Технологическая карта по теме "Правильные многогранники"

ГБОУ СПО Технологический колледж 34

Правильные многогранники

Технологическая карта по дисциплине «Математика»

Москалина О. Ф, Антонова О. Ф. 2014 год

Прочитайте текст и письменно выполните предложенные задания.

1. История возникновения и развития теории многогранников

    Многогранники обладают богатой историей, которая связана с такими знаменитыми учеными древности, как Архимед, Евклид, Пифагор.

С древнейших времен наши представления о красоте связаны с понятием симметрия. Наверное, этим объясняется интерес человека к многогранникам – удивительным символам симметрии, привлекавшим внимание выдающихся мыслителей. История правильных многогранников уходит в глубокую древность. Правильными многогранниками занимались Пифагор и его ученики. Их поражала красота, совершенство форм и гармония этих фигур. Пифагорийцы считали многогранники божественными фигурами и использовали их в своих философских сочинениях. Позже учение пифагорийцев о правильных многогранниках изложил в своих трудах другой древнегреческий ученый, философ Платон. С тех пор правильные многогранники стали называться Платоновыми телами.

Почему же правильные многогранники получили такие имена? Это связано с числом их граней. Тетраэдр имеет 4 грани, так как в переводе с греческого слово «тетра» означает четыре, «эдрон» - грань, гексаэдр (куб) имеет 6 граней, «гекса» - число 6, октаэдр – восьмигранник, «окто» - число 8, додекаэдр – двенадцатигранник, «додека» - число 12, икосаэдр имеет 20 граней, «икоси» - число 20.

В идеалистической картине мира, созданной Платоном, четыре многогранника олицетворяли четыре стихии: тетраэдр – огонь, гексаэдр – землю, икосаэдр – воду, октаэдр – воздух. Пятый же многогранник, додекаэдр, символизировал все мироздание, его стали называть «пятая сущность».

                        

Существует предположение, что форму додекаэдра древние греки получили, рассматривая кристаллы пирита (сернистого колчедана) – (демонстрация 6 слайда). Придумать же правильный тетраэдр, куб, октаэдр было нетрудно, так как эти формы имеют многие природные кристаллы, например: октаэдр – монокристалл алюмокалиевых квасцов. Шестой элемент периодической системы Менделеева – углерод - характеризуется структурой октаэдра. Оксид меди (красная медная руда) также образует кристаллы в форме октаэдров.

Кристаллы алмаза обычно имеют форму октаэдра, реже – форму кубов или тетраэдров. Исторически первой формой огранки, появившейся в середине X1Y века, стал октаэдр. Алмаз «Шах» почти сохранил свой естественный вид. Он имеет форму вытянутого кристалла – октаэдра и массу 88,7 карат.

Интересна судьба этого алмаза. В начале Х1Х века «Шах» оказался в Персии. В 1829 году в ходе беспорядков в Тегеране был убит русский посол, автор комедии «Горе от ума» А.С.Грибоедов, и персидское правительство, для разрешения конфликта, подарило этот алмаз Николаю 1.

Правильным многогранникам посвящена последняя 13 книга знаменитого труда Евклида «Начала». Существует версия, что Евклид написал первые 12 книг для того, чтобы читатель понял написанную в 13 книге теорию правильных многогранников, которую историки математики называют «венцом Начал». Здесь установлено существование всех пяти видов правильных многогранников и доказано, что других видов правильных многогранников не существует.

Задания по тексту.

1.      Почему правильные многогранники называются Платоновыми телами?

2.      Как названия правильных многогранников вязано с числом их граней?

3.      Какие учёные древности изучали правильные многогранники?

4.      Что вы знаете об алмазе «Шах»?

2. Виды правильных многогранников.

Определение: Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон, а в каждой вершине сходится одно и то же число ребер.

Тетраэдр  - четырехгранник, все грани которого треугольники, т.е. треугольная пирамида; правильный тетраэдр ограничен четырьмя равносторонними треугольниками.

Трёхмерная модель                                Развёртка

                                                           

Тетраэдр имеет следующие характеристики:

• Тип грани – правильный треугольник;
• Число сторон у грани – 3;
• Общее число граней – 4;
• Число рёбер примыкающих к вершине – 3;
• Общее число вершин – 4;
• Общее число рёбер – 6;

Куб или правильный гексаэдр  - правильная четырехугольная призма с равными ребрами, ограниченная шестью квадратами.

                             Трёхмерная модель                                Развёртка

                            

Гексаэдр имеет следующие характеристики:

• Число сторон у грани – 4;
• Общее число граней – 6;
• Число рёбер примыкающих к вершине – 3;
• Общее число вершин – 8;
• Общее число рёбер – 12;

Октаэдр-  восьмигранник; тело, ограниченное восемью треугольниками; правильный октаэдр ограничен восемью равносторонними треугольниками.

                           Трёхмерная модель                           Развёртка

                                        

Октаэдр имеет следующие характеристики:

• Тип грани – правильный треугольник;
• Число сторон у грани – 3;
• Общее число граней – 8;
• Число рёбер примыкающих к вершине – 4;
• Общее число вершин – 6;
• Общее число рёбер – 12;

Додекаэдр -  двенадцатигранник, тело, ограниченное двенадцатью многоугольниками; правильный пятиугольник

                          Трёхмерная модель                                Развёртка

                              

Додекаэдр имеет следующие характеристики:

• Тип грани – правильный пятиугольник;
• Число сторон у грани – 5;
• Общее число граней – 12;
• Число рёбер примыкающих к вершине – 3;
• Общее число вершин – 20;
• Общее число рёбер – 30;

Икосаэдр - двадцатигранник, тело, ограниченное двадцатью

многоугольниками; правильный икосаэдр ограничен двадцатью равносторонними треугольниками.  

                      Трёхмерная модель                          Развёртка

                                                     

Икосаэдр имеет следующие характеристики:

§  Тип грани – правильный треугольник;

§  Число сторон у грани – 3;

§  Общее число граней – 20;

§  Число рёбер примыкающих к вершине – 5;

§  Общее число вершин – 12;

§  Общее число рёбер – 30;

Задания по тексту.

1.      Дайте определение правильного многогранника.

2.      Дайте определение тетраэдра. Зарисуйте многогранник и его развёртку.

3.      Дайте определение гексаэдра. Зарисуйте многогранник и его развёртку.

4.      Дайте определение октаэдра. Зарисуйте многогранник и его развёртку.

5.      Дайте определение додекаэдра. Зарисуйте многогранник и его развёртку.

6.      Дайте определение икосаэдра. Зарисуйте многогранник и его развёртку.

3. Формула Эйлера.

В + Г - Р = 2 . И эта формула верна не только для правильных многогранников. Доказал это соотношение один из величайших математиков Леонард Эйлер (портрет на 9 слайде),поэтому формула названа его именем. Этот гениальный ученый, родившийся в Швейцарии, почти всю жизнь прожил в России. Современная теория многогранников берет свое начало из его работ. Формула Эйлера: для любого правильного многогранника справедлива формула: В + Г -  Р = 2

Если покопаться в истории, то кубу можно дать определение «родитель» всех правильных многогранников. На основе куба можно построить все другие виды правильных многогранников. Вершинами октаэдра являются центры граней куба, а если провести в противоположных гранях куба скрещивающиеся диагонали, то их концы окажутся вершинами тетраэдра.

Из таблицы видно, что у куба и октаэдра одно и то же количество ребер, но у куба столько вершин, сколько у октаэдра граней и ,наоборот, у куба столько граней, сколько у октаэдра вершин. Аналогичные соотношения имеют место для додекаэдра и икосаэдра. Такие многогранники называются взаимно двойственными.

 Задания по тексту.

1.      Какие правильные многогранники называются взаимно двойственными?

2.      Заполните таблицу.

Название          многогранника	Вид стихии	Вид    грани многогранника	Число                вершин	Число             граней	Число            рёбер	В + Г - Р

5. Теория многогранников в окружающей жизни.

       Важное место занимали правильные многогранники в системе гармоничного устройства мира И. Кеплера. Все та же вера в гармонию, красоту и математически закономерное устройство мироздания привела И. Кеплера к мысли о том, что поскольку существует пять правильных многогранников, то им соответствуют только шесть планет. По его мнению, сферы планет связаны между собой вписанными в них платоновыми телами. Поскольку для каждого правильного многогранника центры вписанной и описанной сфер совпадают, то вся модель будет иметь единый центр, в котором будет находиться Солнце.

Проделав огромную вычислительную работу, в 1596 г. И. Кеплер в книге "Тайна мироздания" опубликовал результаты своего открытия. В сферу орбиты Сатурна он вписывает куб, в куб - сферу Юпитера, в сферу Юпитера - тетраэдр, и так далее последовательно вписываются друг в друга сфера Марса - додекаэдр, сфера Земли - икосаэдр, сфера Венеры - октаэдр, сфера Меркурия. Тайна мироздания кажется открытой. Сегодня можно с уверенностью сказать, что расстояния между планетами не связаны ни с какими многогранниками. Впрочем, возможно, что без "Тайны мироздания", "Гармонии мира" И. Кеплера, правильных многогранников не было бы трех знаменитых законов И. Кеплера, которые играют важную роль в описании движения планет.

Где еще можно увидеть эти удивительные тела? В очень красивой книге немецкого биолога начала нашего века Э. Геккеля "Красота форм в природе" можно прочитать такие строки: "Природа вскармливает на своем лоне неисчерпаемое количество удивительных созданий, которые по красоте и разнообразию далеко превосходят все созданные искусством человека формы". Создания природы, приведенные в этой книге, красивы и симметричны. Это неотделимое свойство природной гармонии. Но здесь видно и одноклеточные организмы - феодарии, форма которых точно передает икосаэдр. Чем же вызвана такая природная геометризация? Может быть, тем, что из всех многогранников с таким же количеством граней именно икосаэдр имеет наибольший обьем и наименьшую площадь поверхности. Это геометрическое свойство помогает морскому микроорганизму преодолевать давление водной толщи.

Интересно и то, что именно икосаэдр оказался в центре внимания биологов в их спорах относительно формы вирусов. Вирус не может быть совершенно круглым, как считалось ранее. Чтобы установить его форму, брали различные многогранники, направляли на них свет под теми же углами, что и поток атомов на вирус. Оказалось, что только один многогранник дает точно такую же тень - икосаэдр. Его геометрические свойства, о которых говорилось выше, позволяют экономить генетическую информацию. Правильные многогранники - самые выгодные фигуры. И природа этим широко пользуется. Кристаллы некоторых знакомых нам веществ имеют форму правильных многогранников. Так, куб передает форму кристаллов поваренной соли NaCl, монокристалл алюминиево-калиевых квасцов (KAlSO4)2 12Н2О имеет форму октаэдра, кристалл сернистого колчедана FeS имеет форму додекаэдра, сурьменистый сернокислый натрий - тетраэдра, бор - икосаэдра. Правильные многогранники определяют форму кристаллических решеток некоторых химических веществ.

Идеи Пифагора, Платона, И. Кеплера о связи правильных многогранников с гармоничным устройством мира уже в наше время нашли свое продолжение в интересной научной гипотезе, авторами которой (в начале 80-х годов) явились московские инженеры В. Макаров и В. Морозов. Они считают, что ядро Земли имеет форму и свойства растущего кристалла, оказывающего воздействие на развитие всех природных процессов, идущих на планете. Лучи этого кристалла, а точнее, его силовое поле, обусловливают икосаэдро-додекаэдрическую структуру Земли, проявляющуюся в том, что в земной коре как бы проступают проекции вписанных в земной шар правильных многогранников: икосаэдра и додекаэдра. Их 62 вершины и середины ребер, называемых авторами узлами, обладают рядом специфических свойств, позволяющих объяснить некоторые непонятные явления. Если нанести на глобус очаги наиболее крупных и примечательных культур и цивилизаций Древнего мира, можно заметить закономерность в их расположении относительно географических полюсов и экватора планеты. Многие залежи полезных ископаемых тянутся вдоль икосаэдрово-додекаэдровой сетки. Еще более удивительные вещи происходят в местах пересечения этих ребер: тут располагаются очаги древнейших культур и цивилизаций: Перу, Северная Монголия, Гаити, Обская культура и другие. В этих точках наблюдаются максимумы и минимумы атмосферного давления, гигантские завихрения Мирового океана, здесь шотландское озеро Лох-Несс, Бермудский треугольник. Дальнейшие исследования Земли, возможно, определят отношение к этой красивой научной гипотезе, в которой, как видно, правильные многогранники занимают важное место.

Задания по тексту.

1.      Как И. Кеплер описывает устройство мироздания с помощью теории правильных многогранников?

2.      Приведите примеры из биологии, в которых присутствуют правильные многогранники.

3.      Приведите примеры из химии, в которых присутствуют правильные многогранники.

4.     Опишите кратко научную гипотезу об устройстве мира В. Макарова и В. Морозова.

6. Архимедовы тела

        Древнегреческому ученому Архимеду принадлежит открытие 13 многогранников - "архимедовых тел", которые так же именуют полуправильными многогранниками. Каждое из них ограничено неодноименными правильными многоугольниками и в котором равны многогранные углы и одноименные многоугольники. Кроме того, в каждой вершине сходится одно и тоже число одинаковых граней.

1.     Усечённый тетраэдр			8. Ромбо-усечённый кубооктаэдр
2. Усечённый октаэдр			9. Плосконосый куб (другое название курносый куб)
3. Усечённый гексаэдр (другое название усечённый куб)			10. Икосододекаэдр
4. Усечённый додекаэдр			11. Усечённый икосододекаэдр
5. Усечённый икосаэдр			12. Ромбо-усечённый икосододекаэдр
6. Кубо-октаэдр			13. Плосконосый додекаэдр (другое название курносый додекаэдр)
7. Ромбокубооктаэдр

Задания по тексту.

1.      В названии любого многогранника есть слово-основа. Именно эта основа позволяет определить, к какому из пяти правильных многогранников относится текущий. Заполните предложенную таблицу.

Название архимедова тела	Слово-основа
	тетраэдр
	октаэдр
	куб
	додекаэдр
	икосаэдр

2.      Прародителем каждого из 13-ти полуправильных многогранников является один из пяти Платоновых многогранников. Заполните предложенную таблицу.

	Название правильного многогранника	Название полуправильного многогранника	Какие многоугольники являются гранями полуправильного многогранника
		1. 2. . . .	1. 2. . .   .
		1. 2. . . .	1. 2. . .   .
		1. 2. . . .	1. 2. . .   .
		1. 2. . . .	1. 2. . .   .
		1. 2. . . .	1. 2. . .   .

Приложение.

Кроссворд  №1 «Многогранники»

По горизонтали:

1.          Древнегреческий философ, в концепции которого об устройстве мироздания правильные многогранники занимали важное место.

2.          Правильный четырехгранник.

3.          Правильный многогранник, грань которого правильный треугольник.

4.          Число типов правильных многогранников.

5.          Число граней гексаэдра.

6.          Ученый, посвятивший правильным многогранникам одну из 13-ти своих книг.

По вертикали:

1.      Грань правильного додекаэдра.

7.          Правильный многогранник с наибольшим числом ребер.

8.          Правильный многогранник, у которого восемь вершин.

9.          Число граней икосаэдра.

10.      Ученый, открывший формулу связи вершин, граней, ребер для выпуклого многогранника.

				1
											9
				2
									8			10
							3
								7
	4
						5
6

Кроссворд №2 «Многогранники»
															1
														2							3
													4
					5					6
								7
									8
		9				10
					11
12

По горизонтали:

 2. Правильный шестигранник. 4. Плоские многоугольники, из которых состоит поверхность многогранника. 5. Высота боковой грани правильной пирамиды. 7. Правильный двадцатигранник. 8. Правильный двенадцатигранник. 10. Основание правильной четырёхугольной пирамиды. 11. Древнегреческий философ,  подробно описавший правильные многогранники. 12. Призма, основанием которой служит параллелограмм.

По вертикали:

1.      Треугольная пирамида. 3. Сторона грани многогранника. 6. Тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников. 9. Автор теоремы (формулы) В+Г=Р+2, показывающей зависимость между вершинами, гранями и рёбрами выпуклого многогранника.

Работа обучающейся группы 01-5ГС

                   ________________________________(фамилия, Имя)

По теме «Правильные многогранники»

1.    Заполните таблицу.

Название          многогранника	Вид стихии	Вид    грани многогранника	Число                вершин	Число             граней	Число            рёбер	В + Г - Р

2.     Кроссворд  «Многогранники»

По горизонтали:

11.      Древнегреческий философ, в концепции которого об устройстве мироздания правильные многогранники занимали важное место.

12.      Правильный четырехгранник.

13.      Правильный многогранник, грань которого правильный треугольник.

14.      Число типов правильных многогранников.

15.      Число граней гексаэдра.

16.      Ученый, посвятивший правильным многогранникам одну из 13-ти своих книг.

По вертикали:

2.      Грань правильного додекаэдра.

17.      Правильный многогранник с наибольшим числом ребер.

18.      Правильный многогранник, у которого восемь вершин.

19.      Число граней икосаэдра.

20.      Ученый, открывший формулу связи вершин, граней, ребер для выпуклого многогранника.

				1
											9
				2
									8			10
							3
								7
	4
						5
6