"Способы отбора корней в тригонометрических уравнениях"

«Способы отбора корней в тригонометрических уравнениях»

Автор проекта:

                                       Судников Алексей          

                                                          Класс: 10 б

МКОУ Сортавальского МР РК СОШ №1

                                                                  Руководитель:

                                          Монахова Елена Юрьевна,                         

    учитель математики

2020-2021 учебный год

Содержание

ВВЕДЕНИЕ

ТЕОРИЯ

ПРАКТИКА

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Введение:

До экзаменов осталось совсем немного, а это значит, что самое время узнать для себя много классных способ отбора корней при решении тригонометрических уравнений. В связи с эти я хочу открыть для вас эти знания.

Цель:

изучить способы отбора корней в тригонометрических уравнениях и выбрать для себя наиболее удобный.

Задачи:

1)    найти теоретический материал и изучить методы отбора корней в тригонометрических уравнениях;

2)     научиться отбирать корни в тригонометрических уравнениях, принадлежащим заданному промежутку;

3)    подготовиться к ЕГЭ по математике.

Актуальность:

Задание 12 (пункт б) на ЕГЭ по математике (профильного уровня)

ТЕОРИЯ

● Арифметический способ:
а) непосредственная подстановка полученных корней в уравнение и имеющиеся ограничения;
б) перебор значений целочисленного параметра и вычисление корней.
● Алгебраический способ:
а) решение неравенства относительно неизвестного целочисленного параметра и вычисление корней;
б) исследование уравнения с двумя целочисленными параметрами.
● Геометрический способ:
а) изображение корней на тригонометрической окружности с последующим отбором и учетом имеющихся ограничений;
б) изображение корней на числовой прямой с последующим отбором и учетом имеющихся ограничений.
● Функционально-графический способ:
выбор корней с помощью графика простейшей тригонометрической функции.

ВНИМАНИЕ!

Во время практики, каждый способ будет описан. В теории я решил представить минимум, так ка считаю, что всё познаётся в практике. Лучше 1 раз сделать, чем 100 раз прочитать.

ПРАКТИКА

Разберём все способы на примере одного уравнения и одного промежутка:     =   на промежутке

1)    Способа “улитки” (Геометрический способ)

В этом способе мы рисуем первоначальную окружность не заканчивая её.  То есть делаем спираль как во внутрь (там будут отрицательные значения), так и снаружи (там будут положительные значения).

Далее проводим прямую  у =     ( =  и выбираем точки, которые подходят для нашего промежутка. Высчитываем их и записываем ответ.

Данный способ удобно использовать, когда промежуток большой. Например:

2)    Отбор корней при помощи числовой окружности (Геометрический способ)

В этом методе мы рисуем только те части окружности, которые понадобятся. Проводим прямую и вычисляем наши точки.

Удобно использовать, когда промежуток небольшой. Например:

3)    “Стрелок” (Арифмитический способ)

Вычислив корни x, в нашем случае это, перебираем возможные параметры  и считаем , проверяем подходит или нет, устраивающие ответы записываем в ответ, то есть мы пытаемся угадать.

Удобен, когда корни х труднонаходимые на окружности.

Например:

4)    Функционально-графический метод

Всё очень просто из уравнения берём 2 графика, в нашем случае это у=sinх и у = ½, рисуем графики, учитывая промежутки, и находим точки пересечения. Заметим, что при помощи этого метода можно не только отобрать корни для промежутка, но и найти корни для уравнения.

5)    Отбор всех допустимых параметров к (Алгебраический способ)

В отличие от способа “Стрелок” мы не угадываем параметр к, а наоборот мы начинаем с того, что мы ищем все допустимые значения к. После нахождения допустимого параметра к, подставляем его в корни х
и записываем ответ.

6)    Решение на отрезке

Чертим отрезок, на котором указываем наш промежуток, вычислив корни х, начинаем отмечать точки, которые найдем путём подставления параметра.

 Понятный метод, особенно для тех, кто не очень разбирается в числовой окружности.

7)    Мой способ (Способ Судникова Алексея)

Этот способ я придумал для себя, так как он самый понятный из всех. В этом способе мы рисуем окружность, на ней отмечаем прямую Sin(x)=1/2, находим корни уравнения х (в нашем случае это ), отмечаем эти точки. Получаем, что первая дуга от 0 имеет величину , таким образом мы можем разделить окружность на равные дуги (). Далее просто считаем полученные точки, сопостоставляя с нашей прямой, выписываем нужные нам точки. Трудно применяемый, когда корни уравнения иррациональные.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Итак, мы разобрали все основные методы отбора корней в тригонометрических уравнения. Остальные способы - это усовершенствование этих методов или примение в одном способе 2 метода.  По-моему мнению, самые удобные методы это геометрические, так как они меньше всего занимают времени и их легко объяснять. А самый сложный это функционально-графический. Чаще всего не представляется возможность построение графиков и порой отбор корней невозможен.