«Тригонометрические функции числового аргумента», «Тригонометрические уравнения и их решение»

Методические рекомендации

 по изучению разделов

«Тригонометрические функции числового аргумента»,

«Тригонометрические уравнения и их решение»

Содержание:

1.Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса                       3                                    

2.Свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса                                                                      9

3.Радианная мера угла                                                                                                                       14

4.Соотношения между тригонометрическими функциями                                                              

одного и того же угла                                                                                                                        17

5.Формулы приведения                                                                                                                     21

6.Формулы сложения                                                                                                                        25

7.Формулы двойного угла                                                                                                                27

8.Формулы суммы и разности тригонометрических функций                                                     29

9.Тригонометрические функции, их графики                                                                                32

а) непрерывность тригонометрической функции

б) свойства и графики функций y=sin x и y=cos x

в) свойства и графики функции y=tg x и y=ctg x

г) график гармонического колебания

10.Обратные тригонометрические функции                                                                                  36

11.Простейшие тригонометрические уравнения и их решение                                                    43

12.Методы решения тригонометрических уравнений                                                                   45

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЛЮБОГО УГЛА

1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СИНУСА, КОСИНУСА, ТАНГЕНСА И КОТАНГЕНСА

        Отметим на оси х справа от начала координат точку А и проведем через нее окружность с центром в точке О (рис. 1). Радиус ОА будем называть начальным радиусом.

         Повернем начальный радиус около точки О на 70⁰ против часовой стрелки. При этом он перейдет в радиус ОВ. Говорят, что угол поворота равен 70⁰. Если повернуть начальный радиус около точки О на 70⁰ по часовой стрелке, то он перейдет в радиус ОС. В этом случае говорят, что угол поворота равен – 70⁰. Углы поворота в 70⁰ и  - 70⁰ показаны стрелками на рисунке 64.

         Вообще при повороте против часовой стрелки угол поворота считают положительным, а при повороте по часовой стрелке – отрицательным.

         Из курса геометрии известно, что мера угла в градусах выражается числом от 0 до 180. Что касается угла поворота, то он может выражаться в градусах каким угодно действительным числом от - ∞ до + ∞. Так, если начальный радиус повернуть против часовой стрелки на 180⁰, а потом еще на 30⁰, то угол поворота будет равен 210⁰. Если начальный радиус сделает полный оборот против часовой стрелки, то угол поворота будет равен 360⁰; если он сделает полтора оборота в том же направлении, то угол поворота будет равен 540⁰ и т.д. На рисунке 2 стрелками показаны углы поворота

405⁰ и – 200⁰.

                                                                                                  Рис 1

Рассмотрим радиусы ОА и ОВ (рис. 3). Существуют бесконечно много углов поворота, при которых начальных радиус ОА переходит в радиус ОВ. Так, если АОВ = 130⁰, то соответствующие углы поворота будут равны 130⁰ + 360⁰ n, где n – любое целое число. Например, при n = 0, 1, - 1, 2, - 2

получаем углы поворота 130⁰, 490⁰,  - 230⁰, 850⁰,  - 590⁰.

                    Рис. 2                                                                 Рис. 3

         Пусть при повороте на угол а начальный радиус ОА переходит в радиус ОВ. Зависимости от того, в какой координатной четверти окажется радиус ОВ, угол а называют углом этой четверти. Так, если 0⁰ < a < 90⁰, то а – угол 1 четверти: если 90⁰ < a < 180⁰, то а – угол 2 четверти: если 180⁰ < a < 270⁰, то а – а угол 3 четверти: если 270⁰ < a < 360⁰, то а – угол 4 четверти. Очевидно, что при прибавлении к углу целого числа оборотов получается угол той же четвери. Например, угол в 430⁰ является углом 1 четверти, так как 430⁰ = 360⁰ + 70⁰ и 0⁰ < 70⁰ < 90⁰; угол в 920⁰ является углом 3 четверти, так как 920⁰ = 360⁰, … ни относятся ни к какой четверти.

         В курсе геометрии были определены синус, косинус и тангенс угла а при 0⁰ ≤ а  ≤ 180⁰. Теперь мы распространим эти определения на случай произвольного угла а. Кроме того, определим еще котангенс угла а, который обозначают ctg a.

         Пусть при повороте около точки О на угол а начальный радиус ОА переходит в радиус ОВ (рис. 4).

         Синусом угла а называется отношение ординаты точки В к длине радиуса.

         Косинусом угла а называется отношение абсциссы точки В к длине радиуса.

         Тангенсом угла а называется отношение ординаты точки В к ее абсциссе.

         Котангенсом угла а называется отношение абсциссы точки В к ее ординате.

         Если координаты точки В равны х и у, а длина начального радиуса равна R, то

sin a = ,  cos a = ,  tg a = ,  ctg a =

                     Рис. 4                                                          Рис. 5

         В курсе геометрии было показано, что значения синуса, косинуса и тангенса угла а, где 0⁰ ≤а ≤  180⁰, зависят только от а и не зависят от длины радиуса R. И в общем случае sin a, cos a, tg a, а также ctg a зависят только от угла а.

         Покажем, например, что sin a не зависит от R.

         Пусть при повороте луча ОА₁ около точки О на угол а (рис. 5) радиусы ОА₁ = R₁ и ОА₂ = R₂ займут положения ОВ₁ и ОВ₂. Обозначим координаты точки В₁ через  х₁  и  у₁ а координаты точки В₂ через х₂  и  у₂.

         Опустим перпендикуляры из точек В₁ и В₂ на ось х. Прямоугольные треугольники ОВ₁С₁ и ОВ₂С₂ подобны. Отсюда

 = , т.е   = .

         Так как точки В₁ и В₂ принадлежат одной и той же координатной четверти, то их ординаты у₁ и у₂ имеют одинаковые знаки. Поэтому  = .

         Заметим, что это равенство верно и в том случае, когда точки В₁ и В₂ попадают на одну из осей координат. Таким образом, для любого угла а отношение  не зависит от радиуса R.

         Выражения sin a и cos a определены при любом а, так как для любого угла поворота можно найти соответствующие значения дробей  и . Выражение tg a имеет смысл при любом а, кроме углов поворота ± 90⁰, ± 270⁰, ± 450⁰, …, так как для этих углов не имеет смысла дробь . Для выражения ctg a исключаются углы 0⁰, ± 180⁰, ± 360⁰, …, для которых не имеет смысла дробь .

         Каждому допустимому значению а соответствует единственное значение sin a, cos a, tg a, и ctg a. Поэтому синус, косинус, тангенс и котангенс являются функциями угла а. Их называют тригонометрическими функциями.

         Можно доказать, что областью значений тангенса и является промежуток [ - 1; 1], а областью значений тангенса и котангенса – множество всех действительных чисел.

         Приведем примеры вычисления значений тригонометрических функций.

         Пример 1. Найдем с помощью чертежа приближенные значения sin 110⁰, cos 110⁰, tg 110⁰, и ctg 110⁰.

         Начертим окружность с центром в начале координат и радиусом ОА = R = 3 (рис. 6). Повернем радиус ОА на 110⁰. Получим радиус ОВ. Найдем по рисунку координаты х и у точки В: х ≈ - 1,05. у ≈ 2,80. Отсюда

sin 110⁰ =  ≈  ≈ 0,93,

cos 110⁰ =  ≈ -  = - 0,35,

tg 110⁰ =  ≈ -  ≈ - 2,7,

ctg 110⁰ =  ≈ -  ≈ - 0,38.

В таблице приведены известные из курса геометрии значения синуса и тангенса углов 0⁰, 30⁰,45⁰,60⁰ и 90⁰. Прочерк сделан в том случае, когда выражение не имеет смысла.

Рис. 6

         Значения котангенса могут быть получены из значений тангенса, так как котангенс угла является числом, обратным тангенсу этого же угла. Поэтому, например,

ctg 30⁰ =  =  = .

                                                                            3

Пример 2. Найдем синус, косинус, тангенс и котангенс углов 180⁰ и 270⁰.

         При повороте на 180⁰ около точки О радиус ОА, равный 1 (рис. 7), переходит в радиус ОВ, а при повороте на 270⁰ – в радиус ОС.

         Так как точка В имеет координаты х = - 1 и у = 0, то

sin 180⁰ =  = 0,

cos 180⁰ =  = - 1,

tg 180⁰ =  = 0.

Так как точка С имеет координаты х = 0 и у = - 1, то sin 270⁰ =  = - 1,      

Cos 270⁰ =   = 0,        ctg 270⁰ =  = 0.

Напомним, что выражения ctg 180⁰ и tg 270⁰ не имеют смысла.

1. Начертите окружность с центром в начале координат и изобразите угол поворота, равный 150⁰, 210⁰, 540⁰,   - 45⁰,  - 135⁰,  - 720⁰.

2. Чему равны углы поворота, показанные стрелками на рисунке 8?

3. В какой четверти угол а, если:

                        Рис. 8                                                                 Рис. 7

а) а = 283⁰;                                     г) а = - 20⁰;

б) а = 190⁰;                                  д) а = -110⁰;

в) а = 100⁰;                                  е) а = 4200⁰?

4. В какой четверти угол а, если:

а) а = 179⁰;                                     г) а = - 10⁰;

б) а = 325⁰;                                  д) а = 800⁰;

в) а = - 150⁰;                                е) а = 10000⁰.

2. СВОЙСТВА СИНУСА, КОСИНУСА, ТАНГЕНСА И КОТАНГЕНСА

Рассмотрим некоторые свойства тригонометрических функций.

         Выясним сначала, какие знаки имеют синус, косинус, тангенс и котангенс в каждой из координатных четвертей.

         Пусть при повороте радиуса ОА, равного R, на угол а точка А перешла в точку В с координатами х и у (см. рис. 4).

         Так как sin a = , то знак sin a зависит от знака у. В1 и 2 четвертях у > 0,а в 3 и 4 четвертях у < 0. Значит, sin a > 0, если а является углом 1 или 2 четверти, и sin a < 0, если а является углом 3 или 4 четверти.

         Знак cos a зависит от знака х, так как cos a = . В 1 и 4 четвертях х > 0, а во 2 и 3 четвертях х < 0. Поэтому

       Знаки синуса                     Знаки косинуса               Знаки тангенса                                                                                                                                                                                                                                                                          

                                                                                                и котангенса    

                            

                                               Рис. 10

cos a > 0, если а является углом 1 или 4 четверти, и cos a < 0, если а является

углом 2 или 3 четверти.

         Так как tg a = , a ctg a = , то знаки tg a и ctg a зависят от знаков x и y. В 1 и 111 четвертях x и y имеют одинаковые знаки, а во 2 и 4 – разные. Значит, tg a >0  и ctg a > 0, если а является углом 1 или 3 четверти; tg a < 0 и ctg a <0, если а являются углом 2 или 4 четверти.

         Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса в каждой из четвертей показаны на рисунке 10.                                                                                                                                             

           Рис. 11

Выясним теперь вопрос о четности и нечетности тригонометрических функций.                                                                                                                                           Пусть  при повороте на угол, а радиус ОВ переходит в радиус ОВ, а при повороте на угол -  а в  радиус ОС (рис.11). Соединив отрезком точки В и С, получим равнобедренный треугольник ВОС. Луч ОА является биссектрису угла ВОС. Значит, отрезок ОК является медианой и высотой треугольника ВОС. Отсюда следует, что точки В и С симметричны относительно оси абсцисс.                     Пусть координаты точки В равных, координаты точки С равны х и у. Пользуясь этим, найдем, что:                                                                                                                                                                                                                                                                                                 

sin ( - a) =  = -  = - sin a,

cos ( - a) =  = cos a,

tg ( - a) =  = -  = - tg a,

ctg ( - a) =  = -  = - ctg a.

Мы получили формулы, выражающие зависимость между синусами, косинусами, тангенсами и котангенсами противоположных углов:

Sin ( - a) = - sin a,                 cos ( - a) = cos a,

tg ( - a) = - tg a,                  ctg ( - a) = - ctg a.

         Например:

cos ( - 40⁰) = cos 40⁰,

tg ( - 60⁰) = - tg 60⁰ = -

         Итак, синус, тангенс и котангенс являются нечетными функциями, а косинус является четной функцией.

         Рассмотрим еще одно свойство тригонометрических функций.

         Если при повороте радиуса ОА на угол а получен радиус ОВ (см. рис. 4), то тот же радиус получится и при повороте ОА на угол, отличающихся от а на целое число оборотов. Отсюда следует, что при изменении угла на целое число оборотов значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса не изменяются.

         Например:

Sin 30⁰ = sin (30⁰ + 360⁰) = sin (30⁰ – 360⁰) = sin (30⁰ + 2 · 360⁰) =                                   =sin (30⁰ - 2 · 360⁰) = … =.

         Рассмотренные свойства позволяют свести нахождения значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса любого угла к нахождению их значений для неотрицательного угла, меньшего 360⁰.

         Пример. Найдем sin 765⁰ и cos ( - 1170⁰).

         Имеем:

Sin 765⁰ = sin (2 · 360⁰ + 45⁰) = sin 45⁰ = ;

cos ( - 1170⁰) = cos 1170⁰ = cos (3 · 360⁰ + 90⁰) = cos 90⁰ = 0.

* 25. Какой знак имеют sin a, cos a, tg a и ctg a, если:

а) а = 48⁰;            б) а = 137⁰;            в) а = 200⁰;             г) а = 306⁰?

* 26. Какой знак имеет:

а) sin 179⁰;                           д) cos 410⁰;                    

б) cos 280⁰;                          е) tg 500⁰;

в) tg 175⁰;                            ж) sin ( - 75⁰);

г) ctg 359⁰;                           з) cos ( - 116⁰)?

* 27. Выясните, какой знак имеет:

а) cos 315⁰;                           в) tg 145⁰;                        д) cos ( - 25⁰);

б) sin 109⁰;                            г) ctg 288⁰;                      е) tg ( - 10⁰).

* 28. Углом какой четверти является угол а, если:

а) sin a > 0  и   cos a > 0;                           г) sin a > 0 и tg a > 0;

б) sin a < 0  и   cos a > 0;                           д) tg a < 0 и cos a > 0;

в) sin a < 0  и   cos a < 0;                           е) ctg  a > 0 и sin a < 0?

* 29. Определите знак выражения:

а) sin 100⁰ · cos 300⁰;                                в) cos 320⁰ · ctg 17⁰;

б) sin 190⁰ · tg 200⁰;                                  г) tg 170⁰ · cos 400⁰.

* 30. В каких четвертях имеют одинаковые знаки:

а) sin a и cos a;               а) tg a и ctg a;                 в) cos a и tg a?

* 31. Найдите значение выражения:

а) sin ( - 30⁰);                    в) tg ( - 45⁰);                      л) cos ( - 90⁰);

б) cos ( - 60⁰);                   г) ctg ( - 30⁰);                     е) sin ( - 45⁰).

* 32. Найдите:

а) sin ( - 60⁰);               б) cos ( - 180⁰);              в) sin ( - 90⁰);             г) ctg ( - 45⁰).

* 33. Найдите значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла а (если они существуют) при:

а) а = 750⁰;                  б) а = 810⁰;                 в) а = 1260⁰.

* 34. Найдите:

а) sin 390⁰;               б) cos 720⁰;                 в) tg 540⁰;               г) ctg 450⁰.

* 35. Найдите значение выражения:

а) sin 405⁰;                б) cos 720⁰;                в) tg 390⁰;                г) ctg 630⁰.

* 36. Вычислите:

а) sin ( - 720⁰);                         в) cos ( - 780⁰);       

б) cos ( - 405⁰);                        г) ctg ( - 1110⁰).

* 37. Найдите:

а) tg ( - 900⁰);                          б) ctg ( - 780⁰);                         в) sin ( - 1125⁰).

3. РАДИАННАЯ МЕРА УГЛА

Как известно, углы измеряются в градусах, минутах, секундах. Эти единицы измерения связаны между собой соотношениями.

                              1⁰ = 60’,                    1’ = 60”       

                              1’ = ,                 1” = .

Кроме указанных, используются также единица измерения углов, называемая радианом.

 Углом в один радиан называют центральный угол, которому соответствует длина дуги, равная длине радиуса окружности.

Угол, равный 1 радиану, изображен на рисунке 12.

Радианная мера угла, т.е. величина угла, выраженная в радианах, не зависит от длины радиуса. Это следует из того, что фигуры, ограниченные углом и дугой окружности с центром в вершине этого угла, подобны между собой (рис. 13).

Установим связь между радианными и градусными измерениями углов.

Углу, равному 180⁰, соответствует полуокружность, т.е. дуга, длина Ι которой равна πR:

Ι = πR

Чтобы найти радианную меру этого угла, надо длину дуги Ι разделить на длину радиуса R. Получим:

 = π.

Следовательно, радианная мера угла в 180⁰ равна π:

180⁰ = π радианы.

Отсюда получаем, что радианная мера угла в 1⁰ равна :

                                                           

          Рис. 12                                                                  Рис. 13

1⁰ =  рад.

Приближено 1⁰ равен 0,017 рад.

         Из равенства 180⁰ = π рад также следует, что градусная мера угла в 1 рад равна :

1 рад = .

Приближено 1 рад равен 57⁰.

Рассмотрим примеры перехода от радианной меры к градусной и от градусной меры к радиальной.

Пример 1. Выразим в градусах 4,5 рад.

Так как 1 рад = , то

4,5 рад = 4,5 ·  =  ≈ 258⁰.

Пример 2. Найдем радианную меру угла в 72⁰.

Так как 1⁰ =  рад, то

72⁰ = 72 ·  рад ≈ 1,3 рад.

При записи радианной меры угла обозначение <<рад>> часто опускают. Например, вместо равенства 72⁰ =  рад обычно пишут:

72⁰ = .

Выразим в радианной мере углы 30⁰, 45⁰, 60⁰, 90⁰, 270⁰ и 360⁰. Получим:

30⁰ =  · 30 =,                                 90⁰ =  · 90 = ,

45⁰ =  · 45 = ,                                270⁰ =  · 270 = ,

60⁰ =  · 60 = ,                               360⁰ =  · 360 = 2π.

         Радианная мера угла часто используется в тригонометрических выражениях. Так, запись sin 1 означает синус угла в 1 радиан, запись sin ( - 2,5) означает синус угла в  - 2,5 радиана, запись sin  означает синус угла в  радиан. Вообще запись sin x, где х – произвольное действительное число, означает синус угла, равного х радианам.

         Значения тригонометрических функций для углов, выраженных как в градусах, так и в радианах, можно находить, используя микрокалькулятор.

4.СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМИ ФУНКЦИЯМИ ОДНОГО И ТОГО ЖЕ УГЛА

Рассмотрим, как связаны между собой синус и косинус одного и того же угла.

Пусть при повороте радиуса ОА вокруг точки О на угол a получен радиус ОВ (рис. 1). По определению

х

где х — абсцисса точки В, у — ее ордината, a R— длина радиуса ОА. Отсюда

x=R cos a, y=R sina

Так как точка В принадлежит окружности с центром в начале координат, радиус которой равен R, то ее координаты удовлетворяют уравнению

х²+y^2.=R²

Подставив в это уравнение вместо х и у выражения R cosa, и R sina, получим:

(R cosa)²+(R sina)²=R²

Разделив обе части последнего равенства на R², найдем, что

sin²a +cos² a=l.

Равенство (1) верно при любых значениях a. Выясним теперь, как связаны между собой тангенс, синус и косинус одного и того же угла.

По определению tga= х/у .Так как у=R sina, x=Kcosa, то

Таким образом,

Аналогично

т.е.

Равенство (2) верно при всех значениях a, при которых cos a¹0, а равенство (3) верно при всех значениях a, при которых sina¹0.

С помощью формул (1)—(3) можно получить другие формулы, выражающие соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же угла.

Из равенств (2) и (3) получим:

,

т.е.

                                                 (4)

Равенство (4) показывает, как связаны между собой тангенс и котангенс угла а. Оно верно при всех значениях а, при которых tg а и ctg а имеют смысл.

Заметим, что формулу (4) можно получить и непосредственно из

определения тангенса и котангенса.

Выведем теперь формулы, выражающие соотношения между тангенсом и косинусом, а также между котангенсом и синусом одного и того же угла.

Разделив обе части равенства (1) на cos² a, получим:

,

т.е.

Если обе части равенства (1) разделить на sin² a, то будем иметь:

,

т.е.

Равенство (5) верно, когда cos a¹0, а равенство (6), когда sina¹0.

Равенства (1)—(6) являются тождествами. Их называют основными тригонометрическими тождествами. Рассмотрим примеры использования этих тождеств для нахождения значений тригонометрических функций по известному значению одной из них.

Равенства (1)—(6) являются тождествами. Их называют основными тригонометрическими тождествами. Рассмотрим примеры использования этих тождеств для нахождения значений тригонометрических функций по известному значению одной из них.

Найдём cos a, tg a и ctg a, если известно, что

Найдём сначала cos a. Из формулы sin a+cos a=l получаем, что cos a=l –sin²a .

Так как a является углом II четверти, то его косинус отрицателен. Значит,

Зная синус и косинус угла к, можно найти его тангенс:

Для отыскания котангенса угла a удобно воспользоваться формулой tg a ctg a=l. Имеем:

Известно, что tg a=2 и 0 < a <. Найдём sina, cos a и ctg a

Воспользовавшись формулой l + tg² a = найдём cos a. Имеем:

По условию угол a является углом I четверти, поэтому его косинус положителен.

Значит,

Зная cos a и tg a, можно найти sin a. Из формулы tga=  получим:

sin a=tg a • cos a=2 •  

По известному tg aлегко найти ctg a:

Упражнения

1.     Доказать тождество:

1)             (1—cos a) (1+cos a)=sin2 а;

2)             (1—sin a) (1+sin a)=cos² a;

3)               4)

1— sin2 a                         1— cos2 a

 5)           6)

2.      Упростить выражение:

1) cos a ∙ tg a —2 sin a;   2) cos a — sin a ∙ ctg a;

3)                          4) 

3.      Упростить выражение и найти его значение:

  1)  при

2)            сos² a + ctg² a + sin² a при

3)            при

4) cos² a + tg² a ctg² a + sin² a при

4.      Доказать тождество:

l)  (l – sin² a)(l + tg² a) = l;

2)  sin² a (1 + ctg² a) – cos² a = sin² a.

5.      Упростить выражение:

l) ( l+ tg²a )cos²a —1;    2) l – sin² a (1 +ctg²a );

3)            4)

5.ФОРМУЛЫ ПРИВЕДЕНИЯ

Тригонометрические функции углов вида  и  могут быть выражены через функции угла a с помощью формул, которые называют формулами приведения.

Выведем сначала формулы приведения для синуса и косинуса.

Докажем, что для любого d

и

Провернем радиус ОА, длина которого равна R, на угол a и на угол p/2+a При этом радиус ОА перейдет соответственно в радиусы OB₁ и ВС₂ (рис 1)

Опустим из точки B₁ перпендикуляры B₁C₁ и B₁D₁ на оси координат. Получим прямоугольник OD₁B₁C₁.

Провернем прямоугольник OD₁B₁C₁ около точки О на угол p/2. Тогда точка B₁ перейдет в точку В₂, точка C₁ перейдет в точку С₂ на оси у, точка D₁ - в точку D₂ на оси х, а прямоугольник OD₁B₁C₁ перейдет в равный ему прямоугольник OD₂B₂C₂.

Отсюда следует, что ордината точки В₂ равна числу, противоположному ординате точки B₁. Обозначим координаты точки B₁ через х₁ и y₁, а координаты точки В₂ через х₂ и у₂. Тогда у₂ = x₁ и  x₁ = -y₁.

Поэтому

 и

Значит

= cos a и cos (p/2+a) = -sin a. Из формул (1) следует, что

sin (p/2-a) = cos a  и cos (p/2-a)=sin a.

Действительно, представим разность p/2 - a  в виде суммы p/2 + (-a). Тогда

sin (p/2 - a) = sin (p/2 + (-a)) = cos (-a) = cos a

cos (p/2 -a) = cos (p/2 + (-a) = - sin (-a) = sin a.

 Формулы приведения для синуса и косинуса угла p+a  выглядят так:

sin (p+a) = - sin a  и cos (p+ a) = - cos a.      (2)

Для доказательства достаточно представить p+a  в виде p/2 + (p/2 + a) и дважды воспользоваться формулами (1). Например:

cos (p+a) = cos (p/2 + (p/2 + a) = - sin (p/2 + a) = - cos a.

Заметим, что к формулам (2) легко перейти и из геометрических соображений (рис.2). При повороте радиуса ОА на угол a и на угол p + a  точка А перейдет соответственно в точки B₁ и В₂, которые симметричны относительно начала координат. Абсциссы, а также ординаты симметричных относительно начала координат точек равны по модулю и противоположны по знаку. Отсюда следует, что sin (p+a) и sin a, а также cos (p+a) и cos a - противоположные числа.

рис. 2

Из формул (2) следует, что

sin (p-a) = sin a 

и cos (p - a) = - cos a

Для доказательства достаточно представить p - a  в виде суммы p + (-a) и применить формулы (2). Формулы приведения для синуса и косинуса угла 3/2p + a имеют вид:

sin (3/2p + a) = - cos a  и cos (3/2p + a) = sin a      (3)

Чтобы доказать формулы (3), достаточно представить 3/2p + a  в виде p/2 + (p + a) и применить последовательно формулы (1) и (2).

Из формул (3) нетрудно получить, что

sin (3/2p - a) = - cos a. и cos (3/2p - a) = - sin a.

 Наконец, формулы приведения для синуса и косинуса угла 2p + a следует из того, что при изменении угла на целое число оборотов значения синуса и косинуса не изменяются:

sin (2p+a) = sin a  и cos (2p+ a) = cos a       (4) Справедливы также формулы

sin (2p - a ) = - sin a и cos (2p - a ) = cos a  Например, для sin (2p - a )  имеем:

sin (2p - a ) = sin (-a ) = - sin a

Формулы приведения для тангенса и котангенса можно получить с помощью формул приведения для синуса и косинуса. Например:

tg (p/2 + a) = sin (p/2 + a)/ cos (p/2 + a) = cos a/ - sin a = - ctg a,

ctg (p + a ) = cos (p +a )/ sin (p + a ) = - cos a / - sin a = ctg a

Все формулы приведения сведем в две таблицы, поместив в первой из них формулы для углов p + a  и 2p + a, а во второй — для углов p/2 + a  и 3/2p + a:

х	p + a	p - a	2p + a	2p - a
sin x	- sin a	sin a	sin a	- sin a
cos x	- cos a	- cos a	cos a	cos a
tg x	tg a	- tg a	tg a	- tg a
ctg x	ctg a	- ctg a	ctg a	- ctg a

х	p/2 + a	p/2 - a	3/2p + a	3/2p - a
sin x	cos a	cos a	- cos a	- cos a
cos x	- sin a	sin a	sin a	- sin a
tg x	- ctg a	ctg a	- ctg a	ctg a
ctg x	- tg a	tg a	- tg a	tg a

По таблицам легко проследить закономерности, имеющие место для формул приведения. Эти закономерности позволяют сформулировать правило, с помощью которого можно записать любую формулу приведения, не прибегая к таблице:

функция в правой части равенства берется с тем же знаком, какой имеет исходная функция, если считать, что угол a является углом I четверти; для углов p + a и 2 p+ a  название исходной функции сохраняется; для углов p/2 + a и 3/2 p + a название исходной функции заменяется (синус на косинус, косинус на синус, тангенс на катангенс, котангенс на тангенс).

Пример 1   Выразим tg (p - a) через тригонометрическую функцию угла a

  Если считать, что a - угол I четверти, то p - a  будет углом II четверти. Во II четверти тангенс отрицателен, значит, в правой части равенства следует поставить знак «минус». Для угла p - a название исходной функции «тангенс» сохраняется. Поэтому

tg (p-a) = - tg a

С помощью формул приведения нахождение значений тригонометрических функций любого угла можно свести к нахождению значений тригонометрических функций угла от 0 до p/2.

Пример 2   Найдем значение cos 8 p/3.

Имеем:

cos 8 p/3 = cos (2 p + 2 p/3) = cos 2 p/3=

= cos (p - p/3) = - cos p/3 = - 1/2.

Пример 3   Найдем значение sin (- 585 ° )

Имеем:

sin (- 585°) = - sin 585° = - sin (360° + 225°)=

= - sin 225° = - sin (180° + 45°) = - (- sin 45°) = sin 45°

   6.ФОРМУЛЫ СЛОЖЕНИЯ

Выведем формулы, выражающие тригонометрические функции суммы и разности двух углов через тригонометрические функции этих углов.

Провернем радиус ОА, равный R, около точки О на угол a – и на угол b (рис. 3). Получим радиусы ОВ и ОС.

Найдем скалярное произведение векторов  и . Пусть координаты точки В равны х₁ и у₁,  кординаты точки С равные х₂ и у₂.  Эти же координаты имеют соответственно и векторы  и . По определению скалярного_произведения векторов:

Выразими скалярное произведение  через тригонометрические

функции углов a и b. Из определения косинуса и синуса следует, что

x₁ = R сos a, у₁ =  R sin a, x₂ = R cos b, y₂ = R sin b. 

Подставим значение х₁, х₂, у₁ и у₂ в правую часть равенства  получим:

 Значит,

 С другой стороны по теореме о скалярном произведении векторов имеем:

Угол ВОС между векторами  и  может быть равен  (см. рис. 3),  (рис. 4) либо может отличаться от этих значений на целое число оборотов. В любом из этих случаев

Поэтому__

 Так как ОВ ОС равно также  то

        (1)

Формулу (1) называют формулой косинуса разности.

Косинус разности двух углов равен произведению косинусов этих углов плюс произведение синусов этих углов.

С помощью формулы (1) легко получить формулу косинуса суммы:

Значит,

     (2)

Косинус суммы двух углов равен произведению косинусов этих углов минус произведение синусов этих углов.

Выведем теперь формулы синуса суммы и синуса разности. Используя формулы приведения и формулу (1), получим

Значит,

    (3)

Синус суммы двух углов равен произведению синуса первого угла на косинус второго плюс произведение косинуса первого угла на синус второго.

Для синуса разности имеем:

Значит,

    (4)

Синус разности двух углов равен произведению синуса первого угла на косинус второго минус произведение косинуса первого угла на синус второго.

Формулы (1) - (4) называют формулами сложения для синуса и косинуса.

7.ФОРМУЛЫ ДВОЙНОГО УГЛА

Формулы сложения позволяют выразить sin2α, cos2α и tg2α через тригонометрические функции угла α .

Положим в формулах

                        sin (α +β) = sinα cosβ + cosα sinβ,

                        cos (α +β) = cosα cosβ – sinα sinβ,

                       

β равным α . Получим тождества:

                        sin2α = 2 sinα cosα ,        (1)

                        cos2α = cos²α – sin²α ,     (2)

                        .              (3)

Эти тождества называют формулами двойного угла.

Приведем примеры применения формул двойного угла для нахождения значений тригонометрических функций и преобразования тригонометрических выражений.

П р и м е р 1. Найдем значение sin2α, зная, что cosα = -0,8 и α – угол III четверти.

Сначала вычислим sinα . Так как α – угол III четверти, то sinα < 0. Поэтому

.

По формуле синуса двойного угла:

sin2α = 2 sinα cosα = 2 (-0,6) (-0,8) = 0,96.

П р и м е р 2. Упростим выражение

                        sinα cos³α – sin³α cosα .

Вынесем за скобки sinα cosα и воспользуемся формулами двойного угла:

sinα cos³α – sin³α cosα = sinα cosα (cos²α – sin²α) =  (2 sinα cosα) cos2α =  sin2α cos2α =  sin4α.

Из формулы (2) следует, что

              1 – cos2α = 2sin²α.            (4)

Действительно, выразив cos2α через sin2α, получим

              Cos2α = (1 – sin²α) – sin²α = 1 – 2 sin²α.

Отсюда 1 – cos2α = 2 sin²α.

Аналогично, выразив cos2α через cosα, получим

              1 + cos2α = 2 cos²α.           (5)

Формулы (4) и (5) используются в вычислениях и преобразованиях.

П р и м е р 3. Упростим выражение .

Применим формулы (4) и (5) к выражениям

              1 – сosα и 1 + cosα.

Представив α в виде произведения 2 . Получим

     .

8.ФОРМУЛЫ СУММЫ И РАЗНОСТИ

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Сумму и разность синусов или косинусов можно представить в виде произведения тригонометрических функций. Формулы, на которых основано такое преобразование, могут быть получены из формул сложения.                                       Чтобы представить в виде произведения сумму sin a + sin β, положим             а = x + y и β = x – y и воспользуемся формулами синуса суммы и синуса разности.    Получим.

sin a + sin β = sin (x + y) + sin (x – y) =

= sin x  cos y + cos x  sin y + sin x  cos y – cos x  sin y =

= 2 sin x cos y.

Из равенств n = x + y и β = x – y находим, что  x =  и  y = . По этому

sin a + sin β = 2 sin  cos .

Мы получили формулу суммы синусов двух углов.

Сумма синусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полусуммы этих углов на косинус их полуразности. 

Аналогично можно вывести формулы разности синусов, суммы и разности косинусов.

Формула разности синусов:

sin a – sin β = 2 sin .

Разность синусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полуразности этих углов на косинус их полусуммы.

Формула суммы косинусов:

cos a + cos β = 2 cos  cos.

Сумма косинусов двух углов равна удвоенному произведению косинуса  полусуммы этих углов на косинус их полуразности.

Формула разности косинусов:

cos a – cos β =  - 2 sin  sin .

Разность косинусов двух углов равна взятому со знаком “минус” удвоенному произведению синуса полусуммы этих углов на синус их полуразности.

Учитывая, что – sin = sin = sin  ; формулу разности косинусов можно записать в другом виде;

cos a – cos β = 2 sin  sin .

Приведем примеры применения полученных формул.

Пример 1. Упростим сумму sin 10⁰ + sin 50⁰    

Воспользовавшись формулой суммы синусов, получим

sin 10⁰  + sin 50⁰ = 2 sin  cos  =

= 2 sin 30⁰ cos (-20) = 2ππ cos 20⁰ = cos 20⁰.

Пример 2. Представим в виде произведения разность cos 0,3π – sin 0,6π.

Воспользовавшись формулой произведения, представим данное выражение в виде разности косинусов и преобразуем ее в произведение. Тогда

cos 0,3π – sin 0,6π = cos 0,3π – sin (0,5π + 0,1π) =

= cos 0,3π – cos 0,1π = - 2 sin  cos  =

= - 2 sin 0,2π sin 0,1π.

Пример 3. Представим в виде произведения выражение 1 – sin a.

Так как 1= sin , то данное выражение можно представить в виде разности синусов. Поэтому

1 – sin a = sin  - sin a = 2 sin  cos  =

= 2 sin  cos .

Эту задачу можно решить иначе:

1 – sin a = 1 – cos  = 1 – cos  =

= 2 sin²                   

С помощью формул приведения первое из полученных выражений можно преобразовать во второе и наоборот.

9.ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ, ИХ ГРАФИКИ

1.     Непрерывность тригонометрических функций.

Лемма. Для любого действительного числа a такого, что  справедливо неравенство

.

Пусть  сначала     0<|а|<.  Построим  единичный  круг  и  угол  АОВ величины a (рис.1). Далее опустим перпендикуляр BD из точки В на радиус О А и построим треугольник АОС.

Тогда где S D - площадь треугольника, S_сект.. - площадь сектора.

Так как  и то

Сравнивая эти площади, получаем .

Разделив все члены этого неравенства на sin a, получим

или .

Заметим, что функции  и  - четные, и поэтому неравенства (1) справедливы не только для , но и для .

Из равенства (1) следует, что  для любого

А так как sin0=0 и  то  для любого  

2. Свойства и графики функции y=sin x и y=cos x.

Функция y=sin х обладает следующими свойствами:

1)               Область определения - множество R действительных чисел.

2)               Множество значений функции - отрезок [-l;l], т. е. график функции располагается в полосе, ограниченной прямой у=-1 и у=1.

3)               Синус - функция периодическая с периодом 2p; при построении
графика можно ограничиться его построением на отрезке длинной 2p-(на
пример, на отрезке от -p до p), а затем выполнить параллельные

переносы построенной части графика на 2pк, к Î Z.

4)         Синус - функция не чётная; график функции симметричен
относительно начала координат, и поэтому его можно построить на
отрезке [0; p], а затем симметрией получить его на отрезке [-p-;0].

5)               Синус - функция непрерывная на всей числовой прямой.

6)               Нулями функции являются точки х=pк, kÎZ.

7)               Функция  y=sin х  строго  возрастает  от -1 до 1   на  промежутках

 и строго убывает убывает на промежутках

8) Функция y=sin х  имеет минимумы, равные    -1,   в  точках и имеет максимумы, равные 1, в точках

Перечислим основные свойства функции y=cos x.

1)    Область определения - множество R.

2)    Множество значений функции - отрезок [-l;l].

3)    Косинус - функция периодическая с периодом 2p.

4)    Косинус - функция чётная (график симметричен относительно оси Оу).

5)               Косинус - функция непрерывная в любой точке х₀   R.

6)               Нулями функции являются точки .

7)               Функция строго возрастает от -1 до 1 на промежутках , и строго убывает от 1 до -1 в промежутках

8)               Функция имеет минимумы, равные —1, в точках х=p + 2pk, xÎZ, и
максимумы, равные 1, в точках х=2pk, kÎZ .

3. Свойства и графики функций y=tg x и y=ctg x.

Функция y=tg х обладает следующими свойствами:

1)      Область определения - множество R, кроме точек

2)      Множество значений - множество R.

3)      Тангенс - функция периодическая с периодом  p при построении

графика можно сначала построить его на интервале  .

4)  Тангенс - функция нечётная; её график симметричен относительно начала координат, и поэтому можно начинать построение с промежутка

5)      Тангенс - функция непрерывная в любой точке области определения.

6)      Нулями функции являются точки х=pk ,kÎ Z.

7)      Тангенс строго возрастает на каждом промежутке .

4. График гармонического колебания.

Пусть даны две функции y=sin x и y=3sin x.

Построим график функции на одном чертеже. Легко видеть, что график функции y=3sin х получается из графика функции y=sin x растяжением вдоль оси ординат.

Вообще график функции y=k sin x, к>0, получается от графика функции y=sin х растяжением в к раз вдоль оси ординат. Если к<0, то график функции y=k sin х симметричен относительно оси абсцисс графику функции y=|k|sin x..

Число  при изучении гармонических колебаний называют  размахом,

или амплитудой колебаний.

Для построения графика функции y=k sin(ax+), a0, её представляют

следующим образом:

Тогда легко видеть, что график этой функции получается из графика функции y=k sin ax смещением вдоль оси абсцисс на отрезок длинны

Влево,    если , и вправо, если

10.ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

Функция у =arcsin x.

Функция у = sin х возрастает на отрезке принимает на

нем все свои значения от - 1 до 1 (см. рис. 3). Значит для функции у = sin х, , существует обратная функция. Эиу функцию обозначают у = arcsin x.

График функции у = arcsin x может быть получен из графика функции у = sin х,  с помощью преобразования симметрии последнего относительно прямой у = х (см. рис. 4)

Перечислим некоторые свойства функции у = arcsin x:

1. Область определения - отрезок [ -1 ;1].

2.Область значений – отрезок

3.               Функция нечетная: arcsin (-х) = - arcsin x.

4.               функция возрастающая.

Из сказанного выше, следует, что записи у = arcsin х и х = sin у,

 эквивалентны. Подставим в равенство х = sin у вместо у его

выражение, т.е. arcsin х, получим х = sin (arcsin x). Следовательно, для

любого х из [-1;1] имеем: sin (arcsin x) = х, .

Последние два соотношения позволяют истолковать arcsin m, где  , так: arcsin m - это число, взятое в пределах отдо и такое, что его синус равен m.

Пример, вычислить: a) arcsin ; б) arcsin .

Р е ш е н и е. а) По определению у = arcsin -  это такое

 число, что sin у = и . Отсюда следует, что у = . Таким

образом, arcsin .

Б). Рассуждая аналогично, получаем arcsin .Но по свойству нечетности имеем , следовательно, .

Функция у = arсcos x.

Функция у = arсcos x убывает на отрезке [0;p], принимает на нем все значения от -1 до 1 (см. рис 9). Значит, для функции у = cos x , рассматриваемой на отрезке [0;p], существует обратная функция. Она обозначается arcos х.

График функции у = arсcos x получается из графика функции y=cos х , , с помощью преобразования симметрии относительно прямой у = х (см. рис. 5).

Перечислим некоторые свойства функции у = arсcos x:

1.   Область определения - отрезок [-1; 1 ].

2.   Область значений функции - отрезок [0;p].

3.   Функция не является ни четной, ни нечетной.

4.   Функция убывающая.

Из сказанного выше следует, что записи у = arсcos х и х = cos у, , подставив в равенство х = cos у вместо у выражение arсcos x, получим cos (arсcos x) = х. следовательно, для любого х из промежутка [-1 ;1] имеем:       cos ( arсcos x) = х, 0£ arсcos х £  p.

Последние два соотношения позволяют истолковать arсcos m, где -1 £m £1, так: arсcos m - это число, взятое в пределах от 0 до p и такое, что его косинус равен m.

Отметим, что имеет место следующее тождество:

arсcos (-х) = p - arсcos x.

В его справедливости можно убедиться с помощью графика функции у = arсcos x (см. рис. 6).

Пример: Вычислить: a) arсcos ; б) arсcos .

Р е ш е н и е: а) По определению arcсos - это такое число у,

что cos у=  и . Отсюда следует, что у = . Таким образом,

arccos =

б) По формуле arсcos (-х) = p - arсcos х имеем arcos  .Значит,

Функция у = arctg x.

Функция y= tg х возрастает на интервале , принимает на нем все свои значения (см. рис. 1). Поэтому на указанном интервале для функции у = tg x существует обратная функция. Она обозначается у = arctg x.

График функции у = arctg x получается из графика функции

у =tg x,с помощью преобразования симметрии относительно

прямой у = х (см. рис 7).

Перечислим некоторые свойства функции у = arctg x:

1.   Область определения - множество всех действительных чисел.

2.   Область значений функции - интервал .

3.   Функция нечетная: arctg (-х) = - arctg x.

4.   Функция возрастающая.

Из сказанного выше следует, что записи у = arctg х и х = tg у,

, эквивалентны. Для любого х имеем: tg (arctg x) = х,.

Последние соотношения позволяют истолковать arctg m так: arctg m - это число, взятое в пределах от (исключая сами значения и такое, что его тангенс равен m.

Пример. Вычислить: a) arctg 1; б) arctg (-).

Р е ш е н и е: а) По определению у = arctg 1 - это такое число,

что     tg у = 1 и . Oтсюда следует, что у = . Таким образом, arctg 1 =

б) Рассуждая аналогично, получим arctg . Но arctg . Значит, arctg .

Функция у = arcctg x.

Функция у = ctg х убывает на интервале (0; p), принимает на нем все свои значения (см. рис.8 ). Следовательно, на этом интервале для функции у - ctg x существует обратная функция. Она обозначается у = arcctg x.

График функции у= arcctg х получается из графика у = ctg x, , с помощью преобразования симметрии относительно прямой

у = х (см. рис 8)

Перечислим некоторые свойства функции у = arcctg x:

1. Область определения - множество всех действительных чисел.

2. Область значений функции - интервал (0; p).

3. Функция не является ни четной, ни нечетной.

4. Функция убывающая.

Из сказанного выше следует, что записи у = arcctg х и х = ctg у, , эквивалентны. Для любого х имеем ctg (arcctg x) = х,

0< arcctg х < p.

Последние соотношения позволяют истолковать arcctg m так: arcctg m - это число, взятое в пределах от 0 до p (исключая сами значения 0 и p) и такое, что его котангенс равен m.

Имеем тождество arcctg (-х) = p - arcctg x.

Пример. Вычислить arcctg

Решение: Сначала вычислим у = arcctg . Это такое

число, что ctg у = и. Значит, у = .

По формуле arcctg (-х) = p .- arcctg х имеем arcctg  = p -arcctg . Значит, arcctg  =

11.ПРОСТЕЙШИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И ИХ РЕШЕНИЕ

I sinx=a   аÎ[-1;1]

1)   а=1; sin х=1; х=

2)   а=0; sin x=0; х=pк; kÎz.

3)   а=-1; sin х=-1; х=-p/2+2pк; кÎz.

4)  а-дробное число; аÎ(-1;1).

Например:

1)    sin x=l/2

 
2) sin x-sin² x=0
sin x(l-sinx)=0
sinx=0

х=pk; кÎz

l-sinx=0

sinx=l

х=p/2+2pк; kÎz

Ответ: pк; p/2+2pк; kÎz

II cosx=a; aÎ [-l;l]

1)  cos x=l; x= 2pк; kÎz

2)  cos x=0; x=p/2+pk; kÎz

3)  cosx=-l; х=p+2pк; kÎz

4)                                                                                                                                                                                                                                                                а- дробное число; cos x=a
x=±arcos а+2pк; kÎz

Например:

cos (х- p/4)=1

х- p/4=2 pк; kÎz

х= p/4+2 pк; kÎz

Ш tg x=a; aÎR 

 x=arctg а+pк; kÎz

IV ctg x=a

x=arcctg а+pк; kÎz

Например:

3tg(3x+p/6)=

tg(3x+p/6)= /3

3x+ p/6=-arctg/3+pk; kÎz

3x+ p/6=-p/6+p/k; kÎz

Зх=- p/6- p/6+pк; kÎz

Зх=- p/3+pк; kÎz

х=-p/9+pк/3; kÎz.

12.МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Приведение тригонометрических уравнений к квадратному

1) sin² x-2sin x-3=0

sinx=t

t²-2t-3=0

t₁=3

t₂=-l

sin x=3 - не имеет решений.

sin x=-l; х=-p/2+2pк; kÎz.

2) 2sin² x-5cos x+l=0

sin² x+cos² x=l

sin² x=l-cos² x

2(l-cos² x)-5cos x+l=0

2-2cos² x-5cos x+l=0

-2cos² x-5cos x+3=0/ ∙1

2cos² x+5cos x-3=0

cosx=t

2t²+5t-3=0

D=25+24=49

t_1,2= -5+7/4

t₁=l/2;

t₂=-3

cos x=-3 - не имеет решений.

cos x=l/2

x=+arccosl/2+2pk; kÎz

х=+p/2+2pк; kÎz

Вынесение общего множителя за скобку

1) ctg x ∙ cos x-ctg x-cos x+l=0

(ctg x∙cos x-ctg x) - (cos x)=0

ctg x (cos x-1) - (cos x-l)=0

(cos x-1) (ctg x-l)=0

cos x=l

х=2pк; kÎz

ctg x-1=0

ctg x=l

x= p/4+ pk; kÎz .

Ответ: 2pк; п/4+ pк; kÎz

2)                                                                                                                                                                                                                              2sin x ∙ cos x+ -2cos х- sin x=0

(2sin x ∙cos x -2cos x)+( -sin x=0

2cos x (2sin x-l)+  (sin x-l)=0

(2cos х- ) (sin x-l)=0

2cosx-=0

sinx=0

sinx=l

x=p/2+2pк; kÎz

2cos х=

cos х=/2

x=+ p/6+2pк; kÎz                                 

.   Ответ: p/2+2pк;+ p/6+2pк; kÎz.

Однородные тригонометрические уравнения.

Уравнение, в котором каждое слагаемое имеет одну и ту же степень

называется однородным.

Его решают путём деления на cos x с большим показателем.

1) 10sin³ x-13cos³ x=0 (:cos³ x)

10sin³ x/cos³ x-13cos³ x/ cos³ x=0/ cos³ x

10tg³ x-13=0

10tg³ x=13

tg³ x=13/10

tgx=

x=arctg + 7pk; kÎz

2) 3sin²  x-7sin x∙cos x+2cos² x =0 (:cos² x)

3tg² x-7tg x+2=0

tgx=t

3t²-7tg+2=0

D=49-24=25

t₁=7-5/6=l/3

t₂ =7+5/6=2

tgx=2

x=arctg 2+ pк; kÎz

tg=l/3

x=arctg 1/3+ pк; kÎz.

3) 4sin² x-2sin xcos x=l

4sin² x -2sin x cos x=sin x+cos x

 4sin² x-2sin x cos x- sin² x-cos² x=0

 3sin² x-2sin x cos x-cos² x=0

3tg² x-2tg x-l=0

tgx=t

3t² -2t-l=0

D=4+12=16

t₁ =l

t₂ = -l/3

tgx=l

x= arctg 1+ pк; kÎz

tgx=-l/3

x= arctg (-1/3)+ pк; kÎz

ЛИТЕРАТУРА

1. «Алгебра и начало анализа» под редакцией Г.Н.Яковлева

                                                                 части 1 и 2.

                                                         Москва «Наука» 1987г.

2. «Алгебра и начало анализа» (10-11 кл.) М.И.Башмаков

                                                          Москва «Просвещение» 1991г.