Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Статьи / Статья. Математические этюды. 17. Формула Пика

Статья. Математические этюды. 17. Формула Пика



Осталось всего 4 дня приёма заявок на
Международный конкурс "Мириады открытий"
(конкурс сразу по 24 предметам за один оргвзнос)


  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

hello_html_m6150f105.jpghello_html_m7c2ac72f.pnghello_html_m6150f105.jpg

Формула Пика

(Арифметика на клетчатой бумаге)






Нарисуем на клетчатой бумаге какой-нибудь многоугольник с вершинами в узлах сетки, например такой, как на рис. 1. Попробуем теперь посчитать его площадь. Как это сделать? Наверное, проще всего разбить его на прямоугольные треугольники и прямоугольники, площади которых уже нетрудно вычислить, и сложить полученные результаты. Последовательно проводя вычисления, получим, что площадь нашего многоугольника равна 20,5, если за единицу площади взять площадь одного квадратика клетчатой бумаги.

Использованный нами способ несложен, но очень громоздок, кроме того, он годится не для всякого многоугольника. Так, многоугольник на рисунке 2 уже нельзя разбить на прямоугольные треугольники и прямоугольники так, как мы это делали с предыдущим многоугольником. Можно, например, попробовать дополнить наш многоугольник до «хорошего», то есть до такого, площадь которого мы сможем вычислить описанным способом, потом из полученного числа вычесть площадь добавленных частей.

Однако оказывается, что есть очень простая формула, позволяющая вычислять площади многоугольников с вершинами в узлах квадратной сетки:

S = В + hello_html_m5a442bdc.gif,

где S - площадь многоугольника, выраженная в площадях единичных квадратиков сетки, В – количество узлов сетки, лежащих внутри многоугольника, а Г – количество углов сетки, лежащих на границе многоугольника. Для многоугольника на рисунке 3

В = 18, Г = 7, S = 18 + 3,5 – 1 = 20,5.

Столь же просто сосчитать и площадь многоугольника на рис.2:

В = 11, Г = 13, S = 11 + 6,5 – 1 = 16,5.

Формула, о которой мы рассказали, носит название «формула Пика» по имени открывшего ее немецкого математика.



hello_html_19aacc00.png

Рис. 1




hello_html_m22c84bae.png

Рис.2




hello_html_m3c974f86.png

Рис.3



hello_html_m205bc2cb.gif



Литература

  1. Васильев В. «Вокруг формулы Пика». Квант. № 12, 1974г.

  2. Квант. №3, 1985г.




57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)


Автор
Дата добавления 25.05.2016
Раздел Математика
Подраздел Статьи
Просмотров54
Номер материала ДБ-098118
Получить свидетельство о публикации

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх