Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Конспекты / Теоремы по геометрии 7 класс
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Теоремы по геометрии 7 класс

библиотека
материалов

Т. Свойство смежных углов.

Дано: ∟ АОВ и ∟ ВОС – смежные

_________________________ Доказать: ∟ АОВ + ∟ ВОС = 1800

Доказательство:

  1. По условию ∟ АОВ и ∟ВОС – смежные, значит ∟ АОВ + ∟ ВОС = ∟ АОС

  2. АОС – развернутый (по определению), значит ∟ АОС = 1800

Из первого и второго равенств следует, что: ∟ АОВ + ∟ВОС = 1800. Вывод.

Т. Свойство вертикальных углов.

Дано: ∟ АОВ и ∟СОД – вертикальные

Доказать: ∟АОВ = ∟СОД

Доказательство:

  1. АОВ и ∟ ВОС – смежные (по определению), значит ∟АОВ + ∟ ВОС = 1800.

АОВ = 1800 - ∟ ВОС

  1. ВОС и ∟ СОД – смежные (по определению), значит ∟ ВОС + ∟СОД = 1800.

СОД = 1800 - ∟ВОС

Из первого и второго равенств следует, что: ∟ АОВ = ∟СОД (если в двух равенствах правые части равны, то и левые части равны). Вывод.



Т. Первый признак равенства треугольников (по СУС).

Дано: Δ АВС, Δ А1В1С1,

АВ = А1В1, АС = А1С1, А = А1

Доказать: Δ АВС = Δ А1В1С1

Доказательство:

  1. Наложим Δ АВС на Δ А1В1С1 так: вершину А совместим с вершиной А1, луч АВ с лучом А1В1.

  2. По условию ∟А = ∟ А1, значит луч АС совместится с лучом А1С1.

  3. По условию отрезок АВ = А1В1, значит точка В совместится с точкой В1,

отрезок АС = А1С1, значит точка С совместится с точкой С1.

Значит, весь Δ АВС полностью совместился с Δ А1В1С1, значит Δ АВС =Δ А1В1С1(по опр). Вывод.

Т. Свойство углов при основании равнобедренного треугольника.

Дано: Δ АВС – равнобедренный с основанием АС

Доказать: ∟ А = ∟ С

Доказательство:

1)Дополнительное построение: проведем биссектрису ВД.

2)Рассмотрим Δ АВД и Δ СВД: а) АВ = ВС (это боковые стороны равнобедренного треугольника),

б) ВД – общая сторона,

в) ∟ АВД = ∟ СВД (так как ВД – биссектриса ∟АВС)

__________________________________________

Значит, Δ АВД = Δ СВД (по СУС), тогда ∟ А = ∟ С, так как в равных треугольниках соответственные элементы равны. Вывод.



Т. Свойство биссектрисы равнобедренного треугольника,

проведенной к основанию.

Дано: Δ АВС – равнобедренный с основанием АС,

ВД – биссектриса

Доказать: 1) ВД – медиана, 2) ВД – высота

Доказательство:

1)Рассмотрим Δ АВД и Δ СВД: а) АВ = ВС (это боковые стороны равнобедренного треугольника),

б) ВД – общая сторона,

в) ∟ АВД = ∟ СВД (так как ВД – биссектриса ∟ АВС)

__________________________________________

Значит, Δ АВД = Δ СВД (по СУС). 2) В равных треугольниках соответствующие элементы равны:

а) АД = ДС, значит ВД – медиана ( по определению),

б) ∟ АДВ = ∟СДВ = 1800: 2 = 900 ( так как они смежные ), значит ВД | АС и ВД – высота ( по определению)

Вывод.



Следствия из аксиомы параллельных прямых

Т1

_______________а Дано: а || в, с ∩ в = М

Доказать: с ∩ а

____М___________в

с

Доказательство (методом от противного):

1) Предположим, что с ∩ а, тогда с || а (по определению), в || а (по условию).

2) Получили, что через точку М проходит две прямых: с и в, обе || а.

3) Это противоречит аксиоме параллельных прямых. Значит предположение, что с ∩ а неверно. Тогда с ∩ а. Вывод.



Т 2

______________ а Дано: а || с, в || с

______________ в Доказать: а || в



______________с

Доказательство (методом от противного):

1) Предположим, что а || в, тогда а ∩ в = М. ______________а

2) Получили, что через точку М проходит две прямых: а и в, обе || с.

3) Это противоречит аксиоме параллельных прямых. Значит ______________с

предположение, что а || в неверно. Тогда а || в. Вывод.





Т Сумма углов в треугольнике.



_____________В____а Дано: Δ АВС, обозначим: ∟ А = ∟1, ∟В = ∟2, ∟С = ∟3.



Доказать: ∟1 + ∟2 + ∟3 = 1800

А С



Доказательство: 1) Дополнительное построение: через точку В проведем прямую а || АС,

обозначим ∟4 и ∟5.

2) ∟4 + ∟2 + ∟5 = 1800, так как они образуют развернутый угол.

3) ∟4 = ∟1, так как это накрест лежащие углы для а || АС и секущей АВ (по свойству)

∟5 = ∟3, так как это накрест лежащие углы для а || АС и секущей ВС (по свойству)

Значит ∟4 + ∟2 + ∟5 = ∟1 + ∟2 + ∟3 = 1800. Вывод: ∟А + ∟В + ∟С = 1800.





Т Свойство внешнего угла треугольника.



В Дано: Δ АВС, ∟ВСД - внешний

обозначим: ∟ А = ∟1, ∟В = ∟2, ∟АСВ = ∟3, ∟ВСД =4.



Доказать: ∟ВСД = ∟А + ∟В

___________________________

А С Д Доказательство:



  1. ∟4 + ∟3 = 1800 (смежные), значит ∟4 = 1800 - ∟3

  2. ∟1 + ∟2 + ∟3 = 1800 (по Т о сумме углов в треугольнике), значит ∟1 + ∟2 = 1800 - ∟3

  3. Если в равенствах правые части одинаковые, то и левые части равны: ∟4 = ∟1 + ∟2 .



Вывод: ∟ВСД = ∟А + ∟В





Т Свойство прямоугольного треугольника с углом 300.

В

Дано: Δ АВС, ∟С = 900, ∟В = 300.

Доказать: АС = ½ АВ



А Д Доказательство:

С



  1. ∟А + ∟В = 900 (по свойству прямоугольного Δ), значит ∟А = 900 - ∟В = 900 – 300 = 600

  2. Д. п.: приложим к Δ АВС ΔВСД = ΔВСА.

  3. В равных треугольниках соответственные элементы равны, значит ∟Д = ∟А = 600, ∟ДВС = ∟АВС = 300. Тогда ∟АВД = 300 + 300 = 600 .

  4. Следовательно ΔАВД – равносторонний, значит АВ = ВД = АД (по определению)

АС = СД = ½ АД, но АД = АВ, значит АС = ½ АВ.

(соответст) Вывод.







Т Признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому

углу.



А А1Дано: Δ АВС, ΔА1В1С1, ∟С = 900, ∟С1 = 900

АВ = А1В1, ∟А = ∟А1

С В С1 В1Доказать: Δ АВС = Δ А1В1С1



Доказательство:

  1. Сумма острых углов в любом треугольнике равна 900, значит

∟А + ∟В = 900, следовательно ∟В = 900 - ∟А

∟А1 + ∟В1 = 900, следовательно ∟В1 = 900 - ∟А1

Если в двух равенствах правые части равны, то и левые части равны, значит ∟В = ∟В1

  1. Тогда Δ АВС = Δ А1В1С1 (по УСУ). Вывод.




















Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 29.05.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров5852
Номер материала ДБ-103081
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх