Т. Свойство смежных углов.
Дано: ∟ АОВ и ∟ ВОС – смежные
_________________________ Доказать: ∟ АОВ + ∟
ВОС = 1800
Доказательство:
1)
По
условию ∟ АОВ и ∟ВОС – смежные, значит ∟ АОВ + ∟ ВОС = ∟ АОС
2)
∟ АОС –
развернутый (по определению), значит ∟ АОС = 1800
Из первого и второго равенств следует,
что: ∟ АОВ + ∟ВОС = 1800.
Вывод.
Т. Свойство вертикальных
углов.
Дано:
∟ АОВ и ∟СОД – вертикальные
Доказать: ∟АОВ = ∟СОД
Доказательство:
1)
∟ АОВ и ∟
ВОС – смежные (по определению), значит ∟АОВ + ∟ ВОС = 1800.
∟АОВ = 1800 - ∟ ВОС
2)
∟ ВОС
и ∟ СОД – смежные (по определению), значит ∟ ВОС + ∟СОД = 1800.
∟СОД = 1800 - ∟ВОС
Из первого и второго равенств следует,
что: ∟ АОВ = ∟СОД (если в двух равенствах правые части равны, то и левые
части
равны).
Вывод.
Т. Первый признак равенства
треугольников (по СУС).
Дано: Δ АВС, Δ А1В1С1,
АВ = А1В1, АС = А1С1, А = А1
Доказать: Δ АВС = Δ А1В1С1
Доказательство:
1)
Наложим Δ
АВС на Δ А1В1С1 так: вершину А совместим
с вершиной А1, луч АВ с лучом А1В1.
2)
По
условию ∟А = ∟ А1, значит луч АС совместится с лучом
А1С1.
3)
По
условию отрезок АВ = А1В1, значит точка В совместится
с точкой В1,
отрезок АС = А1С1, значит
точка С совместится с точкой С1.
Значит,
весь Δ АВС полностью совместился с Δ А1В1С1,
значит Δ АВС =Δ А1В1С1(по опр). Вывод.
Т. Свойство углов при основании
равнобедренного треугольника.
Дано: Δ АВС – равнобедренный с основанием АС
Доказать: ∟ А = ∟ С
Доказательство:
1)Дополнительное
построение: проведем биссектрису ВД.
2)Рассмотрим
Δ АВД и Δ СВД: а) АВ = ВС (это боковые стороны равнобедренного треугольника),
б) ВД – общая сторона,
в) ∟ АВД = ∟ СВД (так как ВД – биссектриса ∟АВС)
__________________________________________
Значит, Δ АВД = Δ СВД (по СУС),
тогда ∟ А = ∟ С, так как в равных треугольниках соответственные элементы
равны.
Вывод.
Т. Свойство биссектрисы
равнобедренного треугольника,
проведенной к основанию.
Дано: Δ АВС – равнобедренный с основанием АС,
ВД – биссектриса
Доказать: 1) ВД – медиана, 2) ВД – высота
Доказательство:
1)Рассмотрим
Δ АВД и Δ СВД: а) АВ = ВС (это боковые стороны равнобедренного
треугольника),
б) ВД – общая сторона,
в) ∟ АВД = ∟ СВД (так как ВД – биссектриса ∟ АВС)
__________________________________________
Значит,
Δ АВД = Δ СВД (по СУС). 2) В равных треугольниках соответствующие
элементы равны:
а)
АД = ДС, значит ВД – медиана ( по определению),
б) ∟
АДВ = ∟СДВ = 1800: 2 = 900 ( так как они смежные
), значит ВД | АС и ВД – высота ( по определению)
Вывод.
Следствия из аксиомы параллельных
прямых
Т1
_______________а
Дано: а || в, с ∩ в = М
Доказать: с ∩ а
____М___________в
с
Доказательство (методом от противного):
1) Предположим, что с ∩ а, тогда с ||
а (по определению), в || а (по условию).
2) Получили, что через точку М проходит
две прямых: с и в, обе || а.
3) Это противоречит аксиоме параллельных
прямых. Значит предположение, что с ∩ а неверно. Тогда с ∩
а.
Вывод.
Т
2
______________
а Дано: а || с, в ||
с
______________ в
Доказать: а || в
______________с
Доказательство (методом от противного):
1) Предположим, что а || в, тогда а
∩ в = М. ______________а
2) Получили, что через точку М
проходит две прямых: а и в, обе || с.
3) Это противоречит аксиоме
параллельных прямых. Значит ______________с
предположение, что а || в неверно.
Тогда а || в. Вывод.
Т
Сумма углов в треугольнике.
_____________В____а
Дано: Δ АВС, обозначим: ∟ А = ∟1, ∟В = ∟2, ∟С = ∟3.
Доказать: ∟1 + ∟2 + ∟3 = 1800
А С
Доказательство: 1) Дополнительное построение: через точку В проведем прямую а ||
АС,
обозначим ∟4 и ∟5.
2) ∟4 + ∟2 + ∟5 = 1800, так
как они образуют развернутый угол.
3) ∟4 = ∟1, так как это накрест
лежащие углы для а || АС и секущей АВ (по свойству)
∟5 = ∟3, так как это накрест
лежащие углы для а || АС и секущей ВС (по свойству)
Значит ∟4 + ∟2 + ∟5 = ∟1 + ∟2 + ∟3
= 1800. Вывод: ∟А + ∟В + ∟С = 1800.
Т
Свойство внешнего угла треугольника.
В
Дано: Δ АВС, ∟ВСД - внешний
обозначим: ∟ А = ∟1, ∟В = ∟2, ∟АСВ = ∟3, ∟ВСД =4.
Доказать: ∟ВСД = ∟А + ∟В
___________________________
А
С Д Доказательство:
1) ∟4 + ∟3 = 1800 (смежные), значит ∟4 = 1800 -
∟3
2) ∟1 + ∟2 + ∟3 = 1800 (по Т о сумме углов в
треугольнике), значит ∟1 + ∟2 = 1800 - ∟3
3) Если в равенствах правые части одинаковые, то и левые части равны: ∟4 =
∟1 + ∟2 .
Вывод: ∟ВСД = ∟А + ∟В
Т Свойство прямоугольного
треугольника с углом 300.
В
Дано: Δ АВС, ∟С = 900,
∟В = 300.
Доказать: АС = ½ АВ
А
Д Доказательство:
С
1)
∟А + ∟В = 900 (по свойству
прямоугольного Δ), значит ∟А = 900 - ∟В = 900 –
300 = 600
2) Д. п.: приложим к Δ АВС ΔВСД = ΔВСА.
3) В равных треугольниках соответственные элементы равны, значит ∟Д
= ∟А = 600, ∟ДВС = ∟АВС = 300. Тогда ∟АВД
= 300 + 300 = 600 .
4) Следовательно ΔАВД – равносторонний, значит АВ = ВД = АД (по
определению)
АС = СД = ½
АД, но АД = АВ, значит АС = ½ АВ.
(соответст)
Вывод.
Т
Признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому
углу.
А А1
Дано: Δ АВС, ΔА1В1С1, ∟С = 900,
∟С1 = 900
АВ = А1В1, ∟А = ∟А1
С В С1
В1 Доказать: Δ АВС = Δ А1В1С1
Доказательство:
1) Сумма острых углов в любом треугольнике равна 900, значит
∟А + ∟В = 900,
следовательно ∟В = 900 - ∟А
∟А1 +
∟В1 = 900, следовательно ∟В1 = 900 -
∟А1
Если в двух
равенствах правые части равны, то и левые части равны, значит ∟В = ∟В1
2) Тогда Δ АВС = Δ А1В1С1 (по
УСУ). Вывод.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.