Система авторских заданий повышенного уровня сложности для подготовки ЕГЭ по теме «Стереометрические и планиметрические задачи, решаемые методом координат»

• 1 слайд

  Система авторских заданий повышенного уровня сложности для подготовки ЕГЭ по теме «Стереометрические и планиметрические задачи, решаемые методом координат»
  Айбатулина Валентина Владимировна,
  учитель МБОУ «СОШ № 52 г. Владивосток»
  Попова Яна Павловна,
  учитель МБОУ «СОШ № 23 г. Владивосток»
  

• 2 слайд

  Цели проекта
  Цель проекта создание банка заданий повышенного и высокого уровней сложности для подготовки к ЕГЭ по теме «Решение геометрических задач методом координат»
  

• 3 слайд

  Задачи проекта
  - Рассмотреть метод координат
  - Разработать банк авторских заданий повышенного уровня сложности для подготовки учащихся к ЕГЭ по теме «Решение геометрических задач методом координат»
  - Описать решение этих задач через метод координат
  -Систематизировать знания по теме «Решение геометрических задач методом координат» через создание комплекта заданий по данной теме и подготовке….
  - Провести апробацию комплекта разработанных заданий на учащихся 11 класса с высоким уровнем мотивации
  - Проанализировать эффективность использования разработанного комплекта заданий
  

• 4 слайд

  Тип проекта
  Практико-ориентированный
  По содержанию – монопредметный (математика)
  По длительности – среднесрочный
  По количеству участников – групповой
  

• 5 слайд

  Методические материалы
  Нахождение координаты вектора, если известны координаты его начала и конца.
  𝐴𝐵 𝑥 𝐵 − 𝑥 𝐴 ; 𝑦 𝐵 − 𝑦 𝐴 ; 𝑧 𝐵 − 𝑧 𝐴
  Нахождение координаты середины отрезка.
  𝑥 𝐴 + 𝑥 𝐵 2 ; 𝑦 𝐴 + 𝑦 𝐵 2 ; 𝑧 𝐴 + 𝑧 𝐵 2
  Нахождение длины вектора.
  𝑎 = 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2
  Нахождение расстояния между точками.
  AB = ( 𝑥 𝐵 − 𝑥 𝐴 ) 2 + ( 𝑦 𝐵 − 𝑦 𝐴 ) 2 + ( 𝑧 𝐵 − 𝑧 𝐴 ) 2
  Скалярное произведение векторов.
  𝑎 ⋅ 𝑏 = 𝑎 ⋅ b ⋅ cos 𝛼
  Скалярное произведение перпендикулярных векторов равно 0.
  Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.
  
  
  

• 6 слайд

  В стереометрии используется два основных метода решения задач.
  Первый метод основан на аксиомах, теоремах и свойствах фигур. Он требует логической последовательности практических рассуждений.
  Второй метод – это метод координат или координатно-векторный метод, его можно успешно применять при решении большого числа задач, в том числе, задач Единого Государственного Экзамена. А так как эти задания повышенной сложности, то они приносят учащимся хорошие баллы при сдаче ЕГЭ.
  Сущность метода координат как метода решения задач состоит в том, что, задавая фигуры уравнениями и выражая в координатах различные геометрические соотношения, мы можем решать геометрическую задачу средствами алгебры.
  В отношении школьного курса геометрии можно сказать, что в некоторых случаях метод координат дает возможность строить доказательства и решать многие задачи более рационально, красиво, чем чисто геометрическими способами.
  

• 7 слайд

  Выбор системы координат в пространстве
  Нахождение координат необходимых точек и векторов, или уравнения плоскостей, кривых и фигур
  Решение примера. используя ключевые задачи или формулы данного метода
  Переход от аналитических соотношений к метрическим.
  Этапы решения задач методом координат.
  

• 8 слайд

  Угол между прямыми a и b
  cos 𝛼 = 𝑎 1 𝑏 1 + 𝑎 2 𝑏 2 + 𝑎 3 𝑏 3 𝑎 1 2 + 𝑎 2 2 + 𝑎 3 2 𝑏 1 2 + 𝑏 2 2 + 𝑏 3 2
  Где 𝑎 𝑎 1 ; 𝑎 2 ; 𝑎 3 , 𝑏 𝑏 1 ; 𝑏 2 ; 𝑏 3
  

• 9 слайд

  Вектор нормали к плоскости
  𝑛 - вектор нормали плоскости - это вектор, перпендикулярный этой плоскости.
  Уравнение плоскости: Ax + By + Cz + D = 0 где A, B, C – координаты вектора нормали плоскости,
  𝑛 𝐴, 𝐵, 𝐶
   
  𝑛
  M
  P
  N
  

• 10 слайд

  Угол между прямой и плоскостью
  Найти координаты направляющего вектора прямой 𝑎 𝑎 1 ; 𝑎 2 ; 𝑎 3
  Написать уравнение плоскости и определить координаты вектора нормали 𝑛 𝐴, 𝐵, 𝐶
  sin 𝜑 = 𝑎 1 𝐴+ 𝑎 2 𝐵+ 𝑎 3 𝐶 𝑎 1 2 + 𝑎 2 2 + 𝑎 3 2 𝐴 2 + 𝐵 2 + 𝐶 2
  
  
   
  𝑛
  A
  B
  a
  проекция
  ?
  

• 11 слайд

  Угол между плоскостями
  Написать уравнение плоскостей 𝛼 и 𝛽
  Определить координаты векторов нормали
  𝑛 1 𝐴 1 ; 𝐵 1 ; 𝐶 1 , 𝑛 2 𝐴 2 ; 𝐵 2 ; 𝐶 2
  
  cos 𝛼 = 𝐴 1 𝐴 2 + 𝐵 1 𝐵 2 + 𝐶 1 𝐶 2 𝐴 1 2 + 𝐵 1 2 + 𝐶 1 2 𝐴 2 2 + 𝐵 2 2 + 𝐶 2 2
  𝛼
  β
  A
  B
  C
  𝑛 1
  𝑛 2
  ?
  ?
  

• 12 слайд

  Расстояние в пространстве
  Расстояние между двумя точками A и B
  AB = ( 𝑥 𝐵 − 𝑥 𝐴 ) 2 + ( 𝑦 𝐵 − 𝑦 𝐴 ) 2 + ( 𝑧 𝐵 − 𝑧 𝐴 ) 2
  Расстояние от точки A до плоскости
  p (A;α) = 𝑋 0 𝐴+ 𝑌 0 𝐵+ 𝑍 0 𝐶+𝐷 𝐴 2 + 𝐵 2 + 𝐶 2
  
  где 𝑛 𝐴; 𝐵; 𝐶 и A 𝑋 0 ; 𝑌 0 ; 𝑍 0
  𝑨 𝒙 + 𝑩 𝒚 + 𝑪 𝒛 +𝑫=𝟎
  α
  M
  ?
  

• 13 слайд

  Расстояние от точки M до прямой a
  Задать AH ⊥ a, где H – основание перпендикуляра
  Найти координаты точки H используя условие 𝐴𝐻 • 𝑎 = 0
  𝐴𝐻 = p(A;α) = ( 𝑥 𝐴 − 𝑥 𝐻 ) 2 + ( 𝑦 𝐴 − 𝑦 𝐻 ) 2 + ( 𝑧 𝐴 − 𝑧 𝐻 ) 2
  α
  A
  ?
  H
  a
  

• 14 слайд

  Уравнение плоскости,
  
  проходящей через точки A ( 𝑥 1 , 𝑦 1 , 𝑧 1 ), B ( 𝑥 2 , 𝑦 2 , 𝑧 2 ) , 𝐶 ( 𝑥 3 , 𝑦 3 , 𝑧 3 )
  находится по формуле:
  𝑥− 𝑥 1 𝑦− 𝑦 1 𝑧− 𝑧 1 𝑥 2 − 𝑥 1 𝑦 2 − 𝑦 1 𝑧 2 − 𝑧 1 𝑥 3 − 𝑥 1 𝑦 3 − 𝑦 1 𝑧 3 − 𝑧 1 = 0
  

• 15 слайд

  Методический продукт
  1. Высота треугольника равна 12 см и делит основание на отрезки 14 см и 6 см. Найти медианы треугольника.
  
  2. Дана правильная четырехугольная призма ABCDA1B1D1C1.Точка K - середина ребра C1C , точка N расположена на ребре AA1 так, что получились отрезки A1N:AN= 1:3,а точка M на ребре DC, так что DM:MC = 1:4. Найти угол между прямыми 𝐵 1 𝑀 1 и 𝑁𝐾, если AB = 5, AA1=12.
  
  3. Дана правильная пирамида SABCD. На ребре DC отмечена точка К, которая делит его на части, так что DK:KC=2:1. AB=3 2 , SA=5. Найти расстояние от тоски A1 до плоскости SBK.
  
  4. Дан куб ABCDA1B1C1D1.. Точка 𝐾 принадлежит 𝐷 𝐷 1 , и делит его на части так, что 𝐷 1 𝐾:𝐾𝐷= 1 3 . Точка 𝑁 принадлежит 𝐵 𝐵 1 и делит его на части так, что 𝐵𝑁 :𝑁 𝐵 1 = 1 3 . Найти угол между плоскостями A1KN и B1С1D.
  

• 16 слайд

  Методический продукт
  5. Дан куб ABCDA1B1C1D1 . Точка K–середина ребра CD. Точка N расположена на ребре D1D так, что делит его в отношении 1:3 от точки D1. Найти угол между прямыми A1K и B1N.
  
  6. Дан правильный параллелепипед ABCDA1B1C1D1
  а) Доказать, что DB1 ꓕ AC
  б) Найти расстояние между прямыми, если АВ=8, АА1=20
   
  7. Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 10.
  а) Доказать, что сечение куба плоскостью, проходящей через середины ребер AB, C1D1, AD является правильным многоугольником.
  б) Найти расстояние от А до плоскости сечения
  
  8. Дана правильная треугольная призма АВСА1В1С1 и пирамида ABA1C1.
  а) Доказать, что объем призмы относится к объему пирамиды в отношении 3:1 ;
  б) Найти угол между плоскостью 𝐴𝐵 𝐶 1 и прямой 𝐵 𝐴 1 , если AB=6, AA1=8.
  

• 17 слайд

  Методический продукт
  9. В верхнем основании прямого кругового цилиндра проведен диаметр AB, в нижнем – диаметр CD, который не параллелен AB. Точка H – проекция точки A на нижнее основание. Найти угол между плоскостями ABC и ABD, если AB = 8, AC = AD = 6.
  
  
  10. Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1 . Точка K является серединой BC. На ребре C1C отмечена точка М, так что делит это ребро на отрезки в отношении 1:3 начиная от точки C1, AB=6, AA1=8
  а)Найти угол между прямой АВ1 и плоскостью АМК
  б)Найти расстояние от точки А1 до плоскости АМК
  
  
  11. Дана правильная треугольная пирамида. Сторона основания равна 6. Высота пирамиды SO равна 10. Точки K и M середины рёбер SC и BC соответственно.
  а) Найти угол между прямой BS и плоскостью AKM;
  б)Найти расстояние отточки B до плоскости AKM.
   
  

• 18 слайд

• 19 слайд

• 20 слайд

  Дана правильная треугольная пирамида. Сторона основания равна 6. Высота пирамиды SO=10. Точки K и M середины рёбер SC и BC соответственно
  Найти угол между прямой BS и плоскостью AKM. Найти расстояние от (∙)B до плоскости (AKM)
  Дано:
  SABC – правильная пирамида
  AB=6, SO=10
  SK=KS, BM=MC
  Найти:∠ 𝐵𝑆, 𝐴𝐾𝑀 −?
  Решение:
  Рассмотрим систему координат AxyZ с началом в (∙)A (0;0;0), осью Ax параллельно BH, осью Ay в направлении луча AC, осью 𝐴𝑧∥𝑂𝑆
  S
  A
  B
  C
  H
  O
  K
  M
  Y
  X
  Z
  

• 21 слайд

  Запишем координаты точек:
  B(3 3 ;3;0) K( 3 +0 2 ; 3+6 2 ; 10+0 2 )
  S( 3 ;3;10) K( 3 2 ;4,5;5)
  C(0;6;0) M( 3 3 2 ;4,5;0)
  B(3 3 ;3;0) A(0;0;0)
  S( 3 ;3;10) K( 3 2 ;4,5;5)
  M( 3 3 2 ;4,5;0)
  𝐵𝑆 {-2 3 ;0;10} 𝑥 𝑦 𝑧 3 2 4,5 5 3 3 2 4,5 0 = 0
  x ∙ 0 + 3 2 ∙ 4,5∙𝑧+ 3 3 2 ∙5∙𝑦−4,5∙ 3 3 2 ∙𝑧−5∙4,5∙𝑥−0∙𝑦=0
  BH= 𝑎 3 2
  BH=3 3
  OH= 1 3 BH= 3
  BO= 2 3 𝐵𝐻=2 3
  

• 22 слайд

  -22,5x + 15 3 2 𝑦−4,5 3 𝑧=0
  22,5x - 15 3 2 𝑦+4,5 3 𝑧=0
  𝑁 {22,5; - 15 3 2 ;4,5 3 }
  𝐵𝑆 {-2 3 ;0;10}
  sin 𝛼 = −2 3 ∙22,5+0∙ − 15 3 2 +10∙4,5 3 22,5 2 + 7,5 3 2 + 4,5 3 2 ∙ ( 2√3) 2 + 10 2 = 0 ⟹𝐵𝑆 ∥(𝐴𝐾𝑀)
  Данное решение сделал ученик, который просто не увидел на чертеже признак параллельности прямой и плоскости.
  Найдём расстояние от точки B до плоскости AKM B(3√3;3;0)
  22,5𝑥−7,5 3 𝑦+4,5 3 𝑧=𝑐
  𝑑= 22,5∙3 3 −7,5 3 ∙3 27+9 ∙ 22,5 2 + (7,5 3 ) 2 + (4,5 3 ) 2
  𝑑= 67,5 3 −22,5 3 6∙ 735,75 = 45 3 6∙5 29,43 = 3 2 9,81 = 3 9,81 ∙100 19,62∙100 = 3∙10 981 1962 = 10 981 654 = 5 981 327
  Ответ: 5 981 327
  
  

• 23 слайд

  Метод координат является одной из необходимых составляющих при изучении геометрии в школе. Этот метод позволяет упростить решение задачи, а также поможет учащимся не только при сдаче ЕГЭ, но и в высших учебных заведениях при изучении курса геометрии.
  Вывод