Статья на тему: "Метрические пространства"

Статья на тему: «Метрические пространства»

Понятие метрического пространства - одно из важнейших понятий современной математики.

Большинство идей, которые используются для анализа и решения уравнений и систем уравнений, связано с методом итераций. Для изложения сути метода и доказательства необходимых теорем используется понятие метрического пространства, и только затем применяется все изложенное к тем частным случаям, которые возникают при решении различных видов уравнений и их систем.

Класс метрических пространств стал первым классом абстрактных пространств, на который был успешно обобщен ряд понятий и результатов, открытых на заре общей топологии при изучении подмножеств вещественной прямой и евклидовых пространств. Класс метрических пространств достаточно обширен и включает в себя много объектов, изучаемых в различных областях математики. Это позволяет описывать эти объекты на геометрическом языке. В то же время пространства этого класса кажутся достаточно простыми, к ним применима геометрическая интуиция.

При изучении предела последовательности действительных чисел фундаментальную роль играет критерий Коши: последовательность действительных чисел сходится тогда и только тогда, когда она фундаментальна. Однако критерий Коши не имеет места в любом метрическом пространстве. В пространствах, в которых критерий Коши не имеет места, теряют силу многие утверждения анализа. Поэтому выделили метрические пространства, в которых критерий Коши справедлив.

Для лучшего понимания темы, необходимо рассмотреть:

·        общие понятия метрических пространств и их основные свойства;

·        различные способы введения метрики,

·        сходимость последовательностей точек метрического пространства;

·        свойства сходящихся в метрическом пространстве последовательностей;

·        понятие фундаментальной последовательности и её свойства;

·        предел отображения в точке и на бесконечности;

·        полные метрические пространства, примеры полных метрических пространств;

·        метод сжимающих отображений (теорема Банаха) и примеры его применения при решении трансцендентных уравнений, в теории систем линейных уравнений, интегральных уравнений, дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных.

Изучение математического анализа начинается с «Введения в анализ», в котором рассматриваются такие базовые понятия, как предел последовательности и предел функции. Изучение этих понятий предусмотрено и школьной программой.