Jткрытый урок ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИИ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ

• 1 слайд

  Применение производной
  в географии
  

• 2 слайд

  На 1 января 2010 года численность постоянного населения Калининградской области составила 937 360 человек.
  
  Численность населения
  г.Калининград
  Прирост населения
  Естественный-
  3766 человек
  Миграционный-
  3722 человек
  

• 3 слайд

  наука о закономерностях воспроизводства населения, изучающая численность, территориальное размещение и состав населения
  Демография
  

• 4 слайд

  Вывести формулу для вычисления численности населения на ограниченной территории в момент времени t.
  Задача
  

• 5 слайд

  Мальцева Т.
  Дедяева П.
  Басова Е.
  Кузьмичёва В.
  Лапицкая О.
  Работу выполнили:
  

• 1 слайд

  Мы изучаем производную функции
  А так ли это важно в жизни?
  «Дифференциальное исчисление- это описание окружающего нас мира, выполненное на математическом языке. Производная помогает нам успешно решать не только математические задачи, но и задачи практического характера в разных областях науки и техники»
  Математика - это достаточно сложный предмет,
  и самое главное – понять , зачем она нужна
  

• 2 слайд

  Г. Лейбниц
  И. Ньютон 
  Р. Декарт
  Г.Галилей
  Ж. Лагранж
  Л. Эйлер
  Развитие дифференциального исчисления , 17 век
  

• 3 слайд

  Значит
  изучать
  производную
  нам нужно?
  
  
  ?
  

• 4 слайд

  Во всем мне хочется дойти
  До самой сути.
  В работе,в поисках пути, в сердечной смуте.
  До сущности протекших дней, до их причины, до оснований,
  до корней, до сердцевины.
  Борис Пастернак.
  

• 5 слайд

  Орешек знаний тверд
  Но все же, мы не привыкли отступать.
  Чтоб расколоть его сегодня
  Мы будем истину искать.
  А истина кроется внутри этого сюрприза, который завернут в три обертки,
  каждую обертку можно снять лишь успешно решив задачу поставленную
  на каждом из трех этапов. Итак, приступим.
  Предлагаю вам небольшую математическую разминку.
  

• 6 слайд

  Фронтальный опрос:
  
  
  
  

• 7 слайд

  «…нет ни одной области в математике, которая когда-либо не окажется применимой к явлениям действительного мира…»
  Н.И. Лобачевский
  

• 8 слайд

  Применение производной функции к построению графиков функции
  

• 9 слайд

  Спасибо за урок!
  Наградой за урок вам будут хорошие отметки.
  
  А от меня, по орешку знаний!
  Желаю успеха!
  

• 10 слайд

  СПАСИБО
  ЗА ВНИМАНИЕ!
  

• 1 слайд

  Применение производной функции к построению графиков
  

• 2 слайд

  «…нет ни одной области в математике, которая когда-либо не окажется применимой к явлениям действительного мира…»
  Н.И. Лобачевский
  Скажи мне, и я забуду.
  Покажи мне, и я запомню.
  Дай мне действовать самому,
  И я научусь.
  Конфуций
  

• 3 слайд

  Цели урока:
   Образовательные.
  повторить и обобщить знания о производной числа, правилах дифференцирования производной;
  познакомить с методикой проведения производной функции, возрастания и убывания функции, экстремумов функции при построении графиков функции.
   Развивающие.
  развивать математическую речь, память, мышление, любознательность навыков коллективной работы, познавательного интереса через обобщение и систематизацию, сравнение и анализ;
  развитие творческих и исследовательских умений (анализ проблемной ситуации, осуществление отбора необходимой информации, умение строить гипотезы, обобщать, делать выводы;
   Воспитательные.
  - - воспитывать культуру общения , уважения друг к другу, стремление к саморазвитию в использовании дополнительного материала;
  - способствовать формированию организованности, дисциплины, настойчивости, аккуратности и ответственного отношения к учёбе;
  

• 4 слайд

  Необходимое условие возрастания и убывания функции
  Т е о р е м а. Если дифференцируемая функция f(x), х(а;b), возрастает (убывает) на (а;b), то f `(x) > 0 (f `(x) < 0) для любого х из интервала (а;b).
  

• 5 слайд

  Достаточные условия возрастания и убывания функции
  Теорема Лагранжа.
  Если функция f(x), х[а;b], непрерывна на отрезке [а;b] и дифференцируема на интервале (а;b), то найдётся точка с(а;b) такая, что имеет место формула
  f(a) – f(b) = f `(c)(b – a)
  

• 6 слайд

  Достаточное условие возрастания функции
  Теорема. Если функция f имеет неотрицательную производную в каждой точке интервала (а;b), то функция f возрастает на интервале (а;b).
  

• 7 слайд

  Достаточное условие убывания функции
  Теорема. Если функция имеет неположительную производную в каждой точке интервала (а;b), то функция f убывает на интервале (а;b).
  

• 8 слайд

  х
  у
  0
  х
  у
  0
  
  
  Функция возрастает
   < 900
  tg  > 0
  f `(x) > 0
  
  Функция убывает
   > 900
  
  tg  < 0
  
  f `(x) < 0
  
  

• 9 слайд

  Правило нахождения интервалов монотонности
  1) Вычисляем производную f `(x) данной функции f(x), а затем находим точки, в которых f `(x) равна нулю или не существует. Эти точки называются критическими для функции f(x)
  

• 10 слайд

  Правило нахождения интервалов монотонности
  2) Критическими точками область определения функции f(x) разбивается на интервалы, на каждом из которых производная f `(x) сохраняет свой знак. Эти интервалы будут интервалами монотонности.
  

• 11 слайд

  Правило нахождения интервалов монотонности
  3) Определим знак f `(x) на каждом из найденных интервалов. Если на рассматриваемом интервале f `(x) > 0, то на этом интервале f(x) возрастает, если же f `(x) < 0, то на таком интервале f(x) убывает.
  

• 12 слайд

  Исследование экстремумов функции
  Необходимое условие экстремума.
  (теорема Ферма)
  Если точка х0 является точкой экстремума функции f и в этой точке существует производная f `(x), то она равна нулю:
  f `(x) = 0.
  

• 13 слайд

  Теорема Ферма лишь необходимое условие экстремума. Например, производная функции f(x) = x3 обращается в нуль в точке 0, но экстремума в этой точке функция не имеет.
  X
  Y
  -10
  -9
  -8
  -7
  -6
  -5
  -4
  -3
  -2
  -1
  1
  2
  3
  4
  5
  6
  7
  8
  9
  10
  -10
  -9
  -8
  -7
  -6
  -5
  -4
  -3
  -2
  -1
  1
  2
  3
  4
  5
  6
  7
  8
  9
  10
  0
  

• 14 слайд

  Достаточные условия существования экстремума в точке
  Признак максимума функции. Если функция f непрерывна в точке х0, а f `(x) > 0 на интервале (а; х0), и f `(x) < 0 на интервале (х0; b), то точка х0 является точкой максимума функции f.
  X
  Y
  -10
  -9
  -8
  -7
  -6
  -5
  -4
  -3
  -2
  -1
  1
  2
  3
  4
  5
  6
  7
  8
  9
  10
  -10
  -9
  -8
  -7
  -6
  -5
  -4
  -3
  -2
  -1
  1
  2
  3
  4
  5
  6
  7
  8
  9
  10
  0
  +
  +
  +
  +
  +
  +
  -
  -
  -
  -
  -
  -
  

• 15 слайд

  Достаточные условия существования экстремума в точке
  Признак минимума функции. Если функция f непрерывна в точке х0, f `(x) < 0 на интервале
  (а; х0) и f `(x) > 0 на интервале (х0; b), то точка х0 является точкой минимума функции f
  X
  Y
  -10
  -9
  -8
  -7
  -6
  -5
  -4
  -3
  -2
  -1
  1
  2
  3
  4
  5
  6
  7
  8
  9
  10
  -10
  -9
  -8
  -7
  -6
  -5
  -4
  -3
  -2
  -1
  1
  2
  3
  4
  5
  6
  7
  8
  9
  10
  0
  +
  +
  +
  +
  +
  -
  -
  -
  -
  -
  -
  

• 16 слайд

  Исследовать и построить график функции
  Найти D(y).
  Найти производную функции Y,(x).
  Y,(x)=0, найти критические точки, определить знак производной, промежутки возрастания и убывания, точки экстремума, экстремумы функции.
  Построить график.
  
  
  

• 17 слайд

  Работа на компьютере
  Работа на местах
  

• 18 слайд

   Исследовать и построить график функции
  с помощью производной
  
  
  1группа: у=х3-3х2+4
  2 группа: у=-х3+4х2-4х
  3 группа: у=2+3х-х2
  4 группа: у=х3+6х2+9х
  5 группа: у=х4-2х2+2
  
  
  
  

• 19 слайд

  ____группа: «______________________»
  Девиз: ___________________________
  Подведение итогов
  (оценочный лист)
  
  Условные знаки для оценивания студентом самого себя:
  О – отлично изучил тему
  X – есть пробелы, но решил самостоятельно
  Y – были пробелы, но решил с помощью группы
  Z – проблемы не решены
  

• 20 слайд

  «Если бы мне пришлось начать вновь свое обучение, то я последовал бы совету Платона и принялся бы сперва за математику как науку, требующую точности и принимающую за верное только то, что вытекает как следствие из доказанного».
  Г. Галилей
  
  

• 21 слайд

  Домашнее задание
  
  Составить опорный конспект в электронном виде по теме «Применение производной функции к построению графиков функции», построить блок схему (алгоритм) исследования графика функции с помощью производной, отобразить применение производной в различных областях науки.
  
  

• 1 слайд

  Применение
  производной
  в физике
  

• 2 слайд

  υ(t) = х/(t) – скорость
  a (t)=υ/ (t) - ускорение
  J (t) = q/(t) - сила тока
  C(t) = Q/(t) - теплоемкость
  d(l)=m/(l) - линейная плотность
  K (t) = l/(t) - коэффициент линейного расширения
  ω (t)= φ/(t) - угловая скорость
  а (t)= ω/(t) - угловое ускорение
  N(t) = A/(t) - мощность
  

• 3 слайд

  Задача
  Вычислить силу тока I, который несет на себе заряд, заданный зависимостью
  q=10-6cos 10-4t (Кл)
  через поперечное сечение проводника за 5 секунд.
  

• 4 слайд

  Решение
  
  
  I (t)= q’ (t)
  q’(t)=  qmw0cosw0t
  

• 5 слайд

  Презентацию подготовили:
  Озвучила: Горская Ксения
  Рисунки подбирали: Ямщикова, Дроздова, Сипаева,Аникина.
  Задачу решили: Горская
  Подготовили материал: Горская, Ямщикова.
  Оформили: Горская, Ямщикова, Дроздова, Сипаева,Аникина.
  

• 1 слайд

  ПРОИЗВОДНАЯ
  В Экологии
  

• 2 слайд

  Популяция – это совокупность особей данного вида, занимающих определённый участок территории внутри ареала вида, свободно скрещивающихся между собой и частично или полностью изолированных от других популяций, а также является элементарной единицей эволюции.
  

• 3 слайд

  Задача :
  По известной зависимости численности популяции
  y (t)=t3-3t2+4
  Определить относительный прирост
  в момент времени t=10 секунд
  

• 4 слайд

  Над презентацией работали:
  Якушев Илья
  Мысевич Александр
  
  Бойко Елена
  Выприцкая Валерия
  Агафонова Кристина
  8 БЭ
  

• 1 слайд

  Производная функция
  в химии
  

• 2 слайд

  Задача
  Пусть количество вещества, вступившего в химическую реакцию задается зависимостью:
  (моль)
  Найти скорость химической реакции через 3 секунды.
  
  

• 3 слайд

  Решение:
  ʋ(t) = p ‘(t)
  

• 4 слайд

  Подготовили:
  Светлана
  Даша
  Вероника
  Оля
  Аня
  Ирина
  

• 1 слайд

  Производная в экономике.
  Применение производной в экономике
  
  

• 2 слайд

  В экономической теории активно используется понятие «маржинальный», что означает «предельный». Это понятие было введено в XIX веке .
  

• 3 слайд

  С помощью производной функции можно определять:
  зависимость спроса от цены,
  определить выручку от реализации товара по цене и т.д.
  
  
  
  
  
  
  

• 4 слайд

  ЗАДАЧА
  Предприятие производит Х единиц некоторой однородной продукции в месяц. Установлено, что зависимость финансовых накопления предприятия от объема выпуска выражается формулой f(x)=-0,02x+600x -1000. Исследовать потенциал предприятия.
  3
  

• 5 слайд

  ВЫВОД:
  Финансовые накопления предприятия растут с увеличением объема производства до 100 единиц, при х =100 они достигают максимума и объем накопления равен 39000 денежных единиц. Дальнейший рост производства приводит к сокращению финансовых накоплений.
  

• 6 слайд

  Надя
  Аня
  Юля
  Света
  Кристина
  Работу выполнили
  

• 1 слайд

  
  
  Построение графиков с помощью программы Excel
  (инструкция)
  

• 2 слайд

  Данное электронное пособие поможет научится строить графики в программе Excel
  

• 3 слайд

  Построим график на примере таблицы, в которой 2 столбца
  
  

• 4 слайд

  1. Для этого выделим нужные нам столбцы
  2. И нажимаем кнопку мастер диаграмм
  
  

• 5 слайд

  На экране появляется окно,
  на котором мы выбираем
  нужный нам тип диаграммы
  Например построим обычный
  график функции:
  1.Выберем в типе диаграмм - точечная
  2.Выберем нужный нам вид
  3.Нажимаем кнопку «далее»
  

• 6 слайд

  Появилось окно, в котором
  мы видим нужный нам график.
  Если нам требуется подписать
  оси, то выбираем окно «ряд»
  
  Если график нас не устраивает,
  то нажимаем кнопку «назад»
  Если график нас устраивает, то
  нажимаем кнопку «готово».
  

• 7 слайд

  Нужный нам график готов
  

КАЛИНИНГРАДСКИЙ ТОРГОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ

- филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения

высшего профессионального образования

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА

и ГОСУДАРСТВЕННОЙ СЛУЖБЫ

при ПРЕЗИДЕНТЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

 

ОТКРЫТЫЙ УРОК

Дисциплина: Математика

Тема: Применение производной функции к построению графиков функции

Калининград, 2011

ПЛАН УРОКА:

Дисциплина: Математика

Тема: «Применение производной к построению графиков»          

Дата: 16.02.2011г.

Время проведения: 10.00-11.20

Место проведения: кабинет №15

Группа: 8БЭ 

Специальность: 080110

Тип урока: изучение нового материала

Вид урока: комбинированный

Метод проведения:

                 -  метод проектов;

Цели урока:

1.Обучающая:

-повторить и обобщить знания о производной  числа, правилах дифференцирования производной;

-познакомить с методикой проведения производной функции, возрастания и убывания функции, экстремумов функции при построении графиков функции.

2.Развивающая:

-       развивать  математическую речь, память, мышление, любознательность навыков коллективной работы, познавательного интереса через обобщение и систематизацию, сравнение и анализ;

-       развитие  творческих и исследовательских умений (анализ проблемной ситуации, осуществление отбора необходимой информации, умение строить гипотезы, обобщать, делать выводы;

-        формирование умений анализировать проблему и планировать способы ее решения;

2.Воспитательная:

- воспитывать культуру общения , уважения друг к другу, стремление к саморазвитию в использовании дополнительного материала;

- способствовать формированию организованности, дисциплины, настойчивости, аккуратности и ответственного отношения к учёбе;

3.Методическая:

- совершенствовать  методику проведения уроков изучения нового материала методом проектов;

- совершенствовать навыки использования мультимедийных пособий.

Междисциплинарные связи:

- физика

Тема: «Электромагнитные колебания»

- математика :

Тема: «Производная. Производная элементарных и степенной функций.      Правила дифференцирования»,

 Тема: «Геометрический смысл производной»,

 Тема: «Возрастание и убывание функции. Экстремумы функции»,

  Тема: «Применение производной к построению графиков»,

 Тема: «Наибольшее и наименьшее значение функции, выпуклость графика и точки перегиба»

- информатика

Тема: «Построение графиков функции средствами Microsoft Excel»

- экология

Тема:  «Численность популяции»

- химия

Тема:  «Скорость химической реакции»

Тема:  «Расчет количества вещества»

Тема:  «Решение задач по химическим уравнениям»

- география

Тема:  «Демография населения »

- экономическая теория

Тема:   « Теория производителя»

Тема:   « Микроэкономика: спрос, предложение, равновесие рынка»

Методическое и техническое сопровождение урока:

·        раздаточный материал(лист бумаги, цветные стержни);

·        методические рекомендации по выполнению практических заданий;

·        презентация;

·        магнитная доска;

·        персональный компьютер;

·        мультимедийный проектор.

Квалификационные требования:

В результате изучения дисциплины студент должен

знать:

·   определение производной;

·   таблицу производных;

·   правила вычисления производных

·   правила нахождения производных суммы, разности , произведения, частного;

·   правила нахождения производной сложной функции;

·   правила дифференцирования;

·   достаточный признак возрастания и убывания функции;

·   теорему Лагранжа;

·   понятие «монотонность» функции;

·   определения точек максимума и минимума;

·   необходимый признак экстремума( теорема Ферма);

·   достаточный признак максимума и минимума;

·   определение стационарных и критических точек;

·   общую схему исследования функции;

·   метод построения графика четной и нечетной функции;

уметь:

·   использовать определение производной при нахождении производных;

·   находить производные по таблице производных;

·   находить производные суммы , произведения и частного;

·   применять производную к нахождению промежутков возрастания и убывания функции;

·   находить экстремумы функции, точки экстремума, определять их по графику;

·   проводить исследование функции и строить график.

Литература:

Основная:

1.     Ш..Алимов, Ю.М.Калягин, Ю.В.Сидоров. «Алгебра и начала анализа»

Дополнительная:

1. Гарднер М. Математические чудеса и тайны.-М.Наука.2003.

2. Журнал «Математика в школе».

3. Прохоров Ю.В. Математика. Энциклопедия.-М.Дрофа, 2003.

4. Методические рекомендации по выполнению практических работ .

5. Интернет-ресурсы.

ЭЛЕМЕНТЫ УРОКА

№ п/п	Наименование структурного элемента урока	Время
1.	Организационный момент. Приветствие, проверка готовности студентов к проведению урока, отметить отсутствующих, готовность аудитории к уроку.	2 мин.
2.	Сообщение темы и плана, постановка цели. Тема: «Применение производной к построению графиков» Цель: обобщить и систематизировать знания  студентов, полученные на уроках математики, воспитывать у студентов потребности в саморазвитии, самосовершенствовании; развивать интерес к дисциплине. План 1.     Демонстрация презентаций ( домашнее задание). 2.     Фронтальный опрос. 3.     Изучение нового материала: применение производной к построению графиков  функции, алгоритм построения. 4.     Применение производной к построению графиков. 5.     Демонстрация презентаций по изученной новой теме. 6.     Подведение итогов урока. 7.     Домашнее задание.	3 мин
3.	Мотивация учебной деятельности студентов. Студенты принимали  участие в сборе информации, подготовке иллюстрированных материалов об истории и применении  производной в математике, физике, химии, биологии, географии, экономике , применении ее  в различных областях науки, выполняли задание на уроке по построению графиков.	5 мин
4.	Актуализация опорных знаний. Фронтальный опрос по вопросам: 1.     Определение производной функции. 2.     Производная элементарных функций. 3.     Правила дифференцирования. 4.   Достаточный признак возрастания и убывания функции 5.   Теорему Лагранжа 6.   Понятие «монотонность» функции 7.   Определения точек максимума и минимума 8.   Необходимый признак экстремума( теорема Ферма) 9.   Достаточный признак максимума и минимума 10. Определение стационарных и критических точек	5 мин
5.	Изучение нового материала. Вопрос 1. Повторение изученного материала по теме «Производная»: устный счет и фронтальный опрос Работает вся группа устно: 1.     Устное решение примеров: используя определение производной, правила дифференцирования и таблицу производных 2.     Фронтальный опрос по   вопросам теории: Ø Определение производной функции. Ø Производная элементарных функций. Ø Правила дифференцирования. ØДостаточный признак возрастания и убывания функции ØТеорему Лагранжа ØПонятие «монотонность» функции ØОпределения точек максимума и минимума ØНеобходимый признак экстремума( теорема Ферма) ØДостаточный признак максимума и минимума Ø Определение стационарных и критических точек Вопрос 2. Изучение нового материала Построение графика функции с помощью производной, используя алгоритм( схема). Вопрос 3. Решение задач Используя  методическое пособие с рекомендациями по выполнению практических заданий, студенты выполняют решение задач самостоятельно в группах , и  одновременно  с помощью компьютера выполняют построение графика функции, который построят с помощью производной на листе  ватмана по группам(для проверки правильности выполнения задания и исправления ошибок) и применением полученных знаний на уроке. Группа разбивается на 5 микрогрупп ( по 5-6 чел.), каждая микрогруппа указывает название, девиз и вносит в оценочный лист, назначает консультанта. Каждая группа создает презентацию, в которой отображается: ·        Схема (шаблон) построения графика функции с помощью производной; ·        график функции, построение которого выполнено посредством Microsoft Excel.	5 мин. 20мин. 30 мин.
6.	Подведение итога урока . Подводим итог урока, связывая понятие  производной  функции с процессами и явлениями в связи с математикой, физикой ,  химией, биологией, экономикой, информатикой в окружающем нас мире, обобщая и систематизируя умения и навыки при решении задач , продемонстрировать, что рассмотрение даже самых элементарных  вопросов требуют знания математики. Преподаватель приводит слова Галилея: «Если бы мне пришлось начать вновь свое обучение, то я последовал бы совету Платона и принялся бы сперва за математику как науку, требующую точности и принимающую за верное только то, что вытекает как следствие из доказанного». Вопросы: 1.     Когда возник термин «производная»? 2.     Что такое производная функции, её применение ? 3.     В области каких наук отображается определение и понятие производной функции? 4.     Как эти знания и умения пригодятся в жизни? Оценка работы студентов преподавателем и студентами- консультантами (приложение №1). Домашнее задание: Составить опорный конспект по теме «Применение производной к построению графиков», обобщая все понятия, схемы , определения по данной теме и дополнительную информацию из истории производной и ее применении в связи с другими науками .	7 мин. 3 мин.

Преподаватель                                  Н.В.Горская

Приложение №1. Оценочный лист

_____группа : «______________________» Девиз:
Фамилия, имя	Презента ция	Сам. работа	Работа в группе	Итоговая оценка

Условные знаки для оценивания студентом самого себя:

О - Отлично изучил тему

Х - Есть пробелы, но я их решил самостоятельно

У - Были пробелы, но я их решил с помощью группы

Z- Проблемы не решены

Приложение №2.Рабочая тетрадь.

КАЛИНИНГРАДСКИЙ ТОРГОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ

- филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения

высшего профессионального образования

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА

и ГОСУДАРСТВЕННОЙ СЛУЖБЫ

при ПРЕЗИДЕНТЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

 

РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ

Дисциплина: Математика.

Тема: Применение производной функции к построению графиков функции.

Калининград, 2011

ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ.

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНОЙ

I. Задачи, приводящие к понятию производной.

Понятие производной возникло как результат обобщения описаний процессов, в которых требовалось показать характер изменения некоторой величины по отношению к другой величине, т.е. скорость изменения.

Процесс	Скорость
	постоянная	изменяющаяся	мгновенная
Механическое движение
Химическая реакция
Электрический ток, его сила
Биологическая популяция, ее рост
Плотность стержня

II. Понятие производной, её физический и геометрический смысл.

Определение. Пусть функция                      определена на интервале (a; b)

и при этом:    х₀ Î (a; b),      х₀ + Dх                        ;           Df =                                              ;

где Dх –                                                                                             ,

Df –                                                                                                    .

Тогда

называется                                                                                                                                 .

Обозначения.                                                                                   .

Словесная формулировка производной функции в точке:

                                                                                                                                                    .

                                                                                                                                                    .

                                                                                                                                                    .

                                                                                                                                                    .

                                                                                                                                                    .

                                                                                                                                                    .

                                                                                                                                                    .

Действие нахождения производной функции называется                                                   .

Функция называется дифференцируемой на интервале (a; b), если она                            .

                                                                                                                                                    .

Физический смысл производной:                                                                                                        .

                                                                                                                                                                .

Геометрический смысл производной:

                 .

                 .

                 .

                 .

III. Примеры дифференцирования некоторых функций.

а) у = С, где С – const.        

б) у = х.

в) у = х².

IV. Производные основных элементарных функций:

;

;

;

частный случай ;

;

частный случай ;

;

   ;

;

;

;

;

;

.

V. Правила дифференцирования.

Пусть функции y=f(x) и y=g(x) дифференцируемы на некотором множестве D. Тогда для всех х из множества D выполнено:

1. Производная суммы двух функций:

;

2. Производная произведения двух функций:

;            Следствие. .

3. Производная частного двух функций:

;

4. Производная сложной функции (или суперпозиции двух функций):

.

Задание 1. Используя правила дифференцирования частного, выведите формулы для производных функций у = tgx и y=ctgx.

Примеры:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

VI. Основные теоремы о дифференцируемых функциях.

1. Теорема Ферма.

            Пусть функция y = f(x)

·                                                             

·                                                              .

Если функция y = f(x) достигает в

некоторой точке с                                     .

наименьшее или наибольшее значение и в этой точке существует конечная производная, то .

2. Теорема Ролля.

            Пусть функция y = f(x):

·                                                             

·                                                             

·                                                             

·                                                              .

Тогда существует точка с                           :

                                    .

3. Теорема Лагранжа.

    (обобщение теоремы Ролля).

            Пусть функция y = f(x):

·                                                             

·                                                             

·                                                              .

Тогда существует точка с                           :

            .

4. Правило Лопиталя.

(раскрытие неопределенностей типа  или  при вычислении пределов).

Предел отношения двух бесконечно малых (или бесконечно больших) функций равен пределу отношений их производных, если последний существует, т. е.

математическая запись правила Лопиталя

Примеры:

a)  =

б)  =

в)  =

VII. Исследование функции (основные понятия).

Точка x₀ называется точкой локального максимума, если                                                  .

                                                                                                                                                    .

Тогда f(x₀) –                                                                                      .

Точка x₀ называется точкой локального минимума, если                                                    .

                                                                                                                                                    .

Тогда f(x₀) –                                                                                      .

Точки локальных минимумов и (или) максимумов

называются                                                             

                                                                                   .

Значения функции в этих точках называются

                                                                                   .

Точки, в которых производная равна нулю или не существует, называются                    .

                                                                                                                                                   .

VIII. Основные теоремы, применяемые при исследовании функций.

Достаточное условие возрастания (убывания) функции.

Пусть задана функция y = f(x).

Если на некотором множестве D , то функция на множестве D                                         ;

если на некотором множестве D , то функция на множестве D                            .

Необходимое условие существования экстремума.

Если функция y = f(x) определена на отрезке                   и дифференцируема на интервале                          и при этом                    :   x₀ является точкой экстремума,  то

                        .

Достаточное условие существования экстремума.

Если  и при этом функция y = f(x) при переходе через точку x₀ в направлении возрастания аргумента меняет знак:        а) с плюса на минус;

                                                                       б) с минуса на плюс,           

то точка x₀ является:             а)                                                                                                 ;

б)                                                                                                .

х = а –         .

        ;

х = b –         .

                                                                                 ;

х = с –                                                                       .

                                                                                  .

Задание 2. С помощью схематичного построения графиков определите точки локальных экстремумов функций у = х² и у = -х². Найдите вторые производные этих функций в точках локальных экстремумов.

Примечание. Второй производной функции называется производная, взятая от первой производной данной функции.

 

                                                                                  

                                                                                 

Второе достаточное условие существования экстремума.

Пусть функция y = f(x) имеет в точке x₀ непрерывную первую и вторую производные,

причем                                                                      .

            Тогда функция имеет в точке x₀  локальный:

а) максимум, если                            ;

б) минимум, если                             .

IX. Асимптоты графика функции.

Асимптота – прямая, к которой неограниченно приближается график функции, когда точка графика неограниченно удаляется от начала координат.

Вертикальная асимптота – прямая,                  .

                                                                              .

х = а – вертикальная асимптота, если хотя бы один из односторонних пределов                       .

                                                                              .

Пример.

;            х =     – вертикальная асимптота, так

как                                                                        .

Наклонная асимптота – это прямая вида                                      .

График функции y = f(x) имеет наклонную асимптоту при x ® +¥ тогда и только тогда,

когда существуют два предела:                                                                 ;

                                                                                                                      .

Аналогично определяется наклонная асимптота при x ®  -¥ .

Задание 3. Определите наклонную асимптоту для графика функции .

X. Схема исследования функции и построения графика.

1. Область определения функции; если возможно, область ее значений, а также общие свойства (четность, нечетность, периодичность и т.п.).

2. Точки разрыва функции (если есть) и вычисление для этих точек односторонних пределов.

3. Поведение функции при x ® ±¥, т.е. .

4. Точки пересечения с осями координат:

            с осью абcсцис: у=0;

            с осью ординат: х=0.

5. Исследование функции на экстремум, возрастание и убывание.

( и определение знаков производной функции в полученных интервалах; возможно использование второй производной).

6. Асимптоты функции (если они существуют).

7. Построение графика функции.

Примечание. Некоторые пункты схемы в процессе исследования могут быть опущены.

Пример:        

а) .

XI. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

Пример. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции

f(x) = 6x² – 18x + 12 на отрезке .

Задание 4. Укажите алгоритм (порядок действий) нахождения наибольшего и наименьшего значений функции у = f(x) на отрезке .

                                                                                                                                                    .

                                                                                                                                                    .

                                                                                                                                                    .

                                                                                                                                                    .

                                                                                                                                                    .

                                                                                                                                                    .

                                                                                                                                                    .

                                                                                                                                                    .

                                                                                                                                                    .

                                                                                                                                                    .

                                                                                                                                                    .

Литература:

1.            Балагурова М.И.Интегрированные уроки как способ формирования целостного восприятия мира // Фестиваль педагогических идей «Открытый урок». 2003-2004 учебный год. – G\ index.htm –сайт ИД «Первое сентября»;

2.            Баркова М. В. Интеграция видов искусств при изучении художественных направлений // Фестиваль педагогических идей «Открытый урок». 2003-2004 учебный год. - G\ index.htm –сайт ИД «Первое сентября»;

3.            Земцова Г.В. Интегрированный урок как средство развития творческого потенциала младших школьников // Фестиваль педагогических идей «Открытый урок». 2004-2005 учебный год. -

     G\ index.htm –сайт ИД «Первое сентября»;

4.            Михайлова О.С. Интеграция как методическое явление // Фестиваль педагогических идей «Открытый урок». 2004-2005 учебный год. –

 G\ index.htm –сайт ИД «Первое сентября»;

5.            Петренко Л.А. Интегрированный урок как форма учебного занятия// Фестиваль педагогических идей «Открытый урок». 2004-2005 учебный год. -  G\ index.htm –сайт ИД «Первое сентября»