Софизмы и парадоксы в математике

                   Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

                 Башкирский лицей №2 Ленинского района городского округа

                                     Город Уфа Республики Башкортостан

Софизмы и парадоксы

в математике

 (научно-исследовательская работа)

Выполнил:

Юлдашев Радмир Азатович

7 класс

Научный руководитель:

Казыханова Расима Хамисовна

учитель математики

УФА-2015

Оглавление

Введение……...……..…...……..……………………..…….….….........................3

Глава 1. Историческая справка

§1. Из истории происхождения софизмов и парадоксов……………………….4

Глава 2. Теоретическая часть

§1.Софизмы.  Классификация  софизмов  по  темам  математического  цикла………………………………………………………………………………..8

1.1. Арифметические                                                                             

1.2. Алгебраические 

1.3. Логические

§2.  Парадоксы……………………………………………………………………14

     2.1 Бесконечный спуск на примере «парадокса Лжеца».

     2.2 Парадоксы о соглашениях и системах правил

          2.3. Физические софизмы и парадоксы.

          2.4  Различие и сходство между софизмами и логическими парадоксами

Глава 3. Исследовательская часть ……………………………………………..20

Заключение……………………………………………………..………………..21

Литература ………………......………..................................................................23

Приложение……………………………………………………………………...24

Введение

      Подавляющее большинство людей размышляют и рассуждают, не обращаясь за помощью  к особой науке, называемой логикой.

  Интуитивно законы мышления известны каждому. Всякое движение мысли, постигающей истину и добро, опирается на эти законы и без них невозможно.

    Люди постоянно стремятся  расширить свои знания и обогатить свою память, однако, как сказал Гераклид: «Само по себе многознание – это не мудрость. Мудрость предполагает знание оснований и причин».

     Софизмы и парадоксы не самый важный раздел логики. В некоторых учебниках (например, в учебнике Ю.В.Ивлева «Логика», автор  им даже не выделил отдельной темы) о них упоминается вскользь.  Однако мы решили все-таки поближе познакомиться с софизмами и парадоксами.

     Мы обратились к теме софизмов и парадоксов по нескольким причинам.

  Во-первых, считается, что именно софисты заставили задуматься о логическом строении геометрии и арифметики.

  Во-вторых, разбор софизмов и парадоксов сам по себе развивает навыки правильного мышления.

  В-третьих, это просто увлекательно.

      Парадоксы же, привлекли нас еще и тем, что вызвали не один кризис в обосновании математики (первый кризис в V веке  до н.э. и последний в первой  половине XX века).    Итак, цель нашей работы  доказать, что софизмы и парадоксы являются не просто интеллектуальным мошенничеством, а важным двигателем человеческой мысли. Показать практическое применение парадоксов и их актуальность и в наше время.

 Исходя из данной цели, мы ставим следующие задачи:

1.     Рассмотреть математические софизмы с точки зрения их важности для изучения математики.

2.     Попробовать отыскать грань между софизмом и парадоксом.

3.     Попытаться классифицировать основные известные парадоксы.

4.     Показать применение парадоксов в современной практике

                            Глава 1. Историческая справка

§1. Из истории происхождения софизмов и парадоксов.

Софизмом называется умышленно ложное умозаключение, которое имеет видимость правильного. Каков бы ни был софизм, он обязательно содержит одну или несколько замаскированных ошибок. Особенно часто в математических софизмах выполняются «запрещенные»   действия или не учитываются условия применения теорем, формул и правил. Иногда рассуждения ведутся с использованием ошибочного чертежа или опираются на приводящие к ошибочным заключениям «очевидности».

         Приведем примеры некоторых математических софизмов:

1.  . Найти ошибку в рассуждении: Имеем верное числовое равенство: 4:4=5:5.

Вынесем за скобки в каждой части его общий множитель. Получим: 4(1:1)=5(1:1).

Числа в скобках равны, поэтому 4=5 или .

(Ошибка допущена  в левой и правой частях тождества 4:4=5:5 при вынесении общего множителя за скобки).

2. Любое число равно его половине.

Возьмем два равных числа a и b, a=b. Обе части этого равенства умножим на а и затем вычтем из произведения по b². Получим: a²-b²= ab- b², или (a+b)(a-b) =b (a-b).

 Отсюда a+b=b или а+а=а, так как a=b. Значит, 2а=а, или а=а/2.

(Ошибка: делить на a-b нельзя, так как a-b=0).

Софизмы обычно трактуются вскользь и с очевидным осуждением. В обычном и распространенном понимании софизм -  это умышленный обман, основанный на нарушении правил. Но обман тонкий и завуалированный, так, что его не сразу и не каждому удается раскрыть. Цель софизма – выдать ложь за истину. 

          Считается, что прибегать к софизму предосудительно, как и вообще обманывать и внушать ложную мысль, зная, в чем заключается истина.

          Софизмы связывают с недостаточной самокритичностью ума и неспособностью сделать надлежащие выводы. Нередко софизм представляет собой просто защитную реакцию незнания или невежества, нежелающего признать свое бессилие и уступить знанию.

          В юриспруденции софизм традиционно считается помехой  в споре. Использование софизмов уводит рассуждение в сторону: вместо выбранной темы приходится говорить о правилах и принципах логики. Вот пример древнего софизма: «Вор не желает приобрести ничего дурного; приобретение хорошего - есть дело хорошее; следовательно, вор желает хорошего».

           Стандартное истолкование софизма: Софизм - это мнимая проблема.

           Красивым примером «мнимой мудрости» является софизм «Электра»:

В одной из трагедий Еврипида есть сцена, в которой Электра и Орест, брат и сестра встречаются после долгой разлуки. Знает ли Электра своего брата? Да она знает Ореста. Но вот он стоит перед ней  непохожий на того, которого она видела в последний раз, и она не знает, что этот человек – Орест. Значит, она знает, то, что она не знает?                                                                         Аристотель пытался разрешать подобные софизмы, ссылаясь на двусмысленность глагола «знать». Но ограничиваться только ссылкой на двусмысленность глагола не стоит.                                                                   Важней другой вопрос: могут ли считаться истинными знания о предмете, если их не удается поставить в соответствие с самим предметом?

          Знание никогда не бывает полным, никогда не приобретает окончательных окостенелых очертаний. Введение новых, значимых элементов, нередко заставляет перестроить всю систему знания.

          Здесь фиксируется живое противоречие между наличием знания о предмете и опознанием этого предмета. О том, насколько важным является такое противоречие, говорит вся история теоретической науки и, в особенности, развитие современной высокоабстрактной науки. Поэтому,  роль софизмов не однозначна. Первое неоспоримое достоинство софизмов – они заставили древних анализировать язык.                                                                    Действительно, многие софизмы только выглядят как, лишенная смысла и цели, игра с языком. Игра, строящаяся на многозначности языковых выражений, их неполноте, зависимости значений от контекста, недоказанности и т.д.         Для примера возьмем еще один, ставший знаменитым еще в древности, софизм «рогатый»:

          Что ты не терял – то имеешь. Рога ты не терял; значит у тебя рога.

          Этот  софизм кажется особенно наивным и несерьезным. Понятно, что он не убедит даже простака. Но он оттачивает красноречие. Он заставляет искать аргументы для его опровержения. Учитывая, что софизм появился на заре цивилизации – это уже немало.Все софические игры и шутки, увертливость в споре, склонность отстаивать самое нелепое положение, с одинаковой легкостью говорить «за» и «против» любого тезиса - все это только поверхность, за которой скрывается глубокое и серьезное содержание. Оно не осознавалось ни самими софистами, ни их противниками, включая Платона и Аристотеля, но оно очевидно сейчас.                                                                          Итак, что появилось, благодаря  софистам? Абстрагирующая деятельность, объектом которой стал язык. В словесных упражнениях, какими были софистические рассуждения,  неосознанно отрабатывалось первые, еще не ловкие приемы логического анализа языка и мышления. А превращение языка в серьезный предмет особого анализа, в объект систематического исследования было первым шагом в направлении создания науки логика.

          Софизмы содействовали строгости математических рассуждений и содействовали более глубокому уяснению понятий и методов математики.                  Действительно, уяснение ошибок в математическом рассуждении часто содействовало развитию математики.                                                                 Особенно поучительна в этом отношении история аксиомы Евклида  о параллельных прямых. Одна из формулировок этой теоремы такова: «Через данную точку, лежащую вне данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной».                                                                     Это утверждение на протяжении более чем двух тысячелетий пытались доказать, т.е. вывести из остальных аксиом многие выдающиеся математики.

 Поясним, что аксиомой называется исходное положение, принимаемое без доказательств.                                                                                                            Все попытки доказать V постулат Евклида не увенчались успехом.

 Однако, многочисленные «доказательства» этого постулата  принесли немало пользы.                                                                                                          

          Посмотрим,  а  может ли привести к новому направлению в математике парадокс? И чем парадокс отличается от софизма?  Парадокс в широком смысле – это утверждение, резко расходящееся с общепринятыми, устоявшимися мнениями. Парадокс в современном значении – это два противоположных утверждения, для каждого из которых имеются представляющиеся убедительными аргументы.                                                                 Грань между софизмом и парадоксом не является сколько-нибудь определенной.                                                                                                           В случае многих конкретных рассуждений невозможно решить на основе стандартных определений софизма и парадокса, к какому из этих двух классов следует отнести суждение.  В разных источниках, мы  встречали термин «апории» (греч. «затруднение») по отношению и к софизмам и к парадоксам.   Даже в отношении таких знаменитых «апорий», как  «Покрытый», «Протагор и Еватл» не решено, относить их к софизмам или парадоксам. Однако это лишь подогрело наш интерес к проблеме софизмов и парадоксов.         Попытка систематизировать и классифицировать парадоксы по некоторому основанию весомых результатов не принесла даже у великих математиков, поэтому, мы, естественно, не стремимся  побить все рекорды и классифицировать парадоксы. Мы попытаемся распределить их в контексте заинтересовавших нас проблем.

Глава 2. Теоретическая часть

§1. Софизмы.

 Классификация софизмов по темам математического цикла

Распределим некоторые  софизмы, помогающие  нам развить логическое мышление и проверить, насколько глубоко мы понимаем некоторые моменты курса математики.

1.1. Арифметические

Арифметика - (греч. arithmetika, от arithmys — число), наука о числах, в первую очередь о натуральных (целых положительных) числах и (рациональных) дробях, и действиях над ними. Так что же такое арифметические софизмы? Арифметические софизмы – это числовые выражения, имеющие неточность или ошибку, не заметную с первого взгляда.
 « Если А больше В, то А всегда больше, чем 2В».

Возьмем два произвольных положительных числа А и В, такие, что А>В.                                                            

Умножив это неравенство на В, получим новое неравенство А∙В>В·В, а вычитая из обеих его частей А·А, получим неравенство А∙В-А·А>В∙В-А·А, которое равносильно следующему:

                        А(В-А)>(В+А)(В-А).      (1)

После деления обеих частей неравенства (1) на В-А получим, что

                        А>В+А (2),

А прибавив к этому неравенству почленно исходное неравенство А>В, имеем 2А>2В+А, откуда

                                А>2В.

Итак, если А>В, то А>2В. Это означает, к примеру, что из неравенства 6>5 следует, что 6>10.

(Ошибка: здесь совершен неравносильный переход от неравенства (1) к неравенству (2)).                                                                                                                  Действительно, согласно условию А>В, поэтому В-А<0.Это означает, что обе части неравенства (1) делятся на отрицательное число. Но согласно правилу преобразования неравенств при делении или умножении неравенства на одно и то же отрицательное число знак неравенства необходимо изменить на противоположный. С учетом сказанного из неравенства (1) вместо неравенства (2) получим неравенство А<В+А, прибавив к которому почленно исходное неравенство В<А, получим просто исходное неравенство А+В<В+2А).

«Число, равное другому числу, одновременно и больше, и меньше его».

Возьмем  два произвольных положительных равных числа А и В и напишем и напишем для них следующие очевидные неравенства:

                          А> – В и В> – В.       (1)

Перемножив оба этих неравенства почленно, получим неравенство

     А·В>В·В, а после его деления на В, что вполне законно, ведь В>0, придем к выводу, что 

                                   А>В.              (2)

Записав же два других столь же бесспорных неравенства

                       В> – А и А> – А,                  (3)

Аналогично предыдущему получим, что В·А>А·А, а разделив на А>0, придем к неравенству

                       А>В.                           (4)

Итак, число А, равное числу В, одновременно и больше, и меньше его.

(Ошибка: здесь совершен неравносильный переход от одного неравенства к другому при недопустимом перемножении неравенств.)

Проделаем правильные преобразования неравенств.

Запишем неравенство (1) в виде А+В>0, В+В>0.

Левые части этих неравенств положительны, следовательно, умножая почленно оба эти неравенства

                     (А+В)(В+В)>0, или А>– В,

что представляет собой просто верное неравенство.

Аналогично предыдущему, записывая неравенства (3) в виде

                      (В+А)>0, А+А>0, получим просто верное неравенство В> – А).

1.2. Алгебраические

     Алгебра — один из больших разделов математики, принадлежащий наряду с арифметикой и геометрией к числу старейших ветвей этой науки. Задачи, а также методы, отличающие её от других отраслей математики, создавались постепенно, начиная с древности. Алгебра возникла под влиянием нужд общественной практики, в результате поисков общих приёмов для решения однотипных арифметических задач. Приёмы эти заключаются обычно в составлении и решении уравнений. Т.е. алгебраические софизмы – намеренно скрытые ошибки в уравнениях и числовых выражениях.

5 класс:    Упрощение выражений.

                  Единицы  измерения

6 класс:    Отрицательные и положительные числа

5 класс

( Тема: упрощение выражений)

5 = 6.

         Возьмём числовое тождество:

35 + 10 – 45 = 42 + 12 – 54

Вынесем общие множители левой и правой частей за скобки.

Получим:

5 (7 + 2 – 9) = 6 (7 + 2 – 9)

Разделим обе части этого равенства на общий множитель (заключённый в скобки).

Получаем  5 = 6

(Ошибка: общий множитель (7 + 2 – 9) равен 0, а делить на 0 нельзя).

( Тема: единицы измерений)

 Один рубль не равен ста копейкам  

Возьмем верное равенство:

1 р. = 100 к.,

Возведем его по частям в квадрат, получим:

1 р. = 10000 к.  

Таким образом, один рубль не равен ста копейкам.

     (Ошибка: возведение в квадрат величин не имеет смысла, в квадрат возводятся только числа).

6 класс

( Тема: отрицательные и положительные числа)

«Отрицательное число больше положительного».

     Возьмем два положительных числа а и с. Сравним два отношения:

                      а    и  – а

                     –с         с

     Они равны, так как каждое из них равно –(а/с). Можно составить пропорцию:

                   а    =   –а

                  – с         с

     Но если в пропорции предыдущий член первого отношения больше последующего, то предыдущий член второго отношения также больше своего последующего. В нашем случае а>– с, следовательно, должно быть –а>с, т.е. отрицательное число больше положительного.

(Ошибка: данное свойство пропорции может оказаться неверным, если некоторые члены пропорции отрицательны).

«Всякое положительное число является отрицательным»

         Пусть п — положительное число.

Очевидно, 2п-1<2п. (1)

Возьмем другое произвольное положительное число а и  умножим обе части неравенства на (  – а):   – 2ап + а< – 2ап. (2)

Вычитая из обеих частей этого неравенства величину ( –  2ап),

получим неравенство а<0, доказывающее, что всякое положительное число  является отрицательным.

       (Ошибка: в софизме нарушено следующее правило: при умножении обеих частей неравенства на одно и то же отрицательное число знак неравенства меняется на  противоположный.)

1.3. Логические

          Кроме математических софизмов, существует множество других. Понять абсурдность таких утверждений проще, но от этого они не становятся менее интересными. Очень многие софизмы выглядят как лишенная смысла и цели игра с языком; игра, опирающаяся на многозначность языковых выражений, их неполноту, недосказанность, зависимость их значений от контекста и т.д. Эти софизмы кажутся особенно наивными и несерьезными.

Полупустое и полуполное

«Полупустое есть то же, что и полуполное. Если равны половины, значит равны и целые. Следовательно, пустое есть то же, что и полное».

Равен ли полный стакан пустому?

Пусть имеется стакан, наполненный водой до половины. Тогда можно сказать, что стакан, наполовину полный равен стакану, наполовину пустому. Увеличивая обе части равенства вдвое, получим, что стакан полный равен стакану пустому.

Не знаешь то, что знаешь

«Знаешь ли ты то, о чём я хочу тебя спросить?» -  «Нет». – «Знаешь ли ты, что добродетель есть добро?» - «Знаю». – «Об этом я и хотел тебя спросить. А ты, выходит, не знаешь то, что знаешь».

Вор

«Вор не желает приобрести ничего дурного. Приобретение хорошего есть дело хорошее. Следовательно, вор желает хорошего».

Апельсин- планета

Земля, Марс и т. д. - круглые. Значит, все планеты круглые. Апельсин тоже круглый, значит апельсин - планета?

Сидящий стоит

«Сидящий встал; кто встал, тот стоит; следовательно, сидящий стоит».

Логический софизм 

Вход в парк некоего могущественного князя был запрещен. Если нарушитель попадался, его ожидала смерть, но ему предоставлялось право выбирать между виселицей и обезглавливанием. Он должен был что-то заявить, и если его утверждение было верно, его обезглавливали, а если ложно, то его вешали. Что нужно было заявить нарушителю, чтобы избежать установленного правила и остаться живым?

«Меня повесят, естественно».

Ты не человек

Я человек, ты не я, значит ты не человек.

Самое быстрое не догонит самое медленное

Быстроногий Ахиллес никогда не настигнет черепаху. Пока Ахиллес добежит до черепахи, она продвинется немного вперед. Он быстро преодолеет это расстояние, но черепаха уйдет еще чуточку вперед. И так до бесконечности. Всякий раз, когда Ахиллес будет достигать места, где была перед этим черепаха, она будет оказываться хотя бы немного, но впереди.
 Нет конца

Движущийся предмет должен дойти до половины своего пути прежде, чем он достигнет его конца. Затем он должен пройти половину оставшейся половины, затем половину этой четвертой части и т.д. до бесконечности.
Предмет будет постоянно приближаться к конечной точке, но так никогда ее не достигнет.

Может ли всемогущий маг создать камень, который не сможет поднять?

Если не может - значит, он не всемогущий. Если может - значит, всё равно не всемогущий, т.к. он не может поднять это камень.

Софизм «лгун»
          Вполне возможно, что лгун сознается в том, что он лгун. В таком случае он скажет правду. Но тот, который говорит правду, не есть лгун. Следовательно, возможно, что лгун не есть лгун. (Какая ошибка?)
«Софизм Кратила»

Диалектик Гераклит, провозгласив "все течет", пояснял, в одну и ту же реку нельзя войти дважды, когда входящий будет входить в следующий раз, на него будет течь уже другая вода. Кратил сделал и другие выводы: в одну и ту же реку нельзя войти даже один раз, так как пока ты входишь, она уже изменится.

§2.  Парадоксы.

2.1 Бесконечный спуск на примере «парадокса Лжеца».

Парадокс Лжеца иногда называют «королем парадоксов»

Открыт он был в Древней Греции, но актуальность не потерял и в наши дни. В древнегреческом варианте этот парадокс звучал так:

 - Сказанное Платоном – ложно, - говорит Сократ.

 - То, что сказал Сократ – истина, - говорит Платон.

Возникает вопрос, кто из них высказывает истину, а кто ложь?                                           В простейшем варианте данного парадокса человек произносит всего одну фразу:

 «Я лгу».

         Действительно, истинно или ложно высказывание: «Я лгу»? Рассуждения по данному высказыванию идут по кругу. По другому, эти рассуждения называют «бесконечный спуск».

           Парадокс лжеца произвел громадное впечатление на греков. Вопрос, который в нем ставится, с первого взгляда абсолютно прост: лжет ли тот, кто говорит о том, что он лжет? Но ответ «да» приводит к ответу «нет». И размышление ничуть не проясняет ситуацию. За простотой вопроса открывается неясная и неизмеримая пустота.

По легенде, что Филлит Кросский покончил с собой, отчаявшись  разрешить данный парадокс. А Диодор Кронос уже в глубокой старости отказался от пищи до тех пор, пока не найдет решения, да так и умер.

          В средние века этот парадокс отнесли к «неразрешимым предложениям» и сделали его предметом систематического анализа.

          Потом его забыли. И только в XX веке развитие логики достигло того уровня, когда проблемы, стоящие за данным парадоксом стало возможно формулировать уже в строгих терминах.

          По исследованию данного парадокса написаны тома.

          В наше время парадокс «лжец» обычно считается характерным примером тех трудностей, к которым ведет смешение двух языков: предметного языка и, на котором говорится о лежащей вне языка действительности, о метаязыка, на котором говорят о самом предметном языке.  

          Интересные парадоксы, относящиеся к семантике, были открыты К. Греллингом и Л. Нельсоном. Формулируются они обычно так: «Некоторые слова, означающие свойства, обладают тем самым свойством, которое они называют».

Например, прилагательное «русский» само является русским, прилагательное «многосложное» само – многосложно и. т.д.

          Вообще, ученые считают, что логические антиномии должны рассматриваться не как проблемы, ожидающие немедленного решения, а как неисчерпаемый сырой материал для постоянного размышления.

          Интересен курьезный эпизод из школьной программы 40-х годов, приведенный в «Практической логике» А. А. Ивиным:

В учебнике логики для 8-го класса данный парадокс давался школьником в качестве разминки. И считалось, что большинство детей справляется с ним очень успешно.

Иногда к типу «бесконечного спуска» относят парадокс «Что было первым - курица или яйцо». Но  за этим вопросом нет ни какой-либо глубины, ни «бесконечного спуска». Данный вопрос – многозначен. И на каждый из отдельных вопросов ответить можно.

          Например, с точки зрения эволюции, первые птицы произошли от птеродактилей, так что можно переформулировать вопрос: что было первым птеродактиль или его яйцо. И дальше изучать проблемы эволюции.

           Если же говорить о конкретной курице, то она тем более не могла появиться из того конкретного яйца, которое снесла. Значит, вопрос разрешился сам собой.

         Вообще, парадокс интересен только в случае полной неразрешимости ситуации. Такие парадоксы еще называются антимониями.

           Казалось бы как может не разрешиться ситуация  создавшаяся в процессе банального спора. Однако…

2.2 Парадоксы о соглашениях и системах правил

          В основу первого известного парадокса из этой серии легло небольшое происшествие, случившееся в V веке до н.э. У знаменитого софиста Протагора был ученик по имени Еватл., обучавшийся праву. По заключенному между ними договору Еватл должен был заплатить за обучение, если он выиграет свой первый судебный процесс. Если же он первый процесс проиграет, он вообще не обязан платить. Однако, закончив обучение, Еватл, вообще, не стал участвовать в процессах. Это длилось довольно долго, терпение учителя иссякло, и он подал на своего ученика в суд. Таким образом, этот судебный процесс стал для Еватла первым. Свое требование Протагор обосновал так:

    - Каким бы не было решение суда, Еватл должен будет заплатить мне. Он либо выиграет свой первый процесс, либо проиграет. Если выиграет, то заплатит в силу нашего договора, если проиграет – в силу решения суда.

          Судя по всему, Еватл был способным учеником, поскольку он ответил Протагору:

    - Действительно, я либо выиграю процесс, либо проиграю его. Если выиграю, решение суда освободит меня от обязанности платить. Если решение суда будет не  в мою пользу, значит, я проиграл свой первый процесс и не заплачу в силу нашего договора.         Озадаченный таким оборотом дела, Протагор посвятил этому спору с Еватлом особое сочинение «Тяжба о плате».                                               К сожалению, это сочинение не дошло до наших дней, но сам парадокс заинтересовал не одного математика.                                                        Немецкий математик Г. Лейбниц, сам юрист, в своей докторской диссертации «Исследование о запутанных казусах в праве» попытался доказать, что запутанные случаи должны находить правильное решение на основе здравого смысла.       По мысли Лейбница, суд должен отказать Протагору за несвоевременностью предъявления иска, но оставить за ним право получения денег позже, после выигранного Еватлом процесса. Но позже и в решении Лейбница математики нашли ошибку. Они показали, что в сущности, Лейбниц предлагает изменить задним числом формулировку договора и оговорить, что первым с участием Еватла судебным процессом, исход которого решит вопрос об оплате не будет суд по иску Протагора.                                      Пытались разрешить данный парадокс и другие юристы и математики. Некоторые ссылались на принцип, что каждый труд должен оплачиваться, но их противники, тут же в качестве контрпримера приводили рабовладельческое общество, где труд рабов не оплачивался. В общем, данный парадокс является неразрешимым. Такие ситуации довольно часты. Перефразировкой парадокса о  Протагоре и Еватле является парадокс о миссионере и людоеде: Людоеды разрешили миссионеру выбрать, в каком виде его съесть. Он должен был привести какое-либо высказывание, если это высказывание истинно, его сварят, ложно – изжарят. (Миссионер должен сказать «Вы зажарите меня»).                        Правда, у миссионера менее завидная доля, чем у Еватла. Если людоеды решат сдержать свое слово, то миссионер останется жив. Интересно, в племени людоедов любят рассуждать о морали и праве?

         2.3. Физические софизмы и парадоксы.

       К пристани причаливают две одинаковые лодки. Лодочники подтягиваются к берегу с помощью веревок. Другой конец первой веревки привязан к столбу на пристани; за противоположный конец второй веревки тянет матрос, стоящий на пристани. Все трое прилагают одинаковые усилия. Какая лодка причалит раньше?

Ответ.

      Обе лодки причалят одновременно.С какой силой лодочники тянут за один конец веревки, с такой же силой второй конец веревки действует на столб и на матроса. Другими словами, столб "тянет" конец веревки с такой же силой, с какой ее тянет матрос, стоящий на пристани.

       Все тела падают на землю. Облака состоят из маленьких капелек воды, значит они должны падать на землю. Однако этого не происходит. Почему?

       При испытании реактивного снаряда, установленного в хвосте самолета для защиты его от нападения сзади, был обнаружен удивительный факт: при пуске снаряд разворачивался и догонял самолет. Как можно объяснить это явление?

   2.4  Различие и сходство между софизмами и логическими парадоксами

         Внешне парадоксы похожи на софизмы, поскольку тоже приводят рассуждения к противоречиям. Главное же различие между ними, как остроумно заметил писатель Даниил Гранин, заключается в том, что софизм - это ложь, обряженная в одежды истины, а парадокс - истина в одеянии лжи. Это, конечно, образное сравнение, но оно довольно точно схватывает суть проблемы. Хотя в действительности связь софизма и парадокса более тонкая и сложная. Парадокс может быть следствием, заключением некоторых софизмов, то есть из корректного по форме, но ложного по содержанию рассуждения может следовать выражение, которое можно назвать некорректным по форме, но истинным по содержанию. Парадоксальный вывод обязывает искать источник парадокса, заставляет выбираться из круга, в котором оказалось наше рассуждение, и искать другой путь. Например, псевдоистину содержит суждение с двойным отрицанием: «Я не знал, что он не брал», так как двойное отрицание является утверждением. Или: «Нельзя не верить потерпевшему, - говорит обвинитель, - ибо невозможно измыслить столь чудовищное обвинение». «Невозможно, согласен, - возражает защитник, - но если невозможно измыслить, как же можно было совершить?».

3.1. Исследовательская часть

          Чтобы показать и подтвердить значимость софизмов и парадоксов в жизни, мы провели исследовательскую работу в сфере учебной деятельности. Данная работа была направлена

1.      на развитие умения находить ошибку, анализировать и устранять ее;

2.      на развитие логического мышления;

3.      на формирование математической грамотности учащихся.

       Исследование проводилось среди учащихся двух групп: первая группа – ученики 7 класса, а вторая группа – ученики 9 класса.

       В седьмом  классе был проведен урок – презентация на развивающей математике, посвященный софизмам. Затем по этой теме была проведена самостоятельная работа.                                                            

      В девятом  классе просто ознакомление с понятием софизма и презентация по данной теме. Закончилось самостоятельной работой.

       По итогам самостоятельных работ мы увидели, что процент учащихся, которые справились с работой выше, чем тех учащихся, которые с работой не справились во всех группах.                                                              

        Все полученные данные мы оформили в виде диаграмм, которые наглядно показали нам различия по уровню усвоения темы самостоятельной.

        Таким образом, проанализировав полученные результаты, мы сделали вывод, что ученики, разобравшие данную тему с легкостью находили ошибки. Ученики, не получившие данной информации, допустили различные ошибки по данной теме(см. Приложение 1).

                                                                                                 ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Группа учеников 7 класса	Группа учеников 9 класса

Заключение

        О математических софизмах можно говорить бесконечно много, как и о математике в целом. Изо дня в день рождаются новые парадоксы, некоторые из них останутся в истории, а некоторые просуществуют один день. Софизмы есть смесь философии и математики, которая не только помогает развивать логику и искать ошибку в рассуждениях. Буквально вспомнив, кто же такие были софисты, можно понять, что основной задачей было постижение философии. Но тем не менее, в нашем современном мире, если и находятся люди, которым интересны софизмы, в особенности математические, то они изучают их как явление только со стороны математики, чтобы улучшить навыки правильности и логичности рассуждений.

        Понять софизм как таковой (решить его и найти ошибку) получается не сразу. Требуются определенный навык и смекалка. Некоторые софизмы приходилось разбирать по нескольку раз, чтобы действительно в них разобраться, некоторые же наоборот, казались очень простыми. Развитая логика мышления поможет не только в решении каких-нибудь математических задач, но еще может пригодиться в жизни. Я понял , что софистика-это целая наука, а именно математические софизмы - это лишь часть одного большого течения. Исследовать софизмы действительно очень интересно и необычно. Порой сам попадаешься на уловки софиста, на столь безукоризненность его рассуждений. Перед тобой открывается какой- то особый мир рассуждений, которые поистине кажутся верными. Благодаря софизмам и парадоксам можно научится искать ошибки в рассуждениях других, научится грамотно строить свои рассуждения и логические объяснения.

         Но видимо, знание о парадоксе будет постоянно меняться, и никто никогда не скажет: «Я знаю о парадоксе все». И от этого наша тема становится еще более  притягательной. Мы рассмотрели наиболее интересные софизмы и парадоксы, еще больше их не рассмотрели.                                Начав с «детских» софизмов «2х2=5», мы перешли в мир, в котором терялись и теряются великие математические умы всех столетий. В разные эпохи ученые искали выходы из парадоксов, предложенных великими математиками. Со стороны величайших математиков и философов апории подвергались разнообразной критике. Благодаря парадоксам Зенона, Демокрит из Абдеры впервые высказал идею о том, что отношение малых отрезков пути к соответствующим малым промежуткам времени остается конечным и определяет скорость движения. Как далека тогда еще было математика от дифференциального исчисления, но идея-то уже витала в воздухе. И мы не будем больше уходить от темы и вернемся к поставленной перед собой цели.                                                                                                   В своей работе я доказал, что софизмы и парадоксы являются не просто интеллектуальным мошенничеством, а важным двигателем человеческой мысли. Показал практическое применение парадоксов и их актуальность и в наше время.                                                                                                           Я выяснил, что грань между софизмом и парадоксом очень тонка, многие парадоксы в разных источниках называют софизмами, а софизмы парадоксами. Однако можно считать софизм мнимой проблемой. Парадокс это пара утверждений, которые в равной степени приемлемы, но которые в тоже время противоречат друг другу, т.е. не могут быть приняты вместе. То есть его-то мнимой проблемой назвать нельзя. Исключения составляют                Классифицировать основные известные парадоксы трудно, даже невозможно, однако это не делает их менее привлекательными.                      Древнейшие парадоксы нашли свое если не решение, то отражение в современной науке. И вообще, парадоксальность - характерная черта современного научного познания.

Литература

1. Тихомирова А.Ф.Развитие интеллектуальных способностей школьника, - Ярославль: Академия развития,1997.

2. Я познаю мир: Детская энциклопедия: Математика/Составители А.П. Савин, В. В. Станцо, А.Ю. Котова: под общей редакцией О.Г.Хинн.-М.:АСТ,1995.

3. Глейзер Г.И. История математики в школе: IX-Xкл. Пособие для учителей. – М.: Просвещение,1983.

4. Клайн М. Математика. Поиск истины: Пер. с англ./под ред.и с предисл. В.И.Аршинова, А.Ю. Сачкова,- М.:-Мир,1988.

5. Микиша А.М. Орлов В.Б. Толковый математический словарь. Основные термины: около 2500 терминов.- М.:-Рус.яз.,1989. Ивлев Ю.В. Логика. - М.: Проспект, 2006.

6. Гусев В.А. Мордкович А.Г. Математика. Справочник – М.: Просвещение, 1990.

7. Ивлев Ю.В. Логика. - М.: Проспект, 2006.

Интернет ресурсы:

1.     http://stepanov.lk.net/gardner/hex/hex14.html

2.     http://nsportal.ru/ap/ap/drugoe/sofizmy-i-paradoksy-v-matematike