержанием при подготовке к ЕГЭ по математике на профильном уровне» Анализ банка задач ЕГЭ по математике, а также демоверсии ЕГЭ 2021 года позволил выделить основные подходы к решению задач с практическим содержанием:1. решение с помощью формул; 2. решение задач в общем виде; 3. решение задач с использованием свойства степеней; 4. решение задач с помощью математического анализа; 5. решение задач методом сравнения