Учимся решать олимпиадные задачи (геометрия) 5 класс

Математические олимпиады (геометрия)

(А.В.Фарков «Учимся решать олимпиадные задачи (геометрия) 2 – е издание)

5 класс

1. Рост Буратино 1 метр, а длина его носа раньше была 9 сантиметров. Каждый раз, когда Буратино врал, длина его носа удваивалась. Как только нос стал длиннее самого Буратино, тот врать прекратил. Сколько раз буратино соврал?                                           А

2. Прямоугольник разрезали по ломаной линии,

     состоящей из 3 равных отрезков. Начало разреза в

     точке А (рис. 1). Получили две равные фигуры.

     Как это сделали?                                                            Рисунок 1

3. Как разрезать квадрат 4 × 4 прямыми линиями так, чтобы из полученных частей можно было составить 32 равных квадрата? Не разрешается оставлять неиспользованные части, также накладывать их друг на друга.

4. Разрежьте квадрат 5 × 5 на 5 прямоугольников таким образом, чтобы у соседних прямоугольников стороны не совпадали. При этом 4 прямоугольника были бы равны, а пятый являлся квадратом. Найдите все решения.

5. Как разрезать квадрат 5 × 5 на 7 прямоугольников, среди которых нет одинаковых?

6. Разрежьте квадрат 5 × 5 на 10 одинаковых четырёхульников, не являющихся прямоугольниками.

7. Разрежьте каждую фигуру на три равные части (рис. 2). Резать можно только по сторонам клеточек. Части должны быть равными и по площади, и по форме.

                     а                                                               б

                                                            Рисунок 2

8. Разрежьте фигуру на 2 равные части (рис. 3).

                                                                                                                Рисунок 3

9.   Разрежьте фигуру, полученную из квадрата 7 × 7 вырезанием четырёх  угловых клеток 1 × 1 (рис. 4), на уголки вида       и          (уголки состоят из квадратиков размера 1 × 1), так чтобы квадратики, отмеченные на рисунке, оказались только в больших уголках.

                      Рисунок 4

10. Фигура, изображённая на рис. 5, состоит из 7

   одинаковых квадратиков. Её периметр равен 16.

   Найдите площадь фигуры.

                                                                                                                                        Рисунок 5

3	4
?	5

                         Рисунок 6

11. Прямоугольник разбит на четыре маленьких прямоугольника. Площади трёх из них: 3, 4, 5 (рис. 6). Найдите площадь четвёртого прямоугольника.

12. На рис. 7 изображено 13 точек. Сколько квадратов с вершинами в этих точках можно нарисовать? (Точки рассматриваются в вершинах квадратиков со стороной 1).

                                                   Рисунок 7

13. Из 26 спичек длиной по 5 см сложили прямоугольник наибольшей площади. Чему равна его площадь?

 

14. Расположите изображённые на рис. 8 два острых

угла таким образом, чтобы образовались четыре тупых угла.                Рисунок 8

  

                                                                                                                                                   

                                                        Рисунок 9

15. Сколько треугольников на рис. 9?

 

16. Изображённые на рис. 10 фигуры 1, 2, 3 и 4 являются

 квадратами. При этом периметр первой фигуры равен 16 см,

 периметр второй – 24 см. Найдите периметр фигуры 4.

                                                                                                                    Рисунок 10

 

                                                         Рисунок 11

17. Сколько различных по величине углов изображено на рис. 11?

18.       Сколько треугольников на рис. 12?  

 

                                                                                                                                             Рисунок 12

19.       Разрежьте квадрат на 3 части, из которых можно было бы сложить треугольник с тремя острыми углами и различными сторонами.

20.       Разрежьте прямоугольник на 3 треугольника таким образом, чтобы среди полученных треугольников лишь 1 был прямоугольный.

Олимпиадная задача по математике – это задача повышенной трудности, нестандартная как по формулировке, так и по методам решения. Среди олимпиадных задач встречаются как нестандартные задачи, для решения которых требуются необычные идеи и специальные методы, так и задачи более стандартные, но которые можно решить оригинальным способом.

Олимпиадные задачи по математике встречаются иногда в контрольных работах по математике, их предлагают на разнообразных математических соревнованиях, и, конечно же, без них не обойтись на математических олимпиадах разного уровня.

Практически в каждой олимпиадной работе по математике встречается, как минимум одна задача по геометрии. И именно геометрические олимпиадные задачи вызывают наибольшие трудности у учеников. При этом можно утверждать, что как раз геометрия лучше всего развивает нестандартное мышление и помогает выделить математически одарённых людей.

Геометрические олимпиадные задачи очень разнообразны. Это и задачи на разрезание, и на построение и нахождение углов. Но чаще всего встречаются задачи, которые используют в своём решении  какую – то необычную идею, как правило, дополнительное построение.

Рассмотрим наиболее часто встречающиеся методы и приёмы решения разнообразных типов олимпиадных задач по геометрии.

В 5 – 6 классах наиболее часто встречаются различные задачи на разрезание. Рассмотрим одну из наиболее трудных задач такого типа.

Задача 1. Разделите квадрат 5 × 5 клеток с вырезанной центральной клеткой на четыре равные части. Найдите как можно больше способов. Разрезать можно только по сторонам квадратов.

Решение. Так как всего в квадрате остаётся 24 клетки, а надо разделить исходную фигуру на четыре равные части, то каждая из частей будет содержать по 6 клеток. Рассмотри, какие фигуры можно получить из 6 клеток (рис. 1).

Располагая по-разному выделенное нами фигуры в квадрате 5 × 5, получим следующие 7 способов (они показаны на рис 2).

Как видно, из 34 различных шестиклеточных фигур решение получилось только для семи из них (на рис. 1 он выделены).

Иногда в 5 – 6 классах встречаются и задачи на подсчёт числа фигур. Рассмотрим одну из таких задач.

Задача 2. Сколько треугольников изображено на рис. 3? 

                                                                              Рисунок 3

Решение. Подсчёт треугольников начнём с тех треугольников, которые не разбиты на другие треугольники. Таких треугольников будет по 3 в каждом квадрате, то есть 6. Теперь посчитаем число треугольников, состоящих из 2 треугольников. В каждом квадрате таких треугольников будет по 3, итого их 6. Теперь посчитаем число треугольников, состоящих из 3 фигур (2 треугольника и 1 четырёхугольник), всего их будет 2. И наконец, подсчитаем число треугольников, содержащих по 4 фигуры: это будет 2 самых больших треугольника, получающихся от деления прямоугольника на 2 части. Таким образом, всего получается 16 треугольников.