Теория для подготовки к ОГЭ по математике

Раздел «Числа и вычисления»

Действия с обыкновенными и алгебраическими дробями:

Существуют правила, по которым идет выполнение действий с обыкновенными дробями

·        При сложении (вычитании) дробей с одинаковыми знаменателями складываются (вычитаются) только числители, а знаменатель остается прежним, числитель и знаменатель являются некоторыми числами или числовыми выражениями.

• При сложении или вычитании дроби при разных знаменателях, необходимо произвести приведение к общему, после чего произвести сложение или вычитание полученных дробей с одинаковыми показателями. 
• При умножении дробей числитель умножаем на числитель, знаменатель на знаменатель. Сокращаем, если дробь сократимая.
• При делении дроби на дробь первую умножаем на перевернутую вторую. Сокращаем, если дробь сократимая.

Действия с десятичными дробями

Сложение и вычитание десятичных дробей

Чтобы сложить (вычесть) десятичные дроби, нужно:

1.      уравнять в этих дробях количество знаков после запятой;

2.      записать их друг под другом так, чтобы запятая была записана под запятой;

3.      выполнить сложение (вычитание), не обращая внимания на запятую;

4.      поставить в ответе запятую под запятой в данных дробях.

Умножение десятичных дробей

При умножении десятичных дробей сначала нужно выполнить умножение, не обращая внимания на запятую, а затем в произведении отделить запятой справа столько знаков, сколько их имеется после запятой в обоих множителях вместе.

Чтобы умножить десятичную дробь на 10, 100, 1000, нужно перенести запятую вправо на сколько цифр, сколько нулей стоит перед единицей в множителе.

Чтобы умножить десятичную дробь на 0,1; 0,01; 0,001, нужно перенести запятую влево на сколько цифр, сколько нулей стоит перед единицей в множителе.

Деление десятичных дробей

Чтобы разделить десятичную дробь на натуральное число, нужно:

1.      разделить дробь на это число, не обращая внимания на запятую;

2.      поставить в частном запятую после того, как закончено деление целой части;

3.      если целая часть меньше делителя, то частное начинается с нуля целых.

Чтобы разделить десятичную дробь на 10, 100, 1000, …, нужно перенести влево запятую в этой дроби на сколько цифр, сколько нулей стоит после единицы в делителе.

Чтобы разделить число на десятичную дробь, нужно:

·          в делимом и делителе перенести запятую вправо на сколько цифр, сколько их после запятой в делителе;

·          выполнить деление на натуральное число.

Чтобы разделить десятичную дробь на 0,1; 0,01; 0,001, нужно перенести в ней запятую вправо на столько цифр, сколько нулей стоит в делителе перед единицей (т. е. умножить дробь на 10, 100, 1000, …).

---

Представление десятичной дроби в виде обыкновенной
и обыкновенной в виде десятичной

Чтобы обратить десятичную дробь в обыкновенную, достаточно в числителе дроби записать число, стоящее после запятой, а в знаменателе — единицу с нулями, причем нулей должно быть столько, сколько цифр справа от запятой. Если можно, дробь сократить.

Чтобы обратить обыкновенную дробь в десятичную, следует разделить числитель на знаменатель по правилу деления десятичной дроби на целое число.

Не каждую обыкновенную дробь можно перевести в десятичную. Если знаменатель обыкновенной дроби не содержит простых множителей, кроме 2 и 5, то эту обыкновенную дробь можно перевести в десятичную.

Учитывая это правило, можно переводить обыкновенную дробь в десятичную не с помощью деления, а приведением ее к знаменателю 10, 100, 1000 путем умножения числителя и знаменателя этой дроби на недостающие множители.

При совместных действиях с обыкновенными  и десятичными дробями можно идти двумя  путями:

- Обратить все обыкновенные дроби в десятичные и выполнять действия с десятичными дробями.

-   Обратить все десятичные дроби в обыкновенные и выполнять действия с обыкновенными дробями 

Раздел «Алгебраические выражения»

Какие выражения называют алгебраическими? Это математическая запись, составленная из цифр, букв и знаков арифметических действий. Наличие букв – это основное отличие числовых и алгебраических выражений. Буква в алгебраических выражений обозначает какое-либо число. Поэтому она называется переменной. Само алгебраическое выражение еще называют выражением с переменной.

Значение алгебраического выражения – это число, получаемое в результате выполнения всех арифметических действий, которые указаны в этом выражении. Но, чтобы его получить, буквы необходимо заменить числами. Поэтому в примерах всегда указывают, какое число соответствует букве. Значение переменной называют допустимым, если при нем выражение имеет смысл, то есть возможно найти его решение.

Если два выражения при любых значениях входящих в их состав переменных оказываются равны, их называют тождественными. Любое выражение можно заменить другим, тождественным ему. Этот процесс называют тождественным преобразованием.

Число, стоящее в алгебраическом выражении перед буквенной переменной, называется коэффициентом. Коэффициент и переменная – это множители.

Алгебраические выражения используют для решения задач и уравнений.

Раздел «Уравнения и неравенства»

Раздел «Функции и графики»

Линейной функцией называется функция вида 

В уравнении функции число , которое мы умножаем на  называется коэффициентом наклона.

Графиком линейной функции является прямая линия.

1. Чтобы построить график функции, нам нужны координаты двух точек, принадлежащих графику функции. Чтобы их найти, нужно взять два значения х, подставить их в уравнение функции, и по ним вычислить соответствующие значения y.

2. В уравнении функции  коэффициент  отвечает за наклон графика функции:

·         если , то график наклонен вправо

·         если  , то график наклонен влево

Коэффициент  отвечает за сдвиг графика вдоль оси :

·         если , то график функции  получается из графика  функции сдвигом на  единиц вверх вдоль оси 

·         если  , то график функции  получается из графика функции  сдвигом на  единиц   вниз вдоль оси 

Квадратичная функция и ее график

Функция вида , где  называется квадратичной функцией.

В уравнении квадратичной функции:

a - старший коэффициент

b - второй коэффициент

с  - свободный член.

Графиком квадратичной функции является квадратичная парабола

Если старший коэффициент a>0, то ветви параболы напрaвлены вверх.

Если старший коэффициент a<0, то ветви параболы напрaвлены вниз.

Уравнение квадратичной функции имеет вид  - в этом уравнении  - координаты вершины параболы

Рассмотрим за что отвечают коэффициенты a и b при построении графиков функции вида y = ax² + bx + c

Коэффициент a определяет направление ветвей параболы: если a > 0, то ветви направлены вверх, а если  a < 0, то ветви направлены вниз.

Коэффициент c отвечает за положение параболы относительно оси x, или же отвечает за сдвиг по оси y, а именно:

если c > 0, то вершина параболы расположена выше оси х

если c < 0, то вершина параболы расположена ниже оси x

Теперь проанализируем функции с точки зрения коэффициента b. Известно, что если b>0, то вершина параболы должна располагаться левее начала координат, если b<0, то – правее.