Учебный материал "Площадь многоугольника через определить второго порядка" для элективного курса по математике, 10 класс.

                                Тема занятия:

 Площадь многоугольника через определитель второго порядка.

     Цель:1. Вывод формулы площади треугольника через определитель II-го порядка  с  применением формул тригонометрии.

              2.Самостоятельная творческая работа по разработке формул площадей   четырехугольника, пятиугольника, квадрата, правильного шестиугольника, n-угольника с использованием  определителя  II-го  порядка.

                                         3. Научить учащихся способу вычисления площади четырехугольника с координатами его вершин  для использования на ЕГЭ.

 I. Введение. На уроках алгебры мы познакомились с необычным способом  решения систем двух  линейных уравнений с двумя переменными с помощью определителя второго порядка.

      Использование определителей оказалось удивительно полезным и интересным при решении и анализе систем.

      А используется ли  понятие определителя в геометрии?

 Постараемся сегодня  ответить на этот вопрос.

II. Объяснение нового материала. Вывод формулы площади треугольника через определитель II-го порядка в прямоугольной системе координат.

Создание проблемы.

  Площадь треугольника

Определителем второго порядка называют значение  разности произведений  чисел

   a∙d - b∙c, записываемых  для удобства вычислений в виде таблички из четырех чисел..

                               

Выведем формулу площади треугольника в виде определителя, составленного из разности координат вершин треугольника.

Докажем, что площадь треугольника равна:

Пусть в прямоугольной системе координат  А(х_1,у₁), В(х₂,у₂), С (х₃,у₃) – вершины треугольника. Найти площадь треугольника АВС.

Обозначим стороны треугольника через АС=b, АВ =с и угол между ними через ВАС=φ, по известной формуле тригонометрии получим:   S= ½ bс∙sinφ.

Угол φ можно представить в виде разности: φ = β-α, где α и β – углы, образованные соответственно сторонами АВ и АС с осью Ох.

Поэтому S =½ bс∙sin ( β-α) =½bс∙(sinβ∙ cosα - cosβ∙sinα).

 Из рисунка имеем

 c∙ cosα= АВ₂=А₁В₁= х_{2 –} х₁,

с∙ sinα=В₂В = у₂-у₁,

b∙ cosβ=АС₂=А₁С₁=х₃-х₁,

b∙ sinβ=С₂С=у₃-у₁.

Следовательно,   S=½((х₂—х₁)(у₃-у₁)-(х₃-х₁)(у₂-у₁).

Заметим, что эта формула при ином расположении вершин может дать площадь треугольника S со знаком «минус».

 Поэтому формулу площади треугольника запишем в виде S =±½((х₂—х₁)(у₃-у₁)-(х₃-х₁)(у₂-у₁), где знак выбирается так,  чтобы для площади получалось положительное число.

Используя понятие определителя второго порядка = аd-bс,  формулу можно записать в удобной для запоминания форме:

S треуг. = ±.

Постановка проблемы:  определить площадь четырехугольника , пятиугольника, квадрата, правильного шестиугольника, n-угольника через координаты их вершин.

Рекомендации:  Определение площади многоугольника сводится к определению площадей треугольников. Для этого достаточно разбить многоугольник на треугольники, площади которых вычисляют по найденной  формуле. Правильный шестиугольник  разбивается на равные четырехугольники

II. Учащиеся. Самостоятельное решение проблемы  (работа учащихся в группах дифференцировано: продвинутый уровень-площадь четырехугольника и пятиугольника, базовый уровень-площадь четырехугольника, шестиугольника, квадрата).

1.Площадь четырехугольника

 Выведем формулу для вычисления площади четырехугольника на примере трапеции.

 

Пусть трапеция задана координатами своих вершин в прямоугольной системе координат.

Диагональ разделит трапецию  на два треугольника, площади которых найдем через определитель.

         

       

                            ₌

                              _{Запишем выражение в удобной для запоминания  форме, в виде определителя}

                          

у    (х1у1)              (х2у2)     (х4у4)                     (х3у3)                                        х

                                                                                                             

                          _{Вывод: Площадь четырехугольника  равна половине  определителя, элементами  столбцов и строк                                      которого  является разность координат вершин четырехугольника, взятых по диагонали.}

                                 _{Нумерацию координат можно рассмотреть в любом порядке.}

                         _{Пример. Вычислить площадь четырехугольника с координатами его вершин}

                                         _{(1;1), (3;4), (6;3), ((3;1).}

                          _{По формуле  через определитель} 

                               

_{Сделаем проверку, вычислив площадь  трапеции как сумму площадей,  через высоты треугольников.}

      

_{Получили равные ответы.}

_{2. Площадь правильного шестиугольника.}

_{Площадь правильного шестиугольника найдем как сумму площадей двух равных четырехугольников.}

 

_{Площадь ромба, квадрата или параллелограмма находятся  аналогично, разбиением фигуры на равные треугольники.}

_{3. Площадь квадрата.}

_{.Если центр  многоугольника расположен в начале координат, то формула площади многоугольника записывается  с помощью координат одной или двух вершин:}

у                                              (х1,у1)                 (х2,у2)                                     (0,0)            х

 

                                                           

_{Площадь квадрата равна учетверенному произведению координат одной вершины треугольника.}

_{Площадь  правильного восьмиугольника выражается через определитель с помощью координат двух вершин многоугольника}

_{4. Площадь пятиугольника. Выведем формулу для вычисления площади пятиугольника:}

 

        

умножая двучлены, получим

Раскроем скобки, приведем подобные слагаемые, которые при этом взаимно- уничтожаются,  и получим:

Сгруппируем  произведения относительно равных абсцисс или равных ординат,  получим:

Поменяем знаки, получается в итоге:

.

Площадь пятиугольника равна сумме абсцисс вершин треугольника, умноженных на разность ординат  соседних вершин.

5.Аналогично запишем формулу для  n -угольника

Формула  площади  n- угольника  через координаты своих вершин

                                                    имеет вид:

±½ ( ( х_1∙(у₂-у_n +

                   х₂∙(у₃-у₁) +

                        х₃∙(у...- у₂) +

                                     …..+

                                    х_n-1∙(у_n-…) +

                                            х_n ∙(у₁-у_n-1)).

Подведение итогов: Выступления учащихся.

+

Литература:

1. Эрдниев О.П. Учебник для средней школы.

2.Кудрявцев В.А. Краткий курс высшей математики.

Краткое описание документа:

Использование определителей оказалось удивительно полезным и интересным при решении и анализе систем уравнений в алгебре. Используется ли понятие определителя II порядка в геометрии? Постараемся ответить на этот вопрос.

Выполним вывод формулы площади треугольника через определитель II-го порядка с применением тригонометрии и проведем творческую работу по разработке формул площадей четырехугольника, пятиугольника, квадрата, правильного шестиугольника, n-угольника с использованием определителя II-го порядка.