Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Учебный материал "Площадь многоугольника через определить второго порядка" для элективного курса по математике, 10 класс.

Учебный материал "Площадь многоугольника через определить второго порядка" для элективного курса по математике, 10 класс.



Внимание! Сегодня последний день приёма заявок на
Международный конкурс "Мириады открытий"
(конкурс сразу по 24 предметам за один оргвзнос)


  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:




Тема занятия:

Площадь многоугольника через определитель второго порядка.



Цель:1. Вывод формулы площади треугольника через определитель II-го порядка с применением формул тригонометрии.

2.Самостоятельная творческая работа по разработке формул площадей четырехугольника, пятиугольника, квадрата, правильного шестиугольника, n-угольника с использованием определителя II-го порядка.

3. Научить учащихся способу вычисления площади четырехугольника с координатами его вершин для использования на ЕГЭ.


I. Введение. На уроках алгебры мы познакомились с необычным способом решения систем двух линейных уравнений с двумя переменными с помощью определителя второго порядка.

Использование определителей оказалось удивительно полезным и интересным при решении и анализе систем.

А используется ли понятие определителя в геометрии?

Постараемся сегодня ответить на этот вопрос.


II. Объяснение нового материала. Вывод формулы площади треугольника через определитель II-го порядка в прямоугольной системе координат.

Создание проблемы.

Площадь треугольника

Определителем второго порядка называют значение разности произведений чисел

ad - bc, записываемых для удобства вычислений в виде таблички из четырех чисел..

hello_html_m644dfe7.gif

Выведем формулу площади треугольника в виде определителя, составленного из разности координат вершин треугольника.

Докажем, что площадь треугольника равна: hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_665fdf20.gif


hello_html_m56018020.png

Пусть в прямоугольной системе координат А(х1,у1), В(х22), С (х33) – вершины треугольника. Найти площадь треугольника АВС.

Обозначим стороны треугольника через АС=b, АВ =с и угол между ними через hello_html_7707454f.gifВАС=φ, по известной формуле тригонометрии получим: S= ½ bс∙sinφ.

Угол φ можно представить в виде разности: φ = β-α, где α и β – углы, образованные соответственно сторонами АВ и АС с осью Ох.





Поэтому Sbс∙sin ( β-α) =½bс∙(sinβcosα - cosβsinα).

Из рисунка имеем

ccosα= АВ21В1= х2 – х1,

с∙ sinα2В = у21,

bcosβ=АС21С131,

bsinβ2С=у31.

Следовательно, S=½((х2—х1)(у31)-(х31)(у21).

Заметим, что эта формула при ином расположении вершин может дать площадь треугольника S со знаком «минус».

Поэтому формулу площади треугольника запишем в виде S =±½((х2—х1)(у31)-(х31)(у21), где знак выбирается так, чтобы для площади получалось положительное число.

Используя понятие определителя второго порядка hello_html_m73e0daec.gif= аd-bс, формулу можно записать в удобной для запоминания форме:


S треуг. = ±hello_html_63ef7b7f.gif.


Постановка проблемы: определить площадь четырехугольника , пятиугольника, квадрата, правильного шестиугольника, n-угольника через координаты их вершин.


Рекомендации: Определение площади многоугольника сводится к определению площадей треугольников. Для этого достаточно разбить многоугольник на треугольники, площади которых вычисляют по найденной формуле. Правильный шестиугольник разбивается на равные четырехугольники



II. Учащиеся. Самостоятельное решение проблемы (работа учащихся в группах дифференцировано: продвинутый уровень-площадь четырехугольника и пятиугольника, базовый уровень-площадь четырехугольника, шестиугольника, квадрата).

1.Площадь четырехугольника

Выведем формулу для вычисления площади четырехугольника на примере трапеции.


у

2,у2) (х33)

S2

S1

11)44)



hello_html_191f8dda.gif


hello_html_m4610274.gifhello_html_m6143ef38.gifhello_html_m64e05a71.gifhello_html_74ee304d.gif





hello_html_4128efbc.gif

hello_html_m8153bee.gif


Пусть трапеция задана координатами своих вершин в прямоугольной системе координат.

Диагональ разделит трапецию на два треугольника, площади которых найдем через определитель.

hello_html_3fa10be2.gifhello_html_21c39093.gif



hello_html_m707bec49.gif


hello_html_m3d8530c9.gif

hello_html_m42c09bc3.gif

hello_html_m159d7af1.gif

= hello_html_m358cbcca.gif

hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_4dc21e01.gifЗапишем выражение в удобной для запоминания форме, в виде определителя

hello_html_m435c079e.gif


у

1у1) (х2у2)



4у4) 3у3)

х

hello_html_m13989afb.gif

hello_html_m5a9c3ccd.gifhello_html_m19c801d3.gifhello_html_m2fec0617.gifhello_html_m539cdc09.gifhello_html_m7352ed2a.gif

hello_html_578f2aad.gifhello_html_1ebc3ed5.gif



Вывод: Площадь четырехугольника равна половине определителя, элементами столбцов и строк которого является разность координат вершин четырехугольника, взятых по диагонали.

Нумерацию координат можно рассмотреть в любом порядке.

Пример. Вычислить площадь четырехугольника с координатами его вершин

(1;1), (3;4), (6;3), ((3;1).

По формуле через определитель hello_html_1dea8ea2.gif

hello_html_m218eae15.gif





Сделаем проверку, вычислив площадь трапеции как сумму площадей, через высоты треугольников.

hello_html_3d021eb1.gif

Получили равные ответы.

2. Площадь правильного шестиугольника.

Площадь правильного шестиугольника найдем как сумму площадей двух равных четырехугольников.


hello_html_2619a3f7.gif



у (х22) (х33)




11) (х44)





х

hello_html_m2731c4d.gif


hello_html_m74cc85f1.gif


hello_html_m6573c029.gif




hello_html_4ea9c1b8.gif



Площадь ромба, квадрата или параллелограмма находятся аналогично, разбиением фигуры на равные треугольники.

3. Площадь квадрата.

.Если центр многоугольника расположен в начале координат, то формула площади многоугольника записывается с помощью координат одной или двух вершин:

hello_html_m71469659.gif

у



11) (х22)



(0,0) х


hello_html_m5230b66f.gifhello_html_35f2466d.gifhello_html_m4610274.gifhello_html_499dc83f.gifhello_html_m4610274.gifhello_html_499dc83f.gifhello_html_m113b5a87.gifhello_html_d971bf.gifhello_html_d971bf.gifhello_html_m113b5a87.gif

hello_html_m2aa6361a.gif

hello_html_m36f42bf2.gif





Площадь квадрата равна учетверенному произведению координат одной вершины треугольника.

Площадь правильного восьмиугольника выражается через определитель с помощью координат двух вершин многоугольника


4hello_html_m53d4ecad.gif. Площадь пятиугольника. Выведем формулу для вычисления площади пятиугольника:


hello_html_m2d6c1e45.gif

у (х33)

22)

S1S244)

S3

11)

55)



х


hello_html_759d254e.gif


hello_html_m4b5828a9.gifhello_html_1a7b5d3f.gifhello_html_12a02a0e.gif


hello_html_430dca1c.gif

hello_html_4ae0a216.gifhello_html_m197d4683.gif


hello_html_1c3ffeb3.gif




hello_html_m144434f8.gif





hello_html_m71bb3fbc.gifhello_html_3ecefea7.gifhello_html_63d499f9.gif

hello_html_m56f9530c.gif

hello_html_2327779f.gif

умножая двучлены, получим

hello_html_67149530.gif

Раскроем скобки, приведем подобные слагаемые, которые при этом взаимно- уничтожаются, и получим:

hello_html_m206f4ae7.gif

Сгруппируем произведения относительно равных абсцисс или равных ординат, получим:

hello_html_m65b91a7c.gif

Поменяем знаки, получается в итоге:

hello_html_4ab510a2.gif.

Площадь пятиугольника равна сумме абсцисс вершин треугольника, умноженных на разность ординат соседних вершин.


5hello_html_m2a7690f7.gif.Аналогично запишем формулу для n -угольника


Фhello_html_m2a7690f7.gifормула площади n- угольника через координаты своих вершин

имеет вид:


±½ ( ( х1∙2n +

х2∙(у31) +

х3∙(у...- у2) +

..+

хn-1∙(уn-…) +

хn ∙(у1n-1)).


Подведение итогов: Выступления учащихся.

+


Литература:

1. Эрдниев О.П. Учебник для средней школы.

2.Кудрявцев В.А. Краткий курс высшей математики.



























57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)


Краткое описание документа:

Использование определителей оказалось удивительно полезным и интересным при решении и анализе систем уравнений в алгебре. Используется ли понятие определителя II порядка в геометрии? Постараемся ответить на этот вопрос.

Выполним вывод формулы площади треугольника через определитель II-го порядка с применением тригонометрии и проведем творческую работу по разработке формул площадей четырехугольника, пятиугольника, квадрата, правильного шестиугольника, n-угольника с использованием определителя II-го порядка.


Автор
Дата добавления 06.10.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров536
Номер материала ДВ-036784
Получить свидетельство о публикации

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх