Статья на тему "Типология логических задач".

Введение

 Ещё в древности люди задумывались над многими вещами: почему земля круглая, откуда взяли огонь… Шли годы,- люди стали умнее; их мозг эволюционировал. Интересовало уже людей не то, что они могут сделать, а то - «как они делают это продуктивнее?». Чтобы ответить на этот вопрос и другие вопросы, народ стал искать какие-то взаимосвязи; стал сравнивать какие-то ситуации с жизненными, решив тем самым какую-нибудь житейскую проблему, стал вычленять способ её решения. И что же было одной из важных проблем того времени (не будем говорить о веках), когда люди начали «действительно мыслить», а не механически выполнять какие-либо необходимые движения, действия? А одной из этих проблем, на мой взгляд, было строительство. Но строительство не только жилища, а храма и т.п. Ведь дом – необходимое место для любого человека – это очаг, возле которого создаётся всё остальное и без которого всё остальное теряет всякий смысл. Ещё с давних времён, когда люди строили дома из пальмовых веток и тростника (бамбука) до воздвижения каменных сооружений, они испытывали ряд трудностей, которые были связаны с планированием, точнее сказать, с проектированием «зданий». Люди знали, что хотели увидеть в результате, но в итоге не получали желаемого. Народ стал осознавать постепенно: если расположить что-то одним образом - получится то, если иным другое. Люди начали учитывать эти закономерности. Те же,  в свою очередь, стали определёнными «законами», правилами, которые, так или иначе, приходилось соблюдать и признавать за истину. Так были открыты первые теоремы практически необходимого тогда содержания, например: теорема Пифагора, теорема Фалеса и др. Не все, конечно, занимались такими «открытиями». Сначала были философы, затем выделились из них и математики. Но чем дальше развивались потребности людей, тем глубже звала их неизведанная наука на пути открытий. Решались какие-то жизненно необходимые задачи (строительство дорог, каналов, пирамид и др.), возникали споры, дебаты. Учителя (математики) – самые умнейшие в этой области – брали учеников с целью передачи опыта новым поколениям. Помимо открытых тайн, перед учениками ставились определенные задачи, которые впоследствии становились аксиомами и теоремами. Появились школы. Математика в каждой из них была далеко не последним предметом. Учили детей применять полученные знания на практике. А как? Сначала, конечно же, «зубрежкой» правил и канонов, затем глупым повторением частей определенного алгоритма при решении определенного вида задач и только потом дело дошло до того, что (после учебника Магницкого) именно умением систематизировать знания, умением ими оперировать в любых ситуациях, в задачах с любыми меняющимися условиями. Люди осознали наконец ценность мыслительной деятельности человека. Со времён учебника Магницкого (18 в.) стали издаваться многие труды подобного содержания: учебники с задачами, с правилами… И уже тогда задачи, именно, решение задач стало играть огромную роль в формировании и развитии интеллекта и общей культуры людей того времени. Осмысление, понятие выходят на первый план.  Появляются   задачи   занимательного и развлекательного характера. Позже задачи, уже направленные на развитие пространственного представления и восприятия (в частности, геометрические). Вычленяются различные методы, приёмы решения задач, разрабатываются различные виды классификаций задач и алгоритмов их решения. И тут непоследнюю роль играют задачи логические, задачи логического характера и, соответственно, способы и методы их решения. Не забудем и то, что решение задачи требует умения мыслить, в данном случае, мыслить логически. А логическое мышление, в свою очередь, невозможно развить только посредством математики. Необходимо было связать математику с другими науками и, естественно, с жизнью.

Типология логических задач

Задачи, решаемые методом «здравых рассуждений»

Многие логические задачи решаются методом «здравых рассуждений».Процесс решения представляет собой анализирование рассуждающим  всевозможных ситуаций, выбор подходящих и отбрасывание ненужных. В результате решения мы находим выход из создавшегося, затруднительного положения. Метод «Здравых рассуждений» применим при решении задач на переправу (задача о волке, козе и капусте), на взвешивание и т. д. Рассмотрим примеры таких задач.

Пример. Задача о переправе козы, волка и капусты. Через реку надо перевезти козу, волка и капусту. На лодке, кроме перевозчика, может поместиться только один из трех. Каким образом их можно перевезти, чтобы коза не съела капусту, а волк – козу.

 Решение. Рассмотрим различные варианты переправы. Если сначала перевезти волка, то коза съест капусту. А если капусту, то волк съест козу. Следовательно, вначале надо перевезти козу. Затем перевезем волка, но если оставим его там, то он съест козу. Значит, надо перевезти козу обратно и привезти капусту. И уже после козу. Можно поступить иначе: не волка, а капусту. Но коза ее съест. Значит, козу обратно. Теперь волка и снова козу. Ответ: сначала козу, затем волка (капусту). Потом вернем козу, перевезем капусту (волка). Затем козу.

Не одним способом можно решать и задачи на взвешивание, в частности задачи с весами. Пример. Из восьми колец одно легче других. Каково число взве­шиваний на чашечных весах для определения более легкого кольца?

Решение:  Способ 1. Разобьем восемь колец по четыре. Взве­сим ту группу колец, которая легче, разобьем ее по два кольца. Взве­сим повторно. Кольца из более легкой пары подвергнем сравнитель­ному взвешиванию. Таким образом, потребовались три взвешива­ния для выявления легкого кольца. Способ 2. Разобьем восемь колец на три группы: 3, 3 и 2. Первое взвешивание: если группы по три кольца весят одинако­во, то легкое находится среди оставшихся двух колец. Второе взвешивание: взвесим оставшиеся два кольца и найдем легкое кольцо. Если группы по три кольца весят по-разному, то легкое содер­жится среди той группы, которая весит меньше. Из этой группы возьмем два кольца и взвесим, если они весят одинаково, то третье-легкое. Если же весят по-разному, то легкое кольцо найдено.

Ответ: способ 1 — три, способ 2 - два взвешивания.

Задачи, решаемые с помощью таблиц

 Часто при решении логических задач используют таблицы, в связи с тем, что задачи могут содержать много условий, которые все сразу трудно удержать в голове. Поэтому ученики должны составить таблицу. Она составляется при внимательном прочтении и анализе условии задачи, после чего вся содержащаяся информация в задаче отображается в таблице. Такая обработка условия данных задачи значительно облегчает ее решение, а иногда является единственным способом решения. С помощью таблиц можно решать различные типы задач, например: задачи на соответствие между элементами различных множеств, задачи на упорядочение множеств, задачи с ложными высказываниями, турнирные задачи  и т. д. 1)  Задачи     на     установление     соответствия     между     элементами  различных множеств

Данный тип логических задач связан с рассмотрением нескольких конечных множеств, как правило, между элементами которых имеются некоторые зависимости. Самым простым является случай, когда даны два множества с одинаковым числом элементов и требуется установить взаимно однозначное соответствие между ними. В более сложных случаях рассматривается большее число множеств, число элементов у которых одинаково и требуется установить взаимно однозначное соответствие между элементами каждой пары множеств. И, наконец, рассматривается несколько конечных множеств, между элементами которых имеются зависимости, но нет взаимно однозначного соответствия. При решении перечисленных классов задач используются различного рода таблицы. В случае двух множеств с одинаковым числом элементов удобно пользоваться квадратной таблицей, состоящей из n X n клеток (n-число элементов в множестве). Данные задачи вносятся в соответствующие клетки таблицы, например: положительный результат знаком «+», а отрицательный - знаком «-». После использования всех условий задачи клетки, которые остались пустыми, заполняются знаком «+» или «-» путем логических рассуждений. Если множеств более двух, то приходиться рассматривать несколько квадратных таблиц или одну прямоугольную таблицу.

Пример двух множеств:

Задача 1. Аня, Женя, Нина спросили, какие оценки им поста­вили за контрольную работу по математике. Учитель ответил: «Пло­хих оценок нет. У вас троих оценки разные. У Ани не «3». У Нины не «3» и не «5». Кто какую оценку получил?

Решение: В задаче можно выделить два множества: множество оценок и множество имен. Каждое множество состоит из трех элементов. Это «3», «4», «5» с одной стороны и Аня, Женя, Нина с другой. Составим таблицу исходных данных. Согласно тому, что у Ани не «3»,  значит в пересечение столбца «Аня» и строки «3» ставим знак «-». Согласно тому, что У Нины не «3» и не «5», значит, поставим в пересечении столбца «Нина» и строк «3» и «5» знак «-».   Оценка Аня Женя Нина 3 - - 4 5 - Из таблицы видно, что у Нины «4», значит, ставим в соответствующей ячейке знак «+». А также ставим знак «-» в пересечении строки «4» и столбцов «Аня» и «Женя». Таким образом, у Ани не «3», но и не «4», значит у Ани «5», ставим соответствующие знаки в соответствующие ячейки. Тогда, очевидно, у Жени «3» (не «4» и не «5»).   Оценка Аня Женя Нина 3 - + - 4 - - + 5 + - - О т в е т: у Ани «5», у Жени «3», у Нины «4».

3адача 2. Коля, Боря, Вова, Юра заняли первые четыре места в соревнованиях. На вопрос, какие места они заняли, трое ответили: Коля - не 1-е, не 4-е; Боря - 2-е; Вова - не 4-е. Какие места заняли мальчики?

 Решение: Как и в предыдущей задаче, имеем два множества, каждое из которых состоит из трех элементов. Составим таблицу исходных данных. Место Коля Боря Вова Юра 1-ое - 2-ое + 3-ое 4-ое - - Между множеством имен мальчиков и множеством завоеванных мест должно быть взаимно однозначное соответствие. У Бори 2-е место, значит, поставим в пересечении строки «2-е» и  столбцов «Коля», «Вова», «Юра» знак «-». У Коли ни 1-е, ни 4-е, но и ни 2-е (оно у Бори), следовательно, у него 3-е место, значит,  в пересечении столбца «Коля» и строки «3-е»  знак «+». Поставим соответствующие знаки. У Вовы ни 4-е, ни 3-е, ни 2-е, значит, - 1-е место. Поставим знаки. Следовательно, у Юры 4-е место. Место Коля Боря Вова Юра 1-ое - - + - 2-ое - + - - 3-ое + - - - 4-ое - - - + Ответ: У Коли 3-е, у Бори 2-е, У Вовы 1-е, у Юры 4-е.

2. Пример трех множеств:

Задача: Три одноклассника — Влад, Тимур и Юра, встретились спустя 10 лет после окончания школы. Выяснилось, что один из них стал врачом, другой физиком, а третий юристом. Один полюбил туризм, другой бег, страсть третьего — регби. Юра сказал, что на туризм ему не хватает времени, хотя его сестра — единственный врач в семье, заядлый турист. Врач сказал, что он разделяет увлечение коллеги. Забавно, но у двоих из друзей в названиях их профессий и увлечений не встречается ни одна буква их имен. Определите, кто, чем любит заниматься в свободное время и у кого какая профессия.

Решение: Выделяем в задаче три множества (имя — профессия — увлечение). Каждое множество состоит из трех элементов.  Множество имен содержит - Влад, Тимур и Юра. Множество профессий - врач, физик и юрист. А множество увлечений - туризм, бег и регби. Из слов Юры ясно, что он не врач и он не увлекается туризмом. Из слов врача следует, что он турист. Имя Юра Профессия врач Увлечение туризм Буква "а", присутствующая в слове "врач", указывает на то, что Влад тоже не врач, следовательно, врач - это Тимур. В его имени есть буквы "т" и "р", встречающиеся в слове "туризм", значит, второй из друзей, в названиях профессии и увлечения которого не встречается ни одна буква его имени — Юра. Юра не юрист и не регбист, потому что в его имени содержатся буквы "ю" и "р". Следовательно, окончательно имеем: Имя Юра Тимур Влад Профессия физик врач юрист Увлечение бег туризм регби Ответ. Влад — юрист и регбист, Тимур — врач и турист, Юра — физик и бегун.

 Частным случаем задач на нахождение соответствия межу элементами различных множеств являются задачи на упорядочение множеств. В задачах такого рода надо установить соответствие между элементами данного множества и элементами N. Такие задачи можно решать с помощью таблицы.

Пример: В семье четверо детей. Им 5, 8, 13, 15 лет. Детей зовут Катя, Ваня, Ира и Галя. Сколько лет каждому, если одна девочка ходит в детский сад, Катя старше Вани, и сумма лет Кати и Иры делится на три?

Решение:       Возраст Катя Ваня Ира Галя 5   -   -  +  - 8   -   +  -  - 13  +   -  -  - 15  -   -  -  + Если одна девочка ходит в детский сад, то есть ей пять лет, то Ване не пять лет. Ставим знак минус в соответствующей графе. Так как Катя старше Вани, то Ване не 15 лет, ставим знак минус в соответствующей графе. Сумма лет Кати и Иры делится на три - это возможно в двух случаях: когда одной девочке 8 лет, а другой - 13 лет, или когда одной - 5 лет, а другой - 13 лет. Значит Ване не 13 лет, а 8. Заполним соответствующие графы. Сумма лет Кати и Иры делится на три и это возможно в случае, когда одной девочке 5 лет, а другой 13. Но по условию задачи Катя старше Вани, поэтому, Кате 13 лет, а Ире - 5. Тогда Гале 15 лет. Заполним оставшиеся ячейки. Эту задачу можно решить и с помощью прямой. Младше  И В К Г Старше ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯'¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯'¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯'¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯'¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ Правее расположим точки, соответствующие детям более старшим по возрасту. Отметим на прямой точку В. Девочка ходит в детский сад, поэтому ставим точку левее В. Так как Катя старше Вани, то точку К поставим правее точки В. Так как Катя старше Вани, то ему не 15 лет, значит, ставим точку правее В. Определим нахождение этой точки. Она может находиться между В и К или правее К. Сумма лет Кати и Иры делится на три и это возможно в случае, когда одной девочке 5 лет, а другой 13. Но согласно условию задачи Катя старше Вани, поэтому, Кате 13 лет,  Ире - 5.  Значит Гале 15 лет. Отметим на прямой, что левее В стоит точка И; точка К находиться сразу после В; крайняя права точка -  это Г.

 Ответ: Кате 13 лет,  Ире  5 лет, Гале 15 лет, Ване 8 лет

2) Задачи с ложными высказываниями

Пример: Задача «Дело Брауна, Джонса и Смита». Один из них совершил преступление. В процессе расследования каждый из них сделал по два заявления: Браун: 1.Я не преступник. 2.Джонс - тоже. Джонс: 1. Браун не преступник. 2. Преступник - Смит. Смит: 1. Преступник - Браун. 2. Я не преступник. В процессе следствия было установлено, что один из них дважды солгал, другой дважды сказал правду, а третий - один раз солгал и один раз - сказал правду. Кто совершил преступление?

Решение: Предположим, что оба высказывания Брауна верны, тогда Джонс не преступник и сам Браун - тоже, отображаем  это в таблице, в соответствующих  ячейках. Тогда возможно, что Джонс один раз солгал и один раз - сказал правду, значит, Смит оба раза солгал. Из слов Джонса получаем: Браун-преступник и Смит-преступник, а по свидетельству Смита: Браун не является преступником – преступником является он сам. Отобразим полученные данные в соответствующих ячейках таблицы. Версия Брауна Версия Джонса Версия Смита Преступник Браун - + - Преступник Джонс - Преступник Смит + + Итак, мы пришли к тому, что двое из них совершили преступление одновременно, чего не может быть. Рассмотрим другой вариант. Допустим теперь, что Джонс ни разу не солгал, то есть Браун не преступник, а  преступник – Смит; Смит солгал оба раза, то есть Браун не преступник, преступником является Смит; тогда Браун солгал и сказал правду, то есть преступником является он сам, а Джонс - нет. Отметим результат в таблице.   Версия Брауна Версия Джона Версия Смита Преступник Браун + - - Преступник Джон - Преступник Смит + + Получили аналогичный первому варианту результат. Рассмотрим следующий случай. Пусть в этот раз оба раза солгал Джонс, Браун - солгал и сказал правду, а Смит дважды не соврал. По мнению Джонса получаем: Браун преступник, Смит - нет. Из свидетельства Брауна: Браун преступник, Джонс – нет. Из слов Смита: Браун преступник, а сам он нет. Отметим данные в таблице. Версия Брауна Версия Джона Версия Смита Преступник Браун + + + Преступник Джон - Преступник Смит - - Итак, пришли к тому, что преступником является Браун.  Ответ: преступление совершил Браун.

3) Турнирные задачи.  

Турнирные задачи - логические задачи, связанные с выяснением итогов турниров. В таких задачах приводятся неполные данные об итогах спортивных встреч. Путем логических рассуждений требуется получить полные данные о проведенных турнирах.        Решению турнирной задачи способствует оформление турнирной таблицы по данным, приведенным в условии задачи,  затем по данным, полученным логическим путем. Естественно, решая задачу ( о шахматном, футбольном или хоккейном турнире), нужно знать основные положения о таких турнирах. В футбольном (хоккейном) турнире команда - победитель матча получает два очка. Ничейный исход оценивается для каждой команды в одно очко, а поражение оценивается в ноль очков. При распределении мест в футбольном турнире в случае равенства очков у двух команд во внимание принимается разница забитых и пропущенных голов.

Рассмотрим пример задачи о футбольном турнире.

Пример: В первенстве по футболу, который проводился по круговой системе, участвовали четыре команды: «Юниор», «ЦСК», «Динамо», «Спартак». Последняя встреча окончилась неожиданно: «Юниор» проиграл «Динамо», но это не улучшило турнирного положения Динамо», а «Юниору» не помешало стать чемпионом. Каков был исход игры между «Спартаком» и «ЦСК»? Решение: Команда Юниор ЦСК Динамо Спартак Очки Место Юниор - 2 0 2 4 1 ЦСК 0 - 2 1 3 2-3 Динамо 2 0 - 0 2 4 Спартак 0 1 2 - 3 2-3   По условию задачи «Юниор» занял первое место, проиграв последний матч «Динамо». Максимально число очков,  которое могла набрать команда в этом турнире, равно 6. «Юниор» набрал не более, чем 4 очка. Но и меньше 4 очков он набрать не мог, потому что уже при 3 очках нашлась бы команда с не меньшим числом очков, чем у «Юниора», значит,  команда «Юниор» выиграла у команд «ЦСК» и «Спартак». По условию задачи «Динамо», выиграв у «Юниора», не улучшил своего турнирного положения. Значит, если бы «Динамо» до последней встречи имел бы не менее 2 очков, то после выигрыша у «Юниора» он оказался бы победителем. Если бы «Динамо» до последней встречи имел бы 1 очко, то после победы над «Юниором» он имел бы 3 очка, это давало ему право на второе место, то есть улучшило бы его турнирное положение. Так как «Динамо» не улучшил своего турнирного положения, то он перед последней встрече имел бы 0 очков. Значит, «Динамо» проиграл и «ЦСК», и «Спартаку». Но турнирное положение «Юниора» и «Динамо» зависело от встречи «Спартака» и «ЦСК». При выигрыше одной из них, например «ЦСК», первое и второе места делили бы «Юниор» и «ЦСК», а третье и четвертое места делили бы «Спартак» и «Динамо». Турнирное положение команды «Динамо» не меняется, если «ЦСК» и «Спартак» сыграли вничью.

 Задачи, решаемые с помощью высказываний

Решая задачи этим методом, мы используем элементы алгебры высказываний. Под  высказыванием  понимают  повествовательное предложение, относительно которого  можно  сказать,  истинно  оно  или  ложно. Не всякое предложение является высказыванием, например: восклицательные,  вопросительные  предложения («Который час?»). Не являются высказываниями  и такие предложения, которые являются определениями чего-либо, например: «Квадратом  называется прямоугольник, у которого все стороны равны». Нас будут интересовать только свойство высказывания: ложь или истина. Сопоставим число 1 – истинное высказывание, 0 –  ложное высказывание. Пусть имеется некоторая совокупность высказываний, называющихся элементарными (исходными). Исходя из этих высказываний, с помощью так называемых логических операций строят новые (сложные) высказывания. Перейдем к точному описанию этих операций.  Отрицательные высказывания. Отрицательным высказыванием A называется новое высказывание, обозначаемое  Ā (неверно, что A), которое истинно, если A ложно, и ложно, если A – истинно. Пример: для высказывания А: “5 является делителем числа 30”, построенное указанным способом высказывание Ā: “Число 5 не является делителем числа 30.”  Конъюнктивные высказывания. Конъюнкцией высказываний P и Q называется новое высказывание, обозначаемое  P ۸ Q (и),  которое истинно, если истинны оба  высказывания P и Q, и ложно во всех остальных случаях.

 Пример: Высказывание «Число 376 четное и трехзначное» - конъюнкция двух высказываний: «Число 376 четное»  и  «Число 376 трехзначное». Так как оба  высказывания – истинны, конъюнкция - истинна.  Дизъюнкция  высказывания. Дизъюнкцией высказываний P и Q называется новое высказывание, обозначаемое  P ۷ Q (или), которое истинно в тех случаях, если истинно хотя бы одно из  высказываний P или Q, и ложно, если ложны оба высказывания P и Q. Пример: Высказывание  «Шесть - число кратное трем или 19>37» - является дизъюнкцией двух высказываний: «6 - число кратное 3» и «19> 37». Дизъюнкция истинна, так как одно из высказываний истинно. 4. Импликация. Импликацией высказываний P и Q,  называется новое высказывание, обозначаемое P => Q (« если P, то Q»; из  Р следует Q»), которое ложно лишь в том  случае, если P – истинно, а Q – ложно.

 Пример: Высказывание  “Если число n  делится на 4 , то оно делится на 2” –импликация высказываний «число n делится на 4» и «число n делится на 2». Оно истинно, так как истинны оба последовательные высказывания. 5. Эквивалентность. Эквивалентностью высказываний P и Q,   называется   новое  высказывание,  обозначаемое P <=> Q, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания P и Q одновременно истинны или одновременно ложны.

 Пример: Высказывание «Число 15 делится на 3» эквивалентно высказыванию  «сумма цифр числа 15 делится на 3». Оно истинно, так как оба высказывания истинны. При решении логических задач с помощью алгебры высказываний мы будем использовать некоторые формулы – тавтологии (тавтологией называется тождественно истинная  формула).            Основные тавтологии,  используемые при решении логических задач:    

 Пример: Один из трех братьев поставил на скатерть кляксу. Кто испачкал скатерть? - спросила бабушка. Витя не ставил кляксу, - сказал Алеша. - Это сделал Боря. Ну, а ты, что скажешь? - спросила бабушка Борю. Это Витя поставил кляксу, - сказал Боря. - А Алеша не пачкал скатерть. Так я и знала, что вы друг на дружку сваливать будете, - рассердилась бабушка. - Ну, а каков твой ответ? - спросила она Витю. Не сердись, бабуля! Я знаю, что Боря не мог это сделать. А я сегодня не готовил уроки, - сказал Витя. Оказалось, что двое мальчиков в каждом из двух своих заявлений сказали правду, а один оба раза сказал неправду. Кто поставил на скатерть кляксу?

 Решение: Пусть буква а обозначает, что Алеша поставил кляксу, тогда ā означает, что Алеша кляксу не ставил. Аналогичный смысл символов e,  ē  и u,  ū. Запишем теперь высказывания мальчиков формулами. Алеша сказал, что Витя не ставил кляксу и что это сделал Боря. Это высказывание запишется формулой: A = ē ۸ u. Аналогично запишем высказывание Бори, а именно: В = e ۸ ā. Витя сказал, что Боря не ставил кляксу и что он не готовил уроки. Но последнее совершенно не значит, что Витя не мог поставить кляксу. Поэтому высказывание Вити запишется так: C = ū ۸ (e ۷ ē) = ū. (мы формулу С упростили, поскольку высказывание e v ē - тавтология). По условию задачи, двое мальчиков оба раза сказали правду, а один мальчик оба раза сказал неправду. Поэтому среди записанных нами трех формул А, В, С две истинны (тавтологии), а одна ложна (противоречие). Мы не знаем, какая именно формула ложна. Но мы утверждаем, что если из этих формул образовать попарные дизъюнкции, то поскольку в каждую дизъюнкцию будет входить по крайней мере одна истинная формула, эти дизъюнкции будут истинными. Образуем их, получив новые формулы: D = A ۷ B = (ē ۸ u) ۷ (e ۸ ā), H = A ۷ C = (ē ۸ u)  ۷ ū = ē ۷ ū,  N = B ۷ C = (e ۸ ā)  ۷ ū. Найдем конъюнкцию формул Д и Н. Она, конечно же, истинна: D ۸ H = ((ē ۸ u) ۷ (e ۸ ā)) ۸ (ē ۷ ū) = (ē ۸ u) ۷ (e ۸ ā ۸ ū). Теперь найдем конъюнкцию трех формул Д, Н и N: D ۸ H ۸ N = ((ē ۸ u) ۷ (e ۸ ā ۸ ū)) ۸ ((e ۸ ā)  ۷ ū) = e ۸ ā ۸ ū.  Из этой истинной конъюнкции и заключаем, что кляксу поставил Витя. Задача решена.

 В связи со сложностью задач такого типа, их нежелательно давать ученикам на уроках математики в 5 - 6 классах. Для решения задач подобным способом необходимо знакомить детей с основами алгебры высказываний, который не может быть усвоен учениками в полном объеме в силу возрастных и индивидуальных особенностей школьников, а также из-за малого количества учебного времени при условии, что материал будет даваться только на уроках математики. Если ознакомление будет происходить на внеклассных и факультативных занятиях, то все будет зависеть от уровня подготовленности детей.