Статья "Кривая, созданная силой тяжести"

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Магнитогорский государственный технический университет

им. Г. И. Носова»

Многопрофильный колледж

КРИВАЯ, СОЗДАННАЯ СИЛОЙ ТЯЖЕСТИ

Ю.Н.Садчикова

Магнитогорск

2016

Содержание

Введение……………………………………………………………………………………….3

Понятие цепной линии………………………………………………………………..………4

Каталонский гений……………………………………………………………………………..7

Идеальная форма арок…………………………………………….…………………………10

Подвесные мосты…………………………………………………………………………….13

Цепная линия в технике……………………………………………….…………………….14

Список литературы…………………………………………………………………….…….15

Введение

«Примеры кривых линий в природе встречаются на каждом шагу, а вот найти прямые лини, к которым не приложил руку человек, почти невозможно».

Ежедневно мы имеем дело с кривыми линиями. Их очень любит природа, но и человек, используя свои математические знания, часто обращается к ним в области техники, строительства и прочего. Вспомним хотя бы железные дороги, винтовые лестницы, летательные аппараты… Этот ряд можно продолжать долго. Многие кривые, воспроизведенные в творениях рук человеческих, лежат на границе собственно техники и высокого искусства.

 

Рисунок 1

Понятие цепной линии

Цепная линия — линия, форму которой принимает гибкая однородная нерастяжимая тяжёлая нить или цепь (отсюда название) с закреплёнными концами в однородном гравитационном поле.

Галилей ошибочно полагал, что кривые, образуемые свисающими цепями, - это параболы. Ошибка эта, впрочем, простительна – параболы и цепные линий действительно очень похожи.

Рисунок 2

На чертеже представлены эти кривые: красным цветом выделена парабола, синим – цепная линия. Отличие– лишь в степени «заостренности» линий. Визуально, как правило, трудно понять – парабола или цепная линия перед нами; чтобы решить эту задачу, нужно вывести уравнения, описывающие интересующие нас линии.

В начале XVIII века братья Бернулли вывели  их уравнение, и оказалось, что это не уравнение параболы.

Рисунок 3  Иоганн Бернулли(1667-1748)

Рисунок 4 Якоб Бернулли(1654-1705)

формула 1 Уравнение цепной линии

Тогда же появился и термин «цепная линия». Он вполне оправдан и указывает на характер этой кривой, определяющийся видом свисающей под действием собственного веса цепи. Похожим образом располагаются в пространстве гирлянды, которыми в праздничные дни украшают улицы. Развешанные гирлянды всегда принимают форму цепной линии.

Рисунок 5

Каталонский гений

Гениальный испанский архитектор Антонио Гауди (1851-1926) использовал цепную линию для создания опорной арки в нескольких своих творениях. Подобная арка – помимо своей оптимальной механической функциональности несет и эстетическую нагрузку. Говоря проще, она необыкновенно изящна.
Антонио Гауди был выдающимся испанским и каталонским архитектором. Его строения получили всемирную известность. Семь из них внесены в список Всемирного наследия
ЮНЕСКО.

Гауди изобрел весьма хитроумный способ выполнения чертежей таких арок без предварительных математических расчетов. Для этого он как бы «переворачивал» мир вверх ногами – на трос, закрепленный в двух крайних точках, архитектор подвешивал мешочки с дробью, игравшие роль предельных нагрузок.  Трос после этого располагался по линии многоугольника, которую Гауди «усреднял» в цепную линию. Повернув её на 180 градусов, он получал абрис реальных архитектурных конструкций.
Если повернуть изображение (показанное на экране)на 180 градусов, то на нем вы увидите чертежи часовни колонии Гуэль. Таким остроумным способом Гауди получал точную форму цепной линии, не производя специальных математических расчетов.

Рисунок 6 Антонио Гауди

Рисунок 7

Идея крипты колонии Гуэль обрела своё завершение в камне.

Рисунок 8

А на следующем изображении показана система подвешиваемых к тросу мешочков с дробью. Данная конструкция сделана по чертежу Гауди, который впоследствии лег в основу одного из проектов архитектора.

Рисунок 9

Идеальная форма арок

Перевёрнутая цепная линия — идеальная форма для арок. Однородная арка в форме перевёрнутой цепной линии испытывает только деформации сжатия, но не излома. Например, Горбатый мост имеет форму, близкую к цепной линии.

Рисунок 10

Неизвестно, пытался ли кто-нибудь до Гауди делать перевернутые модели будущих зданий, подвешивая грузы на нитках. Но этим способом воспользовались некоторые современные архитекторы. На берегу реки Миссисипи в городе Сент-Луисе стоит импозантная арка (Gateway Arch) высотой в 630 футов, что соответствует 192 м, символизирующая поворотный пункт в американской истории и географии. Сент-Луис в свое время соединил относительно обжитые земли к востоку от Миссисипи с дикими бескрайними пространствами Запада (рисунок 10). По замыслу архитектора Эри Сааринена эта арка должна объединять восток Америки и ее более или менее дикий запад. Форма арки довольно необычна для архитектуры, однако можно не сомневаться, что выбор цепной линии — не только изящное инженерное решение, но и дань почтения гению Гауди.

Эта арка была спроектирована одним из самых известных архитекторов США Эро Саариненом (Eero Saarinen, 1910–1961) в сотрудничестве с математиком и инженером Ганнскарлом Банделем (Hannskarl Bandel, 1925–1993). В каком-то смысле их судьбы схожи: и Сааринен, и Бандель родились за пределами Америки — первый в Финляндии, второй — в Германии. Потом оба пересекли океан: первый — отправляясь в 1934 году учиться, а второй — уже после войны, в поисках работы. Тут каждый из них нашел свою удачу, а оба они — друг друга.

По подсказке Банделя Сааринен выбрал для своей арки форму цепной линии, высота которой равнялась ширине у основания. Получилось красиво, хотя конструкция до какой-то степени противоречила интуиции. Ведь цепочка, будучи предоставленной сама себе, стремится занять такое положение в пространстве, чтобы ее потенциальная энергия была минимальной, то есть центр тяжести располагался предельно низко. При переворачивании низкий центр тяжести окажется высоким, а минимум энергии обернется максимумом.

Противоречие тут кажущееся. В задачу архитектора вовсе не входит достижение энергетического минимума конструкции — нужно, чтобы она была устойчивой. И хотя, безусловно, минимуму потенциальной энергии соответствует положение устойчивого равновесия, это положение не единственное. Еще одно положение равновесия соответствует максимуму потенциальной энергии, что мы и наблюдаем при перевороте цепной линии, а также при обобщении метода, использованного Гауди.

Причины равновесия можно оценить, анализируя не энергию, а распределение сил. Как известно, если удается получить информацию о силах, то картинка всегда оказывается более подробной и ясной, чем та, которую можно получить, занимаясь только энергиями. У подвешенной цепочки на каждое отдельное звено действуют три силы: сила тяжести и сила упругих деформаций со стороны двух ближайших соседей. Равновесие достигается в том случае, когда сумма всех трех сил равна нулю. Подвижность цепочки гарантирует, что упругие силы на концах каждого звена лишь растягивают его, то есть всегда направлены по касательной к линии.

Разумеется, ничего не изменится, если вместо цепочки подвесить твердую арку той же формы: напряжения, вызываемые в ней силой тяжести, будут распределены так, что силы всегда будут действовать по касательной. Они будут растягивать арку, но нигде не будут пытаться ее сломать. Если теперь арку перевернуть, то опять почти ничего не изменится. Всего лишь растяжение сменится сжатием, однако действовать оно в каждой точке арки будет только по касательной. Или, что то же самое, нагрузка на поперечном сечении, проведенном в произвольной точке арки, будет перпендикулярна плоскости сечения. Особенно странно этот вывод выглядит для самой верхней точки: площадка поперечного сечения там вертикальна, и сила, действующая на нее, перпендикулярна силе тяжести.

Рисунок 11

На рисунке 11 показан фрагмент интерьера дома Бальо (Casa Batlló), построенного по проекту Гауди в Барселоне. Форма свода над галереей здесь также необычна: большинство искусствоведов называют ее параболической. Но можно не сомневаться — и здесь мы имеем дело с цепной линией.

Несмотря на то что на потенциальную ценность цепной линии для архитектуры указал в том же XVII веке великий английский экспериментатор Роберт Гук (Robert Hooke, 1635–1703), только Антонио Гауди смог по достоинству оценить ее прелести. Вряд ли Гауди знал о мучительных поисках в решении математических и механических проблем за двести лет до его рождения. Скорее всего, он нашел свой метод эмпирически, благодаря чуткой и чуждой очевидности интуиции художника. Конечно, в соверменной архитектуре находится место и для циклоиды, но никаких разумных причин такого странного решения не просматривается. ХХ век принес с собой практически безграничные вычислительные возможности новой техники, и архитекторы с радостью ими воспользовались, давая волю своей фантазии и не сильно задумываясь об уравнениях, описывающих те кривые или поверхности, которые они получают в готовом виде на экране компьютера.

Подвесные мосты

 

И все же рассказ был бы неполон без одной любопытной детали. В статьях по истории архитектуры цепная линия и парабола довольно часто смешиваются: параболические формы искусствоведы находят не только в творениях Гауди, но даже в провисших проводах линий электропередач. При всем том, что с математической точки зрения это совершенно неправомерно, формы эти весьма близки друг другу и могут при определенных условиях одна в другую переходить.

Возьмем цепочку и подвесим ее на двух гвоздях, находящихся на одной и то же высоте. Цепочка под действием силы тяжести примет форму цепной линии — это нам уже известно. Но теперь прицепим к самой нижней точке цепочки достаточно тяжелый груз, цепочка тут же вытянется и примет форму треугольника. А что будет, если вместо груза у нас будет длинная горизонтальная балка, которую надо подвесить на цепочке не в одной точке, а так, чтобы нагрузка была равномерно распределена не только в цепочке, но и в балке? Вот тогда-то и получится парабола. А описанное — не что иное, как висячий мост.

Рисунок 12

Примером параболы могут служить тросы моста «Золотые ворота» в Сан-Франциско.

Цепная линия в технике

Применение цепных линий целесообразно главным образом при особо продолжительных операциях, при обработке деталей больших размеров, когда диаметры роторов роторных линий были бы неприемлемо велики.

Использование цепной линии обеспечивает необходимую модификацию теории путем установления электрических связей, соответствующих узлам, находящимся в цепях на равных расстояниях друг от друга. Практически уравнение цепной линии можно использовать при расчетах укладки глубоководных трубопроводов относительно небольших диаметров. Поскольку кривизна цепной линии ни в одной ее точке не равна нулю, условия равенства нулю изгибающего момента на концах трубопровода у баржи и дна моря не удовлетворяются моделью цепной линии. Кроме того, при использовании уравнений цепной линии угол наклона трубопровода может несколько отличаться от действительного его значения.

На сегодняшний день цепная линия и её свойства широко используются не только в архитектуре. В области техники цепную линию используют в расчётах, связанных с провисанием нитей — проводов, тросов и т. п.

Список литературы

1.      Савелов А. А. Плоские кривые. — М. : Государственное издательство физико-математической литературы, 1960.

2.      Люстерник Л. А. Кратчайшие линии. Вариационные задачи / Популярные лекции по математике.— М.–Л. : Гостехиздат, 1955.

3.      Меркин Д. Р. Введение в механику гибкой нити. — М. : Наука, 1980.

4.      Математический энциклопедический словарь /под ред. Ю. В. Прохорова. — М. : Советская энциклопедия, 1988.

5.      Энциклопедический словарь юного математика / сост. А.П.Савин. — М. : Педагогика, 1985.