Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Статья. Линейное уравнение с двумя переменными

Статья. Линейное уравнение с двумя переменными

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Старинные задачи на составление линейного уравнения с двумя неизвестными как пропедевтика нахождения его решений для реальной ситуации. Методические находки и рекомендации для студентов - математиков

Кравчук Е.В.

Россия, г. Балашиха

Московской области.

МОУ «Гимназия №3»

улица Фадеева, дом 8


Эта статья посвящена решению старинных задач, которые можно предложить при изучении темы «Линейные уравнения с двумя неизвестными».

Old fashioned sums of linear equation with two unknown quantities composition as preliminary study of solutions discovery for a real situation. Methodical finds and recommendations for math’s students

Kravchuk E.V.

Russia, Balashikha

Moscow region

«Gymnasium №3»

home 8, Fadeev street

This article is devoted to the problem of solution age-old sums that can be taken while studying the theme “Linear equations with two unknown quantities”.


Любой молодой специалист, приходящий в школу должен быть готов к определенным трудностям. У него должны иметься способы и методы заинтересовать учащихся, доступно объяснить материал. Таким способом может послужить использование старинных задач. Эта статья призвана помочь студентам-математикам в преподавании таких тем как «Решение уравнений» (5-6 класс), «Делимость» (6 класс) и «Линейное уравнение с двумя неизвестными» (7 класс).

Очень часто в школах после изучения темы «Решение задач с помощью линейных уравнений» сталкиваются с проблемой появления второй переменной. Ученик пытается все неизвестные величины обозначать буквами, не желая проанализировать все взаимосвязи между величинами. Пытаясь упростить работу ученика, мы редко обращаем внимание на то, а усвоил ли он решение текстовых задач арифметическим методом, или его знания носят поверхностный характер. И не слишком ли рано мы вводим уравнения как математическую модель реальной ситуации.

В курсе алгебры седьмого класса есть тема «Линейные уравнения с двумя неизвестными». Тема интересна, но сложна для усвоения и понимания учеником. Очень часто ребенок способен составить уравнение, но совершенно не в состоянии его решить. Хотя, опираясь на практику преподавания по учебнику Зубаревой И.И. и Мордковича А.Г. можно утверждать, что в пятом классе эти задачи решаются достаточно легко и с большим интересом. Пусть, у этих уравнений нет, каких – либо общих способов решения, кроме перебора, но есть способ позволяющий упростить структуру уравнения и тем самым облегчить его решение. Это способ – метод введения новой переменной. Умеют ли дети его использовать? Нет!

Школьник сталкивается с этим методом при объяснении учителем той или иной темы, но при этом не ощущает, что ему стало понятнее. Чаще всего ученик задает вопрос: «А зачем мы вводили новую переменную, если и без нее все понятно?» И учитель не всегда сможет объяснить и обосновать пользу этого метода. Но вышеозначенная тема способна урегулировать все появляющиеся вопросы, более того, способна помочь учащемуся научиться использовать метод введения новой переменной. В этом могут помочь ряд старинных задач на составление линейных уравнений с двумя переменными.

Возможно, список приведенных задач кому-то покажется чрезмерным, но это совсем не так. У учителя всегда должен быть выбор и небольшой запас лишних примеров и заданий.

Первая задача принадлежит перу Леонардо Пизанского.

1. Некто купил 30 птиц за 30 монет, из числа этих птиц за каждых трех воробьев заплачена 1 монета, за каждые две горлицы – 1 монета и, наконец, за каждого голубя – по 2 монеты. Сколько было птиц каждой породы?

Первое, что придет на ум учащимся при составлении уравнения к этой задаче – это обозначить число птиц каждого вида своей переменной. Не стоит препятствовать получению уравнения с тремя неизвестными: hello_html_2ffae290.gif. Выгоднее затем выяснить, какое условие не было учтено, и нельзя ли, используя это условие, каким – либо образом упростить полученное уравнение. Пропущенное условие будет найдено очень быстро. Число всех птиц равно 30 и, значит, ученики предложат заменить переменную z выражением 30 – х – у.

hello_html_m42ad378d.gif

Далее необходимо освободиться от дробных коэффициентов:

hello_html_m4b76dd46.gif

После упрощения получаем уравнение

hello_html_284331e1.gif(1)

На этом этапе ученикам обязательно понадобится помощь. Необходимо указать, что коэффициент при hello_html_347c04f0.gif и значение суммы делятся нацело на 10, но это означает, что и выражение hello_html_m24bb657e.gif должно делиться на 10. Тогда переменную hello_html_5c4c257b.gif можно выразить следующим образом hello_html_m47ae6185.gif, и уравнение (1) примет вид hello_html_63850641.gif. Разделив обе части уравнения на 10, получим hello_html_7f5e9bfd.gif. Уже на этом этапе можно было бы начать подбирать корни этого уравнения, но тогда бы от ученика ускользнула бы единственность решения этой задачи. Заметив, что коэффициент при hello_html_5c4c257b.gif и значение суммы делятся нацело на 9 введем новое обозначение hello_html_m1c63e625.gif. После этого получим уравнение hello_html_m60bee4b2.gif. Разделив обе части уравнения на 9, получим hello_html_m1264c289.gif. Увидев это уравнение, учащиеся сразу скажут, что его решением являются числа 1 и 1. Но необходимо обсудить вопрос, почему эти числа единственно возможные и почему других решений нет. Нужно указать, что дробные решения нам не подходят, так как все величины в нашей задаче могут быть выражены только натуральным числом. Возможны еще два решения hello_html_m77ed739.gif и hello_html_73eccab1.gif. Они оба нас не удовлетворяют, потому что в этом случае одно из количеств будет принято за 0, что не соответствует условию задачи.

Если hello_html_m57f8505d.gif и hello_html_m64ea5419.gif, то hello_html_79fbcad9.gif, hello_html_m2adc61e7.gif и hello_html_72a44fbb.gif. Таким образом купили 9 воробьев, 10 горлиц и 11 голубей.

2. Леонардо Пизанский. 30 птиц стоят 30 монет, куропатки стоят по 3 монеты, голуби по 2 монеты и пара воробьев по монете. Сколько птиц каждого вида?

Пусть hello_html_347c04f0.gif – число воробьев, hello_html_5c4c257b.gif – голубей, а hello_html_3a7a9324.gif – куропаток. Тогда уравнение имеет вид: hello_html_m2993570f.gif. После упрощения получаем hello_html_m2fc2c33a.gif. Выполнив замену hello_html_m9dc4ee3.gif и hello_html_a17dfd1.gif, найдем hello_html_32f83c00.gif. Все возможные решения выгодно представить в виде таблицы:

hello_html_1c7bfa0b.gif

1

11

2

10

3

9

4

8

5

7

6

hello_html_616db387.gif

11

1

10

2

9

3

8

4

7

5

6

hello_html_347c04f0.gif

2

22

4

20

6

18

8

16

10

14

12

hello_html_5c4c257b.gif

55

5

50

10

45

15

40

20

35

25

30

hello_html_3a7a9324.gif

-27

3

-24

0

-21

-3

-18

-6

-15

-9

-12

Учитывая, что ни одна величина не может быть числом отрицательным или равным нулю, имеем одно решение: 22 воробья, 5 голубей и 3 куропатки.

3. Чжан Цюцзянь (Китай v век). Один петух стоит 5 цяней, одна курица – 3 цяня, а три цыпленка – 1 цянь. Всего на 100 цяней купили 100 птиц. Сколько было петухов, куриц и цыплят?

Задача имеет три различных решения: 1) 4 петуха, 18 куриц и 78 цыплят; 2) 8 петухов, 11 куриц и 81 цыпленок; 3) 12 петухов, 4 курицы и 84 цыпленка.

4. Во многих сборниках встречается эта задача, но авторство не указывается.

Двенадцать человек несут 12 хлебов. Каждый мужчина несет 2 хлеба, женщина половину и каждый ребенок четверть. Сколько было мужчин, женщин и детей?

Решение: hello_html_347c04f0.gif было мужчин, hello_html_5c4c257b.gif - женщин и hello_html_54e907c7.gif - детей.

hello_html_85eabbc.gif

Задача имеет единственное решение при hello_html_m57f8505d.gif. Мужчин было трое, пять женщин и четверо детей.

При решение подобных задач мы преследуем несколько целей: отработать понятие введения новой переменной, пропедевтика решения систем линейных уравнений, в частности, метод подстановки. Но самое главное мы разбираем текстовые задачи, решение которых является увлекательным занятием. Если разделить класс на несколько групп и дать каждой свою задачу, то в скором времени класс наполнится рабочим шумом. Учащиеся будут обсуждать количество решений и с интересом заглядывать в тетрадь соседа, где решена другая задача. Можно устроить соревнование. Тем самым мы получаем немного не традиционный урок, что всегда приветствуется учениками.

5. Адам Ризе (XVI век). 26 персон издержали вместе 88 марок, причем мужчины по 6 марок, женщины по 4 марки, а девушки по 2 марки. Сколько было мужчин, женщин и девушек?

После всех упрощений получим уравнение hello_html_39dcbecc.gif.

В этой задаче совсем не обязательно вводить новую переменную. Необходимо обратить внимание на то, что hello_html_5c4c257b.gif может быть только четным числом, так как и значение выражения hello_html_799c490d.gif и число hello_html_1b70b02a.gif являются четными, а значит и hello_html_5c4c257b.gifможет быть только четным.

Мужчин

8

7

6

5

4

3

2

1

Женщин

2

4

6

8

10

12

14

16

Девушек

16

15

14

13

12

11

10

9

6. Алкуин (VIII век). Одна из первых подобных задач в Европе. 100 шеффелей разделили между мужчинами, женщинами и детьми. Мужчине 3 шеффеля, женщине – 2, ребенку – hello_html_m19e8bb17.gif. Сколько было мужчин, женщин и детей?

Решений будет 4: 1) 5 мужчин, 32 женщины и 63 ребенка; 2) 10 мужчин, 24 женщины и 66 детей; 3) 15 мужчин, 16 женщин и 69 детей; 4) 20 мужчин, 8 женщин и 72 ребенка.

Хотелось бы привести пример задачи, имеющий достаточно большое количество решений. Ее может разобрать учитель или достаточно сильный ученик. Можно разобрать на занятиях математического кружка или на каком – либо другом внеклассном мероприятии.

7. Л.Ф. Магницкий «Арифметика» (1703 год). Купил некто на 80 алтын гусей утят и чирков. Гуся по два алтына, утку по 1 алтыну, чирка же по 3 деньги, а всего куплено 80 птиц. Сколько, каких птиц купили?

Алтын – 3 копейки, деньга – hello_html_m3d4efe4.gif копейки.

Приведем множество решений данной задачи в виде (число гусей; уток; чирков).

(26; 2; 52), (25; 5; 50), (24; 8; 48), (23; 11; 46), (22; 14; 44), (21; 17; 42), (20; 20; 40), (19; 23; 38), (18; 26; 36), (17; 29; 34), (16; 32; 32), (15; 35; 30), (14; 38; 28), (13, 41; 26), (12; 44; 24), (11; 47; 22), (10; 50; 20), (9; 53; 18), (8; 56; 16), (7; 59; 14), (6; 62; 12), (5; 65; 10), (4; 68; 8), (3; 71; 6), (2; 74; 4), (1; 77; 2). Двадцать седьмое решение, состоит в том, что были куплены только 80 уток, но оно не соответствует условию задачи.

8. Вьетнам. Эта задача известна с давних времен.

Для кормления 100 буйволов заготовили 100 охапок сена. Стоящий молодой буйвол съедает 5 охапок сена. Лежащий молодой буйвол съедает 3 охапки сена. Старые буйволы втроем съедают 1 охапку сена. Сколько молодых буйволов стоят, сколько лежат и сколько буйволов старых?

Решение этой задачи полностью совпадает с решением задач №3, приведенной выше.

В учебнике Зубаревой И.И. и Мордковича А.Г. [2, 170-171] приведена задача:

В вольере сидят фазаны и кролики. Всего у них 12 голов и 34 ноги. Сколько фазанов и сколько кроликов в вольере?

Приводятся два способа решения: арифметический и с помощью уравнения с двумя неизвестными, которое предложено решить подбором самостоятельно. Но можно предложить, после получения уравнения hello_html_2b502fe6.gif, найти все его решения в натуральных числах, которые приводятся в таблице

х

1

3

5

7

9

11

13

15

17

у

8

7

6

5

4

3

2

1

0

А затем обсуждается вопрос о том, какая пара чисел будет решением задачи, и какое условие необходимо использовать для ее получения. Вспоминая о числе голов животных, получаем 5 кроликов и 7 фазанов.

Далее в том же учебнике [2, 171] приведена еще задача, более сложная, которую большинство учащихся решают с помощью уравнения с двумя неизвестными.

616(а) Старинная задача. Сколько надо взять карамели по цене 16 рублей за килограмм и по цене 9 рублей за килограмм, чтобы составить 21 килограмм смеси по цене 11 рублей за килограмм?

hello_html_537c0944.gif. Дальше составим таблицу всех возможных значений для hello_html_347c04f0.gif и hello_html_5c4c257b.gif, учитывая, что масса смеси равна 21 кг.

х

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

у

20

19

18

17

16

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

Здесь необходимо уточнить, что выражение hello_html_m73ab81cd.gifбудет принимать только четные значения, а потому hello_html_226fb70b.gif должно быть нечетным, то есть hello_html_5c4c257b.gif может принимать только нечетные значения. Поэтому пары 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, мы исключаем из множества решений. Можно исключить пару 10 и соответственно пару 20, так как сумма в этом случае будет оканчиваться на цифру 9. Действуя таким же образом и исключая пару за парой, найдем два возможных решения 6 и 15или 16 и 5. Подстановкой в уравнение найдем результат 6 кг по цене 16 рублей и 15 кг по цене 9 рублей за килограмм.

С помощью уравнения с двумя неизвестными была решена учащимися и задача №623[2, 174].

По тропинке вдоль кустов Это вместе шли куда-то

Шло одиннадцать хвостов. Петухи и поросята.

Сосчитать я также смог, А теперь вопрос таков:

Что шагало тридцать ног. Сколько было петухов?

И узнать я был бы рад

Сколько было поросят?

7 петухов и 4 поросенка.

Можно долго спорить, нужны ли подобные задачи на уроках в современной школе или их место только в сборниках занимательных задач и на различных турах математических олимпиад. Но школьникам нравятся уроки, где разбираются эти задачи. На них для многих учеников математика становится ближе и интереснее, а ни это ли является главной целью в преподавании этого учебного предмета. Да, и изучение темы «Системы линейных уравнений и способы их решения» проходит намного проще. Эти уроки более запоминаются и это очень важно.

Литература:

1. Баврин И. И., Фрибус Е.А. Занимательные задачи по математике. – М.: Гуманит. Изд. Центр ВЛАДОС, 2003. – 208 с.

2. Зубарева И.И., Мордкович А.Г. Математика. 5 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений. – 5-е изд. – М. Мнемозина, 2006. – 270 с.

3. Чистяков В. Д. Материалы по истории математики в Китае и Индии – М.: УЧПЕДГИЗ, 1960. – 168 с.

4. Шевкин А. В. Текстовые задачи. М. – Просвещение, 1997 – 128 с.


9


Выберите курс повышения квалификации со скидкой 50%:

Автор
Дата добавления 06.09.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров508
Номер материала ДA-031347
Получить свидетельство о публикации

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх