Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Учебный материал "Площадь многоугольника через определить второго порядка" для элективного курса по математике, 10 класс.
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Учебный материал "Площадь многоугольника через определить второго порядка" для элективного курса по математике, 10 класс.

библиотека
материалов




Тема занятия:

Площадь многоугольника через определитель второго порядка.



Цель:1. Вывод формулы площади треугольника через определитель II-го порядка с применением формул тригонометрии.

2.Самостоятельная творческая работа по разработке формул площадей четырехугольника, пятиугольника, квадрата, правильного шестиугольника, n-угольника с использованием определителя II-го порядка.

3. Научить учащихся способу вычисления площади четырехугольника с координатами его вершин для использования на ЕГЭ.


I. Введение. На уроках алгебры мы познакомились с необычным способом решения систем двух линейных уравнений с двумя переменными с помощью определителя второго порядка.

Использование определителей оказалось удивительно полезным и интересным при решении и анализе систем.

А используется ли понятие определителя в геометрии?

Постараемся сегодня ответить на этот вопрос.


II. Объяснение нового материала. Вывод формулы площади треугольника через определитель II-го порядка в прямоугольной системе координат.

Создание проблемы.

Площадь треугольника

Определителем второго порядка называют значение разности произведений чисел

ad - bc, записываемых для удобства вычислений в виде таблички из четырех чисел..

hello_html_m644dfe7.gif

Выведем формулу площади треугольника в виде определителя, составленного из разности координат вершин треугольника.

Докажем, что площадь треугольника равна: hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_665fdf20.gif


hello_html_m56018020.png

Пусть в прямоугольной системе координат А(х1,у1), В(х22), С (х33) – вершины треугольника. Найти площадь треугольника АВС.

Обозначим стороны треугольника через АС=b, АВ =с и угол между ними через hello_html_7707454f.gifВАС=φ, по известной формуле тригонометрии получим: S= ½ bс∙sinφ.

Угол φ можно представить в виде разности: φ = β-α, где α и β – углы, образованные соответственно сторонами АВ и АС с осью Ох.





Поэтому Sbс∙sin ( β-α) =½bс∙(sinβcosα - cosβsinα).

Из рисунка имеем

ccosα= АВ21В1= х2 – х1,

с∙ sinα2В = у21,

bcosβ=АС21С131,

bsinβ2С=у31.

Следовательно, S=½((х2—х1)(у31)-(х31)(у21).

Заметим, что эта формула при ином расположении вершин может дать площадь треугольника S со знаком «минус».

Поэтому формулу площади треугольника запишем в виде S =±½((х2—х1)(у31)-(х31)(у21), где знак выбирается так, чтобы для площади получалось положительное число.

Используя понятие определителя второго порядка hello_html_m73e0daec.gif= аd-bс, формулу можно записать в удобной для запоминания форме:


S треуг. = ±hello_html_63ef7b7f.gif.


Постановка проблемы: определить площадь четырехугольника , пятиугольника, квадрата, правильного шестиугольника, n-угольника через координаты их вершин.


Рекомендации: Определение площади многоугольника сводится к определению площадей треугольников. Для этого достаточно разбить многоугольник на треугольники, площади которых вычисляют по найденной формуле. Правильный шестиугольник разбивается на равные четырехугольники



II. Учащиеся. Самостоятельное решение проблемы (работа учащихся в группах дифференцировано: продвинутый уровень-площадь четырехугольника и пятиугольника, базовый уровень-площадь четырехугольника, шестиугольника, квадрата).

1.Площадь четырехугольника

Выведем формулу для вычисления площади четырехугольника на примере трапеции.


у

2,у2) (х33)

S2

S1

11)44)



hello_html_191f8dda.gif


hello_html_m4610274.gifhello_html_m6143ef38.gifhello_html_m64e05a71.gifhello_html_74ee304d.gif





hello_html_4128efbc.gif

hello_html_m8153bee.gif


Пусть трапеция задана координатами своих вершин в прямоугольной системе координат.

Диагональ разделит трапецию на два треугольника, площади которых найдем через определитель.

hello_html_3fa10be2.gifhello_html_21c39093.gif



hello_html_m707bec49.gif


hello_html_m3d8530c9.gif

hello_html_m42c09bc3.gif

hello_html_m159d7af1.gif

= hello_html_m358cbcca.gif

hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_4dc21e01.gifЗапишем выражение в удобной для запоминания форме, в виде определителя

hello_html_m435c079e.gif


у

1у1) (х2у2)



4у4) 3у3)

х

hello_html_m13989afb.gif

hello_html_m5a9c3ccd.gifhello_html_m19c801d3.gifhello_html_m2fec0617.gifhello_html_m539cdc09.gifhello_html_m7352ed2a.gif

hello_html_578f2aad.gifhello_html_1ebc3ed5.gif



Вывод: Площадь четырехугольника равна половине определителя, элементами столбцов и строк которого является разность координат вершин четырехугольника, взятых по диагонали.

Нумерацию координат можно рассмотреть в любом порядке.

Пример. Вычислить площадь четырехугольника с координатами его вершин

(1;1), (3;4), (6;3), ((3;1).

По формуле через определитель hello_html_1dea8ea2.gif

hello_html_m218eae15.gif





Сделаем проверку, вычислив площадь трапеции как сумму площадей, через высоты треугольников.

hello_html_3d021eb1.gif

Получили равные ответы.

2. Площадь правильного шестиугольника.

Площадь правильного шестиугольника найдем как сумму площадей двух равных четырехугольников.


hello_html_2619a3f7.gif



у (х22) (х33)




11) (х44)





х

hello_html_m2731c4d.gif


hello_html_m74cc85f1.gif


hello_html_m6573c029.gif




hello_html_4ea9c1b8.gif



Площадь ромба, квадрата или параллелограмма находятся аналогично, разбиением фигуры на равные треугольники.

3. Площадь квадрата.

.Если центр многоугольника расположен в начале координат, то формула площади многоугольника записывается с помощью координат одной или двух вершин:

hello_html_m71469659.gif

у



11) (х22)



(0,0) х


hello_html_m5230b66f.gifhello_html_35f2466d.gifhello_html_m4610274.gifhello_html_499dc83f.gifhello_html_m4610274.gifhello_html_499dc83f.gifhello_html_m113b5a87.gifhello_html_d971bf.gifhello_html_d971bf.gifhello_html_m113b5a87.gif

hello_html_m2aa6361a.gif

hello_html_m36f42bf2.gif





Площадь квадрата равна учетверенному произведению координат одной вершины треугольника.

Площадь правильного восьмиугольника выражается через определитель с помощью координат двух вершин многоугольника


4hello_html_m53d4ecad.gif. Площадь пятиугольника. Выведем формулу для вычисления площади пятиугольника:


hello_html_m2d6c1e45.gif

у (х33)

22)

S1S244)

S3

11)

55)



х


hello_html_759d254e.gif


hello_html_m4b5828a9.gifhello_html_1a7b5d3f.gifhello_html_12a02a0e.gif


hello_html_430dca1c.gif

hello_html_4ae0a216.gifhello_html_m197d4683.gif


hello_html_1c3ffeb3.gif




hello_html_m144434f8.gif





hello_html_m71bb3fbc.gifhello_html_3ecefea7.gifhello_html_63d499f9.gif

hello_html_m56f9530c.gif

hello_html_2327779f.gif

умножая двучлены, получим

hello_html_67149530.gif

Раскроем скобки, приведем подобные слагаемые, которые при этом взаимно- уничтожаются, и получим:

hello_html_m206f4ae7.gif

Сгруппируем произведения относительно равных абсцисс или равных ординат, получим:

hello_html_m65b91a7c.gif

Поменяем знаки, получается в итоге:

hello_html_4ab510a2.gif.

Площадь пятиугольника равна сумме абсцисс вершин треугольника, умноженных на разность ординат соседних вершин.


5hello_html_m2a7690f7.gif.Аналогично запишем формулу для n -угольника


Фhello_html_m2a7690f7.gifормула площади n- угольника через координаты своих вершин

имеет вид:


±½ ( ( х1∙2n +

х2∙(у31) +

х3∙(у...- у2) +

..+

хn-1∙(уn-…) +

хn ∙(у1n-1)).


Подведение итогов: Выступления учащихся.

+


Литература:

1. Эрдниев О.П. Учебник для средней школы.

2.Кудрявцев В.А. Краткий курс высшей математики.

























Краткое описание документа:

Использование определителей оказалось удивительно полезным и интересным при решении и анализе систем уравнений в алгебре. Используется ли понятие определителя II порядка в геометрии? Постараемся ответить на этот вопрос.

Выполним вывод формулы площади треугольника через определитель II-го порядка с применением тригонометрии и проведем творческую работу по разработке формул площадей четырехугольника, пятиугольника, квадрата, правильного шестиугольника, n-угольника с использованием определителя II-го порядка.


Автор
Дата добавления 06.10.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров680
Номер материала ДВ-036784
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх