Статья "Деление многочлена уголком"

Деление многочленов УГОЛКОМ

Рассматривается подход в изучении темы «Деление многочленов уголком» для обучающихся 7 класса. В рамках подхода наглядно иллюстрируется деление многочленов «уголком». Применение представленного алгоритма позволит расширить представление обучающихся в области многочленов и повысить их уровень ИКТ-компетентности.

Внедрение среды GeoGebra [3] в образовательный процесс позволяет визуализировать математику, проводить эксперименты и исследования при решении математических задач [2]. Появляется возможность при осуществлении вычислительного алгоритма вычисления поручить компьютеру. Использование анимационных рисунков превращает обучающегося в руководителя вычислениями согласно рассматриваемому алгоритму, Это позволяет избежать вычислительных трудностей и сосредоточиться на отработке знания вычислительного алгоритма. Анимационные рисунки побуждают обучающихся к изучению новых возможностей среды GeoGebra, что является хорошей основой для развития их ИКТ-компетентности.

При изучении темы «умножения многочлена на многочлен» у многих обучающихся возникает вопрос: «А можно ли делить многочлены?». В учебнике [Мерзляк, 2015] рассматривается только умножение многочленов, поэтому ответа на этот вопрос нет, данную тему будут изучать только в старшей школе. Благодаря доступной среде GeoGebra, видеоурокам и подробному алгоритму выполнение заданий по данной теме не вызывает больших трудностей, и стимулирует обучающихся на эксперименты.

Рассмотрим созданные анимационные рисунки и алгоритмы к ним.

Пусть нужно разделить с остатком данный многочлен  на ненулевой многочлен . Формируем неполное частное . Его первое слагаемое есть одночлен вида , где  есть старший коэффициент многочлена , а  есть старший коэффициент многочлена . Находим произведение  (это можно поручить компьютеру) и вычитаем его из делимого . В результате получаем многочлен  (эти вычисления снова поручаем компьютеру), степень которого меньше степени делителя. Теперь полученный остаток берем в качестве  и повторяем описанный шаг. Через конечное число шагов мы получим остаток, степень которого меньше степени делителя , и задача деления с остатком  на  будет решена. Такое пошаговое решение задачи называется делением «уголком». По форме оно совпадает с делением целых чисел «уголком». Анимационный рисунок 1 реализует этот алгоритм для многочленов.

 

Выполним деление «уголком» многочлена  на многочлен . В правом нижнем углу рисунка расположен своеобразный «калькулятор», который выполняет шаг алгоритма деления «уголком». При его использовании вводим многочлен a(x) и очередное слагаемое c(x) неполного частного (расположенное под «уголком»). «Калькулятор» выдает произведение  и остаток от деления многочлена a(x) на многочлен b(x). На первом шаге деления «уголком» в качестве a(x) вводим данный многочлен .

 Использование анимационного рисунка 1.

1) Вводим (строкой ввода) многочлены ,  и записываем их на Полотне (при формировании надписи берем из Объектов  и ). Располагаем записи одну за другой и строим «уголок» с использованием «ломаной» из списка Инструментов.

2) Вводим (строкой ввода) многочлен .

3) Записываем (с помощью кнопки АВС) под уголком первое слагаемое частного  и вводим его (строкой ввода). В «Калькуляторе» появляются произведение  и остаток . Записываем их (с помощью кнопки АВС) на нужные места и разделяем отрезком, который строим командой из списка «Инструменты».

4) (Повторение пункта 2). Вводим (строкой ввода) многочлен .

6) (Повторение пункта 3). Записываем под уголком второе слагаемое частного  и вводим его (Строкой ввода). Снова в «Калькуляторе» появляются готовые произведение  остаток . Записываем их (с помощью кнопки АВС) на нужные места и делаем подчеркивание.

7) (Повторение пункта 2). Вводим (строкой ввода) многочлен .

8) (Повторение пункта 3). Записываем под уголком третье слагаемое частного  и вводим его (Строкой ввода). Снова в «Калькуляторе» появляются готовые произведение  остаток . Записываем их (с помощью кнопки АВС) на нужные места и делаем подчеркивание.

Записываем готовое произведение , вычисленное компьютером, и готовый остаток .

9) (Повторение пункта 2). Вводим (строкой ввода) многочлен .

11) (Повторение пункта 3). Вводим (строкой ввода) третье слагаемое частного  и записываем его на Полотне.

12) (Повторение пункта 4). Записываем  готовое произведение  и готовый остаток .

Деление «уголком» закончено.

Ответ: .

Пользуясь анимационным рисунком 1, уже не надо бояться вычислительных трудностей и можно смело выполнять деление «уголком» «не взирая» на коэффициенты многочленов, ибо вычисления берет на себя компьютер «в лице» «калькулятора».

Анимационный рисунок 2 демонстрирует вычисления с дробными коэффициентами. При построении «уголка» и отрезков для подчеркивания пользуемся услугами из списка «Инструменты».

Пример. Разделите с остатком многочлен  на многочлен . Решение. Умножая оба многочлена на , получим многочлены с целыми коэффициентами  и . Разделим первый из них на второй, используя анимационный рисунок 2.

Пусть даны многочлены  и  с дробными коэффициентами и  – наименьшее общее кратное знаменателей всех коэффициентов данных многочленов. Тогда многочлены  и  будут иметь целые коэффициенты. Разделим с остатком первый на второй: , где степень остатка  меньше степени делителя , которая, очевидно, равна степени многочлена . В то же время   и степень многочлена  равна степени многочлена , которая в свою очередь меньше степени делителя . Таким образом, деление с остатком для многочленов с дробными коэффициентами сводится к делению с остатком для многочленов с целыми коэффициентами. Получим

.

Производя деление этого равенства на 100, получим искомый ответ:

Видим, что решение подобных примеров «вручную» для школьников неподъемная задача, и польза анимационного рисунка весьма ощутима. При решении нового примера целесообразно не создавать новые записи, а корректировать записи предыдущего примера.

Таким образом, обучающиеся отрабатывают алгоритм деления многочленов «уголком» с исключением вычислительных трудностей.

В дальнейшем анимационный рисунок для деления «уголком» используется в алгоритме Евклида для нахождения наибольшего общего делителя двух многочленов.

Успешное усвоение алгоритма мотивирует обучающихся на учебно-исследовательскую деятельность, связанную с вычислениями для многочленов с различными «неудобными» коэффициентами. В рамках дистанционного курса «Занимательная математика» организована такая деятельность учащихся.

Библиографический список

1. Мерзляк, А. Г. Алгебра : 7 класс : учебник для учащихся общеобразовательных организаций / А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонский, М. С. Якир. – М. : Вентана-Граф, 2015. – 272 с. : ил.

2. Ларин, С.В. Компьютерная анимация в среде GeoGebra на уроках математики / С. В. Ларин. – Ростов-на-Дону: «Легион», 2015.

3. http://ru.wikipedia.org/wiki/GeoGebra