Справочный материал по геометрии

По опре­де­ле­нию, пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник – это тре­уголь­ник, в ко­то­ром есть пря­мой угол (см. Рис. 1).

Рис. 1. Пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник  ()

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке толь­ко один пря­мой угол. Если бы их было два, то тогда сумма этих двух углов уже была бы равна , а зна­чит, на по­след­ний угол при­ш­лось бы , чего в тре­уголь­ни­ке быть не может (см. Рис. 2), т. к. по тео­ре­ме о сумме углов тре­уголь­ни­ка .

Рис. 2. Не су­ще­ству­ет тре­уголь­ни­ка с двумя пря­мы­ми уг­ла­ми.

Так что можно го­во­рить толь­ко о тре­уголь­ни­ке, в ко­то­ром один пря­мой угол. Вспом­ним, что сто­ро­ны, за­клю­ча­ю­щие пря­мой угол – ка­те­ты, а тре­тья сто­ро­на – на­про­тив пря­мо­го угла – ги­по­те­ну­за (см. Рис. 3).

Рис. 3. Ка­те­ты и ги­по­те­ну­за

Те­перь вспом­ним, что такое «свой­ство». Когда объ­ект нам уже из­ве­стен и мы пы­та­ем­ся найти его ха­рак­те­ри­сти­ки, то об­на­ру­жен­ные ха­рак­те­ри­сти­ки и яв­ля­ют­ся свой­ства­ми дан­но­го объ­ек­та. Таким об­ра­зом, нам будет дан тре­уголь­ник с пря­мым углом, а мы будем из этого де­лать ка­кие-то вы­во­ды.

 Свойство 1 (о сумме двух острых углов)

Сумма двух ост­рых углов пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равна  (см. Рис. 4).

Рис. 4. 

Раз­бе­рем­ся, по­че­му речь идет имен­но об ост­рых углах. Рас­смот­рим  (см. Рис. 5).

Рис. 5. Пря­мо­уголь­ный 

Сумма всех трех углов тре­уголь­ни­ка . Как мы знаем, один из углов пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка , зна­чит, сумма остав­ших­ся  . Из этого сле­ду­ет, что они ост­рые: раз их сумма равна , то каж­дый из них мень­ше . По­лу­чи­ли, что  , то есть свой­ство до­ка­за­но.

 Свойство 2 (когда прямоугольный треугольник является равнобедренным)

Если в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке один из углов равен , то такой тре­уголь­ник – рав­но­бед­рен­ный.

До­ка­за­тель­ство. Пусть  (см. Рис. 6).

Рис. 6. Пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник с углом 

Ис­хо­дя из пер­во­го свой­ства, . По­лу­ча­ем, что . Тогда тре­уголь­ник рав­но­бед­рен­ный по при­зна­ку – углы при ос­но­ва­нии равны (см. Рис. 7). Зна­чит, ка­те­ты равны .

Рис. 7. Углы при ос­но­ва­нии равны – тре­уголь­ник рав­но­бед­рен­ный

 Свойство 3 (катет равен половине гипотенузы, если он лежит против угла )

Катет пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка, ле­жа­щий про­тив угла , равен по­ло­вине ги­по­те­ну­зы (см. Рис. 8).

Рис. 8. Ил­лю­стра­ция свой­ства 3

До­ка­за­тель­ство. Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный . Пусть  и . Нужно до­ка­зать, что  (см. Рис. 9).

Рис. 9. Ил­лю­стра­ция к до­ка­за­тель­ству

От­ра­зим зер­каль­но  от­но­си­тель­но ка­те­та , по­лу­чен­ную вер­ши­ну на­зо­вем  (см. Рис. 10).

Рис. 10. От­ра­же­ние  от­но­си­тель­но ка­те­та 

Раз тре­уголь­ник пол­но­стью «ско­пи­ро­ван», то , . Также за­ме­тим, что  – вы­со­та и ме­ди­а­на об­ра­зо­ван­но­го . Раз вы­со­та сов­па­ла с ме­ди­а­ной, зна­чит,  – рав­но­бед­рен­ный () (см. Рис. 11).

Рис. 11.  – рав­но­бед­рен­ный

По­сколь­ку  – рав­но­бед­рен­ный, то . По­лу­чи­ли, что в  все углы равны, а зна­чит,  – рав­но­сто­рон­ний (см. Рис. 12).

Рис. 12.  – рав­но­сто­рон­ний

Тогда , а, в свою оче­редь, , то есть , от­ку­да . Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

 Свойство 4 (против катета лежит угол , если катет равен половине гипотенузы)

Если катет пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равен по­ло­вине ги­по­те­ну­зы, то угол на­про­тив этого ка­те­та равен .

До­ка­за­тель­ство. Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный . Пусть  и . Нужно до­ка­зать, что  (см. Рис. 13).

Рис. 13. Пря­мо­уголь­ный 

От­ра­зим зер­каль­но  от­но­си­тель­но ка­те­та , по­лу­чен­ную вер­ши­ну на­зо­вем . Об­ра­зо­вал­ся  (см. Рис. 14).

Рис. 14. По­лу­чен­ный 

В  из­вест­но, что , , зна­чит,  – рав­но­бед­рен­ный. Кроме того, из тре­тье­го свой­ства из­вест­но, что . Зна­чит, , а , от­сю­да . Тогда  – рав­но­сто­рон­ний (см. Рис. 15).

Рис. 15.  – рав­но­сто­рон­ний

Из этого сле­ду­ет, что , а тогда , т. к.  – вы­со­та, ме­ди­а­на и бис­сек­три­са . Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

---

До­ка­за­тель­ство (ме­ди­а­на, про­ве­ден­ная к ги­по­те­ну­зе, равна ее по­ло­вине).

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ме­ди­а­на, про­ве­ден­ная к ги­по­те­ну­зе, равна ее по­ло­вине (см. Рис. 16).

Рис. 16. Ил­лю­стра­ция к свой­ству пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка

До­ка­за­тель­ство. Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный  ,  – ме­ди­а­на. Нужно до­ка­зать, что . Удво­им от­ре­зок  – по­лу­чим точку  () (см. Рис. 17).

Рис. 17. 

Со­еди­ним точку  с точ­ка­ми  и . Тогда неслож­но до­ка­зать, что  равны по 1 при­зна­ку (со­от­вет­ству­ю­щие сто­ро­ны по­пар­но равны, а углы между сто­ро­на­ми равны как вер­ти­каль­ные) (см. Рис. 18).

Рис. 18. Ра­вен­ство и, и ра­вен­ство со­от­вет­ству­ю­щих эле­мен­тов

Рас­смот­рим . .

Те­перь рас­смот­рим  и .  (т. к. ,  – общая,  – тре­уголь­ни­ки равны по пер­во­му при­зна­ку). От­сю­да сле­ду­ет, что , тогда . Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать. 
Об­рат­ное тоже верно: если ме­ди­а­на в тре­уголь­ни­ке равна по­ло­вине сто­ро­ны, к ко­то­рой она про­ве­де­на, то тре­уголь­ник – пря­мо­уголь­ный.

 Примеры

1.         В пря­мо­уголь­ном :  и . Найти угол  (см. Рис. 19).

Рис. 19. Ил­лю­стра­ция к при­ме­ру 1

Ре­ше­ние. По свой­ству  сумма ост­рых углов пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равна , зна­чит, .

Ответ: .

2.         Один из углов пря­мо­уголь­но­го  () втрое мень­ше дру­го­го (). Найти ост­рые углы тре­уголь­ни­ка  и  (см. Рис. 20).

Рис. 20. Ил­лю­стра­ция к при­ме­ру 2

Ре­ше­ние. Ясно, что ис­ко­мый угол – один из ост­рых. Тогда он может быть мень­ше либо дру­го­го остро­го, либо мень­ше пря­мо­го, то есть нужно рас­смот­реть два ва­ри­ан­та.

1.         Ва­ри­ант пер­вый – ост­рый угол втрое мень­ше пря­мо­го. Пусть ис­ко­мый угол . Тогда . Зна­чит, по свой­ству 1 .

2.         Ва­ри­ант вто­рой – один ост­рый угол втрое мень­ше дру­го­го остро­го угла. Пусть , тогда . По свой­ству 1 . Зна­чит, , а тогда .

Ответ: 1.  и ; 2.  и .

3.         В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке   катет  см, . Найти катет  (см. Рис. 21).

Рис. 21. Ил­лю­стра­ция к при­ме­ру 3

Ре­ше­ние. По свой­ству , если , то  тоже. Зна­чит,  – рав­но­бед­рен­ный (см. Рис. 22), у ко­то­ро­го  см.

Рис. 22.  – рав­но­бед­рен­ный

Ответ:  см.

4.         В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке  () ги­по­те­ну­за , а катет . Найти  (см. Рис. 23).

Рис. 23. Ил­лю­стра­ция к при­ме­ру 4

Ре­ше­ние

За­ме­тим, что . По свой­ству 4 , т. к. лежит про­тив ка­те­та, рав­но­го по­ло­вине ги­по­те­ну­зы. Зна­чит,  по свой­ству .

Ответ: .

Спи­сок ли­те­ра­ту­ры

1. Гео­мет­рия. Учеб­ник для 7-9 клас­сов. Ата­на­сян Л.С. и др. – 20-е изд. – М.: Про­све­ще­ние, 2010. – 384 с.

2. А.Г. Мерз­ляк. Гео­мет­рия 7 класс. – М.: Вен­та­на-Граф, 2015. – 192 с.

3. А.Д. Алек­сан­дров, Гео­мет­рия 7 класс. – М.: Про­све­ще­ние, 2013. – 176 с.