СОДЕРЖАНИЕ ЛОГИКО-ПОНЯТИЙНОЙ КОМПЕТЕНЦИИ ОБЩЕГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ (методико-математические основы)

СОДЕРЖАНИЕ ЛОГИКО-ПОНЯТИЙНОЙ КОМПЕТЕНЦИИ ОБЩЕГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ

(методико-математические основы)

ундаментальные в общем образо- вании закономерности предметной адаптации логического метода по-

знания, системно-понятийного представле- ния учебных теорий в содержании категорий общей культуры и субъектного мировоззре- ния, развития субъекта в системе концепту- альных положений деятельностной теории учения внешне характеризуют логико-поня- тийную компетенцию в качестве общепред- метной [1, с. 24], реализуют в учебном предме- те «Математика» дидактические цели. Однако не предметная реализация дидактических це- лей системно-понятийного представления учебных теорий определяет содержательную сущность логико-понятийной компетенции.

Во-первых, сугубо абстрактный идеализи- рованный характер объектов математических пространств, логико-содержательные сред- ства установления закономерностей, не зату- шеванных физическим содержанием учебных математических теорий, содержательная очерченность процесса их логического по- строения позволяют утверждать, что потенци- ально дидактические закономерности логи- ко-понятийной компетенции первично фор- мируются в учебной математической деятель- ности, вне опоры на иную учебно-предметную деятельность (Н. Х. Розов [2]).

Во-вторых, логические, дидактические за- кономерности становления логико-понятий- ной компетенции проявляются в содержатель- ной учебно-математической форме и «действу- ют» не изолированно от предметно-математи- ческих закономерностей, а в системном един- стве с ними. Значит, учебная математическая деятельность выступает и средой развертыва- ния логических, психолого-дидактических ос-

нов, и источником специфически предметных (математических) закономерностей становле- ния системы предметного знания.

Следует отметить, что научная математи- ческая деятельность в историческом плане развивалась в единстве с исследованием ло- гических средств анализа, построения мате- матического знания, аккумулируя богатый ин- теллектуальный, логико-символический по- тенциал в содержании учебных математиче- ских теорий. Именно в развитой форме содер- жания учебной математической теории следу- ет выделять математические закономерности логико-понятийной компетенции, логические средства анализа математических предложе- ний, выводов, на их основе – фиксировать, проектировать методико-математические ос- новы формирования.

Методологически важным является ак- центирование внимания Г. В. Дорофеевым на следующих предметно-математических зада- чах становления логико-понятийной компе- тенции в содержании учебных математиче- ских теорий:

●             формирование и развитие абстрактно- го математического мышления, прежде всего его дедуктивной составляющей как специфи- ческой для математики;

●             формирование и развитие качеств мышления, необходимых образованному че- ловеку для полноценного функционирования в современном обществе, в частности, форми- рования эвристического и алгоритмического мышления;

●             формирование математического языка и математического аппарата как средства опи- сания и исследования окружающего мира и его закономерностей;

●             ознакомление с природой научного знания, с принципами построения научных те- орий в единстве и противоположности мате- матических и естественных наук [3, с. 3].

Не менее значимыми в плане формирова- ния логико-понятийной компетенции выступа- ют взгляды А. Д. Александрова о взаимной свя- зи образного и логического мышления, И. С. Якиманской о механизме развития простран- ственного мышления в геометрическом про- странстве, А. Н. Колмогорова о важности функ- ционирования правильной математической речи. Вместе с тем нужно согласиться со следу- ющим высказыванием Н. Х. Розова: «Конечно же, школьная математика в определенной сте- пени действительно вносит свой вклад в раз- витие у учащихся умения рассуждать, делать правильные выводы, обосновывать утвержде- ния. Ведь она неотделима от логических мате- матических построений, подспудно опирается на “общелогические” законы. Но с сожалением заметим: это специально никогда явно не ак- центируется, не объясняется и не рассказыва- ется – ни на уроках, ни в учебниках» [2, с. 144].

Методико-математические основы логико-понятийной компетенции

Методико-математическая адаптация психолого-дидактических закономерностей становления системы субъектного предмет- ного знания. В дидактическом плане учебная математическая деятельность выступает раз- новидностью учебной предметной деятельно- сти, реализует в специфических формах (аб- страктной, идеализированной, знаковой) и методах (логико-понятийном, логико-процес- суальном, теоретико-модельном) общелоги- ческие, психолого-дидактические закономер- ности становления системы субъектного предметного знания:

●             в овладении субъектом интеллектуаль- ным опытом абстрактной, логико-содержа- тельной математической деятельности чело- вечества в содержании системы математиче- ского знания и его теоретического обоснова-

ния достигаются задачи усвоения определен- ного уровня образованности, становления учебной методологии, математико-мировоз- зренческих представлений, составляющих значимый пласт культуры личности, деятель- ности, социального взаимодействия;

●             в понятийно-категориальном обогаще- нии математического знания, в углублении аб- страктно-алгоритмических представлений конкретного математического пространства абстрактно-дедуктивным исследованием его свойств в соответствующей теории, в катего- риально выраженной интеграции теорий формируется учебная математическая карти- на мира – базовый компонент субъектного мировоззрения;

●             в пространственно-теоретическом под- ходе, выступающем методологией субъектно- го присвоения учебной математической тео- рии, в специфической для каждой из учебных теорий форме конкретизируются объектив- ные закономерности деятельностной теории учения, осуществляется формирующее теоре- тический тип мышления восхождение от аб- страктного к конкретному, обеспечивается общепредметный подход в становлении субъ- ектного развития.

В значительной степени за пределами частнопредметной дидактики находятся важ- ные в истории отечественного общего мате- матического образования концепции класси- ческих учебников А. Н. Колмогорова, А. Д. Александрова, А. Г. Мордковича, направлен- ные на трансляцию интеллектуального потен- циала выработанных в историко-математиче- ской практике научных математических тео- рий. Раскрытие развивающего потенциала учебных математических теорий, выраженно- го в методических понятиях «математический язык», «математическая речь», «абстрактное математическое мышление», «логико-матема- тическая культура», категориях «конечное – бесконечное», «дискретное –  непрерывное»,

«аксиома – теорема», «теория – модель», «про- странство  –  теория»  классической математи-

ки, составляет содержание проектируемой методикой обучения математике учебной ма- тематической деятельности.

Методическая закономерность формиро- вания абстрактного математического мыш- ления в пространственно-теоретическом подходе. Абстрагирование и идеализация (точнее, построение во внутреннем плане идеальных образных, понятийных конструк- ций), выступающие средством создания мате- матических объектов во внутреннем плане субъекта, в своем единстве характеризуют ма- тематический метод отражения явлений, свойств материального мира для цели его ис- следования. Многоплановая по своему содер- жанию (создание абстрактных объектов и пространства в целом, теоретическое иссле- дование их свойств), спектру отражаемых свойств и отношений реального мира (число- вые, порядковые, пространственные, функци- ональные, предикатные, равновесия и срав- нения, вероятностные) деятельность абстра- гирования и идеализации имеет фундамен- тальный целевой характер. На этапе матема- тического отражения различных отношений, свойств реального мира его результатом вы- ступают адекватные процессу отражения типы содержательных абстрактных объектов со специфическими способами образного и понятийного представления, оперирования, системами свойств. Включенность мышления в процесс математического абстрагирования приводит к развертыванию математических абстракций средствами идеального конструи- рования, выделения способов сравнения, оперирования, соответствия, создания инте- грального представления – пространства аб- страктных математических объектов, характе- ризующего соответствующий способ отраже- ния. В деятельности математического отраже- ния, идеального конструирования создаются соответствующие различные математические пространства: числовое, геометрическое, век- торное, функциональное, предикатное, веро- ятностное.

Задача исследования свойств каждого из математических пространств, недостаточность для ее решения содержательных образов про- странственных объектов обосновывают необ- ходимость построения дедуктивной теории пространства – с новым, понятийным уровнем абстрагирования и конструирования объек- тов, формализацией свойств понятий, логико- математическим методом их доказательства.

В последовательности этапов абстрагиро- вания, конструирования, теоретического ис- следования в каждом математическом про- странстве формируется адекватное простран- ственное мышление, в интеграции про- странств и теорий создается характеризую- щее учебную деятельность абстрактное мате- матическое мышление.

Методическая закономерность струк- турного представления, формирования про- странственного и теоретико-простран- ственного типов мышления. В направленном на формирование абстрактного математиче- ского мышления пространственно-теоретиче- ском подходе учебная математическая дея- тельность формируется вначале как деятель- ность представливания и затем как теорети- ко-пространственная – в общей закономерно- сти для каждого из математических про- странств (числового, геометрического, век- торного, функционального, предикатного, ве- роятностного). В деятельности представлива- ния осуществляются представление конкрет- ного пространства математических  объектов в целом, классов объектов в их взаимосвязи, классификация объектов и их свойств, форми- руется пространственное воображение в ус- ловиях преобразований, комбинирования объектов. В теоретико-пространственной дея- тельности реализуется системное представле- ние теории, осуществляется выявление фун- даментальных связей, закономерностей мате- матического пространства, обоснование уста- новленных и открываемых в исследовании свойств, становление теоретико-модельных и теоретико-прикладных представлений.

Деятельности представливания в каждом из математических пространств соответствует формирующийся в ней пространственно-чис- ловой, пространственно геометрический, про- странственно-функциональный, пространст- венно-векторный, пространственно-предикат- ный, пространственно-стохастический типы мышления. В теоретико-пространственной де- ятельности осуществляется становление тео- ретико-числового, теоретико-геометрическо- го, теоретико-функционального, теоретико- векторного, теоретико-предикатного, теорети- ко-стохастического типов мышления.

Анализ деятельности представливания в каждом из математических пространств по- зволяет в структуре пространственного (про- странственно-числового, пространственно- геометрического и т. д.) мышления выделить отдельные, имеющие в учебной математиче- ской деятельности фундаментальный харак- тер виды (уровни) – абстрактно-алгоритмиче- ское мышление и системно-структурное мыш- ление. Абстрактно-алгоритмическое мышле- ние – результат субъектного восприятия идеа- лизированных объектов и их конструкций во взаимосвязи реального и математического пространств, создания содержательных обра- зов объектов, классов объектов в интуитив- ной, аналитической, знаковой формах, ста- новления процедур оперирования образами, выявления свойств образов, отношений, опе- раций. Системно-структурное мышление со- ответствует содержательному понятийному представлению математического простран- ства, анализу его фундаментальных свойств, систематизации и субъектной ориентации в классах объектов, операциях и отношениях пространства, создания новых классов объек- тов и их пространственных образов, выделе- ния базовых классов задач для установления обобщенных способов деятельности.

В имеющей логико-понятийный характер теоретико-пространственной деятельности соответствующий теоретико-пространствен- ный тип мышления структурируется составля-

ющими его абстрактно-дедуктивным, анали- тико-синтетическим, методологическим вида- ми мышления. Абстрактно-дедуктивное мыш- ление формируется в содержании задачи по- строения теории для исследования законо- мерностей математического пространства в дедуктивном подходе – в системе первичных и определяемых понятий, доказуемых логико- содержательными средствами суждений о по- нятийных свойствах и закономерностях про- странства. Аналитико-синтетическое мышле- ние соответствует деятельности определения, систематизации понятий теории, представле- ния теории в системе теорем и их логического анализа, выделения базовых и пространствен- но-специфических методов доказательства теорем, структурирования теории в классах задач с адекватными обобщенными способа- ми решения. Методологическое мышление выступает результатом поэтапного анализа взаимных связей реального пространства и математического пространства с соответству- ющим типом отражения и абстрагирования, классов объектов пространства и абстракт- ных понятий теории, системного представле- ния теории во взаимосвязи определений, тео- рем, методов доказательства, обобщенных способов исследования классов задач.

В пространственно-теоретическом, видо- вом структурировании мышления, в конкрет- ном для математической теории содержании учебной математической деятельности, соот- ветствующей определенному виду мышления, проявляется общая для теорий методология формирования абстрактного математическо- го мышления.

Методическая закономерность логико- математического представления, субъект- ного анализа системы математического зна- ния в содержании учебной математической теории. Логическими категориями представ- ления системы математического знания на уровне теории выступают: определение как логическое средство точного описания поня- тия учебной математической теории; теорема

как форма фиксации определенной понятий- ной закономерности теории; доказательство как объективная процедура установления за- кономерности теории; теория как объектив- ная форма выделения, систематизации мате- матического знания.

Определения, теоремы, помимо выделен- ного предметного содержания, характеризу- ются задающей этап развития теории логиче- ской структурой (логико-символической фор- мой представления) – содержательно зака- муфлированной и, вне направленного логиче- ского анализа, недоступной сознанию субъек- та. Доказательства также внешне представле- ны субъекту образным и предметным содер- жанием последовательности предложений, однако процесс выстраивания предложений (содержательно истинных в математическом пространстве) задается фундаментальными логическими средствами – формализованны- ми правилами логического вывода, также от- сутствующими в субъектном опыте. Естествен- ная для математической теории логико-мате- матическая формализация математических предложений (определений, теорем), после- довательности их выстраивания в логических рассуждениях (доказательствах) и составляют сущность аналитико-синтетического мышле- ния. На закономерность опосредования ана- литико-синтетического мышления адекватны- ми видами логико-математической деятель- ности указывает Т. А. Иванова: «Понимание школьником математического содержания невозможно без осознания им логических конструкций определения математических понятий, формулировок теорем, методов до- казательства, построения силлогизмов» [4, с. 56]. Попытки формирования аналитико-синте- тического мышления в спектрах определений, теорем, доказательств вне соответствующего аппарата логико-математических средств ана- лиза не выводили субъекта за пределы содер- жательного пространственного мышления.

Абстрактно-дедуктивное мышление, вы- ступающее исключительно математическим в

системе предметного знания, соответствует построению, анализу математической теории в дедуктивном подходе:

●             в содержании аксиоматического мето- да в базовых теориях числового, геометриче- ского, векторного пространств;

●             в опосредованном исследовании про- изводных теорий функционального, преди- катного, вероятностного пространств на осно- ве закономерностей базовых теорий;

●             в условиях «сознательного ограниче- ния» предметного содержания в предложени- ях теории (первичные термины, определения, аксиомы, теоремы) с опорой на логические средства, формализацию в построении теории;

●             с выделением понятия «метод доказа- тельства», обобщающего содержательный смысл процедуры доказательства в конкрет- ной математической теории.

Логико-математическая деятельность по- нятийно-категориального структурирования теории, систематизации методов доказатель- ства и обобщенных способов исследования в классах задач, системно-структурного анали- за учебной теории в схемах «математическое пространство – математическая теория», «ба- зовая математическая теория – производная математическая теория», «математическая те- ория – модель математической теории» по- зволяет обеспечить становление методологи- ческого мышления.

В анализе взаимной связи теоретико-про- странственного мышления и соответствующей логико-математической деятельности (анализ определений, теорем, доказательств, логиче- ское структурирование теории) фактически подтверждается отмеченная Г. В. Дорофеевым закономерность: «Необходимой компонентой абстрактного мышления является логическое мышление – как дедуктивное, в том числе акси- оматическое, так и продуктивное – эвристиче- ское и алгоритмическое» [5, с. 60].

Методическая закономерность станов- ления алгоритмической, эвристической, творческой форм деятельности, мышления в

системе математического знания. Феде- ральный государственный образовательный стандарт среднего (полного) общего образо- вания в предметной области «Математика и информатика» в качестве одной из ведущих выделяет цель сформированности основ ло- гического, алгоритмического и математиче- ского мышления, интегрируемых в содержа- нии абстрактного математического мышле- ния, однако в системе целостного предметно- го знания представленных и формируемых в качестве самостоятельных типов.

В деятельности представливания базовы- ми видами алгоритмической деятельности выступают:

●             оперирование математическими объ- ектами (числами, векторами, геометрически- ми фигурами, функциями, уравнениями) в ин- туитивной, образной, понятийной формах в представлении конкретных математических пространств;

●             установление свойств, связей матема- тических объектов на базе свойств математи- ческого пространства, обеспечивающих субъ- ектную ориентацию в пространстве;

●             классификация, систематизация объек- тов, отношений в процессе целостного пред- ставления математического пространства;

●             выделение обобщенных способов ис- следования в классах задач математических пространств, создания новых классов объек- тов и выявления их свойств.

В образном, понятийном и знаковом пред- ставлении теории математического простран- ства алгоритмическая деятельность структури- руется процедурами определения понятий, доказательства свойств понятий и адекватных им классов математических объектов, выделе- ния и обоснования обобщенных способов дея- тельности в классах задач теории, субъектного становления методов доказательства.

Внутренней математической закономерно- стью субъектной алгоритмической деятельно- сти является ее формирование в сочетании обобщения и конкретизации: расширение алго-

ритмической деятельности в переходе от объ- екта пространства к классу объектов позволяет выделить обобщенную алгоритмическую схему деятельности, ее конкретизация в исследова- нии новых объектов позволяет уточнить как спектр особенностей составляющих способ дей- ствий, так и сферу приложения схемы.

Алгоритмичность мышления в учебной ма- тематической деятельности, в целостной си- стеме предметного знания в качестве своего продолжения имеет такое  качество субъект- ной деятельности, как включение в эвристиче- скую деятельность, сознательное использова- ние эвристических действий, расширяющих адекватный деятельности класс задач. Разло- жение многочлена с действительными коэффи- циентами в произведение линейных и квадрат- ных сомножителей – пример эвристического действия расширения алгоритмической схемы решения уравнений первой и второй степеней на класс всех целых рациональных уравнений. Равносильный переход  от иррационального уравнения стандартного вида к системе рацио- нальных уравнения и неравенства – эвристи- ческое действие, которое обобщенный способ решения в классе рациональных уравнений расширяет до обобщенной схемы исследова- ния в классе иррациональных уравнений. Дей- ствие мысленного переноса геометрической фигуры из геометрического пространства в аб- стракцию трехмерного евклидова простран- ства позволяет расширить аналитико-синтети- ческий метод исследования свойств геометри- ческой фигуры векторным методом.

Рефлексия класса задач учебной математи- ческой теории и соответствующей ему обоб- щенной алгоритмической схемы, расширение алгоритмической схемы и класса задач в спек- тре осознаваемых эвристических действий по- зволяет составить целостную структуру учеб- ной деятельности в каждом из математических пространств. Действие применения свойств одной математической теории (монотонности элементарной функции) для изучения объек- тов математического пространства другой тео-

рии (уравнений с обратными тригонометриче- скими функциями) позволяет создавать обоб- щенные алгоритмические схемы интегриро- ванного плана, структурирующие целостную математическую деятельность.

Сложившаяся система заданий учебной математической деятельности конкурсного, олимпиадного типа насыщена разнообразны- ми сочетаниями алгоритмических схем и рас- ширяющих их эвристических действий. Мето- дическая рефлексия учебной математической деятельности принципиально позволяет ее выстраивать в направленном сочетании алго- ритмических действий, их теоретического обоснования и расширения в системе эври- стик, однако как в конкретной учебной тео- рии, так и в их интеграции создание методиче- ской системы формирования алгоритмиче- ски-эвристической деятельности остается от- крытой проблемой.

Методическая закономерность интегра- ции математического языка, математиче- ской речи, математического мышления. Схе- ма поэтапного формирования, по П. Я. Гальпе- рину, выступает общей методологией станов- ления учебного предметного мышления из направленно проектируемой внешней пред- метной речи субъекта.

Абстрактное математическое мышление, как одна из разновидностей предметного мышления, несомненно, наследует дидакти- ческую закономерность поэтапного формиро- вания понятий (Н. Ф. Талызина), обобщенных способов деятельности (В. В. Давыдов), спо- собностей (В. Д. Шадриков), опосредовано схемой «материализованные действия в инте- грации с речевыми – обобщенные внешнере- чевые действия – обобщенные сокращенные речевые действия – рефлексируемые дей- ствия в умственной форме».

Центральная роль в углубляющейся до уров- ня мышления учебной математической деятель- ности отводится математической речи – «после- довательному, правильно расчлененному логи- ческому рассуждению» (А. Н. Колмогоров).

Объективно, учебная математическая речь – вид субъектной учебной речи, отража- ющей процесс социализации личности, базо- вое средство познавательной деятельности, диагностируемый индикатор развития мыш- ления субъекта. Вместе с тем учебная матема- тическая речь – специфический вид учебной предметной речи:

●             создается на базе образных содержа- тельных средств в представлении математи- ческих пространств, обогащается логико-по- нятийными формами в построении теории, далее расширяется знаково-символическими средствами теоретического обоснования, ис- следования, приложения теории;

●             развивается согласно этапам абстракт- ной субъектной деятельности отражения от- ношений реального мира, идеального кон- струирования соответствующих математиче- ских объектов, создания представлений каж- дого из математических пространств, разра- ботки дедуктивной теории пространства, ис- следования закономерностей пространства в содержании теории;

●             характеризуется интегральным мате- матическим языком, структурируемым из язы- ка математического пространства, языка ма- тематической теории, имеющих специфиче- скую форму для каждого из пространств, а также общего в учебной математической дея- тельности языка математической логики в его содержательной форме;

●             формируется в процессе субъектного управления исполнительскими, обосновыва- ющими, сокращаемыми действиями, их внеш- него озвучивания в конкретной и обобщен- ной формах.

Образная, понятийная, логико-символиче- ская формы учебной математической речи, соз- даваемой в содержании структурно интегриро- ванного математического языка (пространства, теории, логики), указывают на закономерность выделения, проектирования деятельности, на- правленной на усвоение языковых средств субъектной речи и соответствующего математи-

ческого аппарата. Методологическая схема «ма- тематический язык – математическая речь – ма- тематическое мышление» обосновывает выде- ление Г. В. Дорофеевым в качестве цели общего математического образования формирование математического языка и математического ап- парата как средства описания и исследования окружающего мира и его закономерностей.

Выделенная схема взаимной связи под- черкивает не только формирование языка, речи и мышления в их органической взаимос- вязи, но и адекватность их уровней (видов):

●             абстрактно-алгоритмическому и си- стемно-структурному видам пространствен- ного мышления соответствуют опосредующие субъектное предметное знание математиче- ский язык и математическая речь, выстроен- ные в системе образных содержательных представлений конкретного математического пространства;

●             абстрактно-дедуктивный, аналитико- синтетический, методологический виды тео- ретико-пространственного мышления востре- буют математический язык и математическую речь другого уровня абстракции, логического оперирования понятиями в системе их при- знаков, сокращения речи логико-символиче- скими средствами.

В соответствии видов мышления, адекват- ных им видов учебной математической дея- тельности, с одной стороны, и уровней мате- матического языка, математической речи – с другой стороны, появляется возможность проектирования единой технологии форми- рования системы понятий, их признаков в со- держании конкретной учебной математиче- ской теории, в интеграции теорий.

Методическая закономерность понятий- но-категориального представления системы математических теорий. В содержательном смысле система понятий, признаков всего спектра учебных математических теорий не охватывает целостного субъектного матема- тического знания, поскольку в рамках одной конкретной теории категориальный характер

ее фундаментальных понятий, их взаимные связи в полной мере субъектным сознанием не отслеживаются. В теории числовых систем понятие числа – фундаментальное, такое же, как и понятие геометрической фигуры в тео- рии геометрического пространства. Однако  во взаимодействии теорий геометрического, трехмерного евклидова пространства и чис- ловых систем понятие числа приобретает ка- тегориальный математический характер – мо- дели геометрического и векторного про- странств строятся на базе системы действи- тельных чисел, непротиворечивость геоме- трических теорий опосредована непротиво- речивостью теории натуральных чисел.

Закономерность систематизации поня- тий, свойств в их взаимной связи и обуслов- ленности в рамках конкретной математиче- ской теории объективно продолжается в си- стемном понятийно-категориальном пред- ставлении целостной учебной математиче- ской деятельности, в интеграции математиче- ских теорий.

Анализ развития понятий и их свойств в рамках конкретного пространства, определен- ной теории, опосредование закономерностей производной теории системой понятий базо- вой теории позволяет в интеграции учебной математической деятельности выделить следу- ющие уровневые категории, структурирующие субъектную математическую картину мира:

●             «число», «функция», «геометрическая фигура», «вектор», «равносильность», «веро- ятность» – в теоретическом представлении за- кономерностей конкретных математических пространств;

●             «конечность-бесконечность», «дискрет- ность-непрерывность», «размерность» – в обобщенном представлении совокупности математических пространств;

«математическое пространство», «де- дуктивная теория пространства», «модель те- ории», «аксиома», «теорема», «доказатель- ство», «истина» – в интеграции представлений учебных математических теорий