Самостоятельная работа по дисциплине "Теория вероятностей и математическая статистика"

Самостоятельная работа №1.

1.     Сократите дроби:

                                    

2.     Решите уравнение:

    

3.     Решите задачи:

а) В группе из 25 человек выбирают актив: старосту, физорга, профорга и  культорга. Сколькими способами могут избрать актив группы?

б) Сколькими способами можно устроить на летнюю практику 10 студентов на три предприятия города?

в) Компания имеет четыре отдела: производственный, снабжения, менеджмента и маркетинга. Количество людей в отделах 25, 36, 24 и 15 соответственно. Каждый отдел собирается послать одного представителя на ежегодную встречу с директором компании. Сколько различных групп для встречи можно составить из числа работников компании?

г) Сколько существует различных телефонных номеров, состоящих из шести цифр? Сколько существует таких телефонных номеров, в которых цифры не повторяются?

д) В ящике 1 болт и 15 винтиков разных размеров. Нужно подобрать два винтика. Сколькими вариантами можно это сделать?

е) Сколько существует способов поставить на книжную полку в беспорядке собрание сочинений, состоящее из семи томов?

ж) Сколько различных пятизначных чисел можно составить так, чтобы любые две соседние цифры были различными?

з) Сколько двузначных чисел можно составить из нечетных цифр так, чтобы:

     - использовались любые из них;

     - цифры не повторялись;

     - использовались одинаковые цифры?

Самостоятельная работа №2.

1.     Подбрасывают два игральных кубика. Укажите количество событий, входящих в пространство элементарных событий этого испытания. Какие элементарные события благоприятствуют событию:

а) на обоих кубиках выпало одинаковое число очков;

б) сумма очков на обоих кубиках равна четырем;

в) сумма очков на обоих кубиках не превышает четырех;

г) сумма очков на обоих кубиках не менее четырех;

д) сумма очков на обоих кубиках менее четырех;

е) сумма очков на обоих кубиках равна 14?

2. Являются ли совместными следующие события:

а) при трехкратной стрельбе по мишени попадание не более одного раза и промах два раза;

б) двузначное число – четное и двузначное число кратно трем;

в) при трехкратном подбрасывании правильной монеты выпадение орла и выпадение цифры не менее трех раз;

г) при трехкратной стрельбе по мишени не менее одного попадания и промах при втором выстреле;

д) при подбрасывании двух правильных монет выпадение орла и выпадение решки не более одного раза;

е) при трехкратном подбрасывании правильной монеты однократное выпадение орла и выпадение решки не более двух раз?

3. Слово «ромашка» составлено из букв разрезной азбуки. Наудачу извлекают карточки и складывают в ряд друг за другом в порядке появления.

а) сколько возможных соединений можно составить из букв этого слова?

б) какова вероятность получить при этом слово «мошкара»?

в) какова вероятность получить при этом слово «кара»?

4. Какова вероятность того, что наудачу выбранное целое число от 40 до 70 является кратным 6?

5. На участке теплосети длиной 800 м произошла авария. Какова вероятность того, что повреждение находится не далее 100 м от середины участка?

6. На карточке лотереи «Спортлото» необходимо зачеркнуть шесть из 49 возможных чисел от 1 до 49. В случае угадывания всех шести чисел есть шанс выиграть максимальную для этого тиража сумму денег. С какой вероятностью можно угадать все шесть номеров?

7. На кафедре работает 12 преподавателей. С какой вероятностью дни рождения каждого из преподавателей придутся на разные месяцы года?

Самостоятельная работа №3.

1.   Правовой центр получил приглашение для оказания юридических услуг от двух фирм. Вероятность получения заказа от фирмы А предположительно 0,54, от фирмы В – 0,62. С какой вероятностью адвокаты правового центра получат не менее одного заказа?

2.   В компьютере одновременно работают две независимые программы. Вероятность того, что первая программа даст сбой, составляет 0,3, а вторая – 0,4. Найти вероятность того, что:

а) обе программы дадут сбой;

б) сбой произошел;

в) обе программы не дадут сбоя;

г) хотя бы одна программа даст сбой;

д) хотя бы одна будет работать без сбоя;

е) только одна программа даст сбой;

ж) будет не менее одного сбоя.

3. Два программиста пишут компьютерные программы. Вероятность того, что программа, составленная первым программистом, будет работать, равна 0,5; вторым – 0,7. Сформулируйте четыре вопроса о вычислении вероятности по заданному условию и решите задачу.

4. За компьютерами в компьютерном классе сидят 10 юношей и 5 девушек. Сломались три компьютера. Найдите вероятность того, что все, у кого сломались компьютеры, юноши.

5. Имеется три урны. В первой находится пять белых и три черных шаров , во второй  - шесть белых и два черных, в третьей – десять белых. Вынимают наугад один шар. Урна выбирается тоже наугад. Найдите вероятность того, что этот шар белый.

6. Стрелки А, В, С попадают в мишень с вероятностью соответственно р(А) = 0,6; р(В) = 0,5; р(С) = 0,4. После первого выстрела в мишень попали две пули из трех.

а) Определить, что вероятнее: стрелок С попал по мишени или нет.

б) Мишень оказалась пораженной. С какой вероятностью в нее попал первый стрелок А?

Самостоятельная работа №4.

1.   Для данного баскетболиста вероятность попадания мяча в кольцо при каждом броске равна 0,4. Определите наиболее вероятную ситуацию  - попадание трех мячей при четырех бросках мяча или попадание четырех мячей при пяти бросках мяча, если броски считаются независимыми.

2.   Среди семян пшеницы о,6% семян сорняков. Какова вероятность при случайном отборе 1000 семян обнаружить:

а) не менее трех семян сорняков;

б) не более 16 семян сорняков;

в) ровно шесть семян сорняков;

г) только семена пшеницы?

3. Партия из 40 деталей содержит пять бракованных. Какова вероятность того, что среди 10 случайно взятых деталей:

а) бракованных нет;

б) две детали бракованные;

в) не менее двух бракованных деталей;

г) не более двух бракованных деталей;

д) менее двух бракованных деталей;

е) более двух деталей с браком?

4. Медиками установлено , что 94% лиц, которым сделаны прививки против туберкулеза, приобретают иммунитет против этого заболевания. Какова вероятность того, что среди 100000граждан, сделавших прививки, 5800 не защищены от заболевания туберкулезом?

5. Сколько изюма в среднем должны содержать калорийные булочки для того, чтобы вероятность иметь в булочке хотя бы одну изюмину была не менее 0,99?

6. Станок – автомат изготовляет 80 деталей в день. Какова вероятность того, что изготовленная  деталь высшего сорта, если обычно в течение рабочей смены 68 деталей высшего сорта?

7. Вероятность появления в продаже бракованного компьютера равна 0,004. Оказалось, что за весь период работы фирмы продано 1000 компьютеров.

Самостоятельная работа №5.

1.   Случайная величина Х задана рядом распределения.

хi	3	5	7	11	12
pi	0,14	0,20	0,39	0,17	?

     а) Найдите недостающее значение вероятности;

б) найдите функцию распределения F(x);

в) постройте ее график;

г) определите числовые характеристики ДСВ Х: моду, медиану, математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение.

2. Для следующих задач: а) составьте закон распределения ДСВ Х, постройте ее график; б) составьте функцию распределения этой случайной величины, постройте ее график; в) найдите все числовые характеристики этой ДСВ:

    1) Вероятность попадания стрелком в мишень равна . Стрелок сделал       четыре выстрела. Случайная величина Х – число попаданий.

2) В магазин вошли четыре покупателя. Вероятность сделать покупку для каждого из вошедших в магазин равна 0,3. Случайная величина Х – число покупок.

3) из орудия производиться стрельба по цели до первого попадания. Вероятность попадания в цель р=0,6 при каждом выстреле. Случайная величина Х – число выстрелов при попадании в цель, если в наличии три снаряда.

4) В партии из десяти деталей имеется восемь стандартных. Берут наугад две детали. Случайная величина Х – число стандартных деталей среди отобранных.

3. Составьте закон распределения ДСВ и постройте многоугольник распределений по имеющимся данным:

      1) х₁=1, х₂=2, х₃=4, если известно, что М(Х) = 1,9; М(Х²) = 4,9;

2) х₁=2, х₂=3, х₃=4, если известно, что М(Х) = 2,6; М(Х²) = 0,44;

3) х₁=2, х₂=4, х₃=5, если известно, что М(Х) = 4; М(Х²) = 0,18.

Самостоятельная работа №6.

1.  Непрерывная случайная величина Х распределена нормально. Найдите:

а) функцию распределения НСВ Х;

б) ее плотность вероятности;

в) числовые характеристики;

г) вероятность попадания НСВ Х на интервале (), если:

     1) Мо = 2, D(X) = 4, где ;

2) Мо = 3, D(X) = 16, где .

2. В следующих задачах найдите: а) плотность вероятности СВ и постройте ее график; б) интегральную функцию распределения СВ и постройте ее график; в) числовые характеристики СВ; г) вероятность попадания СВ в заданный интервал:

   1) В универмаге осуществляется контроль чеков. Покупатели подходят к кассе в среднем 12 чел./ч. Случайная величина Х – число покупателей в универмаге - распределена равномерно. Найдите вероятность того, что с 15 до 16 ч кассир обслужит не более восьми покупателей.

   2) Время работы холодильника до первого отказа подчинено показательному закону с интенсивностью отказов 5∙10^-4(ч^-1). Найдите вероятность того, что за 2000 ч эксплуатации холодильник не выйдет из строя.

3. Менеджер по рекламе считает, что время, в течение которого телезрители удерживают в памяти телерекламу, есть случайная величина, распределенная по показательному закону с = . Вычислите долю телезрителей, способных вспомнить телерекламу через две недели.

4. Компьютерный программист использует показательное распределение для оценки надежности своих программ. После того как им были найдены 8 своих ошибок, он убедился, что время до нахождения следующей ошибки подчинено показательному закону распределения с = 0,25. Найдите среднее время, потраченное на поиск первой ошибки, и вычислите вероятность того, что десятую ошибку можно найти в интервале от 3 до 9 дней. 

Самостоятельная работа №7.

1.     Решите задачу с помощью (с помощью неравенства Чебышева для биномиальных распределений).

Волжская ГЭС обслуживает сеть из 20000 объектов, вероятность включения каждого из которых в вечернее время зимой составляет 0,85. С какой вероятностью число объектов, включенных в сеть зимним вечером, будет отличаться от математического ожидания более, чем на 600.

2.     Используя заданный ряд распределения ДСВ, найдите и оцените вероятность того, что |х – М(х)|˂

 = 5;

хi	1	2	3	4	5	6	7
pi	0,09	0,15	0,24	0,15	0,23	0,1	0,04

3.     По данным выборки постройте гистограмму частот, гистограмму относительных частот, эмпирическую функцию распределения и ее график – кумуляту: 23,5; 26,4; 48,6; 35,8; 32,9; 41,1; 33,3; 46,3; 49,9; 34,1; 45,2; 34,5; 42,4; 47,3; 32,4; 33,3; 34,4; 30,8; 43,7; 46,9; 41,3; 34,6.

4.      По данному распределению выборки найдите , D_B, и дайте оценки генеральных совокупностей:

1)

Хi	1	4	8	9
ni	5	10	15	20

2)

Хi	1	3	5	7
ni	8	12	16	14

Самостоятельная работа №8.

1.     Найдите несмещенные оценки: выборочное среднее, дисперсию, среднеквадратическое отклонение по следующим данным:

1)    в целях определения времени, затрачиваемого на обработку детали, исследована выборочно производительность труда 100 рабочих авиационного завода. Результаты обследования приведены в таблице:

Время обработки, мин	2,6 – 3,2	3,2 – 3,8	3,8 – 4,4	4,4 – 5,0	5,0 – 5,6
Количество рабочих	12	34	30	15	9

2)    проводилось выборочное обследование продуктивности коров на молочных фермах Северо-Западного экономического региона РФ. Получены следующие результаты:

Надой за год, л	3000-3400	3400-3800	3800-4200	4200-4600	4600-5000
Количество коров	43	71	102	64	27

2.     Вычислите доверительный интервал для генеральной дисперсии D и среднеквадратическое отклонение по данным следующим выборок:

1)    выборочное обследование возраста женщин, вступающих в брак в нашем городе в течение года, дало следующие результаты:

Возраст, лет	15-21	21-27	27-33	33-39	39-45	45-51	51-57	57-63
Количество женщин	22	320	380	340	250	112	58	18

2)    в целях улучшения режима работы овощной базы проводился хронометраж времени, затраченного автомобилями – самосвалами на погрузку, данные которого представлены в таблице:

Время пребывания, мин	30-35	35-40	40-45	45-50	50-55	55-60
Число автомобилей	28	42	64	36	22	8