Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Статья по математике на тему "Задачи на проценты. Простой и сложный процентный рост"
Обращаем Ваше внимание: Министерство образования и науки рекомендует в 2017/2018 учебном году включать в программы воспитания и социализации образовательные события, приуроченные к году экологии (2017 год объявлен годом экологии и особо охраняемых природных территорий в Российской Федерации).

Учителям 1-11 классов и воспитателям дошкольных ОУ вместе с ребятами рекомендуем принять участие в международном конкурсе «Я люблю природу», приуроченном к году экологии. Участники конкурса проверят свои знания правил поведения на природе, узнают интересные факты о животных и растениях, занесённых в Красную книгу России. Все ученики будут награждены красочными наградными материалами, а учителя получат бесплатные свидетельства о подготовке участников и призёров международного конкурса.

ПРИЁМ ЗАЯВОК ТОЛЬКО ДО 15 ДЕКАБРЯ!

Конкурс "Я люблю природу"

Статья по математике на тему "Задачи на проценты. Простой и сложный процентный рост"

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов

Задачи на проценты. Простой и сложный процентный рост .



Решения задач с процентами у учащихся нередко вызывают трудности. Одной из причин является то, что в широко используемых учебниках математики, как правило, даются стандартные задачи на проценты. Текстовые задачи, в том числе задачи на проценты встречаются в тестах ЕГЭ по математике, как в 9-х, так и в 11-ых классах. В статье изложена методика решения задач на простой и сложный процентный рост (так называемых «банковских задач»). Данная работа может быть использована учителями для разработки элективного курса, посвященного текстовым задачам с процентами, а также будет полезна учащимся общеобразовательных учреждений для самостоятельной подготовки к итоговым тестам.

Это полезно знать.

Полезно понимать разные формы выражения одного и того же изменения величины, сформулированные без процентов и с помощью процентов.

Например, в сообщениях «заработная плата бюджетникам с января повышена на 50%» и «заработная плата бюджетникам с января повышена в 1,5 раза» говорится об одном и том же. Точно так же, увеличить в 2 раза - это значит увеличить на 100%, увеличить в 3 раза- значит на 200%, уменьшить в 2 раза- значит уменьшить на 50%.

Следует запомнить:

  1. Если значение а выросло на p%, то новое значение будет hello_html_m1bf317df.gif

  2. Если значение с уменьшилось на p%, то новое значение будет hello_html_69bc015c.gif

  3. Если А больше В на p%, то hello_html_m1325b759.gifhello_html_m77b0f30.gif

Выразим из последней формулы p:

(1+hello_html_m74e14584.gifhello_html_m23749fac.gifhello_html_79724d39.gif;

hello_html_57ca77fc.gif

hello_html_465cd662.gifформула даёт ответ на вопрос: на сколько процентов А больше, чем В.

  1. Если В меньше А на q%, то

В=А-hello_html_5e92e2f7.gifА; hello_html_556a85c8.gif

Если требуется ответить на вопрос: на сколько процентов В меньше, чем А, то из последней формулы, выразив q, получим

hello_html_m2ba1476.gif

Внимательный читатель заметил, что если А больше, чем В на p%, то это не означает, что В меньше А на p%. Убедимся в этом высказывании ещё раз, решив следующую задачу: В классе мальчиков на 25% больше, чем девочек. На сколько процентов девочек в этом классе меньше, чем мальчиков?

Читая данную задачу можно сразу дать ответ: на 25%. Но это не так.

Решение:

Пусть м- количество мальчиков, d- количество девочек; (м, d hello_html_m4a6a9c98.gifN);

25%= hello_html_1a7b27ea.gif

По условию м=d+ hello_html_64975552.gif м= hello_html_6dad5b72.gif

Тогда d= hello_html_10f960dd.gif d=(1- hello_html_m8fc9d74.gif)м; d=м- hello_html_m8fc9d74.gifм; hello_html_m8fc9d74.gif =20%

Ответ: девочек на 20% в классе меньше.

Простой процентный рост.

Рассмотрим задачу. Пусть S- ежемесячная квартплата, пеня составляет p% квартплаты за каждый день просрочки платежа, n- число просроченных дней. Какую сумму должен заплатить человек после n дней просрочки?

Решение:

Обозначим сумму, которую должен заплатить человек после n дней просрочки Sn. За n дней просрочки пеня составит (pn)% от S или hello_html_5637783b.gifS, а всего придется заплатить S+ hello_html_5637783b.gifS или, что то же самое, (1+ hello_html_m4144d3.gifS

Получим Sn=(1+ hello_html_5637783b.gif)S

Эта формула будет получаться и во всех иных случаях, когда некоторая величина увеличивается на постоянное число процентов за каждый фиксированный период времени. Эта формула имеет специальное название: формула простого процентного роста.

Рассмотрим задачу. Банк выплачивает вкладчикам каждый месяц 2% от внесённой суммы. Клиент внёс 500 рублей. Какая сумма будет на его счёте через полгода?

Решение: Для решения задачи подставим в формулу величину процентной ставки p=2, числа месяцев n=6 и первоначального вклада S=500:

S6=(1+ hello_html_32961db5.gif500=1,12hello_html_m47c0b831.gif500=560(руб.)

Ответ: через полгода будет 560 рублей.

Аналогичная формула получится, если некоторая величина уменьшится за данный период времени на определённое число процентов. В этом случае hello_html_743cd65.gif

Эта формула также называется формулой простого процентного роста. Хотя заданная величина в действительности убывает.

Сложный процентный рост.

В банках России для некоторых видов вкладов (так называемых срочных вкладов, которые нельзя взять раньше, чем, например, через год) принята следующая система начисления денег. За первый год нахождения внесённой суммы на счёте начисляется p% от неё. В конце года вкладчик может снять со счёта эти деньги- «проценты».

Если же он этого не сделал, то они присоединяются к начальному вкладу, и поэтому в конце следующего года p% начисляются банком уже на новую, увеличенную сумму. При этом ещё говорят, что эти проценты капитализируются. При такой системе, начисляются «проценты на проценты», или, как их обычно называют, сложные проценты.

Решим задачу в общем виде. Пусть банк начисляет p% годовых, внесённая сумма S рублей, а сумма, которая будет на счёте через n лет, равна Sn рублей.

P% от S составляет (hello_html_m22e9708e.gif рублей и через год на счёте окажется сумма S1=S+ hello_html_m3bb8baa1.gifS=(1+ hello_html_7a6e31a9.gif

Через два года на счёте будет сумма

S2=S1+ hello_html_m3bb8baa1.gifS1=(1+ hello_html_m3bb8baa1.gif)S1=(1+ hello_html_m3bb8baa1.gif)hello_html_m47c0b831.gif(1+ hello_html_m3bb8baa1.gif)hello_html_m47c0b831.gifS=(1+ hello_html_m3bb8baa1.gif)2hello_html_m47c0b831.gifS

Аналогично, S3=(1+ hello_html_m3bb8baa1.gif)3S и так далее.

Другими словами, справедливо равенство

Sn=(1+ hello_html_m3bb8baa1.gif)nS

Эту формулу называют формулой сложного процентного роста или просто формулой сложных процентов.

Решим задачу.

Какая сумма будет на срочном вкладе вкладчика через 4 года, если банк начисляет 10% годовых и внесенная сумма равна 5000 рублей?

Решение:

Подставим формулу Sn=(1+ hello_html_m3bb8baa1.gif)nS

Значение процентной ставки p=10, количество лет п=4 и величину первоначального вклада S=5000 рублей.

Получим

S4=(1+ hello_html_m51dee081.gif)4hello_html_m47c0b831.gif5000=1,14hello_html_m47c0b831.gif5000=1,4641hello_html_m47c0b831.gif5000=7320,5(руб.)

Ответ: через 4 года на счёте будет 7320,5 рублей.

Полученная выше формула применима, естественно, не только к задачам о росте вклада, но и к любой ситуации, когда рассматривается величина, которая за каждый заданный промежуток времени увеличивается на определённое число процентов, считая от предыдущего ее значения. При уменьшении величины на определённое число процентов, считая от предыдущего ее значения, в формуле, как и для простого роста, проявляется знак минус.

Рассмотрим задачу.

Численность населения в городе Т. В течение двух лет возрастала на 2% ежегодно. В результате число жителей возросло на 11312 человек. Сколько жителей было в городе Т. Первоначально?

Решение:

Пусть х человек (хhello_html_m4a6a9c98.gifN) было первоначально. Тогда согласно условию задачи через два года количество жителей составило х(1+ hello_html_m68f2c53c.gif)2 или (х+11312) человек. Получим уравнение:

х(1+ hello_html_m68f2c53c.gif)2=х+11312

хhello_html_m47c0b831.gif1,022= х+11312

х(1,022-1)= 11312

х(1,02-1)(1,02+1)=11312

х= hello_html_6bdebe58.gif

х=280000

Ответ: 280000 жителей было в городе Т. Первоначально.



Список литературы

  1. Егерев В.К., Зайцев В.В., Кордемский Б.А. и др. Сборник задач по математике для поступающих в вузы под редакцией Сканави М.И. М.: «ОНИКС 21 век», «Мир и Образоване», «Альянс-В», 2003г.

2. Г.Г.Гильмиева, Р.Г.Хамитов. Задачи с процентами. Решаем с легкостью. Учебно-методическое пособие, 2008г. Риц «Школа».



Общая информация

Номер материала: ДВ-270058

Похожие материалы