Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Типовой расчет и методические указания для студентов первого курса "Геометрические и механические приложения производной"

Типовой расчет и методические указания для студентов первого курса "Геометрические и механические приложения производной"



Осталось всего 4 дня приёма заявок на
Международный конкурс "Мириады открытий"
(конкурс сразу по 24 предметам за один оргвзнос)


  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:


Министерство образования и молодёжной политики Ставропольского края

ГБПОУ СПО «Минераловодский региональный многопрофильный колледж»









ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И МЕХАНИЧЕСКИЕ

ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ


Типовой расчет и методические указания

для студентов первого курса дневного и вечернего отделений








Составитель: Рысьева Ирина Викторовна





















Минеральные Воды, 2015

Типовой расчет (ТР) «Геометрические и механические приложения производной» выполняется студентами первого курса дневного и вечернего отделений для проверки знаний по следующим вопросам.

1. Определение и геометрический смысл производной функции.

2. Вычисление пределов с помощью производной.

3. Нахождение кривизны кривой, заданной аналитически.

4. Использование производной для отыскания характерных точек кривой (экстремумов, перегиба), а также асимптот кривой.

5. Построение графика функции, ее первой и второй производных по результатам произведенных исследований.

6. Отыскание наибольших и наименьших значений функции; оптимальных значений переменной величины исходя из условия задачи (решение «текстовых задач»).

Таково содержание ТР. Выполнение ТР следует начать с изучения теоретических вопросов. Ответы на эти вопросы можно найти в лекциях или учебных пособиях. Эти вопросы предлагаются студентам при защите ТР. Изучение теоретической части ТР следует проводить постепенно, по мере выполнения задания. Например, для выполнения задания 2 «Правило Лопиталя» достаточно знать ответы на вопросы 6-8.

Структура ТР. Каждый студент выполняет один из вариантов в соответствии с указанием преподавателя. Решение всех задач необходимо выполнить в отдельной тетради. В помощь студентам после каждого задания приведены образцы решений типовых задач, с которыми необходимо ознакомиться прежде, чем выполнять свое задание. Форму защиты ТР определяет преподаватель, ведущий практические занятия.

1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ


1. Дать определение производной функции hello_html_13dcccbb.gif в заданной точке hello_html_m93821e6.gif, сформулировать определение произвольной функции hello_html_13dcccbb.gif в точке hello_html_m93821e6.gif слева и справа.

2. Каков геометрический и механический смысл производной функции hello_html_13dcccbb.gif в точке hello_html_m93821e6.gif ?

3. Что называется касательной к кривой L: hello_html_13dcccbb.gif в точке hello_html_m2fa1fdb7.gif этой кривой ? Что называется нормалью к кривой в этой точке ?

4. Какая кривая называется гладкой в промежутке hello_html_f204010.gif; кусочно-гладкой ?

5. Вывести уравнения касательной и нормали к кривой hello_html_13dcccbb.gif в заданной точке hello_html_m2fa1fdb7.gif этой кривой.

6. Что называется «математической неопределенностью»? Укажите виды математических неопределенностей.

7. Сформулировать правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей вида hello_html_m612d8873.gif. Как раскрываются неопределенности вида hello_html_3ae2ba8d.gif ?

8. Как раскрываются неопределенности вида hello_html_m7204fe13.gif ?

9. Дать определение функции hello_html_13dcccbb.gif, монотонно возрастающей (убывающей) в заданном промежутке hello_html_4bd74dd0.gif.

10. Сформулировать необходимые и достаточные признаки монотонности функции hello_html_13dcccbb.gif в промежутке hello_html_4bd74dd0.gif.

11. Дать определение максимума (минимума) функции hello_html_13dcccbb.gif в точке hello_html_m93821e6.gif.

12. Сформулировать необходимое условие существования экстремума функции hello_html_13dcccbb.gif в точке hello_html_m93821e6.gif.

13. Сформулировать достаточные признаки существования экстремума функции hello_html_13dcccbb.gif в точке hello_html_m93821e6.gif.

14. Как находятся экстремумы функции hello_html_13dcccbb.gif ?

15. Дать определение кривой L: hello_html_13dcccbb.gif, выпуклой (вогнутой) в промежутке hello_html_4bd74dd0.gif.

16. Сформулировать достаточное условие выпуклости (вогнутости) кривой L: hello_html_13dcccbb.gif в промежутке hello_html_4bd74dd0.gif.

17. Как находятся точки перегиба кривой L: hello_html_13dcccbb.gif ?

18. Дать определение асимптот кривой L: hello_html_13dcccbb.gif. Примеры.

19. Как находятся вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты кривой L: hello_html_13dcccbb.gif ?

20. Схема полного исследования функции.

21. Как определяется кривизна кривой L: hello_html_13dcccbb.gif в точке hello_html_m93821e6.gif ?

22. Как вычисляется кривизна пространственной и плоской кривой в заданной

точке ?

23. Что называется радиусом, центром и кругом кривизны кривой L ?

24. Что называется эволютой и эвольвентой кривой L ?

25. Дать определение вектор-функции скалярного аргумента. Указать три способа задания кривой L в трехмерном пространстве. Привести примеры.

26. Геометрический смысл производной вектор-функции.


ЗАДАНИЕ 1. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ПРОИЗВОДНОЙ

Составить уравнение касательной и нормали к заданной кривой L в указанной точке.

1. hello_html_m4dd3fdd9.gif.

2. hello_html_10ffdf78.gif.

3. hello_html_m372dc082.gif.

4. hello_html_m1472afad.gif.

5. hello_html_27a1da03.gif.

6. hello_html_m2cd9f5f5.gif.

7. hello_html_2a78c5b9.gif.

8. hello_html_34402966.gif.

9. hello_html_m6ad5b2b1.gif.

10. hello_html_m16fc2fc6.gif.

11. hello_html_m3ff25c01.gif.

12. hello_html_7f168109.gif.

13. hello_html_m5b78d0a5.gif.

14. hello_html_2bfd9b50.gif.

15. hello_html_m7252571c.gif.

16. hello_html_23b2e82a.gif.

17. hello_html_26e20ef1.gif.

18. hello_html_4d3a053e.gif.

19. hello_html_41a3b9da.gif.

20. hello_html_c7e8a87.gif

21. hello_html_m7bc9ad8e.gif в точках пересечения с осями координат.

22. hello_html_1345e6a0.gif в точках пересечения с прямой hello_html_m31fe93f6.gif.

23. hello_html_m5459cb24.gif в точках пересечения с осями координат.

24. hello_html_18ce6c0f.gif в точках пересечения с прямой hello_html_m31fe93f6.gif.

25. hello_html_m424944b5.gif в точках, где касательная параллельна прямой hello_html_m31fe93f6.gif.

26. hello_html_m66711fc7.gif в точках, где касательная параллельна оси абсцисс.

27. hello_html_m939521a.gif в точках, где касательная параллельна оси абсцисс.


28. hello_html_ba99de4.gif в точках, где касательная параллельна прямой hello_html_69def1db.gif.

29. hello_html_m4a1661a5.gif в точках, где касательная перпендикулярна прямой hello_html_33fa5d82.gif.

30. hello_html_m1df41ad3.gif в начале координат.

31. hello_html_6e8af1f5.gif при hello_html_1ae8814e.gif.

32 . hello_html_m5c50308f.gif при hello_html_5dabb35b.gif.

33. hello_html_m10dba51e.gif в точке, где касательная находится под углом в hello_html_14b6a57.gif к оси ОХ.

34. hello_html_33f4f391.gif в точке, где касательная параллельно оси ОХ.

35. hello_html_m43a97d67.gif.

36. hello_html_m5e07a41a.gif

37. hello_html_m6e375f05.gif в точке, где касательная образует с прямой hello_html_69cfe33f.gif угол в hello_html_14b6a57.gif.

38. hello_html_m6f06b518.gif, если касательная проходит через точку (1, -2).

39. hello_html_m68721ad6.gif в точке ее пересечения с параболой hello_html_4db6753f.gif.

40. hello_html_mbc8e3ea.gif в точке, где касательная параллельна прямой hello_html_4b8ce76d.gif.

41. hello_html_mbc8e3ea.gif в точке, где касательная перпендикулярна прямой hello_html_6d7b6229.gif.

42. hello_html_232a245b.gif в точке, где касательная параллельна прямой, соединяющей начало координат с вершиной параболы.

43. hello_html_m2afc7770.gif при hello_html_49576f9c.gif.

44. hello_html_1c440605.gif в точке, где касательная параллельна прямой hello_html_m692f290a.gif.

45. hello_html_m16bb9a91.gif в точках, где касательная пересекает ось ОХ.

46. hello_html_m64bc1dbf.gif в точке, где касательная параллельна оси ОХ.

47. hello_html_m64bc1dbf.gif в точке, где касательная параллельна прямой hello_html_m6f5466ee.gif.

48. hello_html_66ccbb84.gif при hello_html_m5eb345e.gif.

49. hello_html_681da5bc.gif при hello_html_5dabb35b.gif.

50. hello_html_m67f8b438.gif при hello_html_m487195ab.gif.


УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ЗАДАНИЯ 1


hello_html_9aa5cb4.gifhello_html_m5fb44656.gifhello_html_m762bf3ad.gifhello_html_b384c42.gif

Y

hello_html_m31923d48.gifhello_html_798e2ad9.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m3842ccb.gifhello_html_8f865c0.gif

S

hello_html_2733d616.gifY L

P

hello_html_m67d9de96.gifhello_html_m4dfe6271.gif

L

М

hello_html_m43df60dc.gifhello_html_71bf6e14.gif

hello_html_m4d502dd5.gif

Q

М1

hello_html_m2a7690f7.gif

hello_html_142e3ac7.gif

hello_html_3c337531.gifhello_html_m19f3c875.gif

hello_html_284e617c.gif

hello_html_m33540e65.gif М2

X

hello_html_m65ad9c4d.gif

O

hello_html_m16f2383e.gifhello_html_27559cf0.gif

-3 -2 -1 0 X



Рис 1. Рис. 2

Если кривая hello_html_m153c700d.gif в точке hello_html_d9a38a8.gif имеет касательную MS (рис.1) , то ее уравнением будет hello_html_m5e5f0c87.gif, причем угловой коэффициент hello_html_m4e56b9e2.gif.

Здесь hello_html_m5dee6654.gif - угол между MS и положительным направлением оси ОХ.

Уравнение касательной: hello_html_49ea1516.gif или hello_html_e453cee.gif.

Уравнение нормали : hello_html_m72030930.gif или hello_html_6aad860.gif.

Все задачи решаются по единому плану: надо найти координаты hello_html_42f2b7ef.gif точки касания hello_html_38fad38e.gif; найти производную функции hello_html_42a324c5.gif; ее значение в точке касания hello_html_m3e109f7a.gif; записать уравнения касательной и нормали. Уравнения полученных прямых записать в общем виде : hello_html_38403b2f.gif.

Пример 1. Написать уравнения касательной и нормали к гиперболе hello_html_m71c5b84e.gif в точке hello_html_d9a38a8.gif, в которой касательная параллельна прямой hello_html_436cacd9.gif (рис.2).

Решение. Так как касательная hello_html_m44d8e8be.gif, то hello_html_m505ff28b.gif, но hello_html_m6a49270e.gif. Из этого условия найдем координаты hello_html_42f2b7ef.gif точки касания М. hello_html_3e5ec162.gif. Решив уравнение hello_html_2671e6b3.gif, найдем hello_html_m70fd586a.gif. Тогда из уравнения кривой находим: hello_html_5e1c7fd3.gif. Таким образом, получаем две точки касания: hello_html_m417feb00.gif. Уравнение касательной в точке hello_html_318170b1.gif или hello_html_53fdd2a9.gif. Уравнение нормали в точке hello_html_367b3e48.gif или hello_html_m501b6a8d.gif. Уравнение касательной в точке hello_html_3221e32a.gif или hello_html_347d2ed9.gif. Уравнение нормали в точке hello_html_187adb99.gif или hello_html_m510c0401.gif.

Замечание. Кривая hello_html_mf365f81.gif гипербола, состоящая из двух ветвей. На каждой из ее ветвей лежит по одной точке касания, поэтому задача имеет два решения (рис.2).

Пример 2. Написать уравнение касательной и нормали к кривой hello_html_5cb14b7d.gif в точке hello_html_490f72c3.gif.

Решение. Координаты точки касания здесь известны: hello_html_3bfb1037.gif. Поэтому надо найти hello_html_m22db2ab6.gif. Найдем производную hello_html_4b4ad35b.gif по формуле hello_html_5cab7692.gif. Итак, hello_html_m32255262.gif. Найдем значение параметра hello_html_356fedc5.gif, соответствующее точке касания hello_html_m1fd167b.gif. Для этого решим систему уравнений hello_html_385b2ae.gif относительно t при hello_html_m6f56d83d.gif. hello_html_m7c6b0d97.gif

Таким образом, точке касания hello_html_12d7c700.gif соответствует значение параметра hello_html_m25c69ff1.gif. Отсюда hello_html_m5f7134c3.gif. Так как hello_html_1f527271.gif, то это значит, что касательная перпендикулярна к оси ОХ и ее уравнение hello_html_m5913afd6.gif. Нормаль имеет уравнение hello_html_m425a9abb.gif.

ЗАДАНИЕ 2. ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ

Указать вид неопределенностей и вычислить пределы, пользуясь правилом Лопиталя.

1. а) hello_html_m3ea92fca.gif,

в) hello_html_m6d2ef339.gif,

б) hello_html_14cbef18.gif,

г) hello_html_m793b1b35.gif.

2. а) hello_html_69cf1050.gif,

в) hello_html_m4734cf60.gif,

б) hello_html_m62ab464e.gif,



г) hello_html_m7b945888.gif.

3. а) hello_html_45b1365a.gif,

б) hello_html_m1b23abd2.gif,

в) hello_html_28501cf7.gif,

г) hello_html_7a2a3978.gif.


4. а) hello_html_m71b3454d.gif,

б) hello_html_517ebd02.gif,


в) hello_html_3a8df1a2.gif,


г) hello_html_bff062.gif.


5. а) hello_html_m4893f132.gif,


б) hello_html_m26c497a9.gif,


в) hello_html_m132c2a72.gif,

г) hello_html_3b64201a.gif.


6. а) hello_html_4773c459.gif,

б) hello_html_m66d80227.gif,

в) hello_html_m58dbc021.gif,

г) hello_html_1025816e.gif.


7. а) hello_html_74fa61e3.gif,

б) hello_html_m11fb95c8.gif,

в) hello_html_4f0434ba.gif,

г) hello_html_m7453fbce.gif.

8. а) hello_html_2ae31c0b.gif,

б) hello_html_m1dbec23d.gif,

в) hello_html_m62917d12.gif,

г) hello_html_m5d4369d6.gif.


9. а) hello_html_25d5a661.gif,

б) hello_html_m3b4eee8d.gif,

в) hello_html_7d8a506.gif,

г) hello_html_m53b59c09.gif.

10.а) hello_html_5e084d75.gif,

б) hello_html_68e538fd.gif,

в) hello_html_2f5c713b.gif,

г) hello_html_4c54658.gif.


11.а) hello_html_m1eba0f4b.gif,

б) hello_html_m56b26b2c.gif,

в) hello_html_m77187bd3.gif,

г) hello_html_749ca9fa.gif.


12.а) hello_html_m43f674d5.gif,

б) hello_html_6e101078.gif,

в) hello_html_m1d5f0cdb.gif,

г) hello_html_m5c4ac18a.gif.


13.а) hello_html_m2884772d.gif,

б) hello_html_m74633d1.gif,

в) hello_html_d77ac13.gif,

г) hello_html_570f8aa6.gif.


14.а) hello_html_15382e05.gif,

б) hello_html_m2a28b2a3.gif,

в) hello_html_m32d1d875.gif,

г) hello_html_m77c94d3a.gif.


15.а) hello_html_1035fb00.gif,

б) hello_html_458495ae.gif,

в) hello_html_m1945dfa.gif,

г) hello_html_66962aa2.gif.


16.а) hello_html_df8dea0.gif,

б) hello_html_m16b36625.gif,

в) hello_html_1d7c8338.gif,

г) hello_html_m496d21ae.gif.


17.а) hello_html_39d3a7be.gif,

б) hello_html_m7676914a.gif,

в) hello_html_m63f8e6e0.gif,

г) hello_html_m7efcf910.gif.


18. а ) hello_html_11e2f4be.gif,

б) hello_html_mb1ae23a.gif,

в) hello_html_6fe535e8.gif,

г) hello_html_m3a33f491.gif.



19. а) hello_html_58bc8f2b.gif,


б) hello_html_4be1d891.gif,


в) hello_html_e1b8cff.gif,

г) hello_html_5a4f713.gif.



20 а) hello_html_c2f48b8.gif,

б) hello_html_m698c53f3.gif,

в) hello_html_278e3c02.gif,

г) hello_html_386a4b88.gif.



21. а) hello_html_5098e118.gif,


б) hello_html_m2ee64caa.gif,


в) hello_html_17ac7623.gif,

г) hello_html_m36339a72.gif.



22.а) hello_html_m7ca0cd37.gif,

б) hello_html_4e94ed54.gif,


в) hello_html_20d33ce4.gif,

г) hello_html_m47bb52ab.gif.


23.а) hello_html_67594a3e.gif,

б) hello_html_m270d740e.gif,


в) hello_html_m458fc0ed.gif,

г) hello_html_m1eef8c1.gif.

24.а) hello_html_6cf028e4.gif,

б) hello_html_38bd32b1.gif,

25.а) hello_html_74c13b9f.gif,

б) hello_html_m741bf2cb.gif,


в) hello_html_7b9dd82d.gif,

г) hello_html_478c40e9.gif.


в)hello_html_5bcb72d6.gif,

г) hello_html_7f45b68b.gif.



26. а) hello_html_m403f4019.gif,

б) hello_html_4623e5c1.gif,


в) hello_html_m10e5ffe3.gif,

г) hello_html_m3da527b6.gif.


27.а) hello_html_33aa3971.gif,

б) hello_html_m17182c01.gif,


в)hello_html_7543a83b.gif,

г) hello_html_72454775.gif.

28.а) hello_html_2151b2d3.gif,

б) hello_html_690d3c04.gif,

в) hello_html_m2ce88b41.gif,

г) hello_html_m30b5be60.gif.


29.а) hello_html_52355ea3.gif,

б) hello_html_m47aa51ce.gif,

в)hello_html_m75402ed9.gif,

г) hello_html_m366fec8c.gif.



30.а) hello_html_m164f9772.gif,

б) hello_html_m7ef31a0c.gif,


в) hello_html_m68514da9.gif,

г) hello_html_2aada0eb.gif.


31.а) hello_html_mcfaca57.gif,

б) hello_html_md8a5780.gif,



в) hello_html_2dcf1b95.gif,

г) hello_html_283df815.gif.




32. а) hello_html_5e522614.gif,

б) hello_html_14a1d57e.gif,




в) hello_html_m4cca1ca.gif,

г) hello_html_m29fd018e.gif

33. а) hello_html_603965ee.gif,

б) hello_html_6d7cb93c.gif,


в) hello_html_7e72643b.gif,

г) hello_html_m2be726f5.gif.

34. а) hello_html_m103115d6.gif,

б) hello_html_m761ce3cf.gif,


в) hello_html_3da4bec2.gif,

г) hello_html_27eee68b.gif.

35. а) hello_html_6141eb12.gif,

б) hello_html_21b2284f.gif,


в) hello_html_m23049077.gif,

г) hello_html_542389b2.gif.

36. а) hello_html_1f46cdc2.gif,

б) hello_html_m5fd4f27b.gif,


в) hello_html_1b5f4185.gif,


г) hello_html_7e7e557f.gif.

37. а) hello_html_144aa5f.gif,

б) hello_html_3af3183e.gif,


в) hello_html_19110f28.gif,


г) hello_html_49240a04.gif.

38. а) hello_html_12ec0b76.gif,

б) hello_html_47e3aae9.gif,


в) hello_html_63cf9e4e.gif,

г) hello_html_50302d7e.gif.

39 .а) hello_html_3f73215a.gif,

б) hello_html_m51f8ef24.gif,


в) hello_html_4158310a.gif,

г) hello_html_309d6395.gif.

40. а) hello_html_626fcc96.gif,

б) hello_html_m3bdfac12.gif,


в) hello_html_356b6485.gif,

г) hello_html_179e8f6f.gif.

41.а) hello_html_mac40af1.gif,

б) hello_html_3fb3620b.gif,

в) hello_html_3905fdf9.gif,


г) hello_html_m5adc96ca.gif.

42. а) hello_html_67f283c0.gif,

б) hello_html_5f6e6465.gif,


в) hello_html_6801cfad.gif,

г) hello_html_m7b5e8a28.gif.



43. а) hello_html_d66687.gif,

б) hello_html_m4f06413d.gif,


в) hello_html_m41915808.gif,

г) hello_html_5f310b0e.gif.


44. а) hello_html_1ee3a6dd.gif,

б) hello_html_42e0df83.gif,


в) hello_html_m4b7d6b0f.gif,

г) hello_html_4f0d9aef.gif.



45. а) hello_html_m27e880c3.gif,

б) hello_html_5fbc992d.gif,


в) hello_html_61d6d4a9.gif,

г) hello_html_m76f795dc.gif.

46. а) hello_html_m1d3c3fe9.gif,

б) hello_html_m30931487.gif,


в) hello_html_m7203fc3a.gif,


г) hello_html_628ddbc3.gif.

47. а) hello_html_658dc32a.gif,

б) hello_html_ca0a9bf.gif,


в) hello_html_m40809445.gif,


г) hello_html_m53838356.gif.

48. а) hello_html_107a7d32.gif,

б) hello_html_608c6584.gif,


в) hello_html_7fc497d8.gif,

г) hello_html_1771e7aa.gif.

49. а) hello_html_75b76e6c.gif,

б) hello_html_m56af798c.gif,


в) hello_html_4ab72c25.gif,

г) hello_html_1196043f.gif.



50. а) hello_html_m1bc8567.gif,

б) hello_html_m5ea8a7c5.gif,


в) hello_html_7b007990.gif,

г) hello_html_57893da0.gif.

УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ЗАДАНИЯ 2

Приведем примеры раскрытия неопределенностей по правилу Лопиталя.

Пример 1. Вычислить hello_html_m44e68fbc.gif.


Решение. При hello_html_m48d1dfbf.gif каждая из функций hello_html_m115f77ae.gif и hello_html_m6f757ef7.gif

стремится к нулю, поэтому имеет место неопределенность вида hello_html_3c8e3b1f.gif. Предел находим по правилу Лопиталя:

hello_html_m72f33c68.gif.

hello_html_m586c5e2e.gif.

Так как hello_html_7f64cc5a.gif, то воспользуемся теоремой о пределе произведения: hello_html_m39cd8e1c.gif

Здесь дважды использовалось правило Лопиталя.


Пример 2. Вычислить hello_html_m19d4e9e5.gif.

Решение. При hello_html_7d9fb07a.gif числитель и знаменатель дроби неограниченно возрастают, поэтому неопределенность имеет вид hello_html_6b4204d4.gif.

hello_html_m727ba511.gif.

Здесь возможны два случая. Если hello_html_4952e39f.gif, то hello_html_m575bc48d.gif, поэтому hello_html_mf1baaa8.gif. Если же hello_html_3136e647.gif, то hello_html_63453c0d.gif, поэтому hello_html_3ac1a060.gif.


Пример 3. Вычислить hello_html_129460ef.gif.

Решение. При hello_html_m48d1dfbf.gif будет hello_html_d714568.gif и hello_html_m472a3735.gif, поэтому неопределенность имеет вид hello_html_m1e3ccfd9.gif. Прежде чем применить правило Лопиталя, преобразуем ее к виду hello_html_6b4204d4.gif следующим образом: hello_html_m58f96031.gif. Поэтомуhello_html_m380c24c6.gif

hello_html_m335d7169.gif

hello_html_m140aed19.gif.

Пример 4. Вычислить hello_html_4c05b8fa.gif.

Решение. При hello_html_m48d1dfbf.gif будет hello_html_m3c0193b7.gif и hello_html_m2dac8d06.gif, поэтому имеет место неопределенность вида hello_html_m7294533e.gif. Преобразуем ее к неопределенности вида

hello_html_m2d3f4582.gifследующим образом: hello_html_69fa65d9.gif. Поэтому hello_html_m1a9719f2.gif =

hello_html_m776ba865.gif

Пример 5. Вычислить hello_html_54db4ab0.gif.

Решение. При hello_html_m48d1dfbf.gifhello_html_5cc2c6fb.gif и hello_html_m73fc44e.gif, поэтому имеет место неопределенность вида hello_html_4cee6c3f.gif. Обозначим искомый предел через А, т.е. hello_html_292d8925.gif. Прологарифмируем обе части равенства по основанию е:

hello_html_57bedd4e.gif. Логарифмическая функция hello_html_m172fd9ca.gif непрерывна в области определения, поэтому знаки hello_html_1ab1bae0.gif и lim можно переставить местами. Тогда получим hello_html_700186b5.gif. Далее по правилу Лопиталя:

hello_html_m65c684a5.gif.

Итак, hello_html_6d46ab91.gif, отсюда hello_html_m38de0119.gif.

Ответ: hello_html_m66f2ae62.gif.


Пример 6. Вычислить hello_html_29db416.gif.

Решение. При hello_html_m7747837f.gif, поэтому неопределенность имеет вид hello_html_m825f869.gif. Обозначим искомый предел А, т.е. hello_html_44da0c4e.gif. Прологарифмируем обе части равенства по основанию е:

hello_html_d263367.gif.

Далее по правилу Лопиталя:

hello_html_867adc5.gif.

Итак, hello_html_3ce8b33b.gif, отсюда А=1.

Ответ: hello_html_5f3485cd.gif.

Пример 7. Вычислить hello_html_6ffda890.gif.

Решение. При hello_html_4952e39f.gifhello_html_3ca395bf.gif, поэтому имеет место неопределенность вида hello_html_mf63baa1.gif. Применим прием, использованный в примерах 5 и 6 : hello_html_m7566a0c2.gif. hello_html_m1f577d9e.gif

hello_html_3379da31.gif

hello_html_m780f2bbb.gif.

hello_html_17a74235.gifотсюда А=2.

Ответ: hello_html_m7c90a283.gif.


ЗАДАНИЕ 3. КРИВИЗНА КРИВОЙ

Определить кривизну, центр и радиус круга кривизны данной кривой в указанной точке.


1. hello_html_mcfd7b90.gif.

2. hello_html_19a930e9.gif.

3. hello_html_b384739.gif.

4. hello_html_4b8770fd.gif.

5. hello_html_71ab935b.gif.

6. hello_html_5ebd1c34.gif.


7. hello_html_42012a96.gif.

8. hello_html_5a00409b.gif.

9. hello_html_463a7fb1.gif.

10. hello_html_m1ad0f3de.gif.

11. hello_html_m27128188.gif.

12. hello_html_8b51fbc.gif.

13. hello_html_m8188521.gif.

14. hello_html_m7e8eb4cf.gif.

15. hello_html_233058c6.gif.

16. hello_html_m692ce6ca.gif.

17. hello_html_m5ece727e.gif.

18. hello_html_m5ac6e9ef.gif.

19. hello_html_43bca4db.gif.

20. hello_html_58f2db6b.gif.

21. hello_html_m44b8a0d2.gif.

22. hello_html_4740fd03.gif.

23. hello_html_5e7c1bc9.gif.

24. hello_html_25d7ee26.gif.

25. hello_html_m41c3442f.gif.

26. hello_html_m3b859d4a.gif.

27. hello_html_4353465.gif.

28. hello_html_m2d096ad8.gif.

29. hello_html_m677ea92a.gif.

30. hello_html_m13d28dc5.gif.

31. hello_html_m33f27610.gif.

32. hello_html_5923425d.gif.

33. hello_html_m2b89e3e4.gif.

34. hello_html_m492719e3.gif.

35. hello_html_7600bd28.gif.

36. hello_html_m1d8309f8.gif.

37. hello_html_mcfe4b48.gif в ее вершине.

38. hello_html_5c24f7ed.gifв точках, где кривизна наибольшая.

39. hello_html_366fcbf5.gif в точках экстремума.

40. hello_html_m558cefd3.gif в точке, где кривизна наибольшая.

41. hello_html_m78ac4bc3.gif в точках, где радиус кривизны наименьший.

42. hello_html_m190716df.gif в точках ее пересечения с осью абсцисс.

43. hello_html_7ee59586.gif в любой точке кривой.

44. hello_html_d8dd27d.gif в любой точке кривой.

45. hello_html_m612d1bd9.gif в любой точке кривой.

46. hello_html_72813bb8.gif в ее вершине.

47. hello_html_28c52df2.gif в точках, где радиус кривизны наименьший.

48. hello_html_m6f776549.gif в ее вершине.

49. hello_html_m3ab098ec.gif в ее вершине.

50. hello_html_2ca7e1df.gif в ее вершине.




УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ЗАДАНИЯ 3

Пример 1. В каких точка парабола hello_html_m2a184de.gif имеет наибольшую и наименьшую кривизну? Найти центр и радиус кривизны в этих точках.

Решение. Если кривая L задана явно: hello_html_m210d21d4.gif, то ее кривизна k в точке

hello_html_mdbfd75e.gifопределяется по формуле hello_html_m173571d8.gif. В данном примере hello_html_281970d2.gif; hello_html_4a300bdb.gif, поэтому hello_html_m2ec710db.gif. Найдем точки, в которых функция hello_html_1292ec80.gif имеет экстремумы.

hello_html_69eb56fe.gifпри hello_html_70d7028b.gif.

Нетрудно видеть, что в этой точке производная hello_html_169139a3.gif изменяет знак с плюса на минус, следовательно, hello_html_70d7028b.gif есть точка максимума, причем hello_html_a8ac331.gif. Итак, в точке О (0, 0) парабола hello_html_m2a184de.gif имеет наибольшую кривизну hello_html_m278d023b.gif. В этой точке радиус R кривизны равен hello_html_464768fb.gif. Координаты hello_html_461091da.gif центра круга кривизны определяются по формулам: hello_html_4cae59b1.gif, причем верхние знаки соответствуют тем точкам кривой hello_html_665b739.gif, в которых hello_html_6c15be16.gif. Для параболы hello_html_m2a184de.gif в точке О (0,0) hello_html_62fc08d5.gif, следовательно, в формулах берем нижние знаки hello_html_5d553c1b.gif. hello_html_m3b7954f2.gif. Итак, hello_html_m7bfb321b.gif - центр кривизны.

Пример 2. Определить кривизну, центр и радиус кривизны кривой hello_html_7c0a3f85.gif в точке hello_html_392d397.gif.

Решение. Если кривая L задана полярным уравнением hello_html_6be22046.gif, то ее кривизна в точке hello_html_m407f718d.gif определяется по формуле hello_html_m4981b7a4.gif. В данном примере hello_html_m24ca8f2.gif. В данной точке hello_html_392d397.gif находим hello_html_m754fc5a8.gifhello_html_m69554617.gif. Тогда получим hello_html_3352f248.gif, радиус кривизны hello_html_m5ecaa948.gif. Обозначим центр круга кривизны hello_html_m37d8a3f2.gif, координаты центра будем вычислять по формулам:

hello_html_128eeb2.gif,

hello_html_m14aaf2a7.gif,

hello_html_7e55487c.gif,

hello_html_m34e102ad.gif

в точке hello_html_7854bee5.gif.


hello_html_m3acf1fad.gifhello_html_m12e0ea4d.gif

hello_html_3ef8cd18.gif

hello_html_375f1470.gif



hello_html_m37f409a0.gifhello_html_2d2985a9.gifhello_html_m799230b4.gifhello_html_m1806ff5a.gif

hello_html_m1b839108.gif

С 0 1 hello_html_4bdb1ed3.gif


hello_html_3b5a096c.gif

Рис. 3


ЗАДАНИЕ 4. ВЕКТОР-ФУНКЦИЯ

По заданному уравнению движения материальной точки найти скорость, уско-рение и траекторию движения, а также кривизну траектории в момент времени hello_html_91c4496.gif.

1. hello_html_m54d3bdfd.gif.

2. hello_html_da0d38e.gif.

3. hello_html_m336d3c76.gif.

4. hello_html_m3dab68ef.gif.

5. hello_html_m72af4739.gif.

6. hello_html_m7e9cc449.gif.

7. hello_html_4b62c9e8.gif.

8. hello_html_4fa1db47.gif.

9. hello_html_72ece814.gif.

10. hello_html_m1b25b9e8.gif.

11. hello_html_m7e1e5bba.gif.

12. hello_html_m20a1dea5.gif.

13. hello_html_m16e0b7ab.gif.

14. hello_html_m18380885.gif.

15. hello_html_m52a3b688.gif.

16. hello_html_1ef46000.gif

17. hello_html_625a90e6.gif.

18. hello_html_m580097e9.gif.

19. hello_html_m7cabd1b7.gif.

20. hello_html_21009524.gif.

21. hello_html_36c4c098.gif.

22. hello_html_1339ed76.gif.

23. hello_html_5f2ea912.gif.

24. hello_html_m712a7868.gif.

25. hello_html_m606023f6.gif

26. hello_html_m1431a8f.gif.

27. hello_html_77dce26b.gif.

28. hello_html_m6c244bbf.gif.

29. hello_html_40024509.gif

30. hello_html_m12aa2540.gif.

31. hello_html_84a04ae.gif.

32. hello_html_5c77bb4f.gif.

33. hello_html_188288b.gif.

34. hello_html_4d884f8e.gif.

35. hello_html_m21c39038.gif.

36. hello_html_m21096c7.gif.

37. hello_html_m7dacdd1b.gif.

38. hello_html_m10071101.gif.

39. hello_html_m603fc70b.gif.

40. hello_html_m71a61032.gif

41. hello_html_m15369a1e.gif

42. hello_html_64a8ce66.gif.

43. hello_html_m7800b6de.gif.

44. hello_html_m4c356814.gif.

45. hello_html_m51eb7da3.gif.

46. hello_html_5dbe9093.gif.

47. hello_html_6bf262a7.gif.

48. hello_html_m1dd470ef.gif

49. hello_html_m76cfb5a1.gif.

50. hello_html_301f9398.gif.


УКАЗАНИЕ К ВЫПОЛНЕНИЮ ЗАДАНИЯ 4


Пример. Дано уравнение движения hello_html_4578e67.gif.

Найти: а) траекторию движения; б) скорость и ускорение движения в момент времени hello_html_m1887cc1d.gif; в) кривизну траектории при hello_html_m1887cc1d.gif.

Решение. а) Траекторией движения является годограф вектор-функции hello_html_m6a2cc6e5.gif. Параметрическими уравнениями траектории будут hello_html_m4cc9ba38.gif, hello_html_m15f75490.gif. В момент времени hello_html_m1887cc1d.gif получим точку hello_html_25e17eec.gif траектории.

б) Скорость движения есть вектор hello_html_4290aad9.gif, а ускорение hello_html_m5e1e8724.gif. При hello_html_m1887cc1d.gifhello_html_24985043.gif, соответственно hello_html_30932b60.gif.

в) Кривизна пространственной кривой L определяется по формуле hello_html_m1156cbb6.gif. Здесь hello_html_m288e7437.gif. Найдем векторное произведение этих векторов


hello_html_73053548.gif,

hello_html_m2a106d5b.gif,

hello_html_m7600ffc0.gif.

Итак, кривизна траектории в момент времени t > 0 определяется формулой: hello_html_5ca516e7.gif.

При hello_html_m1887cc1d.gifhello_html_92ee360.gif.

ЗАДАНИЕ 5. ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ

Провести полное исследование функции hello_html_13dcccbb.gif, построить ее график, а также графики ее производных: hello_html_m75990bf2.gif.

1. hello_html_m6244f02b.gif.

2. hello_html_531b4c07.gif.

3. hello_html_m4e613950.gif.

4. hello_html_257dddee.gif.

5. hello_html_m6e313d26.gif.

6. hello_html_50c1788b.gif.

7. hello_html_385ff22d.gif.

8. hello_html_6ba41244.gif.

9. hello_html_m497206d6.gif.

10. hello_html_m6ebee71.gif.

11. hello_html_m4ad4994a.gif.

12. hello_html_m5b231832.gif.

13. hello_html_3fc53661.gif.

14. hello_html_453f7b94.gif.

15. hello_html_60071b8.gif.

16. hello_html_m3302dab3.gif.

17. hello_html_2ab98ebc.gif.

18. hello_html_661ef3e9.gif.

19. hello_html_m5f2dbbd.gif.

20. hello_html_32810e58.gif.

21. hello_html_237564c1.gif.

22. hello_html_15628853.gif.

23. hello_html_m41374658.gif.

24. hello_html_m4bfca6d8.gif.

25. hello_html_4c2f8aef.gif.

26. hello_html_m466df7d2.gif.

27. hello_html_m28404945.gif.

28. hello_html_4e1e2bc6.gif.

29. hello_html_m11e91df1.gif.

30. hello_html_m50a6373a.gif.

31. hello_html_5a490051.gif.

32. hello_html_6837fb3.gif.

33. hello_html_257adedd.gif.

34. hello_html_633f8bc5.gif.

35. hello_html_54f5eecb.gif.

36. hello_html_m31df42f7.gif.

37. hello_html_m112624cb.gif.

38. hello_html_m6492bdec.gif.

39. hello_html_58d18583.gif.

40. hello_html_b4ae870.gif.

41. hello_html_2def9d2a.gif.

42. hello_html_33f0f0e6.gif.

43. hello_html_696a7238.gif.

44. hello_html_241b9dfe.gif.

45. hello_html_m5dd85c18.gif.

46. hello_html_70c31572.gif.

47. hello_html_76cc285.gif.

48. hello_html_m2b90afbe.gif.

49. hello_html_m7bbc349f.gif

50. hello_html_3cc13a9.gif.


УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ЗАДАНИЯ 5

Все задачи решаются по одной схеме. Пусть дана функция hello_html_13dcccbb.gif.

1. Находим область определения hello_html_337d50a8.gif.

2. Находим точки разрыва функции. Определим характер разрыва, уточнив поведение функции в окрестности точки разрыва hello_html_76528d3e.gif. Для этого найдем hello_html_m550a6988.gif. Если hello_html_76528d3e.gif - точка разрыва второго рода, то прямая hello_html_76528d3e.gif будет вертикальной асимптотой графика функции.

3. Находим точки пересечения графика с осями координат, для чего решаем системы уравнений: hello_html_m4e1ef1b9.gif.

4. Проверяем условия четности функции: hello_html_586ecc6c.gif и нечетности

hello_html_7d3143dc.gif. Если функция четная (или нечетная), то все последующие исследования проводим при hello_html_38c1903f.gif.

5. Аналогично: если hello_html_m6e65d4d8.gif- периодическая функция с периодом Т, то исследование проводим при hello_html_mb96928f.gif.

6. Находим первую и вторую производные hello_html_m75990bf2.gif. Эту работу надо

выполнять очень аккуратно, иначе график будет построен неверно.

7. Находим экстремумы и промежутки монотонности функции.

8. Находим точки перегиба и промежутки выпуклости и вогнутости графика функции.

9. Находим наклонные асимптоты hello_html_47242415.gif, где hello_html_6261d38c.gif; hello_html_37c34d85.gif. Каждый из случаев: hello_html_m5d703a60.gif надо рассмотреть отдельно (асимптоты могут быть различными).

10. По результатам исследования составляем сводную таблицу и строим график функции.

11. По графику функции hello_html_m6e65d4d8.gif строим графики ее первой и второй производных.

Замечание 1. Построение графика функции hello_html_m6e65d4d8.gif рекомендуется проводить параллельно с исследованием.

Замечание 2. Если полученной в результате исследований информации недостаточно для построения графика функции, можно построить несколько точек графика, придавая аргументу х допустимые значения.

Пример 1. Исследовать функцию hello_html_69d5699c.gif и построить ее график (рис.4).

Решение. 1. hello_html_7b00d947.gif.

2. Функция терпит разрыв второго рода в точках hello_html_m1cdec292.gif, так как hello_html_3a83e902.gif, hello_html_32d89bb1.gif и hello_html_m67724aeb.gif, hello_html_m501ec268.gif. Следовательно, hello_html_2becbaab.gif - уравнения вертикальных асимптот. Строим эти асимптоты.

3. Находим точки пересечения графика с осью ОХ, для чего решаем систему уравнений hello_html_m429fcaa8.gif. Кривая пересекает ось ОХ в точках hello_html_1bbf6717.gif и hello_html_m72b028e7.gif.

Замечание. Если решение уравнения hello_html_7ea03121.gif вызывает большие затруднения, то этого можно не делать. Для построения графика нужно выбрать несколько дополнительных точек.

Аналогично hello_html_7b23604b.gif. Получаем точку hello_html_m3cd743a3.gif.

4. hello_html_m1bea73f6.gif. Функция четная, поэтому исследуем ее поведение в области hello_html_4a9fa47c.gif.

5. Функция непериодическая.

6. Находим производные функции hello_html_48d0e983.gif.

7. Находим экстремумы функции. Для этого найдем сначала критические точки. Из уравнения hello_html_m53b4202f.gif следует, что hello_html_70d7028b.gif. Так как вторая производная известна, то характер экстремума определяем по второму правилу. hello_html_894b5a1.gif, поэтому при hello_html_70d7028b.gif функция имеет максимум, равный hello_html_dca08d5.gif. Итак, точка hello_html_m7f6e9e1e.gif- точка максимума. hello_html_79d50de9.gif не существует при hello_html_53e81a79.gif, но hello_html_1fa5f5ce.gif. На hello_html_m535e1f14.gif функция убывает, на hello_html_m7d98aa65.gif функция убывает.

8. Находим точки перегиба графика из уравнения hello_html_7fa82b7e.gif, у нас hello_html_64981b24.gif, следовательно, кривая не имеет точек перегиба. В промежутке hello_html_m62b2d20e.gif, следовательно, кривая выпуклая. В промежутке hello_html_35529c71.gif, поэтому кривая вогнута.

9. Находим уравнение hello_html_47242415.gif наклонной асимптоты.

hello_html_2ea69f1a.gif; hello_html_m31c15a27.gif

hello_html_m1d40c333.gif. Итак, hello_html_m425a9abb.gif - горизонтальная асимптота кривой.

10. В свободную таблицу вносят точки, полученные при исследовании функции в порядке возрастания аргумента х, а также дополнительные точки, если полученных недостаточно для построения графика функции:


х

0

1

hello_html_m48cacad.gif

hello_html_bc0be89.gifhello_html_55b48ef7.gif

hello_html_1e111e76.gif

2

3

4

у

hello_html_m68260d66.gif

0

hello_html_m65894c8e.gif

hello_html_m5899211d.gif

hello_html_m1acd5592.gif

hello_html_51076580.gif

hello_html_m5d3fc783.gif

hello_html_36a1ee01.gif

Примечание

Точка макси-мума, точка

пересечения

с ОУ

Точка пересе-

чения с ОХ


Точка разрыва


Дополнительные точки


Строим график функции в промежутке hello_html_228f82cf.gif . Так как функция четная, то в про-межутке hello_html_7f791fc5.gif ее график строим по симметрии относительно оси ОУ (см. рис.4).

Пример 2. Исследовать функцию hello_html_5a0f8cac.gif, построить график функции, а также графики hello_html_79d50de9.gif и hello_html_4d89a28c.gif (рис.5).

Решение. 1. hello_html_m3f045b00.gif, то есть hello_html_m38c91cb.gif.

2. Функция всюду непрерывна, следовательно, не имеет точек разрыва, а также вертикальных асимптот.

3. Точки пересечения с осями координат hello_html_57fb7baf.gif

hello_html_m41be8995.gif

Получаем точки hello_html_1a82fb48.gif, hello_html_6a004f9e.gif, hello_html_m22e11144.gif.

4. hello_html_m58b2288.gif.

Функция нечетная, ее график симметричен относительно hello_html_m1fb58a96.gif. Дальнейшее исследование проводим на промежутке hello_html_m186a6836.gif.

5. Функция непериодическая.

6. Производные функции hello_html_7ea331f0.gif, hello_html_7ecadb4c.gif.

Итак, hello_html_m198ca2a5.gif; hello_html_228d1e0d.gif.

7. Находим экстремумы функции. Из уравнения hello_html_m53b4202f.gif, hello_html_7ede23a1.gifhello_html_m2a97f526.gif. Из уравнения hello_html_m4a407400.gif следует, что hello_html_41e81b62.gif. Таким образом, получаем три критические точки: hello_html_m22714a6a.gif.

а) При hello_html_5a6d5eac.gif не существует, поэтому экстремума нет.

б) При hello_html_62729c08.gif, следовательно, в этой точке функция имеет минимум, равный hello_html_m41650f9d.gif. Получаем точку минимума hello_html_21977b78.gif. Так как функция нечетная, то hello_html_m352c8657.gif будет точкой максимума.

8. Находим точки перегиба. hello_html_4f084181.gif. В промежуткеhello_html_72e66640.gif, здесь кривая выпукла. В промежутке hello_html_54fa4f6.gif, здесь кривая вогнута. Итак, hello_html_m1fb58a96.gif - точка перегиба.

9. Находим уравнение hello_html_47242415.gif наклонной асимптоты.

hello_html_427a02ad.gif. hello_html_m31c15a27.gif

hello_html_m5afb5917.gif. Так как hello_html_m70ab315e.gif не существует, то график функции

асимптот не имеет.




уhello_html_7b02a615.gif



1



hello_html_430d2b25.gif0 hello_html_55b48ef7.gif х




hello_html_6ab5ffa1.gifhello_html_79d50de9.gif





hello_html_55b48ef7.gifx


hello_html_430d2b25.gif0





hello_html_m5b128af4.gifhello_html_4d89a28c.gif





0 x


hello_html_430d2b25.gif-1/2 hello_html_55b48ef7.gif







Рис. 4


hello_html_5eea122f.gifу




4


hello_html_2652f9dc.gif0 hello_html_m57e87557.gif х


-8

Рис. 5


10. Составим таблицу значений в промежутке hello_html_20da63ca.gif


х

0

1

2

3

4

8

hello_html_m3153650d.gif

13

у

0

hello_html_4843c438.gif

hello_html_m37f43a20.gif

hello_html_m9142815.gif

-8

hello_html_m5785f014.gif

0

4,8

Примечание

Точка пересечения с осями координат

Дополнительные точки

Точка минимума

Дополнительная точка

Точка пересечения с ОХ

Дополнительная точка

Замечание. Ось ОУ является касательной к графику в точке О (0; 0) (почему?).


ЗАДАНИЕ 6. НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ

Найти наибольшее и наименьшее значения функций в указанных промежутках.


1. hello_html_294b82ad.gif.

2. hello_html_b914304.gif.


3. hello_html_5c99c2bc.gif.

4. hello_html_233b8392.gif.

5. hello_html_7b149378.gif.

6. hello_html_6dd16748.gif.

7. hello_html_m2cf5186a.gif.

8. hello_html_3dbdd388.gif

9. hello_html_3ee27246.gif.

10. hello_html_m6be29195.gif.

11. hello_html_m3db267ed.gif.

12. hello_html_709f0c6f.gif.

13. hello_html_28095204.gif.

14. hello_html_m1ba7acc1.gif.

15. hello_html_m4a4d7346.gif.

16. hello_html_6318d4c7.gif.

17. hello_html_541b9114.gif.

18. hello_html_m798a0fd1.gif.

19. hello_html_2a3f91cd.gif.

20.hello_html_m2d2c44f.gif.

21. hello_html_m37818989.gif.

22. hello_html_m5f6c70fb.gif.

23. hello_html_m2cf73cee.gif.

24. hello_html_m2b3bd2e.gif.

25. hello_html_m7c8852da.gif.

26. hello_html_m2e58c358.gif.

27. hello_html_m58a4ef9a.gif.

28. hello_html_m3b274431.gif.

29. hello_html_15960157.gif.

30. hello_html_m48856596.gif.

31. hello_html_54c2d564.gif.

32.hello_html_m7a160c31.gif.

33. hello_html_m100daea5.gif.

34.hello_html_2bfcddd3.gif.

hello_html_m7ae11c9f.gif.

36.hello_html_5a46fe1c.gif.

37. hello_html_m3e26de1.gif.

38. hello_html_m785e1c66.gif.

39. hello_html_19e6313a.gif.

40. hello_html_m13457d9.gif.

41. hello_html_12dc46.gif.

42. hello_html_64874520.gif.

43. hello_html_m5551dd17.gif.

44. hello_html_71130d4b.gif.

45. hello_html_791a1cc3.gif.

46. hello_html_m274dc94c.gif.

47. hello_html_bf2db4d.gif.

48.hello_html_61236f94.gif.

49. hello_html_m4ae9f00d.gif.

50. hello_html_5d11d23.gif.




УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ЗАДАНИЯ 6


При отыскании наибольшего и наименьшего значений функции на указанном промежутке поступают так.

1. Находят критические точки данной функции и выбирают те из них, которые принадлежат указанному промежутку.

2. Вычисляют значения функции в критических точках, принадлежащих данному промежутку, и на концах этого промежутка.

3. Выбирают среди полученных значений функции наибольшее и наименьшее.

Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции hello_html_m32d2d58e.gif на отрезке hello_html_7c60dd1.gif.

Решение. 1.Найдем hello_html_7a851996.gif, определим критические точки hello_html_58a94c17.gif.

2. Вычислим значение функции в критических точках и на концах отрезка hello_html_12a03fb8.gif, так как функция четная, то hello_html_m7091489b.gif, hello_html_382eebdd.gif. Наибольшее значение функции есть 13, наименьшее – 4, т.е. hello_html_4b046b55.gif.


ЗАДАНИЕ 7. РЕШЕНИЕ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ


1. Доказать, что из всех прямоугольников, вписанных в данный круг радиусом R, наибольшую площадь имеет квадрат.

2. На окружности радиусом R дана точка А , в которой проведена касательная. Провести хорду ВС параллельно касательной так, чтобы площадь треугольника АВС была наибольшей.

3. На окружности hello_html_1c50ffb5.gif найти такую точку М, чтобы сумма квадратов расстояний от нее до точек hello_html_503dc4c2.gif была бы наименьшей.

4. В декартовой системе координат дана точка hello_html_m40cccd83.gifhello_html_m2a7c06a7.gif. Составить уравнение прямой, проходящей через эту точку, чтобы она отсекала от координатного угла треугольник наименьшей площади.

5. Какой радиус должен иметь круг, чтобы площадь кругового сектора с периметром hello_html_7a84fcd2.gif была наибольшей ?

6. На оси параболы hello_html_5eae36c6.gif дана точка М на расстоянии hello_html_m24c0361d.gif единиц от вершины. Указать абсциссу ближайшей к ней точки параболы.

7. Какой наибольшей длины бревно можно пронести в повороте двух взаимно перпендикулярных улиц шириною в 5 м и hello_html_m2b37103d.gif м ?

8. Длина почтовой посылки и периметр поперечного сечения в сумме составляют 60 см. Найти наибольший объем посылки, если она имеет форму круглого цилиндра.

9. Найти наибольшее и наименьшее произведения двух чисел, если их разность

равна 5.

10. Стена высотою 27 м отстоит от дома (более высокого, чем стена) на рас-

стоянии 8 м. Найти наименьшую длину лестницы, опирающейся в промежуточ-

ной точке на стену, по которой можно было бы с земли подняться на крышу дома.

11. Проволока длиной 12 м разрезана на 6 частей, из который 2 части – одного размера, а 4 – другого. Первые 2 куска согнуты в виде квадратов, соединены оставшимися четырьмя кусками так, чтобы получился прямоугольный параллелепипед. Как надо разрезать проволоку, чтобы объем параллелепипеда был наибольшим ?

12. В данный треугольник АВС с основанием а и высотой h вписать прямоугольник так, чтобы одна из его сторон лежала на основании АВ. Какова должна быть высота прямоугольника, чтобы он имел наибольшую площадь ?

13. Два самолета летят в одной плоскости и прямолинейно под углом hello_html_m5ede231.gif с одинаковой скоростью V (километр в час) . В некоторый момент первый самолет пришел в точку пересечения движения самолетов, а второй не дошел до нее «а» километров. Далее самолеты продолжают движение с той же скоростью. Через какое время расстояние между ними будет наименьшим ?

14. Каковы размеры прямоугольника наибольшей площади, вписанного в эллипс hello_html_53ab5d47.gif ?

15. Найти прямоугольный треугольник наибольшей площади, имеющий гипотенузой данный отрезок h .

16. Из пункта А в пункт В отправляется лодка со скоростью hello_html_m5e01bc43.gif, а из В в С отправляется в это же время катер со скоростью hello_html_6ce40f71.gif. Через какое время расстояние между ними будет наименьшим, если от А до В 190 км, и hello_html_m889e02c.gif?

17. Решеткой 120 м можно огородить прямоугольную площадку наибольшей площади, примыкающую к стене дома. Каковы размеры этой площадки ?

18. Найти наибольший объем конуса с данной образующей hello_html_m357195c2.gif.

19. Сечение имеет вид прямоугольника, завершенного полукругом. Периметр сечения hello_html_3fd18d35.gifм. При каком радиусе полукруга площадь сечения наибольшая ?

20. В данный шар радиусом R вписать цилиндр с наибольшей площадью боковой поверхности.

21. В круг радиусом R вписать равнобедренный треугольник наибольшей площади.

22. В круг радиусом R вписать равнобедренный треугольник наибольшего периметра.

23. На прямой hello_html_m31fe93f6.gif найти точку, сумма квадратов расстояний которой до трех точек: hello_html_12eab459.gif была бы наименьшей.

24. Из лагеря А в город В отправился гонец в лодке. Под каким углом ему нужно пересечь реку, чтобы попасть в лагерь в кратчайший срок ? (Скорость на веслах 3 км/ч, пешком – 5 км/ч).

25. На параболе hello_html_m2a184de.gif найти точку, наименее удаленную от прямой hello_html_m555edb52.gif.

26. Из круглого бревна диаметром d вырезать брус прямоугольного сечения так, чтобы получилось наименьшее количество отходов.

27. Найти соотношение между радиусом R и высотой H цилиндра, имеющего при данном объеме наименьшую поверхность.

28. В круг радиусом R вписать прямоугольник наибольшего периметра.

29. Найти стороны прямоугольного треугольника, имеющего при данной площади S наименьший периметр.

30. Сумма двух положительных чисел равна а. Найти эти числа при наибольшей величине их произведения.

31. Разбить число 6 на два слагаемых так, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.

32. Произведение двух положительных чисел равна а. Чему равны эти числа, если сумма их будет наименьшей ?

33. Из всех прямоугольников данного периметра р найти тот, у которого площадь наибольшая.

34. Из всех прямоугольников периметра р найти тот, у которого диагональ наименьшая.

35. Из всех прямоугольников данной площади S найти тот, у которого периметр наименьший.

36. Найти отношение сторон прямоугольника наибольшей площади, вписанного в полукруг радиусом R.

37. Известно, что сопротивление горизонтальной балки на изгиб пропорционально произведению ширины сечения на квадрат высоты. Из кругового бревна диаметром d нужно вырезать балку прямоугольного сечения так, чтобы сопротивление на изгиб в горизонтальном положении было наибольшим.

38. Открытый желоб в сечении имеет форму равнобедренной трапеции, основание и боковые стороны которой равны а. Чему равен угол наклона hello_html_m5dee6654.gif стенки желоба к его высоте, проведенной из вершин тупого угла при наибольшей пропускной способности желоба ?

39. Открытый желоб в сечении имеет прямоугольник. Периметр сечения равен а. При каком отношении ширины и высоты желоб будет в сечении иметь наибольшую площадь ?

40. Из всех треугольников, у которых сумма основания и высоты равна а, найти тот, у которого площадь наибольшая.

41. Из всех круговых секторов, имеющих данную площадь, найти сектор с наименьшим периметром.

42. Из всех прямых параллелепипедов с данной полной поверхностью S, в основании которых лежит квадрат, найти тот, у которого наибольший объем.


43. Из прямоугольного листа жести размером 80 х 50 см сделать открытый

сверху ящик наибольшего объема, отрезая равные квадраты по углам, затем загибая жесть, чтобы образовались боковые стенки. Какова должна быть длина

стороны у вырезаемых квадратов ?

44. Показать, что если сумма длин гипотенузы и одного из катетов прямоуголь-

ного треугольника задана, то площадь треугольника будет наибольшей, когда

угол между ними равен hello_html_b5b317b.gif.

45. Из бумажного круга с радиусом R вырезан сектор. Из оставшейся части круга склеена коническая воронка. Какой угол должен иметь вырезанный сектор, чтобы объем воронки был наибольшим ? Найти радиус основания и высоту воронки.

46. Из всех конусов с данной боковой поверхностью S найти тот, объем которого наибольший.

47. Из всех цилиндров, вписанных в данный конус ( R и Н даны), найти тот, у которого боковая поверхность наибольшая.

48. Из всех цилиндров, вписанных в шар с радиусом R , найти тот, у которого наибольшая боковая поверхность.

49. Из всех конусов, вписанных в шар с радиусом R, найти тот, у которого объем наибольший.

50. Закон движения тела, брошенного вертикально вверх, задан уравнением hello_html_m1cab8563.gif. Найти наибольшую высоту подъема тела.

УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ЗАДАНИЯ 7


При решении задач на отыскание оптимальных значений величины рекомендуется действовать по следующей схеме.

1. Внимательно изучите условие задачи и решите вопрос о том, какую величину, фигурирующую в условии, принять за независимую переменную х, а какую считать искомой функцией у. (При этом не обязательно аргумент обозначать буквой х, а функцию – у). Зачастую этот выбор можно сделать

по-разному. Приведем примеры.

В задаче № 1 задания 7 радиус круга R дан, следовательно, это известная вели-чина. Требуется найти прямоугольник наибольшей площади, поэтому в качестве функции следует взять площадь S прямоугольника. Тогда аргументом х будет длина одной из сторон прямоугольника. Таким образом, hello_html_m33e47aff.gif искомая функция.

В задаче № 3 задания 7 функцией z будет сумма квадратов расстояний от точки hello_html_37abf0d4.gif до точек А и В. В качестве аргумента можно выбрать х или у.

2. Определив аргумент х и функцию у, укажите, в каких границах они могут изменяться. Это упростит исследование функции.

3. Используя условие задачи, надо аналитически записать искомую функцию hello_html_13dcccbb.gif одной переменной. Это наиболее трудная часть, так как искомая величина, как правило, зависит от двух и более переменных величин. Так, в задаче № 1 площадь S зависит от длин сторон прямоугольника х и у, то есть hello_html_m1a214832.gif. В задаче № 3 функция z зависит от координат х и у точки М hello_html_m3f8e97fe.gif. Поэтому необходимо одну из переменных ( х или у) исключить, используя условие задачи. Следует помнить, что исследуемая функция должна зависеть только от одной переменной.

4. Полученную функцию исследуйте на экстремум.


Пример 1. В прямоугольном треугольнике сумма длин гипотенузы и катета равна 24 см. При каком угле hello_html_m5dee6654.gif между ними площадь треугольника будет наибольшей ?

Решение. По условию hello_html_m22f83608.gif. Можно привести два решения этой задачи.

а) В качестве функции здесь выступает площадь S, а в качестве аргумента угол hello_html_m5dee6654.gif, т. е. hello_html_m7e11d494.gif. При этом hello_html_72616677.gifhello_html_3f8bde9d.gif. Поэтому, естественно, воспользуемся формулой площади hello_html_3b5617df.gif. Но тогда а и с надо выразить через hello_html_m5dee6654.gif.



hello_html_m235fbdda.gif

с

в


α

а


Рис.6

Из рис.6 hello_html_37d92894.gif, но hello_html_adc0d18.gif, поэтому hello_html_90063bc.gif. Отсюда следует, что hello_html_m4f0eda63.gif и hello_html_42f956ff.gif. Так как hello_html_5d216099.gif, то получим hello_html_m468e6719.gif.

Таким образом, hello_html_38f9b4c9.gif.

Как видно, этот «прямой » путь оказался громоздким.

б) Найдем, при каких значениях катетов а и b площадь треугольника будет наибольшей. Воспользуемся формулой hello_html_m7426e218.gif. Из условия hello_html_322cd1d5.gif , а по теореме Пифагора hello_html_76d5cfef.gif hello_html_m4546f985.gif. Таким образом, hello_html_m39be77ec.gif, т.е. hello_html_36162c18.gif. Найдем максимум этой функции.

hello_html_m1ee01088.gif

Видно, что производная hello_html_m5a168621.gif меняет знак с плюса на минус при переходе через точку hello_html_m32d4884d.gif. Это значит, что функция S имеет максимум при hello_html_m32d4884d.gif. Но тогда hello_html_m74a885fe.gif и hello_html_m4c54da20.gif. Итак, площадь треугольника будет наибольшей при hello_html_m3010c670.gif.


Пример 2. Завод Д нужно соединить шоссейной дорогой о прямолинейной железной дорогой, на которой расположен город А. Стоимость перевозок по шоссе в m раз дороже стоимости перевозок по железной дороге. Как провести

шоссе к железной дороге, чтобы стоимость перевозок от завода к городу была

наименьшей ?

Решение. Расстояние от завода Д до железной дороги можно измерить. Пусть hello_html_6e9606b6.gif.

Расстояние hello_html_m643fb040.gif тоже можно измерить. Положение точки Р на АВ неизвестно, обозначим расстояние АР hello_html_m49859809.gif, тогда hello_html_m57d2243e.gif. Стоимость перевозок по железной дороге единицы груза на единицу расстояния известна и равна hello_html_m53e192f.gif , тогда стоимость

Д hello_html_m6a75ea2d.gif



А Р В


Рис. 7


перевозки по шоссе - hello_html_m60e3ee3e.gif; hello_html_71cfffdd.gif - стоимость перевозки груза по железной дороге. hello_html_6b14cfc.gif- стоимость перевозки по шоссе. Стоимость перевозки груза от Д до А hello_html_ma1ba13.gif, полученную функцию исследуем hello_html_43e416aa.gif ,

hello_html_m3448b8a2.gif, hello_html_m6748a63d.gif,

hello_html_m337501b9.gif, hello_html_m550dc905.gif

при hello_html_m603c41fe.gif. При указанном х стоимость перевозок будет наименьшей.



БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК


1. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов. -М.: Наука, 1964. – Т. 1. – 544 с.

2. Бохан К. А., Егорова И. А., Лащенов К. В. Курс математического анализа. -М.: Просвещение, 1965. – Т. 1. – 435 с.

3. Сборник задач по курсу высшей математики / Под рук. П.Е. Дюбюка и

Г.И. Кручковича. - М.: Высш. шк., 1965. – 591 с.

4. Задачник по курсу математического анализа / Под ред. Н.Я. Виленкина. - М.: Просвещение, 1971. – 350 с.

5. Запорожец Г. И. Руководство к решению задач по математическому анализу. - М.: Высш. шк., 1966. – 460 с.

6. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов / Под ред.

Б. П. Демидовича. - М.: ГИФМЛ, 1963. – 472 с.

7. Г.Н. Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа. - М.: ГИФМЛ, 1958. – 436 с.





























57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)


Автор
Дата добавления 28.10.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров236
Номер материала ДВ-103478
Получить свидетельство о публикации

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх